14.2.5 两个直角三角形全等的判定

判断两个直角三角形全等的方法嘿，朋友！今天咱来唠唠怎么判断两个直角三角形全等，这可是个超有用的小秘籍哦！咱先说说第一个方法，那就是“SAS”，也就是“边角边”啦！就好比说啊，有两个直角三角形，它们有一条边相等，就像你有个跟别人一样的宝贝玩具。

然后呢，这条边两边的角也相等，就好像这个玩具两边的守护小精灵也一样。

嘿，这样这两个直角三角形就是全等的啦！你就想象一下，一个三角形是左边一个大眼睛，右边一个小眼睛，另一个也是左边大眼睛右边小眼睛，边也一样长，那不就是全等嘛，哈哈！接下来是“ASA”，“角边角”哟！这就像是你有个三角形，它的两个角和一条夹边确定了。

比如说一个角是大嘴巴，一个角是小耳朵，中间夹着的那条边就是它们的联系纽带。

如果另一个三角形也有一样的大嘴巴、小耳朵和那条纽带，那它们肯定全等啦！这多形象呀！还有“HL”呢，这可是直角三角形特有的哦！就好比两个直角三角形像是两个厉害的战士，它们的斜边就像战士的大剑，一条直角边就像战士的盾牌。

如果大剑一样长，盾牌也一样长，那这两个战士就是一模一样的啦，这两个直角三角形也就全等咯！我记得我有一次做题，就把这个 HL 给搞混了，结果闹了个大笑话，哈哈，可不能学我呀！咱总结一下哈，判断两个直角三角形全等，就记住“SAS”“ASA”“HL”这几个宝贝。

你就把三角形想象成各种好玩的东西，边啊角啊就是它们的特征，一对比就知道是不是全等啦！比如说，你看到两个直角三角形，先看看有没有边相等，再看看边两边的角，或者先看角，再看夹边，或者直接看大剑和盾牌。

就这么简单粗暴！别想得太复杂啦，咱这方法多接地气呀！哎呀呀，学会了这个，以后看到直角三角形就不怕啦，一下子就能判断出它们是不是全等。

就像你一眼就能认出你的好朋友一样，是不是超厉害！好啦，朋友，赶紧去试试吧，保证你一用就灵，嘿嘿！。

直角三角形判定全等的方法一种判断直角三角形全等的方法是基于两个三角形的边长和角度的关系。

具体来说，我们可以使用以下三种方法：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和AAS（角-角-边）定理。

1.SSS定理（边-边-边）：SSS定理指出，如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

例如，如果两个直角三角形的三边长度分别为a、b、c和a’、b’、c’，如果a=a’、b=b’、c=c’，则可以判定这两个三角形全等。

这是最直观和直接的方法，但是在实践中，测量和比较三角形的边长可能不够准确。

因此，我们可以使用其他方法来判断直角三角形的全等。

2.SAS定理（边-角-边）：SAS定理指出，如果两个三角形的两边长和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

对于直角三角形，我们可以注意到其中一个角度是90度。

因此，如果两个直角三角形的一条直角边和两个相邻边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。

3.AAS定理（角-角-边）：AAS定理指出，如果两个三角形的两个角度和一条边长分别相等，则这两个三角形全等。

对于直角三角形，其中一个角度是90度。

因此，如果两个直角三角形的两个非直角角度和一条边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。

需要注意的是，在使用SAS和AAS定理时，我们需要确保给定的两个三角形中的直角对应于另一个直角。

如果直角不对应，则不能判定两个三角形全等。

除了使用这些方法，我们还可以使用勾股定理来判定直角三角形的全等。

勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

假设我们有两个直角三角形，分别具有直角边a和b以及斜边c，以及直角边a’和b’以及斜边c’。

如果a²+b²=c²且a’²+b’²=c’²，则我们可以判定这两个直角三角形全等。

总结起来，我们可以使用SSS、SAS、AAS这些几何性质和勾股定理来判定直角三角形的全等。

14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。

【情感态度价值观】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。

教学重难点【教学重点】掌握判定直角三角形全等的特殊方法。

【教学难点】应用“HL”解决直角三角形全等的问题。

课前准备课件、教具等。

教学过程一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等例1 如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ， ∴Rt △ADC ≌Rt △EDB (HL )；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．例2 下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用例3 如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE .(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由；(2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC (HL )；(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL )，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、板书设计两个直角三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.教学反思由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解。

直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。

对应边相等的两个三角形的三组同余。

2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。

3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。

判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。

方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。

方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。

方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。

方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

性质
1、全等角形面积和周长相等。

2.全等角对应边的高度相等。

3、全等角形的对应边相等。

4.全等角对应边的中线相等。

5.全等角对应的角的角函数值相等。

6、全等角形的对应角相等。

7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。

8.全等角对应的角的平分线相等。

直角三角形全等判定方法直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角为90度。

在几何学中，判定两个三角形全等的方法有很多，对于直角三角形全等的判定也有一些独特的方法。

本文将介绍几种常用的直角三角形全等判定方法。

一、SAS判定法SAS（边-角-边）判定法是指如果两个直角三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

具体来说，如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，且另一个直角边相等，则它们全等。

二、SSS判定法SSS（边-边-边）判定法是指如果两个直角三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

具体来说，如果两个直角三角形的三条边分别相等，则它们全等。

三、ASA判定法ASA（角-边-角）判定法是指如果两个直角三角形的一个角和两边的对应边分别相等，则这两个三角形全等。

具体来说，如果两个直角三角形的一个直角角和另外两个角分别相等，则它们全等。

四、AAS判定法AAS（角-角-边）判定法是指如果两个直角三角形的两个角和一条边的对应边分别相等，则这两个三角形全等。

具体来说，如果两个直角三角形的两个角和另外一条边分别相等，则它们全等。

五、HL判定法HL（斜边-直角边）判定法是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个三角形全等。

具体来说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们全等。

需要注意的是，在使用这些判定方法时，必须保证所给的条件足够确定两个直角三角形。

例如，如果只给出两个直角三角形的两个直角边相等，不能判定它们全等，因为只有两个直角边相等并不能确定第三条边的长度。

除了以上的判定方法，我们还可以利用勾股定理来判定直角三角形的全等。

勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。

如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则它们全等。

我们可以利用SAS、SSS、ASA、AAS、HL判定法以及勾股定理来判定直角三角形的全等。

根据给定的条件，选择合适的判定方法进行推导和判断。

14.2第五课时两个直角三角形全等的判定教学目标1.学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

2.经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题教学重点掌握判定直角三角形全等的特殊方法教学难点应用“HL”解决直角三角形全等的问题教学过程一、回顾交流1．课堂演练已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE等2吗？1C1=BC，A1B1=AB, 31C1=AC, A1B1=AB.作法：①作∠MC1N=∠C=90°②在C1M上截取C1 A1=CA③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N与B1,④连接A1B1，则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（记为“斜边，直角边”或“HL”）二．例题分析P102例7. 已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB 求证：AB=DC证明：∵∠BAC=∠CDB=90°（已知）∴△BAC,△CDB都是直角三角形又∵ AC=DB （已知）BC=CB （公共边）∴ Rt△ABC≌Rt△DCB （HL）∴ AB=DC （全等三角形的对应边相等）三．课堂练习P109 练习 1. 2. 3四．课堂小结直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外，还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

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