三角形平行四边形期末几何较难题大挑战

2012年三角形四边形数学难题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）二．填空题（共3小题）2．如图，E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，且BE=AC，则∠BED=22.5°．3．如图，在同一平面内有相同的正方形ABCD和A′B′C′D′，A′与正方形ABCD的中心重合，且正方形A′B′C′D′绕A′转动，则它们重叠部分的面积与正方形ABCD的面积之比是1：4．4．一个多边形，除去一个内角外，其余内角之和为2010°，这是一个14边形．＜，，三．解答题（共13小题）5．如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD=∠COB=60°，求证：CD+AD＞BC．中，6．已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为7．如图，已知M、E分别是AB、CD中点，MN⊥CD，EF⊥AB，若MN=AB，EF=CD 求证：AD∥BC．MN= CDDC AM==MN=DC AM EF=MN=AB EF=8．规律：如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是同底等高的两个三角形面积相等．应用：（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是．（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求△ACF的面积．（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若正五边形ABCDE的边长为a，求△ACH的面积（结果不求近似值）．；×=9．在面积为1的△ABC中，P为边BC上的中点，点Q在边AC上，且AQ=2QC，连接AP，BQ相交于点R，求：△ABR的面积？面积的这一关系，即可求出××，面积为，，，：=4=×=．10．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．BD1611．如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积．AD=4×××=S12．如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点0．已知OB=OD，OC=20E，设三角形BOE、三角形BOC、三角形COD和四边形AEOD的面积分别为S1、S2、S3、S4．（1）求S1：S3的值．（2）如果S2=2，求S4的值．13．已知△ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC．求三角形DEF的面积．14．如图，在△ABC中，AP=QP=QB=BC，AB=AC．求∠A的度数．QBD==9015．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．BF=CF=16．（2009•青岛）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E 与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．ABBE=ABEF=17．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD边向点以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．。

2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm22．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD =S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD =2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．255．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．157．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜38．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．69．△ABC 与平行四边形DEFG 如图放置，点D ，G 分别在边AB ，AC 上，点E ，F 在边BC 上．已知BE=DE ，CF=FG ，则∠A 的度数（ ）A ．等于80°B ．等于90°C ．等于100°D ．条件不足，无法判断二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD 于D ，F 为AC 中点，AB=5，BC=7，则DF= ．11．在▱ABCD 中，两对角线交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个．12．在△ABC 中，BC=10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，B 1，B 2，C 1，C 2分别是AB ，AC 的三等分点，在图③中B 1，B 2…B 9；C 1C 2…C 9分别是AB 、AC 的10等分点，则B 1C 1+B 2C 2+…+B 9C 9的值是 ．13．已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是 ．14．已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为 ．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CD ，DA 至点A 1，B 1，C 1，D 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1D=2CD ，D 1A=2AD ，顺次连接A 1，B 1，C 1，D 1，得到平行四边形A 1B 1C 1D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1、D 1A 1至点A 2，B 2，C 2，D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5= ．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= cm2．三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．20．已知：如图，AD∥BC，AC⊥BD于O，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC于E．求AE的长．21．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CN ⊥AD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M．试判断BM=MC的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．22．已知：如图在▱ABCD中，AC，BD交于O，CE ⊥BD于E，AF⊥BD于F，连接AE，CF．（1）判断四边形AFCE的形状；（2）证明你的结论．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是．（不要求说明理由）35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G 的形状是．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．39．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．四．解答题（共1小题）40．如图所示，在▱ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D 的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系为什么（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF 、BC与AB的关系又如何请画出图形并证明你的结论．2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm2【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB=AC，∴BF=CF=BC=×8=4，在Rt△ABF中，AF==，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，∴NM=BC=DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2=÷2=，∴S阴影=4×÷2=．故选B．2．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD=S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD=2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ【解答】解：∵平行四边形中，MN∥AB，PQ∥BC，∴S△BOP=S△BON，S△MOD=S△QOD，S（△BOP+▱APOM+△MOD）=S（△BON+▱CQON+△QOD）．∴S▱APOM=S▱CQON∴A、B、C说法都不正确，故选D．3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB ∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．25【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选：D．5．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选：B．6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．15【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=．△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y．则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=．同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．则四边形A4B2C4D2的面积是S ﹣﹣﹣﹣=，即=1，解得S=．故选：C．7．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜3【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE、CE，∵AD=DE∵AD是△ABC中BC边上的中线∴BD=DC∴四边形ABEC为平行四边形∴BE=AC=4∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB即2＜2AD＜6∴1＜AD＜3故选：D．8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．6【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3，∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，∴S△ADE=BC •=×3×=3，设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2=3，∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．故选：D．9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G 分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断【解答】解：∵BE=DE∴∠B=∠BDE∵四边形DEFG是平行四边形∴∠ADG=∠B∴∠ADG=∠BDE同理：∠AGD=∠CGF∵∠AGD+∠CGF+∠DGF=180°，∠DGF+∠GDE=180°∴∠AGD+∠CGF=∠GDE∵∠ADG+∠BDE+∠GDE=180°∴∠ADG+∠BDE+∠AGD+∠CGF=180°∴∠ADG+∠AGD=90°∴∠B+∠C=90°∴∠A=90°故选：B．二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF= 1 ．【解答】解：延长AD交BC于E∵AD⊥BD，BD平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE=AB=5又∵BC=7∴EC=BC﹣BE=7﹣5=2∵DF为△AEC的中位线∴DF=EC=×2=1．故答案为1．11．在▱ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 4 个．【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：△AHD≌△CFB，△AFB≌△CGD，可得，AH=CF，AF=CH，所以AHCF是平行四边形；同理可得BGDE是平行四边形，则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE，故有4个．故答案为4．12．在△ABC中，BC=10，B1、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图③中B1，B2…B9；C1C2…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45 ．【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1=BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2=BC+BC；…当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=5（n﹣1）；当n=10时，5（n﹣1）=45；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．故答案为45．13．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（2）（3）．【解答】解：其中正确的说法是（2）、（3）．因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：（2）（3）．14．已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009，∵△ABC周长为1，∴第2010个三角形的周长为．故答案为：．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5= 135．【解答】解：如图，连接BD，B1D，∵B1C=2BC，∴△B1DC的面积是△DBC的面积的两倍，又∵C1D=2DC，△B1C1D的面积是△B1DC的两倍，∴△B1C1C的面积是△DBC的面积的6倍，也就是平行四边形ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，∴新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135．故填空答案135．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= 144 cm2．【解答】解：设S△AEF 的高为h1，S△DCF的高为h2，平行四边形的高为h ∵平行四边形ABCD ∴△AEF∽△CDF∵S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2∴AE：DC=AE：AB=1：3，h 1：h2=1：3∴AB=3AE∵h=h1+h2∴h=4h1∵S△AEF=AE•h1=6∴AE•h1=12∴S平行四边形ABCD =AB•h=3AE•4h1=12AE•h1=144cm2三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD=ME，AM=DE，∵M 是BC的中点，AD=10，∴MB==5，∴BE=BM+ME=15，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM=DE=9，∵BD=12，∴92+122=152，即BD2+DE2=BE2，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为=，∴平行四边形ABCD的面积为10×=72．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，∵CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=BE=CD，又∵AB∥CD，∴BCDE为平行四边形，∴BC∥DE，∵AC⊥BC，∴DE⊥AC．（2）∵CD∥AB，∴∠ACD=∠CAE．由（1）知EC=EA，∴∠A=∠ACE．∴∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．20．已知：如图，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC 于E ．求AE 的长．【解答】解：过点A 作AF ∥DB 交CB 的延长线于点F ，（1分） ∵AD ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴FB=AD ． ∵AD+BC=5，∴FC=FB+BC=AD+BC=5．（2分） ∵AC ⊥BD ， ∴FA ⊥AC ．（3分）在△FAC 中，∠FAC=90°，AC=3，FC=5， ∴AF=4．（4分） ∵AE ⊥BC 于E ， ∴AF •AC=FC •AE ． ∴AE=．（5分）21．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CN ⊥AD 于E 交AB 于N ，F 是AC 的中点，FE 的延长线交BC 于M ．试判断BM=MC 的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．【解答】解：结论BM=MC 正确．证明过程如下： ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠NAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠AEN=∠AEC=90°． ∵AE=AE ， ∴△ANE ≌△ACE ． ∴NE=CE ．∵F 为AC 的中点， ∴AF=CF ． ∴EF ∥AB ． ∵AF=CF ， ∴BM=MC ．22．已知：如图在▱ABCD 中，AC ，BD 交于O ，CE ⊥BD 于E ，AF ⊥BD 于F ，连接AE ，CF ． （1）判断四边形AFCE 的形状；（2）证明你的结论．【解答】解：（1）四边形AFCE 是平行四边形．（2）∵在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．又∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∴OE=OF．∴AECF是平行四边形．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．【解答】解：（1）四边形ABCD为平行四边形．∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°在Rt△OBC中，OB=，BC=3，∴．∵AC=4，∴OA=2，∴OA=OC．∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．又∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴BC=AD．∵BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）设AB边上的高为h，∵S平行四边形ABCD=BC•AC=AB•h，∴3×4=5h，∴h=．即AB边上的高为．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．【解答】解：探究（1）：如图（2），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．探究（2）：如图（3），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．选择探究（1）：如图（2），证明MP=NQ．理由：如图（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；又MN∥AC，∵四边形ACNP是平行四边形，∴NP=AC．同理可证MQ=AC，∴NP=MQ∴PQ+QN=MP+PQ，∴MP=NQ．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm【解答】解：（1）ED是△ABC的中位线即E、D分别为AB、AC的中点，则ED=BC=4cm，∴BE=AB=3cm，∵动点速度为每秒2cm，∴时间为t==；（2）ED的长为2cm，即ED=BC，∴AE=AB=，∴BE=6cm﹣=故时间t==秒，答：（1）经过秒后ED是△ABC的中位线，此时ED 的长为4cm，（2）经过秒后ED的长为2cm．26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．【解答】解：（1）△ACD≌△CBF证：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∠ACD=∠B=60°∵CD=BF∴△ACD≌△CBF（SAS）（2）四边形CDEF为平行四边形∵△ACD≌△CBF∴∠DAC=∠BCF，CF=AD∵△AED是等边三角形∴AD=DE∴CF=DE①∵∠ACG+∠BCF=60°∴∠ACG+∠DAC=60°∴∠AGC=180°﹣（∠ACG+∠DAC）=120°∴∠DGF=∠AGC=120°∵△AED是等边三角形∴∠ADE=60°∴∠DGF+∠ADE=180°∴CF∥DE②综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．（3）∵AC=BC，当点D是BC中点时，BF=CD=BC=AB，∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB，∴∠DEF=∠ACB=30°，∴当点D是BC中点时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．【解答】证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵DE=CF，∴AE=BF．∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM=ME，CN=NE．∴MN是△BCE的中位线．∴MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG∵G、N、M分别是BD、BC、AD的中点，∴GN是△ADB的AB对的中位线，GM是△BCD的CD 对的中位线∴NG∥AB，NG=AB，GM∥CD，GM=CD∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME又∵AB=CD∴MG=NG∴∠GNM=∠GME∴∠1=∠2．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．【解答】解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又∵EF=AE，∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．（2）四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF，BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG=．∴S四边形ABEF=EG•（AB+EF）=（6+4）=10．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF．∴∠1=∠2，∠3=∠4∵E是AD的中点，∴AE=DE．∴△ABE≌△DFE．（2）解：四边形ABDF是平行四边形．∵△ABE≌△DFE，∴AB=DF又∵AB∥DF∴四边形ABDF是平行四边形．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．【解答】（1）证明：如图，当A、D为BH、CH的中点时，AD=BC．（2）证明：如图，当A，D不是BH、CH的中点时．∵∠B=∠C，∴BH=HC．∵DH=AB，∴AH=CD．过B作BE∥AD，过D作DE∥BH，BE与DE交于E点，连接EC∴四边形ABED为平行四边形，∠EDC=∠H．∴DE=AB，BE=AD．∴DH=DE．又∵CD=AH∴△ADH≌△CED．∴CE=AD．∴BE=CE．在△BEC中，BE+EC＞BC，∴2AD＞BC．∴AD ＞BC．综合（1），（2）可得，AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是28 ．（不要求说明理由）【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC 的中点，即EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．所以四边形EFGH是平行四边形．（2）如图，（3）四边形ABCD是面积是28．35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是平行四边形．【解答】解：操作2：四边形FF1G1G的形状是平行四边形连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC的中点，即EF 是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．又△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置所以EF1∥AC，EF1=AC同理HG1∥AC，HG1=AC∴FF1∥GG1且FF1=GG1四边形FF1G1G是平行四边形．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．【解答】证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；∵BE⊥AG，∴∠AEB=∠BEG=90°；∵BE平分∠ABG，∴∠ABE=∠GBE；∴∠BAE=∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点；∴DE是△AFG的中位线；∴DE∥BC．（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，∴DE=FG；∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF；∴FG=AB+AC﹣BC，即DE=（AB+AC﹣BC）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．【解答】（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠PAB+∠PBA=90°．∴∠APB=180°﹣90°=90°．从而AP⊥PB．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5．又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．∴DP=AD=5．同理PC=BC=5．∴AB=DC=DP+PC=10．∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：．∴△APB 的面积是．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．【解答】解：（1）AC，EF互相平分．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．∴∠BAE=∠DAE=，∠BCF=∠DCF=，∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF。

九年级数学四边形几何题经典难题一、在平行四边形ABCD中，若AB等于2倍BC，且角B等于120度，则角D的度数为？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度（答案）B（解析）在平行四边形中，对边相等，对角相等。

由于AB等于2倍BC，且角B等于120度，我们可以推断出三角形ABC是一个等腰三角形，其中角A为30度 （因为三角形内角和为180度，且等腰三角形底角相等）。

由于平行四边形对角相等，所以角D等于角A，即60度。

但考虑到平行四边形的邻角互补，所以角D实际上应为180度减去角B，即60度。

二、矩形ABCD中，若AB等于3，BC等于4，则对角线AC的长度为？A. 3B. 4C. 5D. 6（答案）C（解析）在矩形中，对角线长度可以通过勾股定理计算。

设对角线AC的长度为x，则x平方等于AB平方加BC平方，即x平方等于3平方加4平方，解得x等于5。

三、菱形ABCD中，若对角线AC和BD的长度分别为6和8，则菱形ABCD的面积为？A. 12B. 24C. 36D. 48（答案）B（解析）菱形的面积等于其对角线长度乘积的一半。

所以菱形ABCD的面积等于AC乘以BD 再除以2，即6乘以8除以2等于24。

四、在梯形ABCD中，AD平行BC，AB等于CD，若角A等于90度，AD等于2，BC等于6，则梯形ABCD的高为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）C（解析）由于AB等于CD，所以梯形ABCD是等腰梯形。

过点D作DE垂直于BC于点E，则DE就是梯形的高。

由于AD平行BC，所以角ADE等于角DEC等于90度。

又因为AB等于CD，所以三角形ADE全等于三角形DEC（HL）。

因此，E是BC的中点，即BE等于CE等于（BC-AD）/2等于2。

在直角三角形DEC中，利用勾股定理，DE平方等于DC平方减去CE平方。

由于AB等于CD，且角A等于90度，所以AB、AD、DE构成直角三角形，AB等于梯形的高，也等于DE。

【例1】如图，将 0AB 沿着0点顺时针旋转90，到达 0CF 的位置. 由于 ABC 90 , A0C 90，所以 OAB 0CB 180 .而 OCF 0AB , 所以 0CF 0CB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于 0B 0F , B0F A0C 90，所以 B0F 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为5 3 面积为82 116 .4根据面积比例模型，0BC 的面积为16 5 10 .8【例2】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 为.BF C如图所示, ABC 中, ABC90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形ACDE ，中心为0,求8，所以它的70, AB 8 , AD 15，四边形 EFG0的面积OBC 的面积.D利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.1由于长方形ABCD的面积为15 8 120，所以三角形BOC的面积为120 - 30 ,所以三角形AOE和DOG4的面积之和为120 370 20 ;41 1又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以四边形EFGO的面积为2 430 20 10.另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点, AE 2ED，则阴影部分的面积为如图，连接0E •根据蝴蝶定理, ON : ND S COE ： S CDE12S CAE ：S CDE 1:1，所以S OEN 12S OED ；OM : MA S BOE ： S BAE2S BDE ： S1BAE 1:4，所以S OEM S OEA •5又S OED 3 4S矩形ABCD S OEA2S OED 6，1所以阴影部分面积为： 3 -22.7 •【例3】【解析】如圉彳将礎扩展成Y大正三角形型尸,则与MET都是正三角形.假设正六边形的边长为为盘，则"毎与AC坯的边长都是荷，所以大正三角形a尸的边妙4K2-1= 7#那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍•而一ME六边班是由召个单位小正三角形组成的，所以r单位少正三角形的IBI积艾4 ■三超形心皿7的面枳为竺・66FR干皿=4口. FB^3a•斯以2U网与一角形DEF的角积之比为-x-~ .77 49同理可ZUM与三祐形DEF的面税之比都为竺^1\4BC的面秋占三角形DEF面49SM1-—>5 = —.所以山迟O的面积的HffiS —^―=—-49 49 6 49 6【巩固】己知图中毎个止六边形的面积都是1,则图中戍线開盛的五ft® ABCDE的面积屋【解析】从圉中可以看汪,虚线価和虔线8外的窗形都等于两个正7\边形的一半,也就是都等于f 正六边形的面秩；虛线万U和虛线亚外的图形咅瞎于一个正7\边形的一半■那么它们台起来等T f正六卫用的面枳.虚钱一迂外的圉形是两个二角乃.从右图中可以看出「每f二角形都是r止六边形宜枳的丄，所以虚场卜国形的面枳等±1>^-<1=3-，所以七边形的闻积是6 6 310-3戈=6二.33【例4】如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是G G连接AF , BD根据题意可知，CF 5 715 27; DG7 15 628 ;1512217 S 所以，S BEF S CBF,S BEC S CBF , S AEG S ADG , S AED S ADG , 2/2/28282115 c712 c于是：--S ADG S CBF 65S ADG S C BF38 •2827，27可得S ADG 40 •故三角形ADG的面积是40.【例5】如图，平行四边形ABCD BE AB CF 2CB GD 3DC HA 4AD，平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.FE F连接AC 、BD •根据共角定理•••在 △ ABC 和厶BFE 中， ABC 与 FBE 互补,【例6】BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形 OBE 的面积.S A ABC AB BC 111S A FBE BE BF13 3又 S A ABC1，所以 FBE同理可得S A GCF 8, S A DHG15SA AEH所以S EFGHAEHSA CFGSA DHGSA BEFSABCD8 8 15+3+2 36.所以警SEFGH2 丄 36 18如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE , AEB 90 , AC 、BD 交于0 •已知AE 、少平方厘米?如图，连接DE ，以A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置.那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边形 AFBE 是直角梯形,且 AF AE 3，所以梯形AFBE 的面积为:112(cm 2). 2ABE 是直角三角形 ，根据勾股定理， AB 2 AE 2 BE 232扌 34，所以S ABD1AB 217( cm 2).那么S BDEABD S ABE S ADE S ABDS AFBE17125( cm 2),所以S OBE12S BDE 2.5 ( cm 2).【例7】如下图，六边形 ABCDEF 中，AB ED , AF CD , BC EF 且有 AB 平行于ED , AF 平行于CD , BC平行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知FD 24厘米，BD18厘米，请问六边形 ABCDEF 的面积是多如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了•这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【巩固】EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘【例8】如图，平行四边形ABCD的对角线交于0点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4 和6 .求：⑴求△OCF的面积；⑵求A GCE的面积.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米,设DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影512S A BCD5平方厘米.12DEC33F 1y4⑴根据题意可知，△ BCD的面积为2 4 4 6 16，那么△ BCO和CDO的面积都是16 2 8，所以△OCF的面积为8 4 4 ;⑵由于△BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8 6 2 ,根据蝴蝶定理，EG : FG S COE ： S COF 2:4 1: 2，【例9】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点•已知正方形DEFG的面积48，AK:KB 1:3，贝U BKD的面积是多少？由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和ACK 的面积是相等的•而AK : KB 1:3，所以ACK的面积是ABC面积的丄-，那么BDK的面积也是1 3 41ABC面积的1•4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM DE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48. 那么BDK的面积为48 1 12 .所以S GCE ：S GCF EG : FG 1: 2，那么S GCE——S CEF4［例10】F 图中，四边形 ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB , BC , CD , DA 的中点, 如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比 较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积. 如下图所示，在左图中连接 EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中 AEGD 为长方形，可知AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的-，所以三角形 AMD 的面积为42 1 1 112---.又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为2 4 8如上图所示，在右图中连接 AC 、EF •设AF 、EC 的交点为N .可知EF // AC 且AC 2EF •那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的-，所以三角形 BEF 的面积4111 113为12 ---,梯形AEFC 的面积为—-—.2 4 8 2 8 8 在梯形AEFC 中，由于EF: AC 1: 2 ,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：—1 112：1 2:1 2: 221:2: 2: 4，所以三角形 EFN 的面积为— - 一，那么四边形 BENF 的面积为8 1 2 2 4 241 1 11 1 - — -.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 - 4 -.8 24 66 —那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为-:-—:2，即m —,m，那么，(m n)的值等于 n2 —n 2那么m n 3 2 5 .【例11】解法一：由题意可得， E 、F 是AB 、AD 的中点，得 EF//BD ，而FD :BC FH : HC 1:2，EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH :CF GH : EF 2:3，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以 BG GH ，所以2BF ， S1 S1 1 - 1 BG:EF BM :MF2:3 ，所以 BMBFD— ABD— —S YA BCD—522 241又因为BG -S BMG1 2S BFD 1 211BD ， 所以3033 5 3 54解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，AI : BC AE:EB 1:1，从而可以确定 M 的点的位置， 2 1BM : MF BC:IF 2:3， BM BF ， BG - BD （鸟头定理），5 32 -2 - -丄可得S BMG —匚S BDF—S YABCD5 3 5 3 430如图所示，已知平行四边形 的面积.ABCD 的面积是1, E 、 F 是AB 、AD 的中点, BF 交EC 于M ，求 BMG［例12】如图，已知AB AE 4cm, BC DC , BAE将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90°，构成三角形AEC'和A'DC，再连接A'C'，显然AC AC'，AC A'C，AC A'C AC'，所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系：S AEC S A'DC ' ；S AEC ' S A'DC ；S CED S C 'DE .所以S ABC S ACE S CDE S AEC'S A CE S C DE2S W KCA'C'-10 10 50cm22BCD 90 , AC 10cm,贝V S ABC S ACE S CDE2______ cmCC2C'【解析】 如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ,易知长方形 MNPQ 的面积为4 X 1 = 4平方厘米.？从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2倍，等于AENH 、 BFME 、CGQF 、DHPG ?四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的 面积加上长方形 MNPQ 的面积，为10X 10 + 4 =104平方厘米， 所以四个空白三角形的面积之和为 104十2 = 52平方厘米， 那么阴影四边形 EFGH 的面积为100 - 52 = 48平方厘米.［例 13】10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是2______ cm【巩固】如陸.胡出飙分四边形的外摟图晤是边饪为12的正方矗.IiJfflWft分四边形的OB 祝是參少平方M*?n【幣析】如圈所示.分剧illHIB诃边殆斗G/的四个顶点炸正方形答边的平耐t相交^氏方融MVFg . 剔味方形加陀的直枳为4-2-8平方廉来.从圈中可以看出，隙闔中四个空E二角形的直紀N栢旳〕倍，專手盘也 RZE , W D叽四个蠻方形加直杞之切・等于正万阳」出CD的曲朝加上氏方形MYFa的血帜，为12 1—8 = L允平万脛卡・肮工四个空B三角狂阴商枳之和内用飞乎方屢米」那“阴厳四EFGH的茴积为1対-托•鬪平方僵号・［例14】如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是【解析】如图所示，设上的曆个点分別为AC N .根据面积比例模型.ACMF ACVF的面积昱相等的f那么总^茁与的面积之和,等子ACVF ^5\BNF的面氏之和『即等于A3UV时直积.而\BCNQ］面积为正方形■站CQ面祺的一半，为上护xl = 50 .2又乂:咖与MVF的匝积N和与阴影部分的面积相比较多了2个四边形Z7PR的面积.所以阴影部分的面积为；50-5^2 = 40 .【解析］如圈所示”设・也＞上的两个点分耐盘亓.M, ffigcy .根擔聞帜比例按绘r\C\fF与“皆肿閒粽聖相锋的+那罠乂临与站町的面焦N和*苒于M VF与5JJXF的直机之和，即專于A5CV的面班.而AS1Y的直枳为正方阳的一半. 为W、丄='2 .5 乂倨与SVF旳面秩N和与明影部分血直粧相卜傲多了2个四边殆艺FG#旳面殺.附;I四边形EFGH的直粧为：（二-旳］4上=& ,。

专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是10．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为5．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，所以选：A．5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝1（cm2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有6个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BP A，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠P AC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠P AC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于22.5度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为2倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为22.5°＜α＜30°．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠AOG ，∴∠EAB ＝∠EAO ，∠OAF ＝∠F AG ，∴∠EAF ＝∠EAO +∠OAF =12（∠BAO +∠OAG ）＝90°，∵△EAF 是4倍角三角形，∠F 显然大于∠E ,∴∠E =14×90°或15×90°， ∵AE 平分∠BAO ，OE 平分∠BOQ ，∴∠E =12∠ABO ，∴∠ABO ＝2∠E ，∴∠ABO ＝45°或36°．20．在△ABC 中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝25°，则△ABC 为 4 倍角三角形；（2）若△DEF 是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF 的最小内角；（3）若△MNP 是2倍角三角形，且∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°，请直接写出△MNP 的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A ＝55°，∠B ＝25°，可求∠C 的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围． 答案详解：解：（1）∵∠A ＝55°，∠B ＝25°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝100°，∴∠C ＝4∠B ，所以答案是：4（2）设最小的内角为x °，则3倍角为3x °①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x =13（90°﹣3x ），解得：x ＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时， 即：3x =13（90°﹣x ），解得：x ＝9°，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°．（3）设∠M 的度数为x ，则其它的两个角分别为2x ，（180°﹣3x ），由∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°可得：2x ＜90°且180°﹣3x ＜90°且2x ≠180°﹣3x∴30°＜x ＜45°且x ≠36°．答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°且x ≠36°．21．若△ABC 中刚好有∠B ＝2∠C ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）A ．45°或36°B ．72°或36°C ．45°或72°D ．45°或36°或72° 试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是60或90度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。

有趣的几何问题解决关于几何形的有趣问题几何学是关于形状、大小、相对位置以及属性的学科，常常引发许多有趣的问题和挑战。

通过探索几何形，我们可以发现其中隐藏的规律和美妙之处。

本文将介绍一些有趣的几何问题，并给出解决方法。

问题一：等边三角形的内切圆在一个等边三角形中，三条边长相等，三个角度也相等。

我们可以探索等边三角形的内切圆，即与三角形的三条边相切的圆。

我们想知道这个内切圆的圆心位置是否有规律，并找到一种简单的方法来确定圆心。

解决方法：假设等边三角形的边长为a，可以证明内切圆的半径r等于a乘以根号3再除以6。

圆心与三角形顶点的连线垂直且平分三角形的顶角。

这个结果告诉我们，无论等边三角形的大小如何，内切圆的半径和圆心的位置都是固定的。

问题二：平行四边形的对角线相交问题平行四边形有两对相邻的边平行，我们想知道当两条对角线相交时，它们是否把平行四边形的中心分成两等份。

解决方法：通过简单的证明，我们可以得出结论：平行四边形的对角线交点会将平行四边形的中心分成两等份。

这意味着对角线交点离四个顶点的距离相等。

问题三：涂色问题给定一个几何图形，我们想知道用不同颜色涂色最少需要多少种颜色，使得相邻的部分不会有相同的颜色。

解决方法：涂色问题可以通过图论中的顶点着色问题来解决。

我们可以将几何图形映射为一个图，其中每个顶点代表一个区域，相邻的区域之间有一条边连接。

然后，我们可以使用图论中的算法来解决顶点着色问题，找到涂色所需的最小颜色数。

问题四：黄金分割问题黄金分割是一种特殊比例，它在数学、艺术和建筑中都有广泛应用。

我们想知道如何通过一个正方形构造出黄金矩形，并找到黄金矩形的特性。

解决方法：假设我们有一个边长为1的正方形，可以通过将它的一个边与另一个边长为1的正方形的对角线相交，得到一个长宽比为黄金分割比例（约为1.618）的长方形。

黄金矩形有许多有趣的特点，例如当我们将正方形从内部切割出一个黄金矩形时，剩余部分也是一个黄金矩形。

平行四边形难题1.平行四边形可以作两个不同的平行四边形。

在等腰△ABC中，AB＝AC＝8cm，DF∥AC，DE∥AB，则▱AEDF的周长为24cm。

在△ABC中，BD＝CF，AB＝ED＋FG。

在▱ABCD中，点E为BC的中点，点F是AB的三分之一点，则S△.在▱ABCD中，∠ABC=75°，DE＝2AB，则∠AED的大小是65°。

在▱ABCD中，AD⊥BD，OA＝6，OB＝4，BC＝8，AB＝10.在平行四边形中，各内角度数分别为120°。

在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，▱ABCD的周长为30.在五边形ABCDE中，△BCP≌△XXX。

已知P为▱ABCD内一点，S▱ABCD＝100，则S△PAB＋S△PCD＝50.在▱ABCD中，▱ABC的周长为14cm，▱ABCD的周长为24cm，一组邻边长分别为6cm和12cm。

4.在四边形ABCD中，已知AB=4cm，AD=7cm，∠ABC 的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，且DF等于3cm。

求四边形BCEF的周长。

6.在四边形ABCD中，已知周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，且DE=5，DF=8.求BE＋BF的长。

1.将AB延长至F使得BF=AB，再将BA延长至E使得AE=AB。

判断EC与FD的位置关系，并说明理由。

7.在四边形ABCD中，已知AB=38.AP⊥BC于点P，CQ⊥AD于点Q，且BE=DF。

证明：EF与PQ互相平分。

4.在▱ABCD中，EF过对角线交点O，分别交CD、AB 于E、F，且AB=4cm，AD=3cm，OF=1.3cm。

求四边形BCEF的周长。

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC。

证明：MN=AC。

2.在△ABC中，已知等边为8，M是△ABC内一点，MD∥AC，ME∥AB，MF∥BC，点D、E、F分别在AB，BC，AC上。

第四节：图形与几何专项复习三视图的认识【例1】观察物体分别画出从正面、上面、和左面看到物体的形状。

思路引导从正面看共两层，从下往上第一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，靠左对齐。

从上面看共两排，从下往上第一排有2个小正方形，第二排有1个小正方形，靠右对齐；从左面看共两层，从下往上第一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，靠右对齐，据此作图即可。

正确解答：这个物体从正面、上面、和左面看到的形状如下图所示：本题主要考查学生的方位感和空间想象力，观察哪个方位的平面图就假设自己站在那个方位。

【变式1】观察物体，连一连。

【例2】你说我搭。

（1）有（）种搭法。

（2）请你分别画出两种搭法从正面和右面看到的图形。

思路引导（1）总共有4个正方体，从上面看到是，说明下层有3个正方体，第二层有1个正方体，上层正方体可以放在下层任意一个正方体的上方，有3个位置可以放，所以总共有3种搭法。

（2）根据所搭的几何体，从正面、右面进行观察，判断出看到的形状由几个小正方形组成，以及每个小正方形的位置，然后画出图形即可。

正确解答：（1）有（3）种搭法。

（2）本题先要确定下层正方体的个数及摆放位置，再确定上层正方体的个数及位置，然后根据要求解答。

【变式2】在下面的立体图形中添上1个小正方体，使其从上面看到的形状不变，符合要求的是（）。

A. B. C.三角形的特性【例3】说一说三角形有几条边，几个角，几个顶点。

（1）画一画：请你利用手中的三角板，画一个三角形。

（2）说一说：再跟同桌交流一下你是怎样画这个三角形的？（3）判一判：那么这两个图形是三角形吗？为什么？（4）看一看：三角形有几条边，几个角，几个顶点。

（5）议一议：什么样的图形叫三角形？思路引导由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；三角形有三条边，三个顶点，三个角；在平面上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来就围成了一个三角形。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.3．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．4．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP6223.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为90°，AB=AD ，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余，又DE 垂直于AG ，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ，利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ，由AF-AE=EF ，等量代换可得证.【详解】∵ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°∵DE ⊥AG ，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．7．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，分别延长AC 至E ，BC 至F ，且CE ＝EF ，延长FE 交AD 的延长线于G ．（1）求证：AE ＝EG ；（2）如图2，分别连接BG ，BE ，若BG ＝BF ，求证：BE ＝EG ；（3）如图3，取GF 的中点M ，若AB ＝5，求EM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC ＝BC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AG 是BC 的垂直平分线，∴GC ＝GB ，∴∠GBF ＝∠BCG ，∵BG ＝BF ，∴GC ＝BE ，∵CE ＝EF ，∴∠CEF ＝180°﹣2∠F ，∵BG ＝BF ，∴∠GBF ＝180°﹣2∠F ，∴∠GBF ＝∠CEF ，∴∠CEF ＝∠BCG ，∵∠BCE ＝∠CEF+∠F ，∠BCE ＝∠BCG+∠GCE ，∴∠GCE ＝∠F ，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE ＝EG ，∴∠GAE ＝∠AGE ，在Rt △ACD 中，N 为AC 的中点，∴DN ＝12AC ＝AN ，∠DAN ＝∠ADN ， ∴∠ADN ＝∠AGE ，∴DN ∥GF ，在Rt △GDF 中，M 是FG 的中点， ∴DM ＝12FG ＝GM ，∠GDM ＝∠AGE ， ∴∠GDM ＝∠DAN ，∴DM ∥AE ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∴EM ＝DN ＝12AC ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴EM ＝52． 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．8．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝626-，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．9．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ．（1）请判断：FG 与CE 的关系是___；（2）如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．10．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ． 于是AP=DQ ．又因为S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ，所以S △ABC =S △DFC ； （3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． （1）证明：在△ABC 与△DFC 中， ∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题。

最难的几何题经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。