初二下数学______不等式知识点北师大版

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。

6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。

初二下数学不等式知识点北师大版I不等式是指表示不等关系的式子。

（比如a>b，3>2）（通常用大于（>）小于（<）或者大于等于（》）和小于等于（《）连接）II不等式的基本性质:性质1:如果a>b,那么a+c>b+c或者a-c>b-c（不等式两边同时加上或减去一个数不等式不变号）性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc,如果a>b,c<0,那么ac<bc.( 不等式两边同时乘以或者除以一个正数，不等式不变号；不等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等式要变号)性质3:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质4:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质5.如果a>b，c>d，则a+c>b+d 想想a>b，c<d又会有什么结论？III解一元一次不等式的一般方法顺序：（1）去分母（运用不等式性质2、3）（2）去括号(括号内每一项要变号)（3）移项（运用不等式性质1）(移项需要变号)（4）合并同类项。

（同类项系数相加减字母不改变）（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3）（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集IV不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如，不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有非零实数。

.一元一次不等式的解集将不等式化为ax>b的形式(1)若a>0，则解集为x>b/a(2)若a<0，则解集为x<b/aV数轴：规定原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

VI一元一次不等式组：（1）一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分（解集的交集），叫做这个一元一次不等式组的解集。

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三： 【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩解得：37.540x ≤< 答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元； （2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

不等式知识点北师大八年级不等式知识点不等式是数学中的一种基本概念，其本质是描述数值大小之间的关系。

不等式在数学中具有广泛应用，尤其在代数与几何中具有极其重要的地位。

本文将对不等式的基本概念、不等式的解法、不等式的应用等方面进行详细介绍。

一、不等式的基本概念不等式是由‘>’、‘<’、‘≥’、‘≤’等符号来表示的数值大小关系的式子。

不等式中的数值可以是整数、分数、甚至是根式等。

不等式中出现的符号具有以下含义：1.＞：大于2.＜：小于3.≥：大于或等于4.≤：小于或等于例如：x ＞ 2 表示x大于2y ＜ 3 表示y小于3a +b ≤ 10 表示a与b的和小于或等于10二、不等式的解法解不等式就是要求出不等式中未知数的取值范围。

不等式的解法需要根据不等式的形式来进行，以下为常见的不等式形式及其解法：1.一元一次不等式一元一次不等式是一种只涉及一个变量及其一次项的不等式，其通式为ax + b ＞ c（或ax + b ＜ c、ax + b ≥ c、ax + b ≤ c）。

对于一元一次不等式的解法，需要注意以下步骤：（1）将不等式移项，使得未知数在等号左侧。

（2）对不等式两侧同乘/除以正数，使得未知数的系数为1。

（3）求出未知数的取值范围。

例如：3x - 4 ≥ 5，将-4移项得3x ≥ 9，再除以3，得到x ≥ 3。

2.一元二次不等式一元二次不等式是一种有二次项的不等式，其通式为ax² + bx + c ＞ 0（或ax² + bx + c <0、ax² + bx + c ≥ 0，ax² + bx + c ≤ 0）。

对于一元二次不等式的解法，需要注意以下步骤：（1）将不等式移项，使得不等式的右侧为0。

（2）根据判别式（b² - 4ac），判断二次函数的零点个数及其位置。

（3）根据二次函数在零点处的取值情况，求出不等式的解集。

例如：x² - 2x - 3 ＞ 0，移项得x² - 2x + 3 < 0，此时判别式Δ = b² - 4ac = 4 - 4(1)(3)＝-8 ＜0，说明该二次函数没有实数根，即对任意x，该不等式均成立。

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D.【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641421 333⨯==克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）.A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■【答案】C.类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；（3）若a b >，则1b a<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个【答案】B.【解析】(1)由22ac bc >得0c ≠，因为2c >0,所以a b >，正确；（2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误； （3）因为a b >，当0a =时，b a 没有意义，而当0a <时，1b a>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确. 【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D.【变式2】若点P （1﹣m ，m ）在第一象限，则（m ﹣1）x ＞1﹣m 的解集为 ．【答案】x ＜﹣1.解：∵点P （1﹣m ，m ）在第一象限，∴1﹣m ＞0，即m ﹣1＜0；∴不等式（m ﹣1）x ＞1﹣m ，∴（m ﹣1）x ＞﹣（m ﹣1），不等式两边同时除以m ﹣1，得：x ＜﹣1，故答案为：x ＜﹣1．3.设a ＞0＞b ＞c ，且a+b+c=-1，若M ＝b c a +，N ＝a c b +，P ＝a b c+， 试比较M 、N 、P 的大小．【答案与解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a ， ∴M=1a a --=−1−1a， 同理可得N=−1−1b ，P=−1−1c ； 又∵a ＞0＞b ＞c ，∴1a＞0＞1c＞1b，∴−1−1a＜−1＜−1−1c＜−1−1b即M＜P＜N．【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．4.（2016春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．。