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当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n .(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ；(3)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2.解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.(2)∵a n ＋1a n＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得『对接训练』利用裂项相消法求和的注意事项『对接训练』1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.『对接训练』4．[2016·高考全国卷Ⅱ]S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和．解析：(1)设{a n}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{a n}的通项公式为a n＝n.b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n<10，1，10≤n<100，2，100≤n<1 000，3，n＝1 000，所以数列{b n}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.Tn；②证明．解析：(1)解：设等比数列{an}的公比为q＋1)(k＋2)k＋2k＋1所以，.2．[2019·重庆市七校联合考试关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(1)求数列{a n}的通项公式；。
高考数学二轮复习教案【篇一：高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题】专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合a、b，当a∩b＝?时，你是否注意到“极端”情况：a＝?或b＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2. 已知命题p：n∈n,2n＞1 000，则p为________．3. 条件p：a∈m＝{x|x2－x0}，条件q：a∈n＝{x||x|2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“?x∈r，x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合a＝{x|x2－3x－10≤0}，集合b＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若b?a，求实数p的取值范围．【例2】设a＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，b＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，c＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈n，使得(a∪b)∩c ＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．则下列结论恒成立的是________．a. t，v中至少有一个关于乘法封闭b. t，v中至多有一个关于乘法封闭 c. t，v中有且只有一个关于乘法封闭 d. t，v中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b0时，若?x∈r，都有f(x)≤1，证明：0a≤b； (2) 当b1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤b.①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝a12＋a由此可知x10，x20，(3分)①当a0时，a＝{x|xx1}∪{x|xx2}，(5分) 1a∩b≠?的充要条件是x2＜3，即a②当a0时， a＝{x|x1xx2}，(10分) 1a∩b≠?的充要条件是x21，即＋a2＋1，解得a－2，(13分) a62＋3，解得a(9分) a712，x2＝＋aa6?.(14分) 综上，使a∩b≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7?一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语a. 57b. 56c. 49d. 8【答案】 b 解析：集合a的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合s共有56个．故选b.m2y≤2m＋1，x，y∈r}, 若a∩b≠?，则实数m的取值范围是________．1m12＋2? 解析：由a∩b≠?得，a≠?，所以m2≥，m≥m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2当m≤0＝22m＞－m，且＝2m＞－m，又2＋0＝2＞2m222|2－2m|1＋1，所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m22|2－2m－1|22或m，解得22≤m≤2＋2或1－m≤1，所以实数m的取值范围222122?. 是??2?点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：a＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，b＝(0，＋∞)，a∪b＝(－∞，＋∞)，a∩b＝[3，＋∞)．2. ?n∈n,2n≤1 0003. 充分不必要解析：m＝(0,1)?n＝(－2,2)．例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ a＝[－2,5]．①当b≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由b?a得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.②当b＝?时，即p＋12p－1?p＜2.b?a成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关a∩b＝?，a∪b＝a，a∪b＝b 或a?b等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为m，如果m?[1,4]，求实数a的取值范围．??f?1?≥0且f?4?≥0，[x1，x2]，m?[1,4]?1≤x1＜x2≤4??－a＋3≥0，??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，1818－1. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7?7例2 解：∵ (a∪b)∩c＝?，∵a∩c＝?且b∩c＝?，2??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b?∴ 4k2－4bk＋10，此不等式有解，其充要条件是16b2－160，即b21，①2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，∴ k2－2k＋8b－190, 从而8b20，即b2.5，②?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，?∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(a∪b)∩c＝?．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.???1－y＝3变式训练已知集合a＝??x，y???x＋1?????，b＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若a∩b＝?，??求实数k的取值范围．解：集合a表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合b表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，a∩b＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.例3 【答案】 a 解析：由于t∪v＝z，故整数1一定在t，v两个集合中的一个中，不妨设1∈t，则?a，b∈t，另一方面，当t＝{非负整数}，v＝{负整数}时，t关于乘法封闭，v关于乘法不封闭，故d不对；当t＝{奇数}，v＝{偶数}时，t，v显然关于乘法都是封闭的，故b，c不对．从而本题就选a.例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈r恒成立，又b＞0, ∴a2－4b≤0，∴ 0＜a≤b. (2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，111对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋f(x)＝bxx∈(0,1]上单调增，f(x)最大值xxxf(1)＝b－1.1111函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?1?上单调增，函数g(x)的最小值为g?x?b????b?＝2，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；a2a2aa1122b4b2b2a2f(x)max＝1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，4bf(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立；综上命题得证．变式训练命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．2解：使命题甲成立的条件是： ??m＞2.?x1＋x2＝－m＜0?∴集合a＝{m|m2}．【篇二：高三数学二轮复习教案】高三数学二轮复习教案学校：寿县迎河中学汇编：龙如山第一部分：三角问题的题型与方法一、考试内容1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
高考小题分项练13推理与证明1．某单位支配甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可推断丙必定值班的日期是() A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日答案C解析由题意，得1至12的和为78，由于三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26.依据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可推断丙必定值班的日期是6日和11日，故选C.2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是() A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2＋ax＋b＝0没有实根．故选A.3．观看下列规律|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92答案B解析观看可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n ＝4n，则所求为第20项，所以a20＝80，故选B.4．下列三句话按“三段论”模式排列挨次正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①答案B解析依据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cos x(x∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cos x(x∈R )是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列挨次为②①③，故选B.5．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类(n∈N*)，分别编号为1,2，…，n，买家共有m名(m∈N*，m＜n)，分别编号为1,2，…，m.若a ij＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第i名买家购买第j类商品，0，第i名买家不购买第j类商品，1≤i≤m,1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是()A．a11＋a12＋…＋a1m＋a21＋a22＋…＋a2mB．a11＋a21＋…＋a m1＋a12＋a22＋…＋a m2C．a11a12＋a21a22＋…＋a m1a m2D．a11a21＋a12a22＋…＋a1m a2m答案C解析∵a ij＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第i名买家购买第j类商品，0，第i名买家不购买第j类商品，1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12＋a21a22＋…＋a m1a m2，故选C.6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 013a2 014等于()A.2 0122 013 B.2 0132 012C.2 0102 011 D.2 0112 012答案A解析由已知，a2＝3＝3×(2－1)，a3＝6＝3×(3－1)，a4＝9＝3×(4－1)，a5＝12＝3×(5－1)，…，a n＝3(n－1)，数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a n＝3(n－1)(n≥2)．所以1a n a n ＋1＝13(n －1)·3n ＝19(1n －1－1n )，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝9×19×(1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013)＝1－12 013＝2 0122 013.7. 已知数列{a n }是正项等差数列，若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n ，则数列{c n }也为等差数列．已知数列{b n }是正项等比数列，类比上述结论可得( )A ．若{d n }满足d n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n1＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列B ．若{d n }满足d n ＝b 1·2b 2·3b 3·…·nb n1·2·3·…·n，则{d n }也是等比数列C ．若{d n }满足d n ＝[b 1·(2b 2)·(3b 3)·…·(nb n )]11＋2＋…＋n ，则{d n }也是等比数列D ．若{d n }满足d n ＝[b 1·b 22·b 33·…·b n n]11＋2＋…＋n，则{d n }也是等比数列答案 D解析 等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若{d n }满足d n ＝[b 1·b 22·b 33·…·b n n ]11＋2＋…＋n，则{d n }也是等比数列．8．如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC ；类似地有命题：在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在平面BCD 内的射影为点M ，延长DM 交BC 于点E ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .上述命题是( )A ．真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”才是真命题C ．增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”才是真命题 答案 A解析 连接AE .由于AD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，在△ADE 中，AE 2＝ME ·DE ，又A 点在平面BCD 内的射影为点M ，所以AM ⊥平面BCD ，AM ⊥BC ，又AM ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ADE ，所以BC ⊥DE ，BC ⊥AE ，S 2△ABC ＝(12·BC ·AE )2＝12BC ·EM ·12BC ·DE ＝S △BCM ·S △BCD ，可得S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD ，故选A. 9．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 由S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 10．已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，观看下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；…若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 017时，“企盼数”k 为( ) A ．22 017＋2 B ．22 017 C ．22 017－2 D ．22 017－4答案 C解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 017⇒lg(k ＋2)＝lg 22 017⇒k ＝22 017－2.11．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干接受两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是( )①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多．故④正确，故选D.12．假如甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，假如某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) A ．3个 B ．4个 C ．99个 D ．100个答案 D解析 先推出两个小伙子的情形，假如甲的身高数>乙的身高数，且乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人．再考虑三个小伙子的情形，假如甲的身高数>乙的身高数>丙的身高数，且丙的体重数>乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为A i (i ＝1,2，…，100)，其身高数为x i ，体重数为y i ，当y 100>y 99>…>y i >y i －1>…>y 1，x 1>x 2>…>x i >xi ＋1>…>x 100时，由身高看，A i 不亚于A i ＋1，A i ＋2，…，A 100；由体重看，A i 不亚于Ai －1，A i －2，…，A 1，所以，A i 不亚于其他99人(i ＝1,2，…，100)，所以，A i 为棒小伙子(i ＝1,2，…，100)．因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个．故选D.13．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，点P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________． 答案 P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，点P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.14．设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋ 1＋132＋142＋…＋1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]＝________. 答案 2 014解析 ∵1＋1n 2＋1(1＋n )2＝(n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1n 2(1＋n )2＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝1＋(1n －1n ＋1)，∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－12 015)＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014.15．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，假如用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.16．对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1.其余项均为0，例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0. (1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________． 答案 (1)2 (2)17解析 (1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，故前3项和为2.(2)依题意，E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，1,0，所以P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}；E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，所以Q ＝{a 1，a 4，a 7，…，a 97，a 100}．将目标转化为求数列M n ＝2n －1与数列L n ＝3n －2在1≤n ≤100，n ∈N 时有几个公共元素，所以P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，由于97＝1＋(17－1)×6，所以共有17个元素．。
5．立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图下面，侧(左)视图放在正(主)视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．答案 432．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题2] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD.32π答案 D3．空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题3] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号． (1)如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) (2)如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) (3)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) (4)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 4．空间垂直问题的转化关系线线垂直线面垂直的判定线面垂直的定义线面垂直面面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有： 等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等． [问题4] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C5．多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[问题5] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．48 3答案 D解析 如图，设球的半径为R ，由43πR 3＝32π3，得R ＝2.所以正三棱柱的高h ＝4. 设其底面边长为a ， 则13·32a ＝2， 所以a ＝43， 所以V ＝34×(43)2×4＝48 3. 6．求平面的法向量的方法(1)性质法：根据线面垂直的判定找出与平面垂直的直线，则此直线的方向向量就是平面的法向量．(2)赋值法：在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量建立方程组，通过赋值求出其中的一个法向量． 7．“转化法”求空间角(1)设两条异面直线a ，b 所成的角为θ，两条直线的方向向量分别为a ，b . 因为θ∈(0，π2]，故有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b|a||b ||.(2)设直线l 和平面α所成的角为θ，l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|＝|l·n|l||n||.(3)设二面角α—l —β的大小为θ，n 1，n 2是二面角α—l —β的两个半平面的法向量，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定．[问题6] 在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值． 解 ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，射线OP 为z 轴正方向，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (如图)．设AB ＝a ，则A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)， 设OP ＝h ，则P (0,0，h )，由12P A ＝AB ，则P A ＝2a ，则P ＝(0,0,72a )，P A →＝( 22a,0，－72a )． 可求得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，－17)， ∴cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，设P A 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝21030.8．求点到平面的距离的方法(1)“等积法”：求解点到面的距离常转化为锥体的高，利用三棱锥体积公式求点到平面的距离．(2)“向量法”：如图，设P 在平面α外，n 为平面α的法向量，在平面α内任取一点Q ，则点P 到平面α的距离d ＝|PQ →·n ||n |.[问题7] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________． 答案24解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24.易错点1 三视图识图不准例1 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．易错分析 解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体的形状时出错，不能正确判断其对应的几何体；(2)计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度，尤其侧视图中的数据处理很容易出错．解析 该几何体为一个四棱锥，如图所示．CD ⊥底面P AD ，BA ⊥底面P AD ， P A ⊥AD ，P A ＝AD ＝CD ＝2，AB ＝1. PC ＝23，PB ＝5，BC ＝ 5. ∴S △PBC ＝12×23×2＝ 6.该几何体的表面积S ＝(1＋2)×22＋12×2×1＋12×22×2＋12×2×2＋6＝6＋22＋ 6.答案 6＋22＋ 6易错点2 旋转体辨识不清例2 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD .在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD ，在计算时没有减掉半球的体积． 解 由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V 圆台＝13×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝43π×23×12＝163π(cm 3)．所以旋转体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．易错点3 线面关系把握不准例3 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且a ⊄α，a ⊄β，则下列结论中不成立的是( ) A ．若b ⊂β，a ∥b ，则a ∥β B ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α C ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α D ．若α⊥β，a ⊥β，b ∥a ，则b ∥α易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a ⊄α，a ⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如A 项中忽视已知条件中的a ⊄β，误以为该项错误等． 解析 对于选项A ，若有b ⊂β，a ∥b ，且已知a ⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a ∥β，故选项A 正确；对于选项B ，若a ⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知a ⊂α或a ∥α，而由已知可知a ⊄α，所以有a ∥α，故选项B 正确；对于选项C ，若a ⊥b ，b ⊥α，所以a ⊂α或a ∥α，而由已知可得a ⊄α，所以a ∥α，故选项C 正确；对于选项D ，由a ⊥β，b ∥a 可得b ⊥β，又因为α⊥β，所以b ⊂α或b ∥α，故不能得到b ∥α，所以选项D 错，故选D. 答案 D易错点4 线面关系论证不严谨例4 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C .易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题． 证明 (1)连接BD 1，如图所示．在△DD 1B 中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点，则⎭⎬⎫EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥平面BCC 1B 1⇒⎭⎬⎫B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，BC 1⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C .易错点5 混淆空间角与向量夹角例5 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E —BF —C 的正弦值．易错分析 本题易错点在于认为两个平面法向量的夹角等于所求二面角的大小．根据向量计算出二面角的余弦值的绝对值后，其大小还要通过二面角的取值范围确定．(1)证明 由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)， 因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0,2,0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)解 在图中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个法向量n 2＝(1，－3，1)．设二面角E —BF —C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.1．已知m ，n 为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αC ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αD ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 答案 D解析 对于选项A ，若m ∥α，m ∥β，则可能α，β相交，或者α∥β，所以选项A 不正确；对于选项B ，若m ⊥α，m ⊥n ，则可能n ⊂α，或n ∥α，所以选项B 不正确；对于选项C ，若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α，或n ∥α，所以选项C 不正确；对于选项D ，若m ⊥α，m ∥β，则由线面平行可得在平面β内存在一条直线l ，使得m ∥l ，然后由m ⊥α可得l ⊥α，进而得出α⊥β，故应选D.2．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8cm 3B ．12cm 3C.323cm 3D.403cm 3答案 C解析 该几何体是棱长为2cm 的正方体与一底面边长为2cm 的正方形、高为2cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323cm 3.故选C.3．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么( )A ．P A ＝PB >PC B ．P A ＝PB <PC C ．P A ＝PB ＝PCD ．P A ≠PB ≠PC 答案 C解析 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故P A ＝PB ＝PC .4．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， 所以∠PDA ＝45°，D 正确．5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 B解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．6.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 由AM MB ＝ANND ，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .7．球O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O 的体积是________． 答案 43π解析 由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．正方体的全面积为24，则设正方体的边长为a ，即有6a 2＝24，解得a ＝2，设球的半径为R ，则2R ＝23，解得，R ＝3，则有球的体积为V ＝43πR 3＝43π×33＝43π.8．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则过A 、M 、C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．答案 32＋14 解析 由图形可知，当AM ＋MC 1最小时，所得截面的周长最小，如图所示把平面A 1ABB 1与平面C 1CBB 1展开成一个平面AA 1C 1C ，则AM ＋MC 1最短为AC 1＝32＋32＝32，所以截面的最小周长为32＋(5)2＋32＝32＋14.9．(2015·山东改编)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______． 答案5π3解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－π3×12×1＝5π3.10．如图，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB与△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A—PD—B的余弦值．(1)证明如图，取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，则由△P AB和△P AD都是等边三角形可知P A＝PB＝PD，∴OA＝OB＝OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点，故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，∴OE⊥PB，∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD，因此PB⊥CD.(2)解由(1)可知，OE，OB，OP两两垂直，以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB＝2，则A(－2，0,0)，D(0，－2，0)，P(0,0，2)，AD →＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)， 设平面P AD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP →＝2x ＋2z ＝0， 取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，得n ＝(1,1，－1)，∵OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ，取m ＝(1,0,0)， 由图象可知二面角A —PD —B 的大小为锐角， ∴二面角A —PD —B 的余弦值为 cos θ＝|n·m||n||m |＝13＝33.。
第讲数列的求和问题．(·课标全国甲)为等差数列{}的前项和，且＝，＝.记＝[]，其中[]表示不超过的最大整数，如[]＝，[]＝. ()求，，；()求数列{}的前项和．解()设{}的公差为，据已知有＋＝，解得＝.所以{}的通项公式为＝.＝[]＝，＝[]＝，＝[]＝.()因为＝所以数列{}的前项和为×＋×＋×＝.．(·山东)已知数列{}的前项和＝＋，{}是等差数列，且＝＋＋.()求数列{}的通项公式；()令＝，求数列{}的前项和.解()由题意知，当≥时，＝－－＝＋，当＝时，＝＝，所以＝＋.设数列{}的公差为.由即可解得＝，＝，所以＝＋.()由()知，＝＝(＋)·＋.又＝＋＋…＋，得＝×[×＋×＋…＋(＋)×＋]，＝×[×＋×＋…＋(＋)×＋]．两式作差，得－＝×[×＋＋＋…＋＋－(＋)×＋]＝×＝－·＋，所以＝·＋.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例等比数列{}中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行第三行()求数列{}的通项公式；()若数列{}满足：＝＋(－)，求数列{}的前项和.解()当＝时，不合题意；当＝时，当且仅当＝，＝时，符合题意；当＝时，不合题意．因此＝，＝，＝，所以公比＝.。
第4讲 推理与证明1．(2016·课标全国丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个 答案 C解析 第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A 24个，其中110100；110010；110001,101100不符合题意，三个1都不在一起时有C 34个，共2＋8＋4＝14(个)． 2．(2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43n (n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.3．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一 归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋1 2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (8,12)＝____________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______________________． 答案 (1)288 (2)f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ， 由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，故N (8,12)＝12－22×82＋4－122×8＝288.(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A ．48,49B ．62,63C ．75,76D ．84,85(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．答案 (1)D (2)503503603解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件． (2)按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503603.热点二 类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 2．类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论例2 (1)已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x－e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论______________________． 答案 (1)C (2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y 解析 (1)如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM－MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.(2)ch x ch y －sh x sh y ＝e x＋e －x2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e－y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e － x －y2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ， 或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2 (1)公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有一相应的S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，该等差数列的公差为________．(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为____________________． 答案 (1)300 (2)x 0x a 2－y 0yb 2＝1 解析 (1)在等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，我们可以类比推断出：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也构成等差数列，公差为100d ＝300.(2)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过点P 1，P 2的切线的方程分别为x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2xa2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，所以x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)都在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.热点三 直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．例3 已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1) (n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2na ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.(1)解 由已知得a n ＋1＝a n ＋1， 则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明 由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n<0， 所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．跟踪演练3 (1)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c； (2)已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负根． 证明 (1)要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．(2)假设x 0是f (x )＝0的负根， 则x 0<0，且x 0≠－1，0002,1x x ax -=-+ 所以001x a <<⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负根．热点四 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对任意n ≥n 0，且n ∈N *时，结论都成立．例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n ，f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2.(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)由题意知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312， f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920.(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1； 下面用数学归纳法证明： 当n ≥3时，f (n )<1.①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，f (k )<1， 即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k <1，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1＋12k ＋2－1k<1＋(12k ＋1－12k )＋(12k ＋2－12k )＝1＋2k － 2k ＋1 2k 2k ＋1 ＋2k － 2k ＋2 2k 2k ＋2＝1－12k 2k ＋1 －1k 2k ＋2 <1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立． 由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1. 所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1； 当n ≥3时，f (n )<1.思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n ＝k 和n ＝k ＋1时的联系． 跟踪演练4 设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a；a 4＝f (a 3)＝a3＋a. 猜想a n ＝an －1 ＋a(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝ak －1 ＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·ak －1 ＋a a ＋ak －1 ＋a＝a k －1 ＋a ＋1＝a[ k ＋1 －1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *， 都有a n ＝an －1 ＋a.1．将正整数作如下分组：(1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)，…分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝________.押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度． 答案 1 0084解析 由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14； 当n ＝2时，S 1＋S 3＝16＝24； 当n ＝3时，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34； 当n ＝4时，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝256＝44； ……猜想：S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4. ∴S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝1 0084.2．已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x3≥4，…，则第n 个不等式为________________．押题依据 根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．答案 x ＋n nxn ≥n ＋1解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1x；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27x3；……显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n ，分子是n n，所以不等式左边的式子为x ＋n nxn ，显然不等式右边的式子为n ＋1，所以第n 个不等式为x ＋n nxn ≥n ＋1.3．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，证明：数列{S n }不是等比数列． 押题依据 反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及．证明 假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．A 组 专题通关1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199答案 C解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第10项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…， 第10项为123，即a 10＋b 10＝123.2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 答案 C解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b >－2，b ＋1c>－2，c ＋1a>－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以假设不成立，故选C.3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确答案 C解析 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．4．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 A解析 假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A. 5．设a ，b ∈R ，定义：M (a ，b )＝a ＋b ＋|a －b |2，m (a ，b )＝a ＋b －|a －b |2，则下列式子错误的是( )A ．M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋bB ．m (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |－|b |C ．M (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |＋|b |D ．m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b ) 答案 B解析 ∵M (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，m (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，∴m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b )，D 正确；M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋b ，A 正确；m (|a ＋b |，|a －b |)＝min{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |， ab <0，|a －b |， ab ≥0，B 错误；M (|a ＋b |，|a －b |)＝max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |＝|a |＋|b |，ab ≥0，|a －b |＝|a |＋|b |，ab <0，C 正确．故选B.6．对于任意的两个实数对(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，规定：(x 1，y 1)＝(x 2，y 2)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2；运算“⊗”为(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，y 1x 2＋x 1y 2)；运算“ ”为(x 1，y 1) (x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．设k ，n ∈R ，若(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，则(1,2) (k ，n )＝________. 答案 (2,1)解析 由(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －2n ＝3，2k ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，n ＝－1.所以(1,2) (k ，n )＝(1,2) (1，－1)＝(2,1)．7．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之．问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．答案 120解析 由题意，第n 层茭草束数为 1＋2＋…＋n ＝n n ＋12， ∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即为12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)]＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680， 即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15，∴n n ＋12＝120.8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1 ＋f x 2 ＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f x 1 ＋f x 2 ＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 方法一 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二 (1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立， 只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥72.又因为a 2＋b 2＝m －2>0.所以m >2，故m ≤－1舍去，所以m ≥72.B 组 能力提高11．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段长度的平方和是()A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2答案 A解析 由题意可知，这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二条线段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，第三条线段长度的平方为a 23＝(14a )2＝116a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以该数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－ 12 10]1－12＝1 023a22 048.故选A.12．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.13．如图(1)，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边分别于点A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1.请运用类比思想，如图(2)所示，在空间四面体V —BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于点E ，F ，G ，H ，用“体积法”可得的类似结论为________________．答案OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1 解析 利用类比推理，面积类比体积．14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43. (1)解 f (4)＝37，f (5)＝61. 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， f (4)－f (3)＝37－19＝3×6， f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n ＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. (2)证明 当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13(1k －1－1k )． 所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)] ＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43.。
