2016-2017年广东省东莞市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

广东省14市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（潮州市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点恰为抛物线28y x =的焦点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为A 、2213y x -= B 、221412x y -= C 、2213x y -= D 、221124x y -=2、（东莞市2016届高三上期末）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=对称，的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（A ）1 （B ） （C ） （D ）43、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P ，使得︒=∠9021PF F ，且满足12212F PF F PF ∠=∠，那么双曲线的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．254、（广州市2016届高三1月模拟考试）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D 5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线2y x=无交点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．6、（揭阳市2016届高三上期末）如果双曲线经过点p ，且它的一条渐近线方程为y x =，那么该双曲线的方程式（A ）22312y x -= （B ） 22122x y -= （C ）22136x y -= （D ）22122y x -=7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）设双曲线2214y x -=上的点P 到点的距离为6，则P 点到(0,的距离是（ ）A ．2或10 B.10 C.2 D.4或88、（清远市2016届高三上期末）已知双曲线C ：2221x my +=的两条渐近线互相垂直，则抛物线E ：2y mx =的焦点坐标是（ ） A 、（0,1） B 、（0，－1） C 、（0，12） D 、（0，－12） 9、（东莞市2016届高三上期末）已知直线l 过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点F 且与x 轴垂直，l 与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4,1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）6 （B ）4＋ （C ）7 （D ）4＋10、（汕尾市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为，点 A 在其右半支上， 若12AF AF ＝0， 若，则该双曲线的离心率e 的取值范围为) B.（ C. D. ）11、（韶关市2016届高三1月调研）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．顶点相同12、（珠海市2016届高三上期末）点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶点，128PB PB ⋅<uuu r uuu r，则0x 的范围是( )A ．(2][2-UB ．(2)(2-UC ．(2][2--UD ．(2)(2--U13、（湛江市2016年普通高考测试（一））等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，｜AB ｜＝C 的实轴长为：CA B 、 C 、4 D 、814、（潮州市2016届高三上期末）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)x y +-＝1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是A 、（1,2）B 、［2，＋∞）C 、D 、B 、∞）选择题答案：1、A2、D3、A4、C5、D6、B7、A8、D9、C 10、A 11、A 12、C 13、 14、A 二、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶点与右焦点的距离为－1，短轴长为。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于（ ） A ．3B ．7+3C ．3+2D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－，双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅，则双曲线离心率的取值范围是________4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 65、（惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) （A ） 3 （B ） 2 （C ）2 （D ）36、（江门市2017届高三12月调研）过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33，则分别以,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+u u u u r u u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）A ．7224- B ．7224+ C ．231+ D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A 2B 3C ．2D 31 10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ）A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、（韶关市2017届高三1月调研）已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 是右焦点,若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线离心率e 为(A)2 (B) 3(C) 12+ (D) 13+二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A、B分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1(－1，0)，离心率e＝2.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)已知直线l1：y ＝kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y＝kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且| AB |＝|CD |，如图所示.①证明：m1+m2＝0；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)1,2(M ，且离心率为23（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设)1,0(-A ，直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且AQ AP =，当OPQ ∆（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程4、（广州市2017届高三12月模拟）已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行 线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值．5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点21,2A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u v u u u v ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．6、（江门市2017届高三12月调研）在平面直角坐标系中，椭圆：()的离心率为, 椭圆的顶点四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆的顶点的直线交椭圆于另一点，交轴于点，若、、成等比数列，求直线的方程．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u u r （O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ． (Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）,x y R ∈，向量,i j r r分别为直角坐标平面内,x y轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =+r r r , (3)b x i y j =-+r r r,且||||4a b +=r r ． （Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）以椭圆()222:11x M y a a +=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与O e ：221x y +=共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与O e 相切，且与椭圆M 相交于P ，Q 两点，求PQ 的最大值.10、（汕头市2017届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.11、（韶关市2017届高三1月调研）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O ：2243x y +=相切，且抛物线242y x =-的准线恰好过椭圆C 的一个焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过圆O 上任意一点P 作圆的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点，连接PO 并延长交圆O 于点Q ，求ABQ ∆面积的取值范围. 参考答案 一、选择、填空题1、【解答】解：直线l 的方程为y=x ﹣，代入y 2=2px ，整理得4x 2﹣12px +p 2=0，解得x=p ， ∴==3+2．故选C ．2、C3、4、B5、【解析】设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.6、B7、221129y x -= 8、 D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+u u u u r u u u u r u u u r，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF |=22442c a b -=，设P （x ，y ），则 c -x =2a ，于是有x=c-2a ， y 2=-4c （c -2 a ），过点2F 作x 轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2， 即-4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有 210e e --=, 所以15e += ,负值已经舍去. 故选D . 9、C 10、A11、【解析】依题意及三角函数定义,点(cos,sin )33B c c ππ⋅ ,即13(,)22B c c ，代入双曲线方程 22222234b c a c a b -=，又222c a b =+，得2423e =+ , e =31+,故选D另解，设左焦点为1F , 可题意及双曲线几何性质可得190F AF ∠=o,13AF c = 所以23123c e a c c===+-二、解答题1、【解答】解：（1）由题意a 2=b 2+16，+=1，解得b 2=20或b 2=﹣15（舍）， 由此得a 2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为=1．（2）由（1）知A（﹣6，0），F（4，0），又（，），则得=（，），=（﹣，）．所以=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而k PM=，所以PQ的斜率为﹣，因此，过P点引圆M的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），即x+y﹣9=0．令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以S扇形MPF==，因此，所求的图形面积是S=S△PQM ﹣S扇形MPF=．2、3、4、解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切. …………………………………1分所以127,1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ …………………………………2分则4||6||||2121=>=+F F PF PF . …………………………………3分 所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为15922=+y x . …………………………………4分（Ⅱ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222,1,95x my x y ì=+ïïïíï+=ïïî可得225920250m y my ++-=（）， 则1212222025,5959m y y y y m m +=-=-++. …………………………………5分所以MN =…………………………………6分=()22301.59m m +=+ …………………………………7分因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积. …………………8分 点O 到直线2:+=myx MN 的距离d =. ……………………………9分所以△QMN的面积221130(1)2259m S MN dm +=?创=+.…………………………………10分t =，则221m t =-(1)t ≥ ，()223030304545195t t S t t t t===+-++.设()()451f t t t t =+?，则()2224545t f t t t -¢=-=. 因为1t ³, 所以()22540.t f t t-¢=> 所以()45f t t t=+在[)1,+?上单调递增. 所以当1t =时, ()f t 取得最小值, 其值为9. …………………………………11分 所以△QMN 的面积的最大值为309. …………………………………12分 说明: △QMN 的面积21212S OF yy =?=.5、解:（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，因为1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C上，所以122a AF AF =+=， (2)分因此2221a b a c ==-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．．．．．．5分 （Ⅱ）椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()()223445,,,,,3N x y P x Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 的中点为()00,D x y ，由22212y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，得229280y ty t -+-=， ……………6分 所以1229t y y +=，且()2243680t t ∆=-->， 故12029y y ty +==且33t -<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由PM NQ =u u u u v u u u v 得),()35,(2424131y y x x y x x --=-- ．．．．．．．．．9分所以有24135y y y -=-，=-+=35214y y y 3592-t ．．．．．．．．．．．．10分(也可由PM NQ =u u u u v u u u v知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，也D 为线段PQ 的中点，所以405329y t y +==，可得42159t y -=)， 又33t -<<，所以4713y -<<-，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[]1,1-矛盾。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末)若=﹣,则sin （α+）的值为( )A ．B ．﹣C ．D ．﹣2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =，则关于函数为()y g x =的性质，下列说法不正确的是(）A ．g （x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π，0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一)）下列函数中，同时满足两个条件“①R x ∈∀,0)12()12(=-++x f x f ππ；②当36ππ<<-x 时，0)('>x f ”的一个函数是（ ）A ．)62sin()(π+=x x f B ．)32cos()(π+=x x f C ．)62sin()(π-=x x f D ．)62cos()(π-=x x f4、（广州市2017届高三12月模拟）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A)8π （B ）4π （C)38π（D)34π5、（惠州市2017届高三第三次调研）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ）(A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）26、（江门市2017届高三12月调研）已知函数f (x )=2sinxcosx +cos2x ,则下列说法正确的是A ．f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到g (x )=√2sin (2x +π4)的图象B ．若f (x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2=kπ，k ∈ZC ．f (x )的图象关于直线x =58π对称D ．f (x )的图象关于点(−38π，0)对称7、（茂名市2017届高三第一次综合测试）如图1，函数)2sin()(φ+=x A x f 2||,0(πφ<>A )的图象过点)3,0(，则)(x f 的图象的一个对称中心是( ）A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π8、（清远市清城区2017届高三上学期期末）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称9、（汕头市2017届高三上学期期末）函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位A ．向左平移6π B ．向左平移6π C 。

广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学理试题（扫描版）2014—2015学年度第一学期教学质量检查 高三理科数学（A 卷）参考答案 BBDA DBAB9. 24 10. ；623 11. 1- 12.26n n -+ 13. 7个 14.)43,2(π 15. 030（或)6π16.解:(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ…………………………………2分)2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即0)3sin(=-ϕπ …………………………………3分Zk k ∈=-∴,3πϕπ……………………………………4分Zk k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<< ……………………………………5分3,0πϕ==∴k ……………………………………6分所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f ……………………………………7分由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分 22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈ 3,4πβπα==∴ ……………………………………10分βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分另解：23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分 22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈ 21cos ,22sin ==∴βα ……………………………………10分βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin 4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分17.解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． …………………2分（2）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人， 成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，则3931128()55C P A C ==．所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． ………6分（3）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ………………7分21293113(1)55C C P X C ===；122931124(2)55C C P X C ===；28(3)()55P X P A ===． ……………10分所以X 的分布列为324282712355555511EX =⨯+⨯+⨯=． …………………12分18.解（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= (3)分∴PC ABC ⊥平面，………………4分 又∵PC PAC ⊂平面 ………………5分 ∴PAC ABC ⊥平面平面 ………………6分（2）解法一：在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)B 设()()000,0,0P z z >， 则()()000330,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos 60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即2012z z =1z = ………………8分 ∴3331,,0,,,12222AB AM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MAB 的一个法向量为111(,,)n x yz =， 则111115022302x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，取1x 33(3,,)55n = …………………………10分平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = ……………………………………………………11分设m 与n 所成的角为θ，则93cos m n m nθ⋅==⋅ (13)分显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角余弦值为31 …………………………14分解法二：在平面PCBM 内，过点M 作BC MH ⊥于H ， 则显然有PCMH //故ABC MH 面⊥ ………………………………7分过点M 作AB MG ⊥于G ，连接MG ，则MG 在平面ABC 内的摄影为HG 由三垂线定理的逆定理知AB HG ⊥MGH ∠∴为二面角M AB C --的平面角 …………………………10分因为直线AM 与直线PC 所成的角为︒60，即︒=∠60AMH 在ACH ∆中，AC=CH=1，︒=∠120ACH ，则AH=3AHM Rt ∆中，23sin ==∠AM AH AMH ，故1,2==MG AM …………11分在ACB ∆中，由余弦定理7cos 2222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB7=∴AB ……………………………………12分1421120sin 21=︒⋅⋅⋅=∴AB BC AC HG31931692111421cos =+==∠∴MG HG MGH………………………………13分故二面角M AC B --的平面角余弦值为 …………………………14分H G19．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则222c aa b c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴222234,3a c c b == (3)分∴椭圆C 的方程为：22223314x y c c +=代入1)2P得：c = …………………………5分∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………6分（2）设[](,),2,2Q x y x ∈-， 则222y x QO+=， ……………7分又：(1,0)A -， 222(1)QA x y =++ ……………8分2222222222221(1)1221QA x y x x y xx y x y x y QOλ-++-++====++++ ……………9分点),(y x P 满足2214x y +=，∴2214x y =-， …………10分 22281133414x xx x λ=+=+++ …………11分当0≤x 时，1≤λ …………12分当0>x 时，(0,2]x ∈，288114343x x x x λ=+=+++…………13分因为43x x +≥=13λ≤+，当且仅当3x =时， λ取得最大值1．…………14分（说明：在求最大值部分若用导数求单调区间后再说明最值的，参考上述步骤给分） 20．解（1）：()()12323123 42=2n n a a a a log log log n log n +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++……2分要123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，需要()()22log n k k Z +=∈ ∴22k n =- ……3分由于n N +∈， ∴2k ≥，即21222b =-=，32226b =-=，…，122m m b +=-根据题意，2015<m b ，得2015221<-+m ∴201721<+m ，则9m ≤…………4分∴区间)2015,1(内的所有“穿越数”的和为： ()2310922229421182026+++-⨯=⨯--= …………………………7分证明（2）：341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---………8分当1m =时，111526b =<成立；当2m =时，121111252636b b +=+=<成立；…………………………10分当2m ≥时，由1111111122422322232m m m m m +---==≤-⋅-⋅+-⋅，…………………………12分∴21111231111*********1232323223262m m m m b b b b ---⎛⎫++++≤++++=+-=- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭…………………………13分又112m -> ∴1211156m b b b +++<…………………………14分21.解: 由题有，22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩ …………………2分(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A处的切线与点B 处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-. …………………3分当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+.因为120x x<<,所以()()1222221x x ++=-, …………………4分即：121244()5x x x x =-+-21x x -===6分当122x x +=-时，1234x x =，此时1231,22x x =-=-，21x x -取得最小值1. ………8分(3)当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<. ………9分当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-. ………10分 两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② ………11分由①及120x x <<知,110x -<<.由①②得,()2211111ln 1ln22122a x x x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, ………12分则()1111201h x x x '=-<+.所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln 21h x h >=--,所以ln 21a >--. ………13分 又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ ……14分。

广东省东莞市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y ＝2x2}，则A×B等于（）A . (2，＋∞)B . [0,1]∪[2，＋∞)C . [0,1)∪(2，＋∞)D . [0,1]∪(2，＋∞)2. （2分）若复数满足，则的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·新乡期末) 向量 =（cosx， +sinx）在向量 =（1，1）方向上的投影的最大值为（）A . 1B . ﹣1C . 1+D . 24. （2分） (2016高二上·遵义期中) 若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）A . 4B .C . 3D . 4 或5. （2分）(2014·湖南理) 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A . [﹣6，﹣2]B . [﹣5，﹣1]C . [﹣4，5]D . [﹣3，6]6. （2分）(2016·大连模拟) 在等比数列{an}中，若有an+an+1=3•（）n ，则5=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·大连模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣ay=0，曲线C的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .8. （2分）若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形9. （2分） (2018高三下·滨海模拟) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2016高二下·大庆期末) 设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A . a＜﹣1B . a＞﹣1C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________ 种．12. （1分）设a=（）x ， b=（）x﹣1 ， c=x，若x＞1，则a，b，c的大小关系为________13. （1分）若（1+x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+…+xn（n∈N*），且a1：a3=1：2，则n=________．14. （1分） (2016高二下·浦东期末) 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．15. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．三、解答题 (共6题；共45分)16. （5分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的取值范围．17. （5分）星城投公司到当地“美丽中国”旅行社统计了100名来到该市旅游的旅客的去处，发现游览科技馆，博物馆、海底世界三个景点的人数依次为40，50，60人，且客人是否游览哪个景点互不影响，如果用频率作为概率，Y表示旅客离开该市时游览的景点数和没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求Y的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2﹣3Yx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，试求事件A的概率．18. （10分）(2020·湖南模拟) 已知数列满足： .（1）求数列的通项公式；（2）求证： .19. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=2，CD=CB=CP=1．点P在底面上的射影为线段BD的中点M．（Ⅰ）若E为棱PB的中点，求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．20. （10分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且，．（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且，求直线l的斜率k 的取值范围．21. （10分）(2017·高台模拟) 已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的，都存在x0∈（0，1]使得不等式成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共45分)16-1、17-1、18-1、18-2、19、答案：略20、答案：略21-1、21-2、。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编极坐标与参数方程1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知直线l ：（t 为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（x ，y ），求x +y 的取值范围．2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，射线6:πθ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求AF AE ⋅的取值范围 4、（广州市2017届高三12月模拟）以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin ,(1cos x t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数,0)ϕπ<<, 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.(Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;（II ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点, 当ϕ变化时, 求AB 的最小值.5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．6、（珠海市2017届高三上学期期末）已知直线（ t 为参数），曲线为参数）．(1) 当r ＝1时，求C 1 与C 2的交点坐标；(2) 点P 为曲线 C 2上一动点，当r P 到直线C 1距离最大时点P 的坐标．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩学科网（t为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,,x y α⎧=⎨=⎩(α为参数). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40.C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线21C C ，的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求AB .9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩学科网（其中α为参数）， 曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .10、（汕头市2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.11、（韶关市2017届高三1月调研）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=.(Ⅰ)将直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q 的坐标.12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值. 参考答案1、【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x +5=0即（x ﹣3）2+y 2=4曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆． 直线l 的方程为：xsinα﹣ycosα+sinα=0… ∵直线l 与曲线C 相切∴即…∵α∈[0，π）∴α=…（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ 则 x +y=3+2cosθ+2sinθ=…（9分） ∴x +y 的取值范围是．…（10分）2、(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线C 的普通方程为()()51222=-+-y x …………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+=即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==θθρπθsin 2cos 46得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB . 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分解法二：：在平面直角坐标系中，C ：()()51222=-+-y x x y l 331=：，x y l 32=： ∴由()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=5123322y x x y得A 学科网 …………6分 ∴132+=OA …………7分 同理⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2332,232B …………8分∴132+=OA ，32+=OB …………9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分 3、4、解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分设A 、B 两点对应的参数分别为12,t t , 则122cos sin t t ϕϕ+=4, 122sin t t ϕ=-4, …………………………………………7分所以12AB t t =-==2sin ϕ=4. ……9分当2πϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分5、解:（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+= ……4分（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=． ……………5分设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ……………6分∴12AB t t =-== ……………8分∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π．……………10分6、7、解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ． 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分8、解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ ………………1分即曲线1C 的普通方程为221204x y+=…………………………………………………2分222,c o s ,s i n,x y x y ρρθρθ=+== 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= (3)分即1)1()2(:222=-++y x C . ………………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα==…………………………………………6分所以直线l 的参数方程为： 为参数）t t y t x (22224⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ……………………………………8分设A,B 对应的参数分别为21,t t 则 所以4,232121==+t t t t . ………………………9分所以12AB t t=-=== (10)分解法二：（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C左焦点为（4-，0）………………………………………………………5分直线l的斜率为tan14kπ==, ………………………………………………………6分直线l的普通方程为4y x=+. 即40x y-+=…………………………………7分圆2C的圆心坐标为：（-2，1）. ……………………………………………………8分圆心2C到直线l的距离2d==……………………………9分故AB===…………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一. …………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C左焦点为（4-，0）…………………………………………5分直线l的斜率为tan14kπ==, ……………………………………………6分直线l的普通方程为4y x=+…………………………………………………7分2122212423560(2)(1)121y x x xx xx y y y=+⎧⎧⎧=-=-⇒++=⇒⎨⎨⎨++-===⎩⎩⎩或，…………9分AB=｜｜………………………………………10分9、解：（Ⅰ）由2xyαα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2xyαα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C的普通方程为()2227x y+-=.把cosxρθ=，sinyρθ=，代入()2211x y-+=，得()()22cos1sin1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C的极坐标方程为2cosρθ=.（Ⅱ）依题意可设1266A Bππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.因为曲线1C的极坐标方程为24sin30ρρθ--=，将()06πθρ=>代入曲线1C的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=.所以123AB ρρ=-=10、解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 11、解（Ⅰ）由cos()4πρθ-=，得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 化简得，cos sin 4ρθρθ+=， ………………………………………1分 由 cos x ρθ=，sin y ρθ=∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=. ………………………………………3分 (Ⅱ)由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q的坐标为),sin αα……………4分点Q 到直线l的距离为d =………………………………5分=. …………………………7分当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即526k αππ=-max d ==……………………9分11此时，551cos cos()sin()6262απαπ=-=-=-=- ∴ 点Q 31(,)22--. ………………10分 12、解：（Ⅰ）1C 的普通方程是()2224x y ++= ， （2分）1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， （4分） 2C 的普通方程40x y +-=. （6分）（Ⅱ）方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. （7分）圆心到直线2C2=>，直线和圆相离. （8分） 所以AB的最小值为2. （10分） 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线， （7分） 所以AB 的最小值即点A 到直线的距离d的最小值，d ==， （9分）2=. （10分）。

2020届广东省东莞市2017级高三上学期期末调研考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->,则集合A B =（ ）A. {2,3}B. {1,1}-C. {1,2,3}D. ∅【答案】A 【解析】解一元二次不等式求得集合A ,解一元一次不等式求得集合B ,由此求得A B【详解】由()()223310x x x x --=-+≤,解得13x -≤≤,所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.,所以{2,3}A B =. 故选：A 2.己知()2,m in i m n R i-=+∈,其中i 为虚数单位,则m n +=（ ） A. 1- B. 1C. 3D. 3-【答案】D 【解析】整理等式为21m i ni -=-,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得m n +【详解】由题,21m i ni -=-,所以12m n =-⎧⎨=-⎩,则123m n +=--=-,故选：D3.已知向量a ,b 满足1a =,27a b +=,且a 与b 的夹角为60︒,则b =（ ）A. 1B. 3【答案】A 【解析】对2a b +作平方处理,整理后即可求得b【详解】由题,2222244441cos 607a b a a b b b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=, 解得1b =, 故选：A4.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,6353a a a +-=,则7S =（ ） A. 42 B. 21 C. 7 D. 3【答案】B 【解析】利用等差数列的性质求出4a 的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值.【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=,()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生）,则下列结论中不一定正确的是（ ）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10% 【答案】B【解析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A 正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的56%39.6%22.176%41%⨯=<,故B 错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的56%12.3% 6.888%3%⨯=>,故C 正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%⨯=<,故D 正确, 故选：B6.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因为()()()33311211x x xe f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()2xf x =,那么()2log 3f 的值为（ ）A. 13B. -3C. 3D. 13-【答案】D 【解析】利用奇函数的性质可得()221log 3log 3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入解析式求解即可【详解】由题,2log 30>, 因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()21log 32211log 3log 233f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,故选：D8.如图,我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面两颗叫上珠,下面5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为（ ）A .57B.47C. 27D.17【答案】A 【解析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则3537251177C P C =-=-=,故选：A9.已知函数()2sin(2)6f x x π=+,将()f x 的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度,得到的图象关于直线6x π=对称,则θ的最小值为（ ） A. 6π B. 3πC.2π D. π【答案】C【解析】由条件利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()f x 平移后的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】解：将函数()2sin(2)6f x x π=+图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度得到函数()2sin 2sin 2266y x x ππθθ⎤⎛⎫⎡=-+=-+ ⎪⎣⎥⎦⎝⎭的图象, 令6x π=,得sin 2136y ππθ⎛⎫=-+=± ⎪⎝⎭,2,22k k Z ππθπ∴-=+∈,,()2kk Z θπ∴=-∈,0θ>则θ的最小值为2π, 故选：C.10.设α是给定的平面,A B ，是不在α内的任意两点．有下列四个命题： ①在α内存在直线与直线AB 异面；②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直；④存在过直线AB 的平面与α平行． 其中,一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③C. ①④D. ③④【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项 【详解】由题,对于②,当直线//AB 平面α时,②不成立； 对于④,当直线AB ⊥平面α时,④不成立； 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立, 故选：B11.已知圆O 的半径是,点P 是圆O 内部一点（不包括边界）,点A 是圆O 圆周上一点,且2OA OP ⋅=,则()2OA OP +的最小值为（ ） A. 232B. 12C. 252D. 13【答案】C 【解析】由2OA OP ⋅=可得2OP =,则当cos 1POA ∠=时, min OP =,再根据()2222212OA OP OA OP OA OP OP +=++⋅=+,则将min2OP=代入求解即可 【详解】由题,因为cos ,22cos 2OA OP OA OP OA OP OP POA ⋅=⋅⋅=∠=, 所以212cos OP POA=∠,则当cos 1POA ∠=,即0POA ∠=时,min2OP =, 因为()()2222222222212OA OPOA OP OA OP OP OP +=++⋅=++⨯=+,所以当OP 取得最小值时,()22min251222OA OP ⎛+=+= ⎝⎭, 故选：C12.已知球O 是正四面体A BCD -的外接球,2BC =,点E 在线段BD 上,且3BD BE =,过点E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的最小值是（ ）A. 89πB.1118πC.512π D.49π 【答案】A 【解析】由题可得,当OE ⊥截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为a ,先求得正四面体的外接球半径,再求得OE ,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积 【详解】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R a =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即222211112372d a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==,所以289r =, 所以截面面积为289S r ππ==,故选：A二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2；如此循环,最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为6,则输出i 的值为_______．【答案】8 【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出i ,从而到结论 【详解】当6n =时,是偶数,则632n ==,011i =+=； 当3n =时,不是偶数,则33110n =⨯+=,112i =+=； 当10n =时,是偶数,则1052n ==,213i =+=； 当5n =时,不是偶数,则35116n =⨯+=,314i =+=； 当16n =时,是偶数,则1682n ==,415i =+=； 当8n =时,是偶数,则842n ==,516i =+=； 当4n =时,是偶数,则422n ==,617i =+=；当2n =时,是偶数,则212n ==,718i =+=故答案为：814.已知2cos(2)65πα+=-,则sin(2)3πα-=___________【答案】25【解析】利用sin(2)sin(2)362πππαα-=+-转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：sin(2)sin(2)cos(2)366522ππππααα-=+-=-+=,故答案为：25.15.若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13,则展开式中各项系数和为______（用数字作答）． 【答案】64 【解析】先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：6416.已知函数()111211x x e e x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数）,则不等式()()10f x f x +-<的解集为_____．【答案】72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【解析】先分别求得()f x -与()1f x -的分段函数形式,再讨论2x ≤与2x >的情况,根据函数单调性求解即可【详解】由题,欲解()()10f x f x +-<,即()()1f x f x -<-,()22,2131,2x x e e x f x x x --⎧-≤⎪-=⎨-->⎪⎩,()111211x xf e x x e x x --⎧-≤⎪⎨--+>⎩+=⎪-，，,当2x ≤时,()1f x -单调递增,()()max 120f x f -==,()f x -在(],1-∞单调递减,在(]1,2上单调递减,则()()min 10f x f -==⎡⎤⎣⎦, 所以满足()()1f x f x -<-,当2x >时,()f x -单调递减,()1f x -在()2,3上递减,在()3,+∞上递增, 则另()()1f x f x -=-,即3121x x --=--+,解得72x =, 所以当722x时,()()1f x f x ->-,综上,72x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，,故答案为：72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答． （一）必考题：本大题共5小题,每小题12分,共60分．17.已知数列{}n a 中,11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）12334n n n n S +---=【解析】（1）根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明； （2）由（1）1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可【详解】（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-,∴111133322223222n n n n n n n n a a n a nn n n a a a +++++-++===+++, 11131222a +=+=,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-, 123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244nnn n n n --++=-=--12334n n n +---=18.如图,在ABC 中,内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小； （2）若6ABC π∠=,AC 边上的中线BD 的长为7,求ABC 的面积．【答案】（1）23π；（2）3【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得2sin cos sin 2sin A C C B -=,则()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,进而求得角A 即可； （2）由（1）可得6C π=,则AC AB =,设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,可得7x =进而求得ABC 的面积即可 【详解】（1）因为2cos 2a C c b -=,根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=, 即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+, 整理得sin 2sin cos C C A -=, 因为sin 0C ≠,所以1cos 2A =-, 又因为()0,A π∈,则23A π= （2）由（1）知23A π=,又因为6ABC π∠=,所以6C π=,所以AC AB =,因为D 是AC 中点, 设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,即()22227222cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅即2749x =,解得7x =, 故ABC 的面积2112sin 4sin 73223S AB AC A x π=⋅⋅=⋅⋅= 19.如图,在四棱锥S ABCD -中,已知四边形ABCD 是边长为2的正方形,点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ,点P 在棱SD 上,且SAC 的面积为1．（1）若点P 是SD 的中点,求证：平面SCD ⊥平面PAC ； （2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --5？若存在,求出点P 的位置；若不存在,说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 符合题意,点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点 【解析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明SD ⊥平面PAC ,进而证明平面SCD ⊥平面PAC ； （2）分别以,,OB OC OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,设SP SD λ=,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到λ即可【详解】（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ,∴SO ⊥平面ABCD , ∵四边形ABCD 2的正方形,∴2AC =,∵三角形SAC 的面积为1,∴1212SO ⨯⨯=,即1SO =,∴2SC =∵2CD =,点P 是SD 的中点, ∴CP SD ⊥,同理可得AP SD ⊥, 又因为AP CP P =,,AP CP ⊂平面PAC , ∴SD ⊥平面PAC , ∵SD ⊂平面SCD , ∴平面SCD ⊥平面PAC （2）存在,如图,连接OB ,易得,,OB OC OS 两两互相垂直,分别以,,OB OC OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,则()()()()0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A C S D --,假设存在点P 使得二面角P AC D --的余弦值为5, 不妨设SP SD λ=,∵点P 在棱SD 上,∴ 01λ≤≤, 又()1,0,1SD =--, ∴(),0,SP λλ=--, ∴(),0,1P λλ--,(),1,1AP λλ=-∴-,()0,2,0AC =,设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =,则00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎨=⎩,令z λ=,可得1x λ=-,∴平面PAC的一个法向量为()1,0,n λλ=-,又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =,二面角P AC D --5, ∴()225cos ,1OS n OS n OS nλλλ⋅===⋅-+,即23210λλ+-=, 解得13λ=或1-（舍）所以存在点P 符合题意,点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便,越来越多的市民选择乘坐轻轨出行,很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站,将车停放在轻轨站停车场,然后进站乘轻轨出行,这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题,决定对机动车停车施行收费制度,收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时,每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时,每增加一小时收费增加4元,超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时,按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况,现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次）,得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研,记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：完成上述列联表,并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用,求X的概率分布列及期望()E X；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车,ξ表示3辆车中停车费用大于()E X的车辆数,求()2Pξ≥的概率．参考公式：()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析,没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i ）分布列见解析,()1465E X =．；（ii ）()812125P ξ≥= 【解析】（1）先根据频数分布表填写22⨯列联表,再将数据代入2K 公式求解即可；（2）（i ）X 的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii ）先求得()314.655P X >=,则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,进而求得概率即可 【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为1001002000.41000++=,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, 则22⨯列联表如下：根据上表数据代入公式可得()221002030104050079427063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 （2）（i ）由题意知：X 的可取值为5,8,11,15,19,30,则()()()()11115,8,11,15,101055P X P X P X P X ======== ()()7119,302020P X P X ====所以X 的分布列为：∴()111171581115193014.651010552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （ii ）由题意得()171314.65520205P X >=++=,所以3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=21.已知函数()()20xf x e mx x =+∈+∞，，（其中e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的单调性； （2）若()222xa m g x x e =-=，,对于任意()01a ∈，,是否存在与a 有关的正常数0x ,使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立？如果存在,求出一个符合条件的0x ；否则说明理由． 【答案】（1）当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；（2）存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<< 【解析】（1）求导可得()2'2xf x e m =+,分别讨论0m ≥,20m -≤<,2m <-时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫->⎪⎝⎭,即0020012x x a e x x e -->,则02001102x x a x e ++-<,设()2112x a x t x x e+=+-,满足()min 0t x <即可,利用导数可得()()()2min ln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-,再设()()2ln ln 12aa a a a ϕ=+-+,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）()2'2xf x e m =+,①当0m ≥时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在0,上的单调递增；②当20m -≤<时,()0x ∈+∞，,()'0f x >,所以()f x 在0,上的单调递增；③当2m <-时,令()'0f x =,得1ln 022m x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭, 当10,ln 22m x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x <,()f x 单调递减；当1ln ,22m x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增；综上所述：当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增（2）存在,当2m =-时,()22xf x e x =-,设存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即0020012xx a e x x e -->200112x x a x e +∴->, ()0200110*2x x ax e +∴+-< 需求一个0x ,使()*成立,只要求出()2112x a x t x x e+=+-的最小值,满足()min 0t x <, ∵()1'x t x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴()t x 在()0,ln a -上单调递减,在()ln a -+∞，上单调递增,∴()()()2min ln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-, 只需证明()2ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可,令()()2ln ln 12a a a a a ϕ=+-+,()21'ln 02a a φ∴=>,∴()a ϕ在()0,1a ∈单调递增,∴()()()211ln 1ln11102a ϕϕ<=+⨯-+-=,所以()min 0t x <,故存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<使()*成立（二）选考题：共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号．22.在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为42sin πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 在C 上,点Q 在l 上,求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．【答案】（1）圆C的参数方程：23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,直线l ：30x y ++=；（2）min PQ =,此时点P 的坐标为()01， 【解析】（1）整理圆C 的方程为()()22238x y -+-=,即可写出参数方程,利用cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩将直线方程写为直角坐标方程即可；（2）法一：利用参数方程设曲线C上的点()2,3P αα++,利用点到直线距离公式可得24d πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则根据三角函数的性质求处最值,并将α代回求得坐标；法二：min PQ 为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得PQ 所在直线为1y x =+,联立直线与圆的方程即可求得交点P 的坐标【详解】（1）圆C 的方程可化为()()22238x y -+-=,圆心为()2,3C ,半径为∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）,直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=-,∵cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩,∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++= （2）法一：设曲线C上的点()2,3P αα++, 点P 到直线l ：30x y ++=的距离：24d πα⎛⎫===++ ⎪⎝⎭,当54πα=时,)min 12PQ =-+=此时点P的坐标为0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1法二：曲线C 是以()2,3C 为圆心,半径为, 圆心()2,3C 到直线:30l x y ++=的距离d ==所以min PQ ==此时直线PQ 经过圆心()2,3C ,且与直线:30l x y ++=垂直,1PQ l k k ⋅=-,所以1PQ k =,PQ 所在直线方程为32y x -=-,即1y x =+,联立直线和圆的方程2214650y x x y x y =+⎧⎨+--+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩, 当PQ 取得最小值时,点P 的坐标为0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1 23.已知函数()12f x x x =+--． （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ,()0s a b c =>，，,3+≥． 【答案】（1）(]1-∞，；（2）证明见解析 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】（1）由题,()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,①当1x ≤-时,31-≤恒成立,所以1x ≤-； ②当12x -<<时,211x -≤即1x ≤,所以11x -<≤； ③当2x ≥时,31≤显然不成立,所以不合题意： 综上所述,不等式的解集为(],1-∞（2）由（1）知()max 123f x x x s =+-+==,3=,6++≥=, 当且仅当1a b c ===时取等,3+≥。

2016-2017学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）函数f（x）＝（x+1）2的导函数为（）A．f′（x）＝x+1B．f′（x）＝2x+1C．f′（x）＝x+2D．f′（x）＝2x+2 3．（5分）已知随机变量X服从正态分布即X～N（μ，σ2），且P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，若随机变量X～N（5，1），则P（X≥6）＝（）A．0.3413B．0.3174C．0.1587D．0.15864．（5分）若离散型随机变量ξ的取值分别为m，n，且P（ξ＝m）＝n，P（ξ＝n）＝m，Eξ＝，则m2+n2的值为（）A．B．C．D．5．（5分）f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．6．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．36D．727．（5分）为直观判断两个分类变量X和Y之间是否有关系，若它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，通过抽样得到频数表为：则下列哪两个比值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强（）A．与B．与C．与D．与8．（5分）用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12＝，当n＝k+1时，等式左端在n＝k的基础上加上（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．（k+1）[2（k+1）2+1]9．（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）由曲线y＝与直线y＝0，y＝x﹣2围成封闭图形的面积为（）A．B．4C．D．611．（5分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝1﹣（n∈N*），则使a1+a2+…+a k＜100成立的最大正整数k的值为（）A．198B．199C．200D．20112．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣b，若f（x）≤0对任意x＞0恒成立，则a+b的最小值为（）A．B．0C．1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝1处切线的倾斜角为．14．（5分）若（3﹣x）n的展开式中所有项的系数和为32，则含x3项的系数是（用数字作答）．15．（5分）若随机变量X～B（n，P），且EX＝，DX＝，则当P（X＝1）＝（用数字作答）．16．（5分）已知y＝f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞f′（x），则函数g（x）＝（x﹣1）f（x）+在（1，+∞）上的零点个数为．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程17．（10分）已知复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i为虚数单位）．（Ⅰ）若z1•z2是纯虚数，求实数a的值；（Ⅱ）若复数z1•z2在复平面上对应的点在第二象限，且|z1|≤4，求实数a的取值范围．18．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程＝x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式：＝，＝﹣．19．（12分）甲、乙两人想参加《中国诗歌大会》比赛，筹办方要从10首诗词中分别抽出3首让甲、乙背诵，规定至少背出其中2首才算合格；在这10首诗词中，甲只能背出其中的7首，乙只能背出其中的8首．（Ⅰ）求抽到甲能背诵的诗词的数量ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人能合格的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x，g（x）＝2x3．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：∀x∈R，f（x）≥g（x）．21．（12分）已知函数f（x）＝x3+mx2+nx（m，n∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极大值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f′（1）＝0，且过点P（0，1）有且只有两条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx（a∈R），F（x）＝bx（b∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝2，g（x）＝f（x）+F（x），若x1，x2（0＜x1＜x2）是g（x）的两个零点，且x0＝，试问曲线y＝g（x）在点x0处的切线能否与x轴平行？请说明理由．2016-2017学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：A．2．【解答】解：∵f（x）＝（x+1）2＝x2+2x+1∴f′（x）＝2x+2，故选：D．3．【解答】解：由正态分布的性质可得，正态分布的图象关于直线x＝5对称，则．故选：C．4．【解答】解：离散型随机变量ξ的取值分别为m，n，且P（ξ＝m）＝n，P（ξ＝n）＝m，Eξ＝，可得m+n＝1，2mn＝，则m2+n2＝1﹣2mn＝1﹣＝．故选：C．5．【解答】解：由图可以看出函数y＝f′（x）的图象是一个二次函数的图象，在a与b之间，导函数的值是先增大后减小故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小因此故排除答案A、B、C，故选：D．6．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C42＝6种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3个班级，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分法；故选：C．7．【解答】解：等高条形图中，相同变量在不同的抽样结果中所占的比例差值越大，则两个变量之间的相关关系越强，结合频率分布表可得，可判断两个分类变量之间的关系强的比值为与．故选：A．8．【解答】解：当n＝k时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12，①当n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12，②，②﹣①可得（k+1）2+k2故选：B．9．【解答】解：五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，硬币正面朝上，则这个人站起来，硬币正面朝下，则这个人继续坐着．基本事件总数n＝25＝32，如图，设五个人为A，B，C，D，E，所有人都坐着，共有1种，只有一个人站着，共有5种，只有两个人站着，共有AC，AD，BD，BE，CE等5种，如果有三个以人站着，则不符合题意，∴没有相邻的两个人站起来的概率为p＝＝．故选：B．10．【解答】解：由题意可得：函数与函数y＝x﹣2的交点坐标为（4，2），如图所示，结合定积分的几何意义可得封闭图形的面积为：，则所求解封闭图形的面积为：．故选：A．11．【解答】解：根据题意可知：a1＝，a2＝1﹣＝﹣1，a3＝1﹣＝2，a4＝1﹣＝＝a1，∴数列{a n}是一个每三次循环的数列，周期为3，由a1+a2+a3＝，a198＝2，a199＝，a200＝﹣1，a201＝2，当k＝198时，a1+a2+…+a198＝66×＝99，当k＝199时，a1+a2+…+a209＝66×+a199＝＜100，当k＝200时，a1+a2+…+a200＝66×+a199+a200＝99+﹣1＝＜100，当k＝201时，a1+a2+…+a201＝＞100，使a1+a2+…+a k＜100成立的最大正整数k的值为200，故选：C．12．【解答】解：f（x）≤0对任意x＞0恒成立，即lnx﹣ax﹣b≤0对任意x＞0恒成立，也就是lnx≤ax+b对任意x＞0恒成立，当a≤0时显然不满足题意；当a＞0时，要使lnx≤ax+b对任意x＞0恒成立，需要直线y＝ax+b与曲线y＝lnx相切，设切点为（x0，lnx0），则a＝（lnx0）′＝，lnx0＝ax0+b，则b＝lnx0﹣1，此时a+b＝（x0＞0），设g（x）＝，g′（x）＝，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴g（x）min＝g（1）＝0，即a+b的最小值为0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．【解答】解：∵f（x）＝lnx+1，f′（x）＝ln1+1＝1；故曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的倾斜角为：．故答案为：．14．【解答】解：取x＝1，得2n＝32，∴n＝5．由，可知含x3项为第四项，其系数为．故答案为：﹣90．15．【解答】解：∵随机变量X～B（n，p），且EX＝，DX＝，∴np＝，np（1﹣p）＝，解得：n＝5，p＝，∴P（X＝1）＝C51（）1（）4＝．故答案为：．16．【解答】解：由g（x）＝（x﹣1）f（x）+＝0得，（x﹣1）f（x）＝﹣，（x＞1），设h（x）＝（x﹣1）f（x），则h′（x）＝f（x）+（x﹣1）f′（x），∵xf′（x）+f（x）＞f′（x），∴（x﹣1）f′（x）+f（x）＞0，∴h′（x）＞0，即函数在x＞1时为增函数，∵h（1）＝0•f（1）＝0，∴当x＞1时，h（x）＞h（1）＝，故h（x）＝﹣无解，故函数g（x）＝（x﹣1）f（x）+（x＞1）的零点个数为0个，故答案为：0．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程17．【解答】解：（Ⅰ）依据z1•z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝（3a+8）+（﹣4a+6）i，∵z1•z2是纯虚数，∴，解得a＝﹣；（Ⅱ）由|z1|≤4，得a2+4≤16，解得，∵z1•z2在复平面上对应的点在第二象限，可得，解得a．综上，实数a的取值范围为{a|}．18．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．19．【解答】解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3．其概率分别如下：P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝．ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望E（ξ）＝0×＝；（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P（A）＝，P（B）＝，∵事件A、B相互独立，故甲、乙两人考试均不合格的概率为P（）＝P（）•P（）＝（）•（）＝．∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1﹣P（）＝1﹣．∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．20．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x（x2+2x），令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，故f（x）在（﹣2，0）递减，在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）递增；（Ⅱ）显然x≤0时有f（x）≥g（x），只需证x＞0时f（x）≥g（x），由于x2≥0，只需证明x＞0时，e x≥2x，令h（x）＝e x﹣2x，x∈（0，+∞），∵h′（x）＝e x﹣2，∴h′（x）＝0，解得：x＝ln2，∴x∈（0，ln2），h′（x）＜0，x∈（ln2，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴h（x）min＝h（ln2）＝2﹣2ln2＞0，∴x∈（0，+∞），h（x）＞0恒成立，所以当x＞0时，f（x）＞g（x），综上∀x∈R，f（x）≥g（x）．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+2mx+n，（x∈R）由f′（1）＝0得3+2m+n＝0△＝4m2﹣12n＞0∴（m+3）2＞0，得到m≠3…①…（3分）∵f′（x）＝3x2+2mx﹣（2m+3）＝（x﹣1）（3x+2m+3）∴f′（x）＝0，得x＝1，或x＝﹣（1+）由﹣（1+）＞1，解得m＜﹣3…②…（5分）由①②得m＜﹣3…（6分）（Ⅱ）由f′（1）＝0得3+2m+n＝0所以f′（x）＝3x2+2mx﹣（2m+3）因为过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且仅有两条，令切点是P（x0，y0），则切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）…（7分）由切线过点（0，1），所以有1﹣y0＝f′（x0）（﹣x0）∴1﹣x03﹣mx02+（3+2m）x0＝[3x02+2mx0﹣（3+2m）]（﹣x0）整理得，∴关于x0的方程，有两个不等实根令h（x）＝2x3+mx2+1，h′（x）＝6x2+2mx令h′（x）＝0，得x＝0，或x＝﹣…（9分）∵h（0）＝1，∴即m（﹣）2+23+1＝0解得m＝﹣3，即为所求…（12分）22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）在（x0，g（x0））的切线平行于x轴，其中g（x）＝﹣[2lnx﹣x2﹣bx]，g′（x）＝﹣+2x+b，结合题意，有2lnx1﹣x12﹣bx1＝0①，2lnx2﹣x22﹣bx2＝0②，x1+x2＝2x0③，﹣2x0﹣b＝0④①﹣②得2ln﹣（x1+x2）（x1﹣x2）＝b（x1﹣x2），所以b＝﹣2x0，由④得b＝﹣2x0，所以ln＝＝⑤设u＝∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣＝0（u∈（0，1）），设y＝lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′＝﹣＝＞0，所以函数y＝lnu﹣在（0，1）上单调递增，因此，y＜y|u＝1＝0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾所以函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．。

广东省东莞市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·莱芜模拟) 设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x ，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A . [0，2]B . （1，3）C . [1，3）D . （1，4）2. （2分） (2017高三上·石景山期末) 由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A .B .C .D .3. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A . 6B . 24C . 120D . 7204. （2分） (2018高一下·佛山期中) 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·射洪期中) 直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2 ，则a的值为（）A . ﹣3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣26. （2分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A . 4B . 8C . 16D . 327. （2分）(2013·四川理) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·天水期末) 若动圆与圆（x+2）2+y2=4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A . y2﹣12x+12=0B . y2+12x﹣12=0C . y2+8x=0D . y2﹣8x=0二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高三上·天津期末) 是虚数单位，复数 ________．10. （1分）设n∊N+ ，则5Cn1+52Cn2+53Cn3+…+5nCnn除以7的余数为________．11. （1分）(2017·贵阳模拟) 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=acosB+bcosA，a=b=3，则△ABC的周长为________．12. （1分） (2016高二下·深圳期中) 以直角坐标系的原点为极点，x非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．13. （1分） (2017高二下·景德镇期末) 如图所示在6×6的方格中，有A，B两个格子，则从该方格表中随机抽取一个矩形，该矩形包含格子A但不包含格子B的概率为________．14. （1分）(2017·静安模拟) 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过________小时方可驾车．（精确到小时）三、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知函数f（x）=cosx+cos（x+），x∈R，（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（a）=，求sin2α的值．16. （5分）(2017·东北三省模拟) 某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]间频数2040805010[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性用户分值区间频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．17. （5分） (2017高二上·右玉期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18. （10分） (2015高二下·临漳期中) 已知函数f（x）=ax+ （a∈R）g（x）=lnx．（1）若对任意的实数a，函数f（x）与g（x）的图象在x=x0处的切线斜率总相等，求x0的值；（2）若a＞0，对任意x＞0，不等式f（x）﹣g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高二上·集宁期中) 已知椭圆C中心在原点，左焦点为F（﹣，0），右顶点为A（2，0），设点B（3，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P是椭圆C上的动点，求线段PB中点M的轨迹方程．20. （10分）(2020·达县模拟) 已知数列满足，且时，，，成等差数列．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

东莞市2016—2017 学年度第一学期教学质量检查高三数学(理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1.已知集合 A ＝｛x ｜ x 2 －x －2＞0}，B ＝{x |1≤x ≤3｝，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．[1,2) B. (1，3] C. ［1，2］ D. （2,3]2.若复数z 满足z （1+i ) ＝－2i （i 为虚数单位)，z 是z的共轭复数，则z ·z ＝（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D ．13。

已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =,则关于函数为()y g x =的性质,下列说法不正确的是（ ）A ．g (x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π,0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 4.设D 为△ABC 所在平面内一点,且3BC CD =，则5.下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩，算法框图中输入的ia 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ )A.m ＝38，n ＝12m B 。

＝26,n ＝12 C. m ＝12，n ＝12 D.m ＝24,n ＝106. 《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等,问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中,乙所得为（）A．43钱B．54钱C．65钱D．76钱7.已知函数，则函数y＝f （1－x) 的大致图象是( )8. 在投篮测试中,每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0。

6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为A. 0.352B. 0.432C. 0.36 D。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、(潮州市2017届高三上学期期末）若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示,则该几何体的体积等于（ ）A ．40cm 3B ．30cm 3C ．20cm 3D ．10cm 32、(东莞市2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．12 B. 1 C.32D 。

2 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为（ ） A ．6 B ．320 C ．7 D ．3224、（广州市2017届高三12月模拟）如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（A ） π25 (B ） π425（C) π29 （D) π4295、(惠州市2017届高三第三次调研）某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) （A)1 (B ）错误! (C ）错误!（D ）26、（江门市2017届高三12月调研)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图）是7、（揭阳市2017届高三上学期期末）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b（B ）b c ⊥(C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）一个几何体的三视图如图3所示， 其表面积为62+ππ,则该几何体的体积为（ ) A ．4π B ．2π C ．113π D ． 3π 图39、（清远市清城区2017届高三上学期期末)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A. 40 B。

30 C。

36 D.4210、（汕头市2017届高三上学期期末)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是．-的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥11、（韶关市2017届高三1月调研）四棱锥P ABCD-的侧面积等于4(12)P ABCD+,则该外接球的表面积是（A) 4π（B)12π（C）24π（D）36π12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为2 222 2正视图俯视图侧视图（A）8 3（B）4 3（C）82 3（D)42 313、（珠海市2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1 个单位）,其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．23πB．43πC．143πD．169π14、（潮州市2017届高三上学期期末）已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为．15、(东莞市2017届高三上学期期末)轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面积之比为___________。

东莞市2016届高三上学期期末调研测试数学（理）试题一、选择题（共12小题，60分） （1）已知i 是虚数单位，若2a i i +-是纯虚数，则1||22a ii++-＝ （A ）12（B ）22 （C ）1 （D ）2（2）已知全集U ＝R ，集合A ＝{}|lg 0x x <，B ＝{}2|230y y y --≤，则下图中阴影部分表示的区间的是（A ）（0,1） （B ）（1,3］ （C ）［1,3］ （D ）［－1,0］U ［1,3］（3）已知命题:p m R ∃∈，使得函数32()(1)2f x x m x =+--是奇函数，命题q ：向量1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则“1122x y x y =”是“a b r r P ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）()()p q ⌝∧⌝ （4）高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选拔出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（A ）864种 （B ）432种 （C ）288种 （D ）144种（5）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=对称，若离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为 （A ）1 （B ）3 （C ）23 （D ）4（6）已知一个几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（A ）103（B ）4 （C ）6 （D ）10 （7）已知随机变量2N 3ξδ-（，），且cos (3)P ϕξ=>（其中ϕ为锐角），若函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数()f x 的一条对称轴方程为 (A)12x π=(B)6x π=(C)3x π=(D)2x π=（8）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，||5,2015120AB aBC bCA c AB =++=u u u r u u u r u u u r u u u r r，2BP PA =u u u r u u u r，则CP AB u u u r u u u r g 的值为（A ）233 （B ）72- （C ）－233（D ）－8 （9）已知各项为正的数列{}n a 的前n 项的乘积为n T ，点（2,15)n T n n -在函数12log y x =的图象上，则数列{}2log n a 的前10项和为（A ）－140 （B ）100 （C ）124 （D ）156（10）执行如右图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（A ）n ＞6？ （B ）n ＞7？ （C ）n ＞8？ （D ）n ＞9？（11）已知直线l 过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点F 且与x 轴垂直，l 与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4,1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）6 （B ）4＋22 （C ）7 （D ）4＋23(12)对任意[1,1]x ∈-，不等式243||4x x a -≤+-≤恒成立，则实数a 的取值范围为 (A)22[,]33- (B)11[,]33- (C)2[0,]3(D)[0,1]第II 卷二、填空题（共20分）（13）已知直线y kx =与圆C ：222(4)x y r -+=相切，圆C 以x 轴为旋转轴旋转一周后，得到的几何体的表面积为S ＝16π，则k 的值为（14）已知α为第二象限角，P（t，4）这其终边上的一点，且5cos10tα=，则261tan()()4x xxα++的展开式中常数项等于（15）已知关于点（x，y）的不等式组1220450yx yx y≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D，则D内使得22z x y=+取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为（16）在平面内，已知四边形ABCD，CD⊥AD，∠CBD＝12π，AD＝5，AB＝7，且cos2∠ADB＋3cos∠ADB＝1，则BC的长为三、解答题（17）（本小题满分12分）已知各项为正的等比数列{}n a的前n项和为n S，430S=，过点P（2,lognn a）和Q（212,lognn a++）（*n N∈）的直线的一个方向向量为（－1，－1）。

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案2016年秋高三(上)期末测试卷理科数学一、选择题1.已知$a+2i$，其中$i$是虚数单位，则$ab=b+i$，其中$a$，$b$是实数。

(C)2.已知某品种的幼苗每株成活率为$p$，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为$p^2(1-p)$。

(D)3.已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{xy=2x,y\in A\}$，则$A\cap B=\{2\}$。

(A)4.命题$p$：甲的数学成绩不低于100分，命题$q$：乙的数学成绩低于100分，则$p\lor(\neg q)$表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分。

(D)5.在平面直角坐标系$xOy$中，不等式组$\begin{cases}-1\leq x\leq 3\\ x+y-1\geq x-y-1\end{cases}$表示的平面区域的面积为$12$。

(C)6.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣$120$人。

(D)7.执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值得集合为$\{1,3\}$。

(D)8.设曲线$x=2y-y^2$上的点到直线$x-y-2=0$的距离的最大值为$a$，最小值为$b$，则$a-b$的值为$2$。

(B)9.函数$y=\sin x-\frac{1}{2}$的图像大致是$\begin{cases}y=\sin x-\frac{1}{2},-\pi\leq x\leq \pi\\ y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。

(A)10.已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$2$，$D$为该圆上一点，且$AB+AC=AD$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为$4\sqrt{3}$。

(D)A）设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，x1+x22>2，x1<x2，则（）B）f(x1)=f(x2)C）f(x1)>f(x2)D）f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案：（C）改写后：设在定义在实数集上的函数f(x)的导数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，当x1+x22>2，x1f(x2)。

广东省东莞市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一上·保定期末) 已知集合 A={x|﹣1≤x＜3}，B={2＜x≤5}，则 A∩B=（ ）A . （2，3）B . [2，3]C . （﹣1，5）D . [﹣1，5]2. （2 分） (2019 高三上·佛山月考) 已知命题 （），命题,则命题 是命题 的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2 分） (2019·广西模拟) 如图是国家统计局今年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民 消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较 称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（ ）第 1 页 共 13 页A . 2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨B . 2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌C . 2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大D . 2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快4.（2 分）(2018 高一下·山西期中) 在中，点 是 的中点，点 在 上且，交 于点 ，设，则 的值为（ ）A.B.C.D. 5. （2 分） 已知实数 x，y 满足 ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A . x3＞y3 B . sinx＞siny C . ln（x2+1）＞ln（y2+1）D. 6. （ 2 分 ） 如 右 图 所 示 ，， 则（ ）是圆 上的三点， 的延长线与线段 交于圆内一点 ， 若A.B.第 2 页 共 13 页C. D. 7. （2 分） (2016 高一下·衡阳期中) 函数 y=sin2xcos2x 是（ ） A . 周期为 π 的奇函数 B . 周期为 的偶函数 C . 周期为 的奇函数 D . 周期为 π 的偶函数8. （2 分） (2018·梅河口模拟) 设双曲线 ：以线段 为底边作一个等腰，且 边上的高且 的离心率为 ，则下列判断正确的是（ ）的左顶点与右焦点分别为 ， ，.若的垂心恰好在 的一条渐近线上，A . 存在唯一的 ，且B . 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内C . 存在唯一的 ，且D . 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内9. （2 分） 若 为等差数列， 是其前 项的和，且，则（）A.B.C. D.第 3 页 共 13 页10. （2 分） (2020 高三上·渭南期末) 设函数 A . 函数 f(x)的最小正周期是 2π.的图象为 C,下面结论正确的是（ ）B . 函数 f(x)在区间上是递增的C . 图象 C 关于点对称D . 图象 C 由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移 个单位得到 11. （2 分） (2017·泰安模拟) 己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当 x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ） 的实数 x 为 （ ）A.B.C.D.12. （2 分） 过椭圆（）若， 则椭圆的离心率为 （ ）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 13 页13. （1 分） 已知 满足不等式则的最大值为________．14. （1 分） 在二项式的展开式中，常数项的值为________（结果用数字表示）15. （1 分） (2017·浙江) 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结 CD，则△BDC 的面积是________，com∠BDC=________．16. （1 分） 若点 的坐标为， 为抛物线取得最小值的 点坐标为________．的焦点，点 在该抛物线上移动，使三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） （理科）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次，在 A 处每投进一球得 3 分；在 B 处每投进一球得 2 分，如果前两次得分之和超过 3 分就停止投篮；否则投第 3 次，某同学在 A 处的抽中率 q1=0.25， 在 B 处的抽中率为 q2 ， 该同学选择现在 A 处投第一球，以后都在 B 处投，且每次投篮都互不影响，用 X 表示该同 学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X 0 2345 P 0.03 P2 P3 P4 P5（1） 求 q2 的值；（2） 求随机变量 X 的数学期望 E（X）；（3） 试比较该同学选择上述方式投篮得分超过 3 分与选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率的大小．18. （10 分） 如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值．第 5 页 共 13 页19. （10 分） (2017 高一下·禅城期中) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=2Sn﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列； （Ⅱ）若 bn=（2n+1）an ， 求{bn}的前 n 项和 Tn ．20. （10 分） (2018·徐州模拟) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆率为 于，且过点 两点.. 为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接的离心 分别交椭圆（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若，求的值；（3） 设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 值；若不存在，请说明理由.，若存在，求出 的21. （10 分） (2018 高二上·长安期末) 已知.（Ⅰ）对一切恒成立，求实数 的取值范围；（Ⅱ）证明：对一切，都有成立．第 6 页 共 13 页22. （10 分） (2020·江西模拟) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为（Ⅰ）曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 的距离的取值范围. 23. （10 分） 已知 f（x）=|x﹣1|+|2x+3|． （1）若 f（x）≥m 对一切 x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围； （2）解不等式 f（x）≤4．（k 为参数），以 .第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、17-2、17-3、第 9 页 共 13 页18-1、第 10 页 共 13 页19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、。