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绝密★启用前2016届北京市丰台区高三上学期期末联考文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：173分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0．4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0．5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0．7883元．下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有参考数据：0．4883元/度2880度=1406．30元， 0．5383元/度(4800-2880)度+1406．30元=2439．84元． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③2、如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．3、函数的一个单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知圆O ：，直线过点（-2，0），若直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．5、已知向量，，若，则（ ） A ． B ．C ．D ．6、“”是“”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、函数的定义域为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数．①当时，若，则_______；②若是上的增函数，则的取值范围是___________．10、已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______．11、下图是计算的程序框图，判断框内的条件是_______．12、已知下列函数：①；②；③，其中奇函数有_________个．13、设等差数列的前项和为，若,则=_______．三、解答题（题型注释）14、设函数的图象与直线相切于点．（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间；（3）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围．15、已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C 交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线C 的方程； （2）已知点,设直线PM 的斜率为，直线PN 的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．16、设数列的前项和为，满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式,并求数列的前n 项和．17、如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形，，，为中点．（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积．18、倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径．某调查公司随机调查了1000位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间都在内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制了频率分布直方图，如图．假设每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为“阅读达人”．（1）求这1000人中“阅读达人”的人数； （2）从阅读时间为的成年人中按分层抽样抽取9人做个性研究．从这9人中随机抽取2人，求这2人都不是“阅读达人”的概率．19、如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的面积；（2）求线段的长．参考答案1、B．2、D．3、D．4、A．5、C．6、C．7、A．8、B．9、，．10、．11、．12、．13、．14、（1）；（2）的单调递增区间为，；单调递减区间为；（3）记在上的值域为,在上的值域为，分析题意可知，从而即可建立关于的不等式即可求解．15、（1）根据抛物线的性质可将的坐标用含的代数式表示出来，从而即可建立关于的方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明的值是常量即可．16、（1）；（2）．17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．18、（1）；（2）．19、（1）；（2）．【解析】1、试题分析①错，当用电量为超过2880度至4800度之间时，不是所有的单价都是0．5383元，只是超出2800的部分单价为0．5383，不超过2800的部分单价还是0．4883元。
丰台区高三年级第二学期综合练习（二）数 学（文科）. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在 答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B = （A ）(24), （B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞ 2. 下列函数中，既是偶函数又是(0+)∞,上的增函数的是（A ）3y x = （B ）x y 2=（C ）2y x =-（D ）)(log 3x y -=3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 （A ）14，9.5（B ）9，9（C ）9，10（D ）14，94. 圆22(1)1x y ++=的圆心到直线1y x =-的距离为 （A ）1（B ）22（C ）2（D ）25. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入x 的值为 （A ）2-（B ）16 （C ）2-或8（D ）2-或166. 已知向量31()(31)22，，==-a b ，31()(31)22，，，==-a b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3 （C ）π2（D ）2π37. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为 （A ）2 （B ）6（C ）22（D ）238. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是 （A ）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用（B ）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 （C ）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用（D ）首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 双曲线2214xy -=的焦点坐标为 ．10. 已知复数(1i)(i 2)z =--，则z = ．12111侧视图俯视图正视图11. 在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c 3sin cos a B b A =，则角A 的大小为 .12. 若实数x y , ，x y , 满足约束条件00x y x x y a ≥≤++≤⎧⎪⎨⎪⎩，，，且y x z 3+=的最大值为4，则实数a 的值为 ．13. 已知函数2(1)21()11 1.,,,x x f x x x--+≤=+>⎧⎪⎨⎪⎩下列四个命题：①((1))(3)f f f >；②0(1)x ∃∈+∞,，01()3f x '=-；③()f x 的极大值点为1x =；④12(0)，,x x ∀∈+∞，12()()1f x f x -≤其中正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）14. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆221x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”.（1）点M (13),的“中心投影点”为________；（2）曲线2213y x -=上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，前3项和是7，等差数列{}n b 满足13b =，2242b a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2(21)n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.（本小题共13分）已知函数2π()sin sin()3cos 2f x x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．17.（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面PAB ， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：CE //平面PAB ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.（结论不要求证明）18.（本小题共13分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：FEB CDPA（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.19.（本小题共14分） 已知椭圆C ：22143xy+=，点P (40),，过右焦点F 作与y 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O 为圆心与P A 相切的圆，必与直线PB 相切.20.（本小题共13分） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x x<恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <.丰台区~第二学期二模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBACDBCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(50)±, 1010．π612．2- 13．①②③④ 14．13(2,；4π3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）由已知，得1237a a a ++=，且等比数列{}n a 的公比2q =，所以111247a a a ++=，解得11a =， ……………………1分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=。
北京市丰台区2017届高三数学5月综合练习（二模）试题文北京市丰台区２017届高三数学5月综合练习(二模)试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(北京市丰台区201７届高三数学5月综合练习（二模)试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12丰台区2017年高三年级第二学期综合练习(二）数 学（文科)20１7。
05（本试卷满分共1５0分,考试时间120分钟）注意事项:1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在 答题卡的“条形码粘贴区"贴好条形码．2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚. ３。
请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效,在试卷、草稿纸上答题无效．4。
请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 (选择题 共4０分)一、选择题共8小题，每小题５分,共４0分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B = (A)(24),ﻩﻩ(B ）(24,] ﻩ(C ）[1+),∞ﻩﻩﻩ(D)(2),+∞2。
下列函数中，既是偶函数又是(0+)∞,上的增函数的是 (A)3y x =（Ｂ)x y 2=ﻩ ﻩ(C ）2y x =-ﻩ （D ）)(log 3x y -=3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程(单位:千米)的茎叶图如图所示:则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 (A ）１4,９.5(B ）９，９ﻩﻩ（C ）９,10ﻩﻩﻩ（D ）14，9４. 圆22(1)1x y ++=的圆心到直线1y x =-的距离为 （A)1 ﻩ ﻩ（B)22ﻩ（Ｃ)2 (D ）2５。
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习(一)数学(文科)2017. 03(本试卷满分共150分，考试时间120分钟) 注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3•请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4•请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如果集合A」..x Z - 2 空x：：:1^, B-—1,0,1｝，那么A B =(A)〈-2, -1,0,r ( B)〈-1,0,1? (C) \0,v( D)〈-1,0?2. 在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线(A) (-3,4)(D) (0, -3)3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i值是(A ) 3(C) 54. 设命题p：一[0,二),e x -1，则一p 是(A)X。
订0, ：：) , e x0：：1(B)~x[0,：：) , e x：：1(C)X0[0,：：) , e x°-1(D)-x[0,：：) ,e x.13x+2y • 5=0同一侧的点是(B) (-3, -2) ( C ) (-3, -4) / 输/。
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=错误！未找到引用源。
的距离等于（A （B （C （D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -=（D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a ，1)=-b ，则，a b 的夹角为（A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）侧视图俯视图正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+u u r u u r u u r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i = ,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.GAD EFBC20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以s i B >，从而2s A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分 （Ⅱ）因为πi n c o6B C B A -+-+..………………7分s i n c o sB B +..………………9分 π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △矛盾，故πs i n c o s ()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分 (=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125， 2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . ………………2分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ． ………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD = 所以A ⊥． ………………5分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E，B，1(2F - ， 所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB = . 设平面B D 的法向量为(,,)x y z =n ，由x00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分 所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,x y ==，得(2,=n ． ………………8分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF所成的角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H，设1()(01)2H t t -≤≤，则1()2DH t =- ． 设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ， ………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面H A D ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. …………………2分 因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e ea a f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()x f x x -+. (1)1分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x+'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =+，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=， 所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥. 由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m jim a a j d +=+；由②，得2m ij m a a i d +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n jij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2016北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=x3B．C．y=tanxD．3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、204．已知直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，那么“n⊂α”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2D．6．已知等比数列{a n}中，a1=1，且，那么S5的值是（）A．15B．31C．63D．647．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，，2B．4，2， C．，2，2D．，2，8．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（）A． B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．10．已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90°，则= ．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，则圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长．12．已知x＞1，则函数的最小值为．13．已知x，y满足，目标函数z=mx+y的最大值为5，则m的值为．14．函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x﹣b（b∈R）．①当b=0时，函数f（x）的零点个数；②若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）．17．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′﹣ABDE （如图）．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BC′D；（Ⅱ）设平面C′DE∩平面ABC′=l，求证：AB∥l；（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F为棱BC′上一点，设，当λ为何值时，三棱锥C′﹣ADF的体积是1？18．已知函数，数列{a n}满足：．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列的前n项和T n．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在x=1处的切线l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）当m＞﹣1时，（Ⅰ）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围．20．已知椭圆C：过点A（2，0），离心率，斜率为k（0＜k≤1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设△HPG的面积为S1，△BPQ面积为S2，求的取值范围．2016北京市丰台区高三（一模）数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x3是奇函数在其定义域上是增函数，满足条件，B．y=﹣是奇函数在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件．C．y=tanx为奇函数，在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件，D．y=为偶函数，在定义域上不是增函数．故选：A3．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】把两列数据按照从小到大排列，数据有11个．最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来．【解答】解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A．4．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，由“n⊂α”可得：“m∥α”，反之不成立，可能：n⊂α，或n∥α．【解答】解：直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，那么“n⊂α”⇒“m∥α”，反之不成立，可能：n⊂α，或n∥α．∴“n⊂α”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），P在渐近线y=x上，△OFP为等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，运用直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），F（c，0），P在渐近线y=x上，△OFP为等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，即有=1，即a=b，c==a，则e==．故选：B．6．【考点】等比数列的通项公式．【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，a1=1，且，∴=q3=8，∴q=2，∴S5==31，故选：B．7．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC 斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=4sin60°=2，y是边AB的一半，y=AB=2，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=2；∴x，y，z分别是2，2，2．故选：C．8．【考点】函数的图象．【分析】注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析应由y轴分析x轴，从而利用排除法求得．【解答】解：∵当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，∴排除B、C；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除A，故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】使用勾股定理和余弦函数的定义计算BC和cosB，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：由勾股定理得BC=，∴cosB=，∴=AB×BC×cosB=4×=16．故答案为：16．11．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，再推导出直线l：kx﹣y+2﹣k=0过圆心C（1，2），由此能求出圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，动直线l：kx﹣y+2﹣k=0整理，得：（x﹣1）k+2﹣y=0，解方程组，得x=1，y=2，∴直线l：kx﹣y+2﹣k=0过圆心C（1，2），∴圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长为．故答案为：2．12．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．则函数=+（x﹣1）+1≥+1=3，当且仅当x=2时取等号．则函数的最小值为3．故答案为：3．13．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（1，2），化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，当﹣m≤﹣1，即m≥1时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最大值为，解得m=；当﹣1＜﹣m≤2，即﹣2≤m＜1时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最大值为m+2=5，解得m=3（舍）．∴m=．故答案为：．14．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】①求出函数的值域，即可推出函数的零点的个数．②利用函数的单调性，求出函数的最值，求解即可．【解答】解：①当b=0时，函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x．∵2x+2﹣x=2．﹣2x﹣2﹣x≤﹣2，cosx≤1，∴f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x≤﹣1．函数f（x）的零点个数为0．②函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x﹣b，函数是偶函数，可得f′（x）=﹣sinx﹣2x ln2﹣2﹣x ln2，x＞0时，2x ln2+2﹣x ln2≥2ln2＞1．﹣2x ln2﹣2﹣x ln2＜﹣1﹣sinx﹣2x ln2﹣2﹣x ln2＜0，函数f（x）在x＞0时是减函数，x＜0时是增函数，x=0函数取得最大值：﹣1．如图：若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（﹣∞，﹣1）故答案为：0；（﹣∞，﹣1）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简f（x），从而求出周期T；（Ⅱ）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解： =，（Ⅰ）；（Ⅱ）∵，∴，即，由此得到：f（x）max=1，此时；∴，此时．16．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）设销售量不足200k为事件A，这一年共有12个月，利用列举法能求出销售量不足200k的概率．（Ⅱ）设连续两个月销售量递增为事件B，利用列举法能求出这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率．（Ⅲ）由折线图，估计年平均销售量在200k～250k这两条水平线之间．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）设销售量不足200k为事件A，这一年共有12个月，其中1月，2月，6月，11月共4个的销售量不足200k，…所以．…（Ⅱ）设连续两个月销售量递增为事件B，在这一年中随机取连续两个月的销售量，有1，2月；2，3月；3，4月；4，5月；5，6月；6，7月；7，8月；8，9月；9，10月；10，11月；11，12月共11种取法，…其中2，3月，3，4月；4，5月； 6，7月；7，8月；8，9月；11，12月共7种情况的销售量递增，…所以．…（Ⅲ）在200k～250k这两条水平线之间．…17．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由DE∥AB，AB⊥BC可知DE⊥BC，故翻折后DE⊥BD，DE⊥C′D，得出DE⊥平面BC′D；（II）由DE∥AB可知AB∥平面C′DE，由线面平行的性质即可得到AB∥l；（III）V C′﹣ADF=V A﹣DC′F=，当C′D⊥BD时，∠DC′F=45°，BC′=3，代入体积公式计算C′F，从而得出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点∴DE∥AB，∴C'D⊥DE，BD⊥DE，又∵C'D∩BD=D，∴DE⊥平面BC'D，（Ⅱ）∵DE∥AB，DE⊂面C'DE，AB⊄面C'DE，∴AB∥面C'DE，又∵AB⊂面ABC'，面ABC'∩面C'DE=l，∴AB∥l．解：（III）∵DE⊥平面BC′D，DE∥AB，∴AB⊥平面BC′D，∴V C′﹣ADF=V A﹣DC′F==1，∴S△C′DF=．∵C′D⊥BD，C′D=BD=3，∴∠DC′B=45°，C′B=3．∴S△C′DF==．解得C′F=，∴BF=BC′﹣C′F=2．∴λ==2．18．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过代入可知a n+1﹣a n=2，进而可知数列{a n}是以首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）及等差数列的求和公式，裂项可知，进而并项相加即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即a n+1﹣a n=2，又∵a1=2，∴数列{a n}是以首项、公差均为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）∵数列{a n}是等差数列，∴，∴，∴===．19．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据切点坐标，向量k=f′（1）=m﹣2，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的符号结合二次函数的性质，判断函数的单调性，从而求出m的具体范围；（Ⅲ）根据直线和曲线C的关系，得到，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），x＞0…因为，所以切点为（1，）．又k=f′（1）=m﹣2，…所以切线l，即l．…（Ⅱ）①当m≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意．…②当m＞0时，设y=mx2﹣x﹣1，该抛物线开口向上，且△=1+4m＞0，过（0，﹣1）点，所以该抛物线与x轴相交，交点位于原点两侧，f（x）不单调，不符合题意，舍去．…综上m≤0．…（Ⅲ）因为直线l与C有且只有一个公共点，所以方程，即有且只有一个根．…设，则，…①当m≥0时，因为x＞0，所以mx+1＞0，令g'（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1；所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以g（x）min=g（1）=0，所以符合条件．…②当﹣1＜m＜0时，则令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1或；所以g（x）在上单调递增，在（0，1），上单调递减，…==，因为﹣1＜m＜0，所以，，又，所以，即，所以．所以g（x）在上有一个零点，且g（1）=0，所以g（x）有两个零点，不符合题意．综上m≥0．…20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点A（2，0），离心率，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2．由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质，结合已知能求出的取值范围．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点A（2，0），离心率，∴由已知得a=2，…，∴c=1，…∴，…∴椭圆C的标准方程为．…（Ⅱ）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2．…由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0…∴，即…∵△=16（12k2﹣3）＞0，∴，即．∵0＜k≤1，∴．…又，而=，…，…=，…∵设，∴．即的取值范围是（0，2]．…。
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，那么（A） （B）（C） （D）（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（A） （B）（C） （D）（4）已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（A）（B）（C）（D）（5）设，为实数，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知函数是偶函数,且，则（A） （B）（C） （D）（7）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量 ，则下列说法不正确的是（A）（B）（C）（D）（8）如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数．（10）若函数在区间上有且只有一个零点，则实数．（11）已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数 .（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.（13）已知数列满足,，且，，则 ；数列的前项的和为________．（14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．三、解答题共6小题，共80分。
文数综合卷2一、单选题1．i 为虚数单位，则()()13(i i -+= ) A ．23i + B ．22i -C ．22i +D ．42i -2．设集合122xA x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,2- B ．[)1,2-C ．(]1,2- D ．[]1,2-3．函数()2ln 1y x=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时,其俯视图可能为A ．B ．C ．D ．5．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．326．“2211og a og b <”是“11a b<”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量()4,7a =-，()3,4b =-，则2a b -在b 方向上的投影为（ ） A ．2B ．-2C．-D．8．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．39．设a b c ，，分别是ABC △的内角A B C ，，的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，则A ∠的大小为( )A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,411．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（ ） A ．18B ．12C．D．12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0>ω）的最小正周期为π，函数()()4g x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对x R ∀∈，都有()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小正值为（ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π第II 卷（非选择题)二、填空题13．某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为_________．14．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线10x y -+=所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________.15．已知,αβ均为锐角且()()cos 3cos αβαβ-=+，则()tan αβ+的最小值________.16．若函数()2323020x x f x x ax x +⎧-≤=⎨-+>⎩，，有三个不同的零点则实数a 的取值范围______．三、解答题17．正项等比数列{}n a 中，已知34a =，426a a =+.()1求{}n a 的通项公式；()2设n S 为{}n a 的前n 项和，()()*41log n n b S S n N =+∈，求25850++b b b b ++⋯.18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（III ）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点()2,0A .()1求椭圆的标准方程；()2过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设()2,0D -，过椭圆中心O 作直线BD 的垂线交l 于点C ，求证：•OB OC 为定值.20．如图在多面体ABCDE 中，AC 和BD 交于一点除EC 以外的其余各棱长均为2.()1作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由； ()2求证：BD CE ⊥；()3若平面ADE ⊥平面ABE ，求多面体ABCDE 的体积.21．已知函数()sin 2cos 2f x x x x ax =+++，其中a 为常数.()1若曲线()y f x =在2x π=处的切线斜率为-2，求该切线的方程；()2求函数()f x 在[]0,x π∈上的最小值.22．在平面直角坐标xOy 系中，曲线C 的参数标方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数，且0t >），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭()1求曲线C 的极坐标方程；()2求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23．已知函数()21f x x x =-+，且,,a b c R ∈.()1若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值； ()2若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+.参考答案1．D 2．A 3．D因为()2ln 1y x =+，满足偶函数f （﹣x ）=f （x ）的定义， 所以函数()2ln 1y x =+为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B ，4．B∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）． ∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 5．D由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PA k +==最大． 6．D若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b >>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b<”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件.7．B向量()4,7a =-，()3,4b =-，∴221a b -=-（，），∴(2)a b -•b =()213,4--（，）=-10， |b；∴向量2a b -在向量b 方向上的投影为： |2a b -|cos ＜(2)a b -，b ＞=()2a b b b-⋅=105-=﹣2．8．D过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MN NF=1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.9．C∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，，∴由正弦定理可得：()()b a c b c a c +=+-（），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ， ∴由余弦定理可得：cosA=12-，∴由A ∈（0，π），可得：A=23π. 10．B 11．B如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形， ∴AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 此时球与四个面相切，如图D 、M 为其中两个切点， ∵S 球=16π, ∴球的半径r =2．又∵PD=6，OD=2,∴OP=4,又OM=2, ∴OPM ∠=30︒∴, ∴ AB=12, 故选B.12．B由函数()f x 的最小正周期为π，可求得ω=2∴f （x ）=()sin 2x ϕ+，()()4g x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=()sin 2sin 24x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()() cos 2sin 2x x ϕϕ++=2sin （2x ϕ++6π）， ∴()2sin26g x x πϕ=++，又()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴x=3π是g(x)的一条对称轴，代入2x ϕ++6π中，有23πϕ⨯++6π=k 2ππ+(k Z),解得ϕ=k 3ππ-+(k Z),k=1时，23πϕ=，13．12∵高中部女教师与高中部男教师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人，∴工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，∴工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3，∴工会代表中初中部教师总人数为10，又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7：3，工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3； ∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12， 14．()2239x y -+=设圆心为（t ，0），且t>0, ∴半径为r=|t|=t ，∵圆C 截直线10x y -+=所得的弦长为2，∴圆心到直线10x y -+=的距离∴t 2-2t-3=0， ∴t=3或t=-1（舍）， 故t=3，∴()2239x y -+=. 故答案为()2239.x y -+= 15．由cos （α-β）=3cos （α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ， 可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，则tanαtanβ=12，又()tan β1tan tan βtan tan ααβα++=-=2tan β2tan α+≥⨯故答案为： 16．()3,+∞因为0x ≤，由2230x +-=可得2230x log =-+<，即函数()f x 在0x ≤上有一个零点；所以函数()2323020x x f x x ax x +⎧-≤=⎨-+>⎩，，有三个不同的零点等价于方程320x ax -+=在()0,∞+上有两个不等实根，等价于方程22a x x=+在()0,∞+上有两个不等实根；即y a =与函数()22g x x x=+在()0,∞+上有两个不同交点； 由()22g x x x =+得()()()2´2221122x x x g x x x x-++=-=,由()´0g x >得1x >; 由()´0gx <得01x <<,即函数()22g x x x=+在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增， 所以()g x 最小值为()13g =，所以()[3)g x ∞∈+，, 因为y a =与函数()22g x x x=+在()0,∞+上有两个不同交点，所以3a >.故答案为()3,+∞17．()1 1*2,n n a n N -=∈ ()2221()1设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则由34a =及426a a =+得446q q =+，化简得22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍去）.所以{}n a 的通项公式为31*3•2,n n n a a qn N --==∈. ()2由122112n n n S -==--得，()414log log 22nn n n b S S =+==.所以()()25850117++b =2585025022124b b b ++⋯+++⋯+=+=. 18．(1) P =1950;(2) P =1021;(3) 故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．试题解析：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人， 所以P =1950；（2）设这7名学生分别为a,b,c,d,e,A,B （大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有： (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,e),(b,A),(B,b),(c,d),(c,e),(c,A),(c,B)，(d,e),(d,A),(d,B),(e,A),(e,B),(A,B)，共21种情况，其中有1名男生的有10种情况， ∴P =1021．（3）由题意得，K 2=50×(18×19−6×7)224×26×25×25≈11.538>10.828，故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．19．()1 22142x y += ()24，证明见解析()1因为椭圆的离心率2c e a ==，且2a =，所以c =又2222b a c =-=.故椭圆的标准方程为22142x y +=.()2设直线l 的方程为2x ty =+（t 一定存在，且0t ≠）.代入2224x y +=，并整理得()22240t y ty ++=.解得242B t y t -=+，于是224222B B t x ty t -=+=+. 又()2,0D -，所以BD 的斜率为2224422222t tt t ⎛⎫--÷+=- ⎪++⎝⎭. 因为OC BD ⊥，所以直线的方程为2y t x=. 与方程2x ty =+联立，解得42,C t -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故22222481648•4222t t OB OC t t t -+=+==+++为定值.20．()1见解析()2见解析()3 2()1过点E 作AB （或CD ）的平行线，即为所求直线l .AC 和BD 交于一点，,,,A B C D ∴四点共面.又四边形ABCD 边长均相等.∴四边形ABCD 为菱形，从而//AB DC .又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，//AB ∴平面CDE .AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面CDE l =，//AB l ∴.()2证明：取AE 的中点O ，连结OB ，OD .AB BE =，DA DE =，OB AE ∴⊥，OD AE ⊥.又OB OD O ⋂=，AE ∴⊥平面OBD ，BD ⊂平面OBD ，故AE BD ⊥.又四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.又AE AC A ⋂=，BD ∴⊥平面ACE .又CE ⊂平面ACE ，BD CE ∴⊥.()3解：平面ADE ⊥平面ABE ，DO ∴⊥平面ABE .故多面体ABCDE 的体积11222?•2232E ABCD E ABD D ABE V V V ---⎛==== ⎝.21．()1 220x y π+--= ()2 ()min 44,4,a f x a a πππ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩()1求导得()cos sin f x x x x a -'=+，由122f a π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'解得1a =-. 此时22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该切线的方程为222y x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即220x y π+--=为所求. ()2对[]0,x π∀∈，()sin 0f x x x '=-≤'，所以()f x '在[]0,π区间内单调递减.当0a ≤时，()()00f x f a ''≤=≤，()f x ∴在区间[]0,π上单调递减，故()()min f x f a ππ==.当a π≥时，()()0f x f a ππ'='≥-≥，()f x ∴在区间[]0,π上单调递增，故()()min 04f x f ==.当0a π<<时，因为()00f a '=>，()0f a ππ='-<，且()f x '在区间[]0,π上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一()00,x π∈，使得()00f x '=，且()f x 在[]00,x 上单调递增，在[]0,x π上单调递减.故()f x 的最小值等于()04f =和()fa ππ=中较小的一个值. ①当4a ππ≤<时，()()0f f π≤，故()f x 的最小值为()04f =. ②当40a π<<时，()()0f f π≤，故()f x 的最小值为()f a ππ=.综上所述，函数()f x 的最小值()min 44,4,a f x a a πππ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩. 22．()1 2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ ()26π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥.将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭. ()2将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23．()173()2见解析 .【详解】 ()1由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=，即()()()f a f b f c ==的最小值为73； ()2因为1x a -<，所以()()()()22f x f a x a x a -=---=()()()()•11212112121x a x a x a x a a x a a a a -+-<+-=-+-≤-+-<++=+，故结论成立.。
2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=x3B．C．y=tanxD．3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、204．已知直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，那么“n⊂α”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．6．已知等比数列{a n}中，a1=1，且，那么S5的值是（）A．15B．31C．63D．647．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，，2B．4，2，C．，2，2D．，2，8．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．10．已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90°，则=．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，则圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长．12．已知x＞1，则函数的最小值为．13．已知x，y满足，目标函数z=mx+y的最大值为5，则m的值为．14．函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x﹣b（b∈R）．①当b=0时，函数f（x）的零点个数；②若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k 代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）．17．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′﹣ABDE（如图）．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BC′D；（Ⅱ）设平面C′DE∩平面ABC′=l，求证：AB∥l；（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F为棱BC′上一点，设，当λ为何值时，三棱锥C′﹣ADF的体积是1？18．已知函数，数列{a n}满足：．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列的前n项和T n．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在x=1处的切线l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）当m＞﹣1时，（Ⅰ）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围．20．已知椭圆C：过点A（2，0），离心率，斜率为k（0＜k≤1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设△HPG的面积为S1，△BPQ面积为S2，求的取值范围．2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=x3B．C．y=tanxD．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x3是奇函数在其定义域上是增函数，满足条件，B．y=﹣是奇函数在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件．C．y=tanx为奇函数，在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件，D．y=为偶函数，在定义域上不是增函数．故选：A3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、20【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】把两列数据按照从小到大排列，数据有11个．最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来．【解答】解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A．4．已知直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，那么“n⊂α”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，由“n⊂α”可得：“m∥α”，反之不成立，可能：n⊂α，或n∥α．【解答】解：直线m，n和平面α，m⊄α，n∥m，那么“n⊂α”⇒“m∥α”，反之不成立，可能：n⊂α，或n∥α．∴“n⊂α”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．5．已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），P在渐近线y=x上，△OFP为等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，运用直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），F（c，0），P在渐近线y=x上，△OFP为等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，即有=1，即a=b，c==a，则e==．故选：B．6．已知等比数列{a n}中，a1=1，且，那么S5的值是（）A．15B．31C．63D．64【考点】等比数列的通项公式．【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，a1=1，且，∴=q3=8，∴q=2，∴S5==31，故选：B．7．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，，2B．4，2，C．，2，2D．，2，【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=4sin60°=2，y是边AB的一半，y=AB=2，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=2；∴x，y，z分别是2，2，2．故选：C．8．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析应由y轴分析x轴，从而利用排除法求得．【解答】解：∵当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，∴排除B、C；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除A，故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°10．已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90°，则=16．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】使用勾股定理和余弦函数的定义计算BC和cosB，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：由勾股定理得BC=，∴cosB=，∴=AB×BC×cosB=4×=16．故答案为：16．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，则圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长2\sqrt{2}．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，再推导出直线l：kx ﹣y+2﹣k=0过圆心C（1，2），由此能求出圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，动直线l：kx﹣y+2﹣k=0整理，得：（x﹣1）k+2﹣y=0，解方程组，得x=1，y=2，∴直线l：kx﹣y+2﹣k=0过圆心C（1，2），∴圆C被动直线l：kx﹣y+2﹣k=0所截得的弦长为．故答案为：2．12．已知x＞1，则函数的最小值为3．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．则函数=+（x﹣1）+1≥+1=3，当且仅当x=2时取等号．则函数的最小值为3．故答案为：3．13．已知x，y满足，目标函数z=mx+y的最大值为5，则m的值为\frac{7}{3}．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（1，2），化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，当﹣m≤﹣1，即m≥1时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最大值为，解得m=；当﹣1＜﹣m≤2，即﹣2≤m＜1时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最大值为m+2=5，解得m=3（舍）．∴m=．故答案为：．14．函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x﹣b（b∈R）．①当b=0时，函数f（x）的零点个数0；②若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（﹣∞，﹣1）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】①求出函数的值域，即可推出函数的零点的个数．②利用函数的单调性，求出函数的最值，求解即可．【解答】解：①当b=0时，函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x．∵2x+2﹣x=2．﹣2x﹣2﹣x≤﹣2，cosx≤1，∴f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x≤﹣1．函数f（x）的零点个数为0．②函数f（x）=cosx﹣2x﹣2﹣x﹣b，函数是偶函数，可得f′（x）=﹣sinx﹣2x ln2﹣2﹣x ln2，x＞0时，2x ln2+2﹣x ln2≥2ln2＞1．﹣2x ln2﹣2﹣x ln2＜﹣1﹣sinx﹣2x ln2﹣2﹣x ln2＜0，函数f（x）在x＞0时是减函数，x＜0时是增函数，x=0函数取得最大值：﹣1．如图：若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（﹣∞，﹣1）故答案为：0；（﹣∞，﹣1）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简f（x），从而求出周期T；（Ⅱ）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：=，（Ⅰ）；（Ⅱ）∵，∴，即，由此得到：f（x）max=1，此时；∴，此时．16．如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k 代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）设销售量不足200k为事件A，这一年共有12个月，利用列举法能求出销售量不足200k的概率．（Ⅱ）设连续两个月销售量递增为事件B，利用列举法能求出这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率．（Ⅲ）由折线图，估计年平均销售量在200k～250k这两条水平线之间．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）设销售量不足200k为事件A，这一年共有12个月，其中1月，2月，6月，11月共4个的销售量不足200k，…所以．…（Ⅱ）设连续两个月销售量递增为事件B，在这一年中随机取连续两个月的销售量，有1，2月；2，3月；3，4月；4，5月；5，6月；6，7月；7，8月；8，9月；9，10月；10，11月；11，12月共11种取法，…其中2，3月，3，4月；4，5月；6，7月；7，8月；8，9月；11，12月共7种情况的销售量递增，…所以．…（Ⅲ）在200k～250k这两条水平线之间．…17．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′﹣ABDE（如图）．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面BC ′D ；（Ⅱ）设平面C ′DE ∩平面ABC ′=l ，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若C ′D ⊥BD ，AB=2，BD=3，F 为棱BC ′上一点，设，当λ为何值时，三棱锥C ′﹣ADF 的体积是1？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I ）由DE ∥AB ，AB ⊥BC 可知DE ⊥BC ，故翻折后DE ⊥BD ，DE ⊥C ′D ，得出DE ⊥平面BC ′D ；（II ）由DE ∥AB 可知AB ∥平面C ′DE ，由线面平行的性质即可得到AB ∥l ；（III ）V C ′﹣ADF =V A ﹣DC ′F =，当C ′D ⊥BD 时，∠DC ′F=45°，BC ′=3，代入体积公式计算C ′F ，从而得出λ的值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵∠B=90°，D ，E 分别为BC ，AC 的中点 ∴DE ∥AB ，∴C'D ⊥DE ，BD ⊥DE ，又∵C'D ∩BD=D ， ∴DE ⊥平面BC'D ，（Ⅱ）∵DE ∥AB ，DE ⊂面C'DE ，AB ⊄面C'DE ， ∴AB ∥面C'DE ，又∵AB ⊂面ABC'，面ABC'∩面C'DE=l ， ∴AB ∥l ． 解：（III ）∵DE ⊥平面BC ′D ，DE ∥AB ， ∴AB ⊥平面BC ′D ，∴V C ′﹣ADF =V A ﹣DC ′F ==1，∴S △C ′DF =．∵C ′D ⊥BD ，C ′D=BD=3，∴∠DC ′B=45°，C ′B=3．∴S △C ′DF ==．解得C ′F=，∴BF=BC ′﹣C ′F=2．∴λ==2．18．已知函数，数列{a n }满足：．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过代入可知a n+1﹣a n=2，进而可知数列{a n}是以首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）及等差数列的求和公式，裂项可知，进而并项相加即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即a n+1﹣a n=2，又∵a1=2，∴数列{a n}是以首项、公差均为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）∵数列{a n}是等差数列，∴，∴，∴===．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在x=1处的切线l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）当m＞﹣1时，（Ⅰ）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据切点坐标，向量k=f′（1）=m﹣2，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的符号结合二次函数的性质，判断函数的单调性，从而求出m的具体范围；（Ⅲ）根据直线和曲线C的关系，得到，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），x＞0…因为，所以切点为（1，）．又k=f′（1）=m﹣2，…所以切线l，即l．…（Ⅱ）①当m≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意．…②当m＞0时，设y=mx2﹣x﹣1，该抛物线开口向上，且△=1+4m＞0，过（0，﹣1）点，所以该抛物线与x轴相交，交点位于原点两侧，f（x）不单调，不符合题意，舍去．…综上m≤0．…（Ⅲ）因为直线l与C有且只有一个公共点，所以方程，即有且只有一个根．…设，则，…①当m≥0时，因为x＞0，所以mx+1＞0，令g'（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1；所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以g（x）min=g（1）=0，所以符合条件．…②当﹣1＜m＜0时，则令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1或；所以g（x）在上单调递增，在（0，1），上单调递减，…==，因为﹣1＜m＜0，所以，，又，所以，即，所以．所以g（x）在上有一个零点，且g（1）=0，所以g（x）有两个零点，不符合题意．综上m≥0．…20．已知椭圆C：过点A（2，0），离心率，斜率为k（0＜k≤1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设△HPG的面积为S1，△BPQ面积为S2，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点A（2，0），离心率，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2．由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质，结合已知能求出的取值范围．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点A（2，0），离心率，∴由已知得a=2，…，∴c=1，…∴，…∴椭圆C的标准方程为．…（Ⅱ）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2．…由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0…∴，即…∵△=16（12k2﹣3）＞0，∴，即．∵0＜k≤1，∴．…又，而=，…，…=，…∵设，∴．即的取值范围是（0，2]．…2016年7月15日。
⎩ 丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习（一）2016.3高三数学（文科）第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8}，集合 A = {2, 3, 5, 6} ，集合 B = {1, 3, 4, 6, 7} ，则集合 A (ðU B ) =（A ）{3, 6}（B ）{2, 5}（C ）{2, 5, 6}（D ）{2, 3, 5, 6,8}2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A ） y = x3（B ） y = - 1x（C ） y = tan x⎧ x ( x ≥ 0),（D ） y = ⎨- x ( x < 0).3.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得 分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分 别为（A ） 20、18 （B ）13、19（C ）19、13（D ）18、204. 已知直线 m , n 和平面， m ⊄ ， n ∥ a ,那么“ n ⊂ ”是“ m ∥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件23 23zxyy6（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.已知双曲线的一个焦点F，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若△OFP 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2 （D）6. 已知等比数列{ a n }中a1 = 1 ，且a4+ a5+ a8a1+ a2+ a5= 8 ，那么S5 的值是（A）15 （B）31 （C）63 （D）647. 如图，已知三棱锥P - ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z 分别是（A）2 , 2 , 2P（B）4,2, 2主主主主主主（C）2 ,2，2B主主主（D）2 ,2, 28. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1 低于均衡价格P0 时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2 高于均衡价格P0 时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是3232A主主主主主主主主主主主主主主主主主主主主（A）（B）P2 PP0 PP1 1O 主主O 主主（C）（D）第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9.在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对应的边分别为a,b,c，若b 2a sin B ，则∠A= ．⎨ ⎩10.已知△ABC 中，AB =4，AC =3，∠CAB=90o ，则 BA ⋅ BC =．11.已知圆 C : ( x -1)2 + ( y - 2)2 = 2 ，则圆 C 被动直线 l : kx - y + 2 - k = 0 所截得的弦长．12.已知 x > 1，则函数 y =1 x - 1+ x 的最小值为．⎧ y ≥ x , 13. 已知 x , y 满足 ⎪y ≤ 2x , ⎪ x + y ≤ 3, 目标函数z = mx + y 的最大值为 5，则 m 的值为 ．14.函数 f (x ) = cos x - 2x- 2- x- b (b ∈ R ) ．① 当 b =0 时，函数 f(x)的零点个数；② 若函数 f(x)有两个不同的零点，则 b 的取值范围．三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共 13 分）已知函数 f ( x ) = sin x cos x + sin 2x - 1 ． 2(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ)求 f (x ) 在区间[ π , π] 上的最大值和最小值.4 216. （本小题共 13 分）下图是根据某行业网站统计的某一年 1 月到 12 月（共 12 个月）的山地自行车销售量 （1k 代表 1000 辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数 据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足 200k 的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如 2 月到 3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不 要过程）.17. （本小题共 14 分）已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边 BC ，AC 的中点，将△CDE 沿 DE 翻折后， 使之成为四棱锥 C ' ABDE （如图）.y 300k 250k 200k 150k 100k 50k O1主 2主 3主 4主 5主 6主 7主 8主 9主 10主 11主x3EFES （Ⅰ）求证：DE ⊥平面 BC ' D ；（Ⅱ）设平面 C ' DE 平面 ABC ' = l ，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若 C ' D ⊥ BD ， AB = 2 ， BD = 3 ，F 为棱 BC ' 上一点，设BFFC '= ，当 为何值时，三棱锥 C '- ADF 的体积是 1？C'ADACD BB18. （本小题共 13 分）已知函数 f (x ) =2x +1x ，数列{a n }满足： a 1 = 2,a n +1 = f ( 1 )(n ∈ N a n* ) .（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；⎧ 1 ⎫（Ⅱ）设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，求数列 ⎨ ⎬ 的前 n 项和 T n . ⎩ n ⎭19 . （本小题共 14 分）已知函数 f (x ) = mx 2 - x - ln x ．2（Ⅰ）求曲线 C : y = f (x ) 在 x = 1 处的切线 l 的方程；（Ⅱ）若函数 f (x ) 在定义域内是单调函数，求 m 的取值范围；S 2（Ⅲ）当 m > -1时，（Ⅰ）中的直线 l 与曲线 C : y = f (x ) 有且只有一个公共点，求 m 的取值范围.20. （本小题共 13 分）已知椭圆 C : x 2y 2+ = 1(a > b > 0) 过点A （2，0），离心率 e = 1，斜率为 k (0 < k ≤ 1) a 2 b 22直线 l 过点 M （0，2），与椭圆 C 交于 G ，H 两点（G 在 M ，H 之间），与 x 轴交于点 B . （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）P 为 x 轴上不同于点 B 的一点，Q 为线段 GH 的中点，设△HPG 的面积为 S 1 ，∆BPQ 面 积 为 S ， 求 S 1的 取 值 范 2围.丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
