高考第39课等差数列

高考数学等差知识点总结等差数列作为高考数学中的重要知识点，常常出现在选择题和解答题中。

熟练掌握等差数列的性质和解题思路，对于考生来说是至关重要的。

本文将从等差数列的定义、常见性质和解题技巧三个方面总结等差数列的相关知识点。

一、等差数列的定义与性质等差数列是指由相等的公差d所构成的数列。

数列中的每一项与它的前一项之差都是恒定的，这个恒定差值就是公差。

等差数列常用的表示方式是使用首项a1和公差d，表示为{a1，a1+d，a1+2d，...}。

1. 公式等差数列的第n项an可以用公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差。

2. 性质（1）等差数列的前n项和Sn可以用公式Sn=n/2(a1+an)来表示。

（2）等差数列中，任意三项a、b、c满足b=a+(n-1)d、c=b+(m-1)d，可得到c=a+(m+n-2)d，即等差数列中的任意三项满足共线性。

（3）等差数列的奇数项和与偶数项和之间存在着一定的关系，即Sn=a1+(a1+n*d)/2 ，其中n为正整数。

二、等差数列的应用了解等差数列的性质之后，我们来谈谈等差数列在高考中的应用。

1. 题型分类等差数列常见的题型包括：求和题、通项求值题、前n项和和项数求值题等。

对于每一类题型，都需要灵活应用等差数列的性质和公式，找到解题的突破口。

2. 解题技巧（1）对于求和题，一般需要找到首项和末项，以及项数n，然后利用求和公式计算出前n项和Sn。

而当已知Sn和n时，可以通过反推找到未知项数或未知项的值。

（2）对于通项求值题，一般需要找到首项和公差，并根据已知条件推算出通项公式an。

然后通过输入已知条件的数值，求解出未知项的值。

（3）对于前n项和和项数求值题，一般需要已知前n项和Sn和公差d，然后利用前n项和的公式，即Sn=n/2(a1+an)，解方程求解出未知项数或首项。

三、解题技巧与常见考点在高考中，等差数列经常与数列、数列极限、算术平均数等知识点相结合，形成综合考察。

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作第39课等差数列【自主学习】第 39课等差数列(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修 5P38习题 3改编 )在等差数列 { a n} 中，若 a1=-1， d=2，则 a8=.【答案】 132.(必修 5P37习题 6改编 )若1，a2，a3 ，，a n，a n+1，，a2n 是公差为d的等差数列，a则数列 { a2n 的公差为}.【答案】 2d3.(必修 5P40习题 7改编 )在等差数列 { a n} 中，若 a4=10， a10=4，则 a7=.【答案】 74.(必修 5P44练习 5改编 )在等差数列 { a n } 中，已知 a 5=8，那么 S 9=.【答案】 729( a 1 a 9 )【解析】 S 9 =25=9a =72.5.(必修 5P44练习 6改编 )在等差数列 { a n } 中，已知 S 8=24，S 16=32，那么 S 24=.【答案】 24S nS 8S16【解析】 因为n是等差数列，又 8 =3，16=2，S 24所以24=1，即 S 24=24.1. 等差数列的定义及通项2.如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫作等差数列 .这个常数叫作等差数列的 公差 .等差数列的通项公式： a n =a 1+(n-1)d=nd+a 1-d(n ∈N * )； 推广： a n =a m +(n-m )d.2.等差数列求和公式n(a 1 a n )n(n-1) da 1 - 1 d2 =na 1+2d= 2 n 2+ 2 S n =n.3.等差数列的其他性质a c(1)若a ，b ，c ，成等差数列，则称 b 为a ，c 的等差中项，且 b=2.*(2)在等差数列 { a } 中，若 m+n=p+q(m ，n ，p ，q ∈N )，则 a +a =a +a .(3)S2n-1=(2n-1)a n.S n d Sn d(4)n =a1+(n-1) 2 ，所以n也是等差数列，首项为a1，公差为 2 .【要点导学】要点导学各个击破等差数列的基本量运算例 1 已知等差数列 { a n} 中的前三项和为 12，且 2a1，a2，a3+1依次成等比数列，求数列 {a n} 的公差 .【思维引导】求得 a2的值，设公差为 d，构造关于 d的方程，然后求之 .【解答】设等差数列 {a n} 的公差为 d，由数列的前 3项和为 12，得 3a2=12，所以a2=4.因为 2a1， a2，a3+1成等比数列，所以 2a1(a3+1)= a2 2，2即2(a2-d)(a2 +d+1)=a2，即d2+d-12=0，解得 d=-4或3.【精要点评】在等差数列的运算中，常见常用的有五个基本量，它们分别是a1，d，n，a n， S n.掌握这五个基本量之间的各种关系，结合熟练的运算，即可解决等差数列的常见问题 .例 2 (2015 ·太原期末 ) 设{ a n 为等差数列，n为数列{ a n 的前项和，已知} S } nS n2 5 ， 15 ，n为数列n的前 n项和 (n∈N*).a +a =1 S =75 T(1)求 S n；(2)求 T n及T n的最小值 .【思维引导】 (1)本题是基本量的运算，由a2+a5=1与S15=75联立方程组，求出S n n-5a1=-2， d=1，再由等差数列前 n项和公式求出 S n.(2)先证明 b n= n= 2也是等差数列，确定首项 b1S1 1，再次由等差数列前 n项和公式求出 T n，利用二次=1 1 ，公差为 2=a =-2函数的知识求出最小值 .【解答】 (1)因为 { a n} 为等差数列，所以设首项为a1，公差设为 d，依题意得(a1 d ) (a14d)1，a1 ，15a11514 d 75，-2解得d1.2n(n-1) n(n-1) n2 -5n所以 S n=na1+ 2 d=-2n+ 2 = 2 .n2 -5n S n n-5(2)由 (1)知 S n= 2 ，所以 n = 2 ，S n n-5 (n 1)-5 n-5 1设b n n=2 ，则 b n+1 n 2-2=2 ，= -b =所以数列 { b n 1S1是公差为 2 的等差数列，首项为b1 1 1} = =a =-2.S n又T n为数列n的前n项和，n(n-1) 1n2 -9n所以 T n=-2n+2 2 4.· =x2 -9 x 9又因为函数 y= 4的图象开口向上，对称轴方程为x= 2 ，且 n∈N* .42-9 4所以当 n=4或n=5时， (T n min 4=-5.) =S n 【精要点评】 (1)考查了等差数列前 n项和的基本量的运算；(2)考查了n 也是等差数列的性质 .【高频考点·题组强化】1.(2015 宿·迁一模 )已知 { a n} 是等差数列，若 2a7-a5 -3=0，则 a9的值为. 【答案】 3【解析】方法一：设公差为 d，则 2(a1+6d)-(a1+4d)-3=0，即 a1+8d=3，所以 a9=3. 方法二：由等差数列的性质得 a5+a9=2a7，所以 (a5+a9)-a5-3=0，即 a9=3.2.(2015 苏·州期末 )在等差数列 { a n} 中，已知 a4+a6=10，若前 5项和 S5=5，则其公差为.【答案】 2【解析】在等差数列 { a n} 中，由 S5=5a3=5，得 a3=1.设公差为 d，则a4+a6=(1+d)+(1+3d)=10，解得 d=2.3.(2014 福·建卷 )已知等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n，若 a1=2，S3=12，则a6=.【答案】 12【解析】设等差数列 { a n} 的公差为 d，由题意得 S3=3a1+3d=6+3d=12，所以 d=2，a6=a1+5d=12.4.(2015 南·通、扬州、泰州、淮安三调 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a n +a n+2=4n+6(n ∈N * ) ，则该数列的通项公式 a n =.【答案】 2n+1【解析】方法一： 在等差数列中， a n +a n+2=4n+6，所以 a n+1=2n+3，从而 a n =2n+1.方法二： 令n=1，可得 a 1+a 3=10，令 n=2，可得 a 2+a 4=14，从而 d=2， a 1=3，所以a n =2n+1.5.(2015 南·京三模 )设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若S k-1=8， S k =0， S k+1=-10，则正整数 k=.【答案】 9S n【解析】 由等差数列的性质得n为等差数列，8-10k-1，k 1，1三点共线，所以k -1， (k ，0)， k8 -10 k-1 k 1从而有-1= 1 ，解得 k=9.等差数列的通项公式例 3设各项均为正数的数列 { a n 的前 项和为 n ，已知 4S n a n 2 1 -4n-1 ， ∈ * ，} n S = n N且 a 2，a 5，a 14构成等比数列 .(1)求证： a 2 =4a 15；(2)求数列 { a n } 的通项公式 .【思维引导】 (1)对于 4S n =a n2 1-4n-1，取 n=1，可得到 a 1与 a 2 的关系，即可证得；22(2)当n ≥2时，有 4a n =4S n -4S n-1=a n 1 -a n-4，可得到 a n+1与a n 的关系式，从而可知等差数列 { a n } 的公差 .又由 a 2， a 5 ，a 14构成等比数列，从而可求出基本量 a 1，即可写出其通项公式 .【解答】 (1)当n=1时， 4a 1=a 22-5，a 22=4a 1+5，因为 a n，所以 2 4a 1 5>0 a = .(2)当 n ≥2时， 4S n-1 =a n2-4(n-1)-1，22则4a n =4S n -4S n-1=a n 1 -a n-4，2 2即a n 1 =a n+4a n +4=(a n +2)2，因为 a n >0，所以 a n+1=a n +2，a n+1-a n =2，所以当 n ≥2时， { a n } 是公差 d=2的等差数列 .因为 a 2，a 5，a 14构成等比数列，所以a 52=a 2·a 14，即(a 2 +6)2=a 2(a 2+24)，解得 a 2=3.由(1)可知， 4a 1=a 22-5=4，所以 a 1=1.因为 a 2-a 1=3-1=2，所以 {a n } 是首项 a 1=1、公差 d=2的等差数列 .所以数列 { a n } 的通项公式为 a n =2n-1.【精要点评】 等差数列的判断，主要通过等差数列的定义进行判断： a n+1-a n 为常数 d ，而不能是关于 n 变化的函数 f(n).变式 已知各项均为正数的数列求数列 { a n } 的通项公式 .【解答】 当 n=1时， a 1=1.因为 4S n =a n2+2a n +1，所以 4S n+1=a n2 1+2a n+1+1，2{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 4S n =a n+2a n +1，n ∈N * ，两式相减得 4a n+1=a n2 1 -a n2+2a n+1-2a n ，即(a n+1+a n )(a n+1-a n -2)=0.因为数列 { a n } 的各项都是正数，所以 a n+1-a n =2，所以 {a n } 为首项为 1、公差为 2的等差数列，故a n =2n-1.等差数列的求和问题例 4 (2014 ·湖北卷 )已知等差数列 { a n } 满足： a 1=2，且 a 1，a 2，a 5成等比数列 .(1)求数列 { a n } 的通项公式 .(2)记 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，问：是否存在正整数 n ，使得 S n >60n+800?若存在，求出 n 的最小值；若不存在，请说明理由 .【思维引导】 (1)设数列 { a n } 的公差为 d ，根据 a 1 ，a 2， a 5成等比数列求得 d 的值，从而求得数列 { a n } 的通项公式； (2)由(1)中求得的 a n ，根据等差数列的求和公式求出S n ，从而解不等式求出满足条件的 n.【解答】 (1)设数列 {a n } 的公差为 d ，依题意得 2，2+d ， 2+4d 成等比数列，所以 (2+d)2 =2(2+4d)，解得 d=0或d=4.当d=0时， a n =2；当d=4时， a n =2+(n-1) ×4=4n-2，所以数列 { a n } 的通项公式为 a n =2或a n =4n-2.(2)当 a n =2时， S n =2n ，显然 2n<60n+800，不存在正整数 n ，使得 S n >60n+800.n[2 (4 n-2)]当a n22时， n =2n ，=4n-2 S =令2n 2>60n+800，即 n 2-30n-400>0，解得 n>40或 n<-10(舍去 )，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n+800成立， n 的最小值为 41.综上所述，当 a n =2时，不存在满足题意的正整数 n ；当a n =4n-2时，存在正整数 n ，使得 S n >60n+800成立， n 的最小值为 41.【精要点评】 等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点，通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查 .变式 在公差为 d 的等差数列 { a n 中，已知 1，且1， 2a 2， 3成等比数}a =10a +2 5a列 .(1)求 d ， a n ；(2)若 d<0，求 |a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n |.【解答】 (1)由题意，得 a 1·5a 3=(2a 2+2)2，由a 1=10， {a n } 为公差为 d 的等差数列，得 d 2-3d-4=0，解得 d=-1或d=4，当d=-1时， a n =-n+11；当d=4时， a n =4n+6.(2)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .因为 d<0，由 (1)得d=-1，a n =-n+11，当n ≤11时， |a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |1212=S n =- 2n + 2n ；当n ≥12时， |a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |1 21=-S n +2S 11= 2 n 2- 2 n+110.综上所述，1 n2 21 ， ，- 2 n1 n 11 21 n2 - 21 n 110， n 12.【精要点评】 等差数列加绝对值后，其和就不一定是原来的S n ，就拿本题来说，当 n ≤11时， a n >0，所以 |a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=S n ，当 n ≥12时， a n <0， |a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=2S 11-S n .11.(2015 安·徽卷 )在数列 { a n } 中，已知 a 1 =1，a n =a n-1+ 2(n ∈ N * )，则数列 { a n } 的前 9项和为.【答案】 271 1【解析】 由a n =a n-1+ 2 (n ∈N *)，得数列 { a n } 是以 1为首项、 2为公差的等差数列，因 此 S 9=27.2.(2014 南·京学情调研 )在等差数列 { a n } 中，若 a 4=7， a 8=15，则数列 { a n } 的前 n 项和S n =.【答案】 n 2【解析】 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 8-a 4=4d=8，解得 d=2，因此 a n =7+2(n-4)=2n-1，n(1 2n-1)故 S n =2=n 2.3.在等差数列 { a } 中，已知 S =20，S =80，那么 S =.n30 90 60140【答案】3【解析】 设S 60=x ，则 20，x-20， 80-x 成等差数列，140所以 20+(80-x)=2(x-20)，解得 x= 3 .4.已知数列 { a n} 的前 n项和 S n=n2 -6n，那么数列 {|a n |} 的前 6项和 T6=.【答案】 18【解析】由S n=n2-6n，得 { a n } 是等差数列，且 a n=2n-7.当 n≤3时， a n<0，当 n≥4时， a n>0，所以 T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3 =18.25.(2015 盐·城三模 )设 S n是等差数列 { a n} 的前 n项和，若数列 { a n} 满足 a n+S n=An +Bn+C1且 A>0，则A +B-C的最小值为.【答案】 23【解析】设数列 {a n 的公差为，} dn(n-1)d d d2 2 a1则 a n n 1 1 2 2 1 ，= n ++S =a +(n-1)d+na + n+a -dd d所以 A= 2，B=a1+ 2，C=a1-d，又 A>0，所以 d>0，1 2 d 2 3 2 3 2 3所以 A +B-C= d +a1+ 2 -a1+d= d + 2 d≥23，当且仅当d =2d，即 d= 3 时等号成立 .趁热打铁，事半功倍 .请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第77~78页.【检测与评估】第 39课等差数列一、填空题1.已知数列 { a n} 是等差数列， a3=1，a4 +a10=18，那么首项 a1=.2.(2015 全·国卷改编设 n是等差数列{ a n 的前项和若135 ，则 5.) S } n. a +a +a =3 S =在等差数列n 中，2 ，5 ，若 n 2n，则数列{ b n 的第项是.3. { a } a =6 a =15b =a } 54.设等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n，若 a2=-9，a3+a7=-6，则当 S n取最小值时，n=.5.设 { a n} 是公差不为零的等差数列，a1=2，且 a1，a3， a6成等比数列，则 a2017=.16.(2014 泰·州期末 )设等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n，若 a2a4 a6 a8=120，且a4a6a8 +1 1 1 7a2 a6 a8 +a2a4a8 +a2a4a6 =60，则 S9的值为.7.(2015 南·通期末 )在等差数列 { a n} 中，已知首项 a1>0，公差 d>0.若a1+a2≤ 60，a2+a3≤ 100，则 5a1+a5的最大值为.8.(2015 南·京、盐城、徐州二模 )记等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n .已知 a1=2，且数列{ Sn } 也为等差数列，则 a13=.二、解答题9.设递减的等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n，若 a3a5 =63，a2+a6=16.(1)求数列 { a n } 的通项公式 .(2)当n 为多少时， S n 取得最大值 ?并求出其最大值 .(3)求 |a 1|+|a 2 |+|a 3|+ +|a n |.10.设S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 S n =kn 2+n ， n ∈N *，其中 k 是常数 .(1)求a 1及 a n ；(2)若对于任意的 m ∈N * ， a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求 k 的值 .11.(2014 苏·锡常镇连徐一调 ) 设各项均为正数的数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1=1，且 (S n+1+λ)a n =(S n +1)a n+1对一切的 n ∈N *都成立 .(1)若λ =1，求数列 { a n } 的通项公式；(2)求λ的值，使数列 { a n } 是等差数列 .三、 选做题 (不要求解题过程，直接给出最终结果 )12.(2015 南·通二调 )已知等差数列 { a n } 的首项为 4，公差为 2，前 n 项和为 S n .若S k -a k+5=44(k ∈ N * )，则 k 的值为.2的两个不同的零点，且 a ， b ，13.(2015 福·建卷 )若a ， b 是函数 f(x)=x -px+q(p>0， q>0)-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值为.【检测与评估答案】第39课等差数列马鸣风萧萧1.-3【解析】设等差数列{ a n}的公差为d，则有a3=a1+ 2d= 1，a4+a 10= (a1+ 3d)+ (a1+ 9d)= 2a1+ 12d= 18，解得 a1=- 3，d=2.2.5【解析】因为{ a n}为等差数列，所以a1+a3+a5= 3a3= 3，所以a3= 1，于是S5= 5(a1a5 )2= 5a3= 5.a2 a1 d ，63.30 【解析】设等差数列 { a n} 的公差为 d，由题意得a5 a1 4d，15 解得a1，3d ，因为 n 2n，所以b5 103 所以 a n=a= 3+ 3(n-1)= 3n. b =a = 30.4.6 【解析】因为 a3+a7=2a5=- 6，所以 a5=- 3，所以 d= 2， a n=- 9+2(n-2)= 2n-13，所以 a6=- 1，a7= 1，所以 S6最小 .5.1 010【解析】设等差数列{ a n}的公差为d，d≠0.由题意得a32=a1a6，即1 12，解得 2 ，所以 a2 017 ×2(2+ 2d) = 2(2+ 5d) d= = 1 010.=2+2 01663 1 1 1 1 a2 a4a6a86. 2【解析】由题意得a4a6a8 +a2a6a8 +a2a4a8 +a2a4a6 = 120 + 120 + 120 + 1207 ，则 2(a2 ，即289(a1 a9 ) 9 63= 60 8 ，所以 9 2=2 28)=2.+a )= 14 a +a = 7 S = (a +aa 1 a 2， 2a 1 d，60607.200 【解析】 由题意得a 2a 3 ，3d 100.设100所以 2a 1x 5 ，5(2 a 1 d ) 150，x y，223y1 ， 1(2 a 13d ) 50，x(2a 1+d )+y (2a 1+ 3d)= 6a 1+ 4d ，所以 x 3y，4解得2于是 2两式相加得 5a 1+a 5≤ 200.8.50 【解析】方法一： 设数列 { a n } 的公差为 d.因为 { S n } 为等差数列，所以S 1，S 2，S3成等差数列，从而 24 d = 2 +6 3d，解得 d= 4，所以a 13= 2+ 12d=50.方法二： 因为数列 { S n} 为等差数列，所以设它的公差为 d ，则 S n = 2+ (n-1)d ，因此 S n 2 ] 2，从而当 n ≥2时，有 a n n n-1 2 2 d. 由于数列 n= [(n-1)d+ =S -S = (2n-3)d + 2{ a } 为等差数列，所以 a 1 2 2 ，解得 d= 2 ，从而 a n ，故=-d + 2 d=2 = 2(2n-3)+ 4= 4n-2 a 13= 50.n(n-1)dn 2d2-S n方法三： 设数列 {a n 的公差为 ，则 n222由于为等 d=+ { } } dS = 2n+n.dn 2dd2-差数列，所以 S n 2 + 2 n 应为以 n 为元的一个完全平方式，所以 2- 2= 0，所=以 d=4，从而 a 13= 2+ 12×4=50.9.(1)由题意知 a 2+a 6=a 3+a 5= 16，又 a 3·a 5= 63，所以 a 3与a 5是方程 x 2-16x+ 63= 0的两根，a 3 7， a 3 9， 解得a59 或 a 57.又因为 { a n } 是递减的等差数列，a 3 ，9a 5 -a 3a 5 7 ，2所以则公差 d==- 1 ， 1 ，a = 11所以 a n =a 1+ (n-1)d=11+ (n-1)(-1)= 12-n.a n ，12-n0，a，，(2)由 0得 11-n n 1 0解得 11≤n ≤12.又 n ∈ N * ，所以当 n=11或n= 12时， S n 取得最大值，且最大值为 S 11=S 12= 12×11+12 112×(-1)= 66.(3)由(2)知，当 n ≤ 12时， a n ≥0，当 n>12时， a n < 0.n(a 1 a n ) n(11 12-n)当 n ≤12时， |a 1|+|a 2|+|a 3 |++|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =S n =2=2=-1 232 n2+ 2 n ；当 n>12时， |a 1 |+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 12-(a 13+a 14+a 15+ +a n )=-123S n + 2S 12= 2 n 2- 2n+ 132.- 1n 2 23 n ， n 12，221 n2 - 23 n 132， n 12. 所以 |a 1|+|a 23|+ +|a n|= 2 2|+|a10. (1) 当 n=1时， a 1=S 1=k+ 1.当n ≥2时， a n =S n -S n-1=kn 2+n- [k(n-1)2+ (n-1)]= 2kn-k+1.①经检验，当 n=1时，①式也成立，所以 a n = 2kn-k+1.(2) 因为 m ， a 2m ， a 4m 成等比数列，所以 a 2m2m 4m ，即 (4km-k+1)2a=a ·a = (2km-k+ 1)(8km-k+1)，整理得 mk(k-1)= 0.因为对任意的 m ∈ N * ，上式均成立，所以 k= 0或 k=1.11. (1)若λ=1，则 (S n+ 1+ 1)a n = (S n + 1)a n+ 1，a 1=S 1= 1.令 n=1，得 a 2=2.马鸣风萧萧又因为 a n > 0，S n > 0，S n 所以SnS 2 所以S 1111=1 S 3 1 S · 2a n 1a n ，1 S n 11 a2 a 3an 11· ·Sn1=a1·a 2 · ·an，化简得 S n+1+ 1= 2a n+1. ①所以当 n ≥2时， S n + 1=2a n .②an 1① -②，得 a n+ 1= 2a n ，所以 a n= 2(n ≥ 2).当 n=1时，上式也成立 .所以数列 {a n } 是首项为 1、公比为 2的等比数列，即 a n = 2n-1(n ∈N * ). (2)令n= 1，得 a 2=λ+1.令 n=2，得 a 3=(λ+1)2.要使数列 {a n } 是等差数列，必须有 2a 2=a 1+a 3，解得 λ=0.当 λ=0时， S n+ 1a n =(S n + 1)a n+1，且 a 2=a 1= 1.当 n ≥2时， S n+ 1(S n -S n-1)= (S n + 1)(S n+1-S n )，S n 2S n 1 S n 1 S 2 1 S 31 S n1 整理得Sn-1 1 = S n，从而 S 1 1 S 2 1Sn-11=+S n =S n+1S n-1+S n+1，· · · S 3 S 4Sn 1S 2 ·S3· ·S n，化简得 S n + 1=S n+1，所以 a n+1= 1.综上所述， a n = 1(n ∈N *).所以 λ=0时，数列 { a n } 是等差数列 .n(4 2n2)12.7 【解析】 由题意得 a n = 4+ 2(n-1)= 2n+2， S n =2=n 2+ 3n ，所以 S k -a k+5= 44可化为 k 2+3k-2(k+ 5)-2= 44，即 k 2+k- 56= 0，解得 k= 7(k=- 8舍去 ).13.9【解析】由韦达定理得a+b=p，a·b=q，则a> 0，b> 0，当a，b，-2适当排序4后成等比数列时， -2必为等比中项，故 a·b=q= 4， b= a.当适当排序后成等差数列时，4 4-2必不是等差中项，当 a是等差中项时， 2a= a-2，解得 a=1，b= 4；当a是等差中8项时，a=a- 2，解得 a= 4， b=1.综上所述， a+b=p= 5，所以 p+q= 9.。

高考数学等差数列知识点一. 引言数学是高考中的一门必考科目，而等差数列是数学中的一个重要概念。

在高考数学中，等差数列的相关知识点经常会出现在选择题和解答题中。

掌握等差数列的概念与性质，对于高考取得好成绩至关重要。

本文将介绍等差数列的基本概念、性质和常见解题方法。

二. 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

假设一个数列为a1、a2、a3、a4...，如果满足ai+1-ai=d (d为常数)，那么这个数列就是等差数列。

三. 等差数列的通项公式对于一个等差数列，可通过第一项和公差来确定一个通项公式。

通项公式可表示为an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示等差数列的第n 项，a1是第一项，d是公差，n代表项数。

四. 等差数列的性质1. 公式性质：等差数列的每一项减去它的前一项，所得的差值都是固定的，即为公差。

2. 求和性质：等差数列的前n项和可通过求和公式Sn =(n/2)(a1+an)来计算。

3. 中项性质：等差数列的中项等于第一项与最后一项的平均值。

4. 求项数性质：已知等差数列的首项、尾项和公差，可通过公式n = (an-a1)/d+1来求得项数。

五. 等差数列的常见解题方法1. 求项数：当已知等差数列的首项、尾项和公差时，可以使用求项数公式来求等差数列的项数。

2. 求公差：当已知等差数列的两个相邻项时，可以通过相减求解。

3. 求和：当需要求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式来帮助计算。

4. 判断等差数列：当给定一组数字时，可以通过计算相邻数字的差值是否相等来判断是否为等差数列。

六. 总结在高考数学中，掌握等差数列的概念、性质和求解方法是非常重要的，因为这门知识点在高考中经常会被考察。

通过学习等差数列的定义、通项公式、性质以及常见解题方法，我们可以更好地应对高考数学中的相关题目。

希望本文对于高考数学备考有所帮助。

加油！。

[高考数学]等差数列知识总结
等差数列是高中数学中的重要概念，它可以在高考数学中出现在各种形式的题目中。

以下是对等差数列的知识进行总结：
1. 定义：
等差数列是指一个数列，其中每一项与其前一项的差都相等。

这个差值称为公差，记作 d。

2. 通项公式：
对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。

其中，an 表示第 n 项，a1 表示第一项，d 表示公差，n 表示
项数。

3. 求和公式：
对于等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn，其求和公式为 Sn = n/2 * (a1 + an)。

或者用差值 d 表示，Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)。

4. 性质：
a) 第 n 项：an = a1 + (n - 1)d
b) 前 n 项和：Sn = n/2 * (a1 + an)
c) 项与项的和：an + am = 2a1 + (n + m - 2)d
d) 首项与末项的和：a1 + an = 2a1 + (n - 1)d
5. 常见问题：
a) 已知数列的前几项，求通项公式。

b) 已知数列的通项公式，求第 n 项。

c) 求等差数列的和，或者根据已知的和和项数求其他参数。

6. 拓展：
a) 等差数列的和可以利用面积解释的思想进行推导。

b) 等差数列有很多应用，如金融中的年利率、利润增长等问题中常常使用等差数列。

以上是对高考数学中等差数列的知识进行的总结，熟练掌握等差数列的相关内容可以帮助解决各类与数列相关的题目。

高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列是高考数学的必考知识点，你对等差数列了解多少，下面由店铺为大家介绍一下高考数学等差数列知识点，感兴趣的朋友们来看一下吧!高考数学等差数列知识点高中数学知识点一：等差数列公式等差数列公式an=a1+(n-1)da1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2Sn=(a1+an)n/2若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p则：am+an=2ap以上n.m.p.q均为正整数解析：第n项的值an=首项+(项数-1)×公差前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷(n-1)项数=(末项-首项)÷公差+1数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列通项公式：公差×项数+首项-公差高中数学知识点二：等差数列求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

高中数学知识点三：推理过程设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前项和为 , 则有:当d≠0时，Sn是n的'二次函数，(n，Sn)是二次函数的图象上一群孤立的点。

利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+。

等差数列的公式总结高中
哎呀，亲爱的同学们，今天咱们来聊聊高中数学里那个让人又爱又恨的等差数列！
啥是等差数列呀？简单来说，就是一组数，从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等。

比如说1，3，5，7，9 这组数，相邻两个数的差都是2，这就是等差数列。

那等差数列有啥公式呢？首先得知道通项公式，就是第n 项的值怎么算。

通项公式是：an = a1 + (n - 1)d 。

这里的a1 是首项，d 是公差。

就像刚刚说的那组数1，3，5，7，9 ，首项a1 就是1 ，公差d 就是2 。

那第5 项a5 是多少呢？咱们套公式算算呗，a5 = 1 + （5 - 1）× 2 = 9 ，这不正好对上啦！
还有前n 项和的公式，Sn = n(a1 + an) / 2 。

这公式咋用呢？比如说还是上面那组数，求前5 项的和。

先算出第5 项是9 ，然后S5 = 5×(1 + 9) / 2 = 25 。

咱们来想想，这等差数列的公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开数学难题的大门。

比如说，给你一堆数，让你判断是不是等差数列，你就可以用通项公式算算相邻两项的差是不是相等呀！这不就轻松解决啦？
再比如，告诉你一个等差数列的首项和公差，让你求前10 项的和，你是不是就能马上用上前n 项和的公式，算出答案啦？
哎呀，同学们，你们说这等差数列的公式是不是超级有用？咱们可一定要把它掌握好，这样在数学的海洋里就能游得更畅快啦！
我的观点就是：等差数列的公式是高中数学里的重要工具，只要咱们用心学，多练习，就一定能运用自如，在数学考试中取得好成绩！。

高考等差数列知识点在高考数学考试中，等差数列是一个经常出现的重要知识点。

掌握等差数列可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，同时也是解决实际问题的一种有效工具。

本文将介绍等差数列的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地掌握和理解高考涉及的等差数列知识点。

一、等差数列的定义和性质等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项之差都相等。

如果一个数列满足这个条件，那么我们就称其为等差数列。

等差数列通常用字母a, d来表示，其中a是首项，d是公差。

数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d在等差数列中，首项a是指数列的第一项，公差d是相邻两项之间的差值。

等差数列的一个重要性质是，任意两项之和等于首项和末项之和的一半乘以项数。

这一性质在高考中经常被用于求和问题的解答过程中。

二、等差数列的求和在高考数学中，等差数列的求和问题经常被考察。

当给定等差数列的首项、末项和项数时，我们可以利用等差数列的求和公式来求解。

等差数列的求和公式可以表示为：Sn = n/2 * (a + l)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，l表示末项。

利用等差数列的求和公式，我们可以迅速求得数列的和。

在高考数学中，这种技巧经常用于求解复杂的数学题，其中需要快速计算等差数列的和。

三、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有广泛的应用。

例如，它可以用于描述人口增长、物种数量的变化、财富的积累等。

等差数列还常常用于建模和解决实际问题。

例如，在金融领域中，我们可以利用等差数列的知识来分析贷款的还款计划。

在计算机科学中，等差数列的知识也被应用于算法设计、数据结构等领域。

除了在实际应用中的广泛应用外，等差数列还是高中数学的基础知识，对于理解和学习更高阶数学概念起到了重要的作用。

学好等差数列不仅可以提高数学素养，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

总结：等差数列是高考数学中的重要基础知识，它常常出现在考试中。

掌握等差数列的定义、性质以及求和公式是必不可少的。

高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。

1. 基本公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

2. 变形公式。

- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。

三、等差数列的前n项和公式。

1. 公式一。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

2. 公式二。

- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

四、等差数列的性质。

1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。

2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。

高考等差知识点总结等差数列是高中数学中非常重要的一个概念，也是高考中常常出现的考点之一。

在本文中，我们将对高考中与等差数列相关的知识点进行总结，希望能够帮助广大考生更好地掌握这一内容。

一、等差数列的定义与常见公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

等差数列需要满足以下条件：1. 第一个数为a，公差为d；2. 第n个数为an，则有an = a + (n-1)d。

常见的等差数列公式包括：1. 第n项公式：an = a + (n-1)d；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a + an)。

二、等差数列的性质及应用1. 等差数列的性质：(1) 第n项与第m项的和等于第(m+n)项的和；(2) 等差数列的n个项的和与顺序颠倒后的等差数列的n个项的和相等。

2. 等差数列的应用：(1) 等差数列可以用来描述各种规律，如数列问题、排列问题等；(2) 可以通过等差数列来求解一些实际问题，如运动问题、金融问题等。

三、等差数列的特殊情况1. 公差为1的等差数列，即一个正整数数列：1, 2, 3, 4, ...这种等差数列的前n项和可以表示为Sn = n(n+1)/2。

2. 其他特殊的等差数列，如：(1) 公差为2的等差数列：2, 4, 6, 8, ...(2) 公差为-1的等差数列：1, 0, -1, -2, ...(3) 八个新一代人工智能: 9787302571040四、等差数列与等比数列的关系等差数列与等比数列在数学中有着密切的联系。

常常可以通过等比数列与等差数列之间的关系来解决一些问题。

假设有一个等差数列a1, a2, a3, ..., an，其中公差为d。

如果将这个数列的相邻两项之间的比值相除，可以得到一个等比数列：b1 = a2 / a1, b2 = a3 / a2, b3 = a4 / a3, ..., bn-1 = an / an-1。

通过这种转换，我们可以将等差数列与等比数列的知识进行融汇贯通，进一步拓宽数学的应用范围。

等差数列数学高中公式有什么等差数列数学高中公式有什么只有通过不断做题，实行题海战术才能提高考试分数。

只有通过多做题实行题海战术才能拉开与其他同学之间的考试成绩。

以下是小编整理的等差数列数学高中公式，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。

等差数列数学高中公式1、等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)2、前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N__,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和=(首项+末项)__项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项-首项)/公差+1如何备考高考数学1、掌握基础知识。

临近高考，不应该一味的在做难题，最好的办法就是掌握数学课本里面的基础知识。

可以对照事先整理好的知识点并结合课本系统的进行巩固，把课本上题系统做一遍，做到不留死角。

2、整理错题笔记。

把错误的题罗列出来，然后再系统地进行纠错，找出做错的原因，并经常拿出来温习一下。

3、总结热点考点。

老师会根据自己多年的教学经验梳理一些热点考点，要根据老师的提示多进行一下罗列总结，并在模考或者大考的时候多加留意。

等差数列（一）教材：高中数学必修5 1.2等差数列任教老师：肖美燕学习目标：1．明确等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；3．通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学方法：探究、交流、实验、观察、分析内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式法、递推公式法、图象法和前n 项和公式……这些方法从不同的角度反映了数列的特点。

现在我们先看下面这些问题：1．回忆数列的概念，数列有哪几种表示方法？2.（1）小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有 yes 、no 、you 、me 、he 5个，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…问：多少天后他的单词量达到3000？（2）小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…问：多少天后她那3000个单词全部忘光？从上面两例中，我们分别得到两个数列：① 5，15，25，35，…② 3000，2995，2990，2985，…观察以上两个数列，看看它们有什么共同特征？3.根据以上两个数列，每人能举出2个与其特征相同的数列吗？4.什么是等差数列？这样理解等差数列？其中的关键字词是什么？5.以上两个数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？6.怎样推导等差数列的通项公式？学生讨论、分析以上几个问题引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于_ 10_ ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -5 ；·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（PS.每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）注意：⑴．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d ,若0=d 则该数列为常数列⑵．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;(3)．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差那么对于以上两组等差数列，它们的首相分别是5和3000，公差分别是10和-10。