安徽省皖南八校2014届高三数学第二次模拟考试 理

安徽省皖南八校届高三第二次联考-数学理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：安徽省皖南八校2008届高三第二次联考数学（理）1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上．3．本试卷主要考试内容：第一章至第五章占60％，其它占40％．第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设全集1,{|0},{1,}u x U R A x C A a x b-==≥=--+，则a b +等于 A ．一2B ．2C ．1D ．02．函数212(log )4(2)y x x =-≥的反函数是A ．42(3)x y x +=≥- B ．42(3)x y x -+=≥- C ．42(3)x y x +=-≥-D ．42(3)x y x -+=-≥-3．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于A ．16B ．6C ．12D ．44．若定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x π+=-，且()()f x f x -=，则()f x 可以是A ．1()2sin3f x x = B ．()2sin 3f x x = C ．1()2cos 3f x x =D ．()2cos3f x x =5．已知函数12()3,0log ,0x f x x x x +⎧=≤⎨>⎩，若0()1f x ≥，则0x 的取值范围是A ．2x ≥B ．10x -≤≤C ．10x -≤≤或2x ≥D ．1x ≤-或02x <≤6．已知点(cos ,sin )θθ到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是1(0)22πθ≤≤．则θ的值为A ．12πB ．512πC ．12π或512π D ．56π或6π 7．已知向量(2,1),(,2),(3,)a b x c y =-=-=，若,()()a b a b b c +⊥-，则x y +为A ．0B ．2C ．4D ．一48．某校A 班有学生40名，其中男生24人，B 班有学生50名，其中女生30人，现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为A ．1225B ．1325C ．1625D ．9259．已知非零向量AB 和AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为 A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形10．一同学在电脑中打出如下若干个圆：若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2007个圆中共有●的个数是A ．6lB ．62C ．63D ．6411．已知()f x 是定义在R 上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则12(log 6)f 的值为A ．52- B ．一5C ．12-D ．一6第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中的横线上． 12．右图是函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图象的一部分，则ϕ= ，ω=13．已知A 、B 为椭圆22:11x y C m m+=+的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且APB ∠的最大值是23π，则实数m 的值是 ．14．若61()x x x-的展开式中的第5项是152，设12nn S x x x ---=++⋅⋅⋅+，则lim n n S →+∞=15．对正整数n ，设曲线(1)ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}1na n +的前n 项和公式是三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知7cos 2,252πθθπ=<<．求： （1）tan θ的值；（2）22cos sin 22sin()4θθπθ-+的值17．（本小题满分14分）已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角的大小； （3）求二面角P 一EC 一D 的大小．18．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(4,1)(1),m A A n k k m n ==>⋅的最大值为5，求k 的值19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，过椭圆的左准点F ，且方向向量为(1,1)a =的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中点为M ．（1）求直线OM 的斜率（用a b 、表示）；（2）设直线AB 与OM 的夹角为α，当tan 7α=时，求椭圆的方程．20．（本小题满分13分）已知定义域为R 的函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，*1()()()0()n n n n a a g a f a n N +-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13()()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n 值．21．（本小题蠛分14分）在数列{}n a 中12a =，且1112212n n n nn a a +++--= （1）求证：2nn a n ≤⋅（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1(1)22n n S n +≤-⋅+ （3）求证：122nn n a a +≤+皖南八校2008届高三第二次联考数学参考答案（理科）1．A 2．A3．D4．D5．C6．C7．A8．B9．D10．A11．C 12．6π 2 13．1214．115．122n +-提示：1．A 由{1,}u C A a =--，知(,1](,)A a =-∞-⋃-+∞．所以1,a b a =--=-，因此2a b +=-2．A 函数可化为22(log )4y x =-，所以2log 4(3)x y y =+≥-，则反函数为42(3)x y x +=≥-3．D 由312311188a a a q =⇒=（q 为公比），即412a q =，∴42281()4a a a q ==4．D ∵()()f x f x -=，∴排除A 、B ，又∵()()3f x f x π+=-，∴选D5．C 当0x ≤时，13110x x +≥⇒+≥，∴当0x >时，2log 12x x ≥⇒≥，∴2x ≥，综上所述：10x -≤≤或2x ≥ 6．C|sin cos cos sin 1|121θθθθ+-=，∴1sin 2(0)22πθθ=≤≤，即12π或512π7．A ∵a b ，∴4x =，∴(4,2)b =-，∴(6,3),(1,3)a b b c y +=--=--，∵()()a b b c +⊥-，∴()()0a b b c +⋅-=，即62(2)0y ---=，∴4y =-，∴0x y +=． 8．B A 班男生B 班女生概率为3355⨯，B 班男生A 班女生概率为2255⨯． 9．D 由()0||||AB ACBC BAC AB AC +⋅=⇒∠的角平分线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形．∵12||||AB AC AB AC ⋅=，∴60BAC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形 10．A 因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n 组白圆，则有1n -个黑圆，所以所有圆的个数为2(1)32122n n n n n ++-+-=，由已知23220072n n +-≤，因为当61n =时，232195120072n n +-=<，当62n =时，232201420072n n +-=>，但第62组中共有62个白圆，所以在前2007个圆中共有61个黑圆11．C ∵123log 62-<<-，∴121log 620-<+<，即1231log 02-<<，∵()f x 是周期为2的奇函数，∴23log 211122223331(log 6)(log )(log )(log )(21)2222f f f f ==--=-=--=-12．6π2 由图知11()1212T πππ=--=，∴222T ππωπ===，∴sin(2)y x ϕ=+，又点(,0)12π-在图象上，∴sin()06πϕ-+=，∴由06πϕ-+=，知6πϕ=13．12由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时APB ∠取得最大值．据题意则有11tan32m m mπ+=⇒=14． 1由题意知42456115()()T C x x xx =-=，又∵5152T =，∴2x =，∴11(1)122lim lim lim (1)11212n n n n n n S →+∞→+∞→+∞-==-=- 15．122n +- ∵(1)n y x x =-，∴1'(1)n n y nx n x -=-+，∴1'(2)2(1)2n n k f n n -==-+ 12(2)n n -=-+，又切点为(2,2)n-，∴切线方程为122(2)(2)nn y n x -+=-+-，令0x =，则(1)2nn a n =+，∴数列{}1na n +的通项公式21nn a n =+，故前n 项和公式12(21)2221n n n S +-==-- 16．（1）由7cos 225θ=，得227912sin ,sin 2525θθ-==…………2分∵2πθπ<<，∴34sin ,cos 55θθ==-，∴sin 3tan cos 4θθθ==-…………6分 （2）24312cos sin cos 1sin 552234sin cos 2sin()455θθθθπθθθ-+--+-===++-…………12分 17．解法一：（1）取PC 的中点O ，连结OF 、OE ．∴FO ∥DC ，且FO=12DC ∴FO ∥AE …………2分又E 是AB 的中点．且AB=DC ．∴FO=AE ． ∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF ∥OE 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ∴A F ∥平面PEC （2）连结AC∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角……………6分 在Rt △PAC 中，15tan 55PA PCA AC ∠===即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为5arctan5……………9分 （3）作A M ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得P M ⊥CE∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角． ……11分 由△AM E ∽△CBE ，可得22AM =，∴tan 2PA PMA AM∠== ∴二面角P 一EC 一D 的大小为arctan 2………14分解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系，则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0），D （0，1，0），F （0，12，12），E （1，0，0），P （0，0，1）（1）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，12，12），1111(0,,),(0,,)2222AF EO == ∴AFEO ……………………………………5分又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴A F ∥平面PEC …………………………6分 （2）由题意可得(2,1,1)PC =-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-16cos ,6||||6PA PC PA PC PA PC ⋅<>=== 即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为6arccos6…………… ……………9分 （3）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z PE EC ==-=则00m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)m =--……………11分由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-13cos ,3||||3m PA m PA m PA ⋅<>=== ∴二面角P 一EC 一D 的大小为3arccos3……………………………………14分 18．（1）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=……2分整理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+=………………………4分∵(0,)A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==………………………6分 （2）24sin cos 22sin 4sin 1m n k A A A k A ⋅=+=-++，其中2(0,)3A π∈……8分 设sin (0,1]A t =∈，则2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈∴当1t =时，m n ⋅取得最大值………………………12分 依题意2415k -++=，解得32k =，符合题意，∴32k =……………………14分19．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，∵A 、B 在椭圜上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+= ………………3分两式相减，得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+∵121212121,AB OM y y y y k k x x x x -+===-+∴22OMb k a=-………………6分（2）∵直线AB 与OM 的夹角为α，tan 7α=由（1）知221,AB OMb k k a==-，∴22221tan 71b a b aα+==- ①………………8分 又椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，∴24a c= ② 在椭圆中，222a b c =+ ③联立①②③，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆的方程为22143x y +=………………12分 20．（1）2()(1),()4(1)n n n n f a a g a a =-=-∵21()4(1)(1)0n n n n a a a a +-⋅-+-=，∴1(1)(431)0n n n a a a +---=∵12a =，∴1n a ≠，∴14310n n a a +--=，∴131(1)4n n a a +-=-………3分 又111a -=，∴数列{1}n a -是首项为1，公比为34的等比数列， ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+………………7分 （2）21211333(1)4(1)3((())())44n n n n n b a a --+=---=-………………9分令13,()4n n b y u -==，则2211133(())3()2424y u u =--=--∵*n N ∈，∴()u n 递减，其值分别为39271,,,,41664⋅⋅⋅，经比较916距12最近 ∴当3n =时，n b 有最小值189256-；当1n =时，n b 有最小值0………………13分 21．（1）1121222n n n n a a ++-=-<∵11112,2(21)2n n n n na a a +++==+-，∴110,22n n n n a a a ++>-<， 整理得11122n nn na a ++-<………………2分 则当2n ≥时，1211211,,12222n n n n a a a a ---<⋅⋅⋅-<叠加得11122n n a a n -<-，即2nn a n <⋅ 当1n =时，1112a =⋅故2nn a n ≤⋅………………………………………………………………4分 （2）由（1）得231222322nn S n ≤⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅………………………………6分令231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ∴231122222,(1)22n n n n n T n T n ++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-+ 故1(1)22n n S n +≤-⋅+………………………………9分（3）由已知得1112222n n n n n na a a n +++-=-≥-，故只须证明122n n n +->，即2n n > ∵012(11)n n nn n n C C C n =+=++⋅⋅⋅+>，∴结论成立………………………14分。

2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数12−i 对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. R 表示实数集，集合M ={x|0≤x ≤2}，N ={x|x 2−2x −3>0}，则下列结论正确的是（ ）A M ⊆NB M ⊆(∁R N)C (∁R M)⊆ND (∁R M)⊆(∁R N) 3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 83 B 8 C 323 D 164. 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线y 2=2x 准线上的是（ ）A 8x 2−8y 2=−1B 20x 2−5y 2=−1C 2x 2−2y 2=1D 5x 2−20y 2=1 5. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( ) A 向左平移5π6个长度单位 B 向右平移5π6个长度单位 C 向左平移5π12个长度单位 D 向右平移5π12个长度单位6. 数列{a n }满足a 1=2，a n =a n+1−1a n+1+1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A 16B −16C 6D −67. 已知函数f(x)满足：对定义域内的任意x ，都有f(x +2)+f(x)<2f(x +1)，则函数f(x)可以是（ ）A f(x)=2x +1B f(x)=e xC f(x)=lnxD f(x)=xsinx 8. (x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为（ ） A −210 B 210 C 30 D −309. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，线段B 1A 1，B 1C 1上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且B 1P =B 1Q ，下列说法中，不正确的是（ ）A A ，C ，P ，Q 四点共面B 直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角为定值 C π3<∠PAC <π2D 设二面角P −AC −B 的大小为θ，则tanθ的最小值为√210. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组{x ≥0y ≥0x +y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x +y =0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →+OQ →|的最小值为（ ） A √55 B √23 C √22 D 1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 合肥市环保总站发布2014年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153、203、268、166、157、164、268、407、335、119，则这组数据的中位数是________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−√3t y =4+t （t 为参数）．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ=4sinθ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．13. 执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是________．14. 关于x 的不等式ax 2−|x +1|+3a ≥0的解集为(−∞, +∞)，则实数a 的取值范围是________．15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）． ①总存在某内角α，使cosα≥12；②若AsinB >BsinA ，则B >A ．③存在某钝角△ABC ，有tanA +tanB +tanC >0； ④若2aBC →+bCA →+cAB →=0→，则△ABC 的最小角小于π6；⑤若a <tb(0<t ≤1)，则A <tB ．三、解答题（本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1, y l )，将射线OA 按逆时针方向旋转2π3后与单位圆交于点B(x 2, y 2)，f(a)=x l −x 2．（1）若角α为锐角，求f(α)的取值范围； （2）比较f(2)与f(3)的大小．17.如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为AB̂上的点，点M 为BC 中点．（1）求证：B 1M // 平面O 1AC ；（2）若AB =AA 1，∠CAB =30∘，求二面角C −AO 1−B 的余弦值．18. 某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量誉，受益人获得的公益金y ．与摸出的红球数ξ的关系是y =20000+5000ξ（单位：元）．（1）求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率； （2）求随机变量ξ的分布列与期望．19.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，如图所示．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A 与椭圆上的另一点C （非右顶点）关于直线l 对称，直线l 上一点N(0, y 0)满足NA →⋅NC →=0，求点C 的坐标．20. 已知函数f(x)={2x −1，0≤x <1，2f(x −1),x ≥1，方程f(x)=12的解从小到大组成数列{a n }．(1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．21. 已知函数f(x)=x −a x (a >O ，且a ≠1)．（1）当a =3时，求曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程； （2）若函数f(x)存在最大值g(a)，求g(a)的最小值．2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. D5. C6. D7. C8. A9. D10. A11. 184.512. 213. 7314. [12, +∞) 15. ①④⑤16. 解：（1）如图所示，∠AOB=2π3，由三角函数的定义可得x1=cosα，x2=cos(α+2π3)，f(α)=x l−x2=cosα−cos(α+2π3)=cosα−cosαcos2π3+sinαsin2π3=32cosα+√32sinα=√3sin(α+π3)．∵ 角α为锐角，∴ π3<α+π3<5π6，∴ 12<sin(α+π3)≤1，∴ √32<√3sin(α+π3)≤√3，即f(α)的范围是(√32, √3]．（2）∵ f(2)=√3sin(2+π3)，f(3)=√3sin(3+π3)，π2<2+π3<3+π3<3π2，函数y=sinx在(π2, 3π2)上是减函数，∴ f(2)>f(3)．17. （1）证明：连结OB1，OM，∵ O1B1 // AB，且O1B1=12AB=OA，∴ 四边形AOB1O1为平行四边形，∴ OB1 // AO1，由 OB1 // AO1 OM // ACAO1∩AC=A}⇒平面OMB1 // 平面O1AC，又∵ B1A⊂平面OMB1，∴ B1M // 平面O1AC．（2）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥O 1A ， 垂足为E ，连结CE ，∵ BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴ BB 1⊥CD ，∵ AB ∩BB 1=B ， ∴ CD ⊥平面ABB 1A 1，∴ CD ⊥AO 1，∴ CE ⊥AO 1，∴ ∠CED 为二面角C −AO 1−B 的平面角， 令AB =2a ，在Rt △CDE 中，CD =√32a ，DE =3√55a ， ∴ cos∠CED =2√5117． 18. （1）解：在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，摸球结束时羸得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为： p =15+45⋅15=925．（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，对应的随机变量y ξ的取值为20000，25000，30000， ∵ P(ξ=0)=(35)2=925， P(ξ=1)=(25+35⋅25)⋅(45)2=256625，P(ξ=2)=1−925−256625=144625，∴ 随机变量y ξ的分布列为：∴ Ey ξ=20000×925+25000×256625+30000×144625=24352． 19. 解：（1）由题意，A(−a, 0)，B(0, b)，F(1, 0)， ∵ OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，∴ b 2−a −1=0，∵ b 2=a 2−1，∴ a 2−a −2=0，解得a =2， ∴ a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）设C(x 1, y 1)(y 1≠0)，且A(−2, 0)，则AC 的中点M(x 1−22, y 12)，由已知k AC =y 1x 1+2，则k l =−x 1+2y 1，∴ l:y −y 12=−x 1+2y 1(x −x 1−22)，令x =0，则y 0=x 12−4+y 122y 1=−y16，即N(0, −y16)，∴ NA →⋅NC →=(−2, y 16)⋅(x 1, 7y 16)=−2x 1+7y 1236=0，∴ 7x 12+96x 1−28=0∴ x 1=27（x 1=−14舍去）， ∴ y 1=±127， ∴ C(27, ±127)．20. 解：(1)0≤x <1时，由f(x)=12得2x −1=12，∴ x =log 232，即a 1=log 232．1≤x <2时，0≤x −1<1，f(x)=2f(x −1)=2x −2， 由f(x)=12得2x −2=12，∴ x =log 254+1，∴ a 2=log 254+1；(2)设n −1≤x <n ，则0≤x −(n −1)<1，∴ f(x)=21f(x −1)=22f(x −2)=...=2n−1f[x −(n −1)] =2n−1(2x−n+1−1)=2x −2n−1，∵ 2n <2n +1<2n+1，∴ x =log 2(2n +1)−1∈(n −1, n)， 即方程f(x)=12在x ∈[n −1, n)内有且仅有一个实根，∴ a n =log 2(2n +1)−1． 21. 解：（1）当a =3时，f(x)=x −3x ， ∴ f′(x)=1−3x ln3， ∴ f′(1)=1−3ln3， ∵ f(1)=−2，∴ 曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程为y +2=(1−3ln3)(x −1)，即y =(1−3ln3)x −3+3ln3；（2）f′(x)=1−a x lna ．①0<a <1时，a x >0，lna <0，∴ f′(x)>0， ∴ f(x)在R 上为增函数，f(x)无极大值； ②a >1，设f′(x)=0的根为t ，则a t=1lna ，即t =ln1lnalna，∴ f(x)在(−∞, t)上为增函数，在(t, +∞)上为减函数， ∴ f(x)的极大值为f(t)=t −a t=ln1lnalna−1lna ，即g(a)=ln1lnalna−1lna ，∵ a >1，∴ 1lna >0．设ℎ(x)=xlnx−x，x>0，则ℎ′(x)=lnx=0得x=1，∴ ℎ(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上为增函数，∴ ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=−1，即g(a)的最小值为−1，此时a=e．。

2014年安徽省高考数学模拟试卷（二）（文科）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合M ={3, 6, 9}，M ∪N =M ，则集合N 不可能为（ ） A ⌀ B M C {3, 9} D {2, 9}2. 若z 1=3x +yi 与z 2=(2−x)+(2+y)i(x, y ∈R)互为共轭复数，则复平面内z 2对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线经过点(2, 1)，则双曲线的离心率为（ ）A √52B √2C √3D √5 4. 设a =1og 39π，b =1og 416π，c =1og 525π，则（ ） A a >b >c B c >b >a C b >c >a D b >a >c 5. 如图程序框图中，若输出S =32+√3，则p 的值为（ ）A 3B 4C 5D 66. 在如图所示的可行域下，下列目标函数中，仅能在点B 处取得最小值的是（ ）A z =x −yB z =x +yC z =x −2yD z =2x −y7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m+3−S m+2=8(S m −S m−1)(m >1, m ∈N)，且a 6+4a 1=S 22，则a 1=( ) A 16 B 14 C 4 D 28. 已知函数f(x)={√x +a(x ≥0)2−x+a +2(x <0)，若方程f(x)=4有且仅有一个解，则实数a 的取值范围为（ ）A (0, 3)B [0, 3]C (1, 4)D [1, 4]9. 在△ABC 中，若b =2√2，tanB =2√2，sinB =2√2sinC ，则a =( ) A 73 B B 、3 C 3或73 D 2或7310. 已知函数f(x)=x 4+ax 2+bx +c(c <0)，若函数是偶函数，且f （f(0)）=c 4+c ，则函数f(x)的零点个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 0二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 若a →=(1, 2x)，b →=(4, −x)，则“a →与b →的夹角为锐角”是“0≤x <√2”的________条件．（从充分性和必要性两个方面作答）12. 不等式4x−5⋅2x+4<0的解集为________．13. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是________．14. 已知圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=4，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，则四边形PAMB面积的最小值为________．15. 等差数列{a n}的公差d不为0，S n是其前n项和，给出下列命题：①若d>0，且S3=S8，则S5和S6都是{S n}中的最小项；②给定n，对于一切k∈N+(k<n)，都有a n−k+a n+k=2a n；③若d<0，则{S n}中一定有最大的项；④存在k∈N+，使a k−a k+1和a k−a k−1同号；⑤S2013>3(S1342−S671)．其中正确命题的序号为________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知函数f(x)=asinxcosx+sin(π2−2x)，若f(π8)=√2．求：（1）f(x)的最小正周期和最小值；（2）f(π24−x)的单调递增区间．17. 等比数列{a n}中，a2=4，a3⋅a4=128．（1）求数列{a n}中的通项公式；（2）设b n=na2n−1，求数列{b n}的前n项的S n．18. 已知函数f(x)=ax2+x+blnx在x=1与x=2处取极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f(x)在区间[1e, e2]的最小值．19. 性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（2）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（3）从（1）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20. 如图，△ABO 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，OD ⊥平面ABO ，BC // OD ，且OD =2BC =2OA =2，E 是AD 中点， （1）求证：CE // 平面ABO ；（2）求三棱锥E −ABC 的体积V E−ABC ． 21. 已知椭圆x 2p2+y 23=1的左焦点在抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线上，F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A 、B ，交y 轴于点M ，且MA →=aAF →，MB →=bBF →，则对任意的直线l ，a +b 是否为定值？若是，求出a +b 的值；否则，请说明理由．2014年安徽省高考数学模拟试卷（二）（文科）答案1. D2. A3. A4. A5. B6. C7. C8. D9. B 10. C11. 既不充分也不必要 12. {x|0<x <2} 13. 12√3 14. 2√5 15. ①②③16. 解：（1）f(x)=a2sin2x +cos2x ， ∵ f(π8)=√24a +√22=√2，解得a =2，∴ f(x)=√2(√22sin2x +√22cos2x)=√2sin(2x +π4)，∴ T=2π2=π，f(x)min=−√2．（2）f(π24−x)=√2sin[2(π24−x)+π4]=−√2sin(2x−π3)，由π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，∴ 函数的单调增区间为[5π12+kπ, 11π12+kπ]．17. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵ a2=4，a3⋅a4=128．∴ {a1q=4⋅，解得{a1=2q=2，∴ a n=2n．（2）b n=na2n−1=n22n−1．∴ 数列{b n}的前n项的S n=12+223+325+...+n22n−1，1 4S n=123+225+...+n−122n−1+n22n+1，∴ 34S n=12+123+125+...+122n−1−n22n+1=12(1−14n)1−14−n22n+1=23−23×4n−n22n−1，∴ S n=89−16+12n9⋅22n+1．18. 解：（1）f′(x)=2ax+bx +1，由{2a+b+1=04a+b2+1=0⇒{a=−16b=−23，（2）f(x)=−16x2+x−23lnx，f′(x)=−(x−1)(x−2)3x，∴ 函数f(x)在区间[1e, 1]递减，在(1, 2]递增，在(2, e2]递减，又f(1)=56>0，f(e2)=−43−e46+e2<0，故f(x)在区间[1e , e2]的最小值是f(e2)=−43−e46+e2．19. 解：（1）抽样比为660=110，则样本中喜爱的观从有40×110=4名；不喜爱的观众有6−4=2名．（2）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2=140×(60×20−40×20)280×60×100×40=224192≈1.167<5.024；∴ 不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（3）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)， (b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)， (c, d)，(c, 1)，(c, 2)， (d, 1)，(d, 2)， (1, 2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P(A)=615=0.4．20. 解：（1）如图所示，取OA 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵ E 是AD 的中点，∴ EF // OD ，且EF =12OD ，又BC // OD ，且OD =2BC =2OA =2， ∴ EF // BC ，且EF =BC ， ∴ 四边形EFBC 是平行四边形，∴ EC // FB ，又E ⊄平面ABO ，FB ⊂平面ABO ， ∴ EC // 平面ABO ．（2）如图，作AH ⊥BF 于H ，由（1）知，BC ⊥平面ABO ，BC ⊂平面EFBC ， ∴ 平面EFBC ⊥平面ABO ， ∴ AH ⊥平面EFBC ，∵ OD =2BC =2OA =2， ∴ BC =1．OF =AF =12，CE =BF =√1+14=√52，由AH AF=OBBF ，得AH =√55． ∴ V E−ABC =13×12×1×√52×√55=112．21. 解：（1）椭圆x 2p 2+y 23=1的左焦点为(−√p 2−3, 0)，抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线x =−p2，∴ −√p 2−3=−p2，∴ p =2，∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x ；（2）由已知得直线l 的斜率一定存在，所以设l:y =k(x −1)，l 与y 轴交于M(0, −k)， 设直线l 交抛物线于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 代入抛物线方程，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0 ∴ x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1∵ MA →=aAF →，∴ (x 1, y 1+k)=(1−x 1, −y 1)，∴ a =x11−x 1，同理b =x21−x 2，∴ a +b =x 11−x 1+x21−x 2=−1，∴ 对任意的直线l ，a +b 为定值−1．。

马鞍山市2014届第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑． （1）设1z i -=-（i 是虚数单位），则22z z+等于(▲)A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +命题意图:考查共轭复数及复数的运算，容易题。

答案:D（2）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)A ．16643π-B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-命题意图:考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力。

容易题。

答案:A解析:3211642(13)6433V ππ=-⨯⨯+=-（3）51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(▲)A ．－20B ．－10C ．10D ．20 命题意图:考查二项式定理的应用，容易题。

答案：C（4）某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内的条件为(▲)俯视图侧视图正视图第（2）题图第(4)题图A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >命题意图:考查程序框图，容易题。

2014安徽合肥高考数学（文）二模试题及答案（附下载）（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若21iZi-=+（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数为（ ） A.1322i + B.1322i -+ C.3322i + D.3322i - 2.若全集{0,1,2,3,4,5}U=，且{*|13}U C A x N x =∈≤≤，则集合A 的真子集共有（ ）A.3个B.4个C.7个D.8个3.抛物线212x y =的焦点坐标为（ ）A.1(,0)2 B.1(0,)2 C.1(,0)8 D.1(0,)84.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.12+B.18+C.28D.20+5.已知圆221:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切，则ab 的最大值为（ ）A.2B.32C. 94D.6.从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ） A.13 B.512 C.12 D.7125.函数sin(2)3yx π=+的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（ ）A.向右平移6π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移512π个单位 D.向左平移512π个单位 8.已知函数2,0()(1)1,0x x f x f x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则(2014)f =（ ）A.2014B.40292 C.2015 D.403129.若实数,x y 满足02,02x y <≤<≤，且使关于t 的方程220t xt y ++=与220t yt x ++=均有实数根，则2x y +有（ ）A.最小值2B.最小值3C.最大值2+ D.最大值410.设||2,||3,60AB AC BAC ==∠=，2,(1),[0,1]CD BC AE xAD x AB x ==+-∈，则AE 在AC 上的投影的取值范围是（ ）A.[0,1]B.[0,7]C.[7,9]D.[9,21]第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.命题:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.12.函数212()log (2)f x x x =-的定义域是_____________.13.设直线210x y +-=的倾斜角为α，则sin(2)4πα+=___________.14.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和为_____________.15.对于两个图形12,F F ，我们将图形1F 上的任意一点与图形2F 上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形1F 与图形2F 的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号） ①()cos ,()2f x x g x ==； ②()x f x e =，()g x x =；③22()log (25)f x x x =-+，()sin 2g x x π=； ④2()f x x x=+，()ln 2g x x =+；⑤()f x =，315()44g x x =+.三、解答题（75分）16、（本小题满分12分）如图，（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f（x）在上的值域。

2014年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.设全集U是实数集R，M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，则集合N∩∁U M=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【答案】B【解析】解：∵M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴集合N∩∁U M={x|0＜x≤1}，故选：B．根据补集的定义求得∁U M，再根据两个集合的交集的定义求得N∩∁U M．本题主要考查补集的定义，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3.已知p：ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，q：a=1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵ax+y+1=0与ax-y+2=0垂直，∴a2-1=0，得a=1或a=-1∴若P，则q为假命题；若q，则p为真命题，∴P是q的必要不充分条件．故选B利用直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，求解；再判定命题若p，则q的真假与命题若q，则p的真假即可．本题考查直线垂直的充要条件，与充要条件的判定方法．4.若向量=（1，2），=（4，x），且与共线，则=（）A.（-3，-6）B.（3，6）C.（5，10）D.（-3，4）解：∵向量=（1，2），=（4，x），且与共线，∴x-2×4=0，即x=8．∴，．则，，=（-3，-6）．故选：A．由向量共线的坐标表示列式求得x的值，然后利用向量加法的坐标运算求得答案．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．5.阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A.9B.13C.17D.33【答案】D【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=21+22+23+24+4=1+4+8+16+4=33．故选：D．算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5-××3×4×5=20（cm3）．故选B．由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）的图象，则f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为（）A.4B.2C.2D.2【答案】D【解析】解：把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），∴f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为=[-cosx+cos （x+）]=2．故选：D．先确定g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），确定积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分基本定理求值即可．本题主要考查了积分的求解，解题的关键是积分基本定理及积分的几何意义的应用．8.已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A. B. C. D.【答案】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．9.设函数f（x）=（x-1）k cosx（k=1，2），则（）A.当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B.当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C.当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D.当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【答案】C【解析】解：∵f（x）=（x-1）k cosx，∴当k=1时，f（x）=（x-1）cosx，∴f′（x）=cosx-（x-1）sinx，当x=1时，f′（1）=cos1≠0，此时f（1）不是极值，故A，B错误．当k=2时，f（x）=（x-1）2cosx，∴f′（x）=2（x-1）cosx-（x-1）2sinx，当x=1时，f′（1）=0，故当x→1+时，f′（x）＞0，当x→1-时，f′（x）＜0，故f（x）在x=1处取得极小值．故选：C求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，综合性较强．10.已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，则下列说法中正确的是（）①3a-4b+10＞0②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值③＞2④当a＞0且a≠1时，的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）A.①③B.③④C.②④D.②③【答案】解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，故点A（a，b）在如图所示的平面区域内故3a-4b+10＜0，即①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x-4y+10=0的距离为d，则d==2，则＞d=2，故③正确；当a＞0且a≠1，b＞0时，表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率，∵当a=0，b=时，=-，又∵直线3x-4y+10=0的斜率为，故的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞），故④正确；故答案为：③④．根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在极坐标系中，设曲线C1：ρcosθ=1与C2：ρ=4cosθ的交点分别为A、B，则|AB|= ______ ．【答案】【解析】解：曲线C1：ρcosθ=1，即x=1；C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．再根据圆心到直线的距离为1，可得弦长为2=2．由于这两条曲线的交点分别为A、B，则|AB|=2，故答案为：2．把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再由弦长公式求得|AB|的值．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12.在等差数列{a n}中，a1+2a8+a15=96，则2a9-a10= ______ ．【答案】24又a8+a10=2a9∴2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24故答案是24先由等差数列的性质求得a8，而2a9-a10=a8从而求得．本题主要考查等差数列的性质．13.若二项式（+）n的展开式中的常数项是270，则该展开式中的二项式系数之和等于______ ．【答案】32【解析】解：二项式（+）n的展开式中的通项公式为T r+1=•3r•，令=0，求得3n=5r，∴展开式中的常数项是•=270，解得n=5，则该展开式中的二项式系数之和等于2n=25=32，故答案为：32．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再根据常数项是270，即可求得n的值，从而求得该展开式中的二项式系数之和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.已知定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），则函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数是______ ．【答案】6【解析】解：令-＜x＜0，则0＜-x＜，由于当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），f（x）=0，则x1=1；则f（-x）=ln（x2+2x+2），又f（-x）=-f（x），则-＜x＜0时，f（x）=-ln（x2+2x+2），f（x）=0，则x2=-1；令-2≤x＜，则1≤x+3＜，f（x+3）=ln（（x+3）2-2（x+3）+2），由于f（x-3）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则-2≤x＜，f（x）=ln（x2+4x+5），f（x）=0，x3=-2；则＜x≤2时，f（x）=-ln（x2-4x+5），f（x）=0，x4=2当x=时，f（-）=f（）=-f （），即f（-）=f（）=0，根据条件可分别求出-＜x＜0，-2≤x＜，＜x≤2的解析式，再令f（x）=0，求出实根，再令x=，求出f（-）=f（）=0，即可得到函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数．本题考查函数的周期性和奇偶性及其运用，考查函数的解析式的求法，以及函数零点的求法，属于中档题．15.关于x的不等式x2-ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，，【解析】解：由题意可得，判别式△=a2-8a＞0，解得a＜0，或a＞8．设f（x）=x2-ax+2a，①当a＜0时，由于f（0）＜0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为-1和0，故有f（-1）=1+3a＜0，且f（-2）=4+4a≥0，解得-1≤a＜-．②当a＞8时，对称轴x=＞4，设A=（m，n），由于集合A中恰有两个整数则有n-m≤3，即≤3，即a2-8a≤9，解得8＜a≤9．故有对称轴4＜＜5，而f（2）=4＞0，f（3）=9-a≥0，故A中的两个整数为4和5，故f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0．即16-2a＜0，且25-3a＜0，36-4a≥0解得＜a≤9．综合可得，-1≤a＜-，或＜a≤9．故实数a的取值范围是，，，故答案为，，．由判别式△＞0，解得a＜0，或a＞8．①当a＜0时，由f（-1）＜0，且f（-2）≥0，求得a的范围．②当a＞8时，由≤3求得8＜a≤9，再根据f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0求得a的范围．再把两个a的范围取并集，即得所求．本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sin2A=sin C cos B+sin B cos C．（Ⅰ）求sin A的值；【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由得3sin A cos A=sin（B+C）=sin A．----（2分），由于△ABC中，sin A＞0，∴3cos A=1，，----------（4分）∴．----（6分）（Ⅱ）由得，--------（7分）即，∴，-------（9分）化简得，，平方得，--------（12分）由正弦定理得．------（14分）【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件求得cos A的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值．（Ⅱ）由利用诱导公式求得sin C的值，再由正弦定理求得c的值．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，属于中档题．17.如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧的中点．（Ⅰ）求证：BF⊥AG；（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：连接AM交BF于点O，则∵点M是弧的中点，∴AM⊥BF且O为BF的中点，∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，∴DA⊥平面ABF，∴DA⊥BF，∵DA∩AM=A，∴BF⊥平面ADM，∵AG⊂平面ADM，∴BF⊥AG；（Ⅱ）解：∵DB=DF，BM=FM，DM=DM，∴△BDM≌△FDM，作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，∠BNF为所求．∵AB=AD=2，在△DBM和△DFM中，运用等面积可得BN=FN=，∵BF=2，∴cos∠BNF==-∴二面角B-DM-F的大小的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）连接AM交BF于点O，证明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，从而BF⊥AG；（Ⅱ）作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，利用余弦定理可求二面角B-DM-F 的大小的余弦值．本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角大小的余弦值，属于中档题．18.某人参加一档综艺节目，需依次回答6道题闯关，每关答一题，若回答正确，则他可进入下一关；若回答错误，则他离开此节目，按规定，他有一次求助亲友团的机会，若回答正确，也被视为答案正确，否则视为错误，6道题目随机排列，已知他能答出其中3题，亲友团能答对其余3题中的2题，设他能闯过的关数为随机变量X．（Ⅰ）求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）求X的分布列与期望．【答案】解：（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，则P（X=1）==；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，EX=0×+1×+2×+3×+4×=．【解析】（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，即可求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得X的分布列与期望．本题考查古典概型公式与分布列、期望的计算，解题时要注意概率的计算，这是此类题目的基本考点．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）是椭圆C上的一个动点，过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0），∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）∵P（x0，y0），F2（1，0），∴=，设Q（x，y），则=，∵过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，∴PF2⊥QF2，∴•==-1，整理，得：（x0-1）x+y0y-x0+1=0．∴点Q的轨迹方程为（x0-1）x+y0y-x0+1=0．【解析】（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由P（x0，y0），F2（1，0），知=，设Q（x，y），则=，由PF2⊥QF2，能求出点Q的轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．20.已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜）．数列{a n}满足：0＜a1＜，a n+1=f（a n），n∈N*．（Ⅰ）求证：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）求证：数列{a n}是递减数列．【答案】解：（Ⅰ）①当n=1时，显然成立，②假设n=k时，0＜a k＜，则cosa k∈（0，1），∴a k+1=1-cosa k∈（0，1），∴当n=k+1时，原不等式成立，由①②可知0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）要证数列{a n}是递减数列，即证a n+1＜a n，即证f（a n）＜a n，即1-cosa n＜a n，令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜，g′（x）=1-sinx＞0，∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜上单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即x＞1-cosx，0＜x＜，∴1-cosa n＜a n，即数列{a n}是递减数列．【解析】（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列{a n}是递减数列．本题主要考查递推数列的应用，利用数学归纳法是解决不等式的基本方法，综合考查了函数单调性和导数之间的关系．21.已知函数f（x）=e x-kx（x∈R）（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【答案】解：（1）f'（x）=e x-e，令f'（x）=0，解得x=1当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f （x）在（1，+∞）单调递增；当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减．（6分）（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立当x≥0时，f'（x）=e x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，∴f（x）min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=e x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1综上，0＜k＜e．（12分）．【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．本题的第二问实际上是e x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分离参数构造函数进行解答，即：当x=0时，k∈R；当x＞0时，由e x-kx＞0，得＜，令，只要k＜[φ（x）]min即可．。

2014年安徽省皖南八校联考高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={（x，y）|y=2-x}，N={x|y=x}，则M∩N=（）A.{1，1}B.{（1，1）}C.{1}D.∅【答案】D【解析】解：∵M={（x，y）|y=2-x}为点集，N={x|y=x}=R，∴M∩N=∅．故选：D．由集合中元素的特性得答案．本题考查交集及其运算，考查集合中元素的意义，是基础题．2.定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），则函数y=f（x）在x∈[0，10]内零点个数至少有（）A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】D【解析】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（2+x）=f（-x），∴f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即有f（4）=0，∴f（x）是以4为最小正周期的函数，∴f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，故函数y=f（x）在x∈[0，10]内零点个数至少有6个．故选：D．由定义在R上的奇函数f（x），得到f（0）=0，再由f（1+x）=f（1-x），得到f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，从而f（x）是以4为最小正周期的函数，即有f（4）=0，f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，即可得到答案．本题考查函数的奇偶性、周期性及运用，同时考查函数的零点问题，属于中档题．3.由若干个棱长为1的正方体搭成的几何体主视图与侧视图相同（如图所示），则搭成该几何体体积的最大值与最小值的和等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】A【解析】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少为左边2层，共4个，右边2个，共最多为底面4个，都是2层，共8个，∴搭成该几何体体积的最大值与最小值的和等于14．故选：A．由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少为左边2层，共4个，右边2个，共6个；最多为底面4个，都是2层，共8个，即可求出搭成该几何体体积的最大值与最小值的和考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．4.设复数z=2+ai（a∈R，i是虚数单位），则（是z的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是（）A.a=2B.a=±2C.a=D.a=±【答案】A【解析】解：==是纯虚数，等价于4-a2=0，等价于a=±2，故a=2是“是纯虚数”的一个充分不必要条件，故选：A．由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得是纯虚数的充要条件，可得是纯虚数的一个充分不必要条件．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．5.已知椭圆+y2=1与双曲线-=1共焦点，设它们在第一象限的交点为P，且•=0，则双曲线的渐进方程为（）A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【答案】B【解析】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则∵椭圆+y2=1与双曲线-=1共焦点，∴a2+b2=8，∵在第一象限的交点为P，且•=0，∴，∴a=，b=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．设|PF1|=m，|PF2|=n，利用在第一象限的交点为P，且•=0，可得，求出a，b，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程，考查椭圆、双曲线的定义，比较基础．6.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.f（x）=2sin（x-）B.f（x）=2sin（x+）C.f（x）=sin（x-） D.f（x）=sin（x+）【答案】A【解析】解：设导函数f′（x）=acos（bx+c），由图象可得a=1，=4×（+），∴b=，∴f′（x）=cos（x+c），代入点（，0）可得cos（-+c）=0，可取c=-，∴f′（x）=sin（x-），逐个选项验证可得A符合题意，故选：A由三角函数图象可得f′（x）=sin（x-），逐个选项求导数验证可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及导数的运算，属基础题．7.设数列{a n}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，S n是它的前n项的和，对任意的n∈N*，点（a n，）在直线（）上．A.qx+my-q=0B.qx-my+m=0C.mx+qy-q=0D.qx+my+m=0【答案】B【解析】解：∵数列{a n}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，∴a n=mq n-1，S n=，∴=1+q n，∴q•=mq n-1-m（1+q n）+m=0，∴点（a n，）在直线qx-my+m=0上．利用等比数列的通项与求和公式，求出a n=mq n-1，S n=，可得=1+q n，代入验证即可得出结论．本题考查等比数列的通项与求和公式，考查数列的函数性质，属于基础题．8.如图所示是用模拟数方法估计椭圆+y2=1的面积S的程序框图，则图中空白框内应填入（）A.S=B.S=C.S=D.S=【答案】D【解析】解：由已知中循环共进行了2000次，即产生了2000组随机数，对应2000个点，其中M中统计的是在椭圆在第一象限区域内点的个数，则=，故S=，故选：D从0到2产生的2000个随机数中，落入椭圆内部或边界的有M个，则=，进而可得S的表达式．本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能及变量的几何意义是解答的关键．9.已知f（x）=x4-x3+2x2+a在x=x1处取得极值2，则dt=（）A.π+B.πC.π+D.+或π+【答案】C【解析】解：函数的导数为f′（x）=x3-4x2+4x=x（x2-4x+4）=x（x-2）2，则当f′（x）＞0，得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时函数取得极小值，也是唯一的极值，∵f（x）在x=x1处取得极值2，∴x1=0，即f（0）=2，则f（0）=a=2，则dt=，设y=，则t2+y2=4，（0＜t＜1），则积分的几何意义为阴影部分的面积，则A（1，），则∠x OA=，∠y OA=，则阴影部分的面积S==，故选：C求函数的导数，确定函数取得极值的x，建立条件关系求出a，利用积分的几何意义即可求出结论．本题主要考查导数的应用，以及积分的几何意义，根据导数求出函数的极值，确定a的值是解决本题的关键．10.已知{a1，a2，a3，a4，a5}⊂{1，2，3，4，5，6}，若a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5称排列a1a2a3a4a5为好排列，则好排列的个数为（）A.20B.72C.96D.120【答案】C【解析】解：∵a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5，∴a2至少大于两个数，a4至少大于两个数，a3至少小于两个数，a2，a4中有一个是最大的．按要求，分步骤进行排序：第一步：先取5个数，有种取法；第二步：以取出的数是1，2，3，4，5为例，进行分类研究：（1）若a2=4，a4=5，则有排列□4□5□，余下的1，2，3排入，有=6种排法；（2）若a2=5，a4=4则有排列□5□4□，余下的1，2，3排入，有=6种排法；（3）若a2=3，a4=5，则有排列□3□5□，余下的4只能排入最后一位，□3□54，余下的1，2排入，有=2种排法；（4）若a2=5，a4=3，则有排列□5□3□，余下的4只能排入第一位，45□3□，余下的1，2排入，有=2种排法．由上述两步骤可知：总的排法有6×16=96种．故答案为：C本题根据新定义的规定，先选5个数，再按要求排序，得到满足条件的数列．本题考查了子集、真子集的概念，还考查了排列组合的知识和分类讨论的数学思想，要运用新定义解决问题，有一定的难度，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.用二项式定理估算1.0110= ______ ．（精确到0.001）【答案】1.105【解析】解：1.0110=（1+0.01）10=110+C101•19×0.01+C102•18•0.012+…≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．将1.01分解成1+0.01再利用二项式定理进行计算，取近似值．本题考查二项式定理的应用．求近似值时要估算各项的精确度要求．12.假设要考察某公司生产的500克袋装奶粉的质量是否达标，现从800袋奶粉中随机抽取10袋进行检测，利用随机数表法抽取样本时，先将800袋奶粉按001，002，003，…，800进行编号，如果从随机数表第8行第8列的数开始向右读，请你写出最先抽到的5袋奶粉的编号依次是______ ．（注：下表为随机数表的第8行）63016378591695556719981050717512867358074439523879．【答案】169、555、671、105、071【解析】解：从随机数表第8行第8列的数开始读，∵859＞800舍去，∴所取的第一个数为169，第二个数为555，第三个数为671，∵998＞800，舍去，∴第四个数为105；第五个数为071．故答案为：169、555、671、105、071．从随机数表第8行第8列的数开始读，大于800的数舍去，依次取5个三位数，可得5袋奶粉的编号．本题考查了用随机数表法进行随机抽样，熟练掌握利用随机数表取数的方法是解题的关键．13.在极坐标系中直线l的方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为（α为参数），圆C与直线l相交于点A，B，则|AB|的长为______ ．【答案】2【解析】解：直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=，即x+y-2=0，曲线C的参数方程（α为参数），即（x-2）2+（y-2）2=9．圆心到直线的距离为=，∴AB=2=2，故答案为：2．把参数方程化为普通方、极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，即可求出|AB|．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．14.若变量x，y满足，则的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：=，设z=，再设k=，则=k+，k的几何意义是过原点的直线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，则OA的斜率最小，OB的斜率最大，由，解得，即A（3，1），此时OA的斜率k=，由，解得，即B（1，4），此时OB的斜率k=4，即k≤4，则z=k+，则在[，]上函数z单调递减，则[1，4]上，单调递增，∴最小值为2，当k=，此时z=，当k=4时，z=4+=故2≤z≤，则≤≤，即≤≤，故答案为：[，]根据分式的特点，利用换元法，利用直线斜率的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划的知识，结合换元法，以及基本不等式的性质是解决本题的关键．15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列叙述正确的是：______ ．②过A点仅能作两条直线与平面BB1C1C和平面DD1C1C均成45°；③过A点能作四条直线与直线C1C，C1D1，C1B1所成角都相等；④过A点能作一条直线与直线BC，DD1，A1B1都相交；⑤过A、C1点的平面截正方体所得截面的最大值与正方形ABCD的面积比为．【答案】①②③⑤【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①过A点仅能作一条直线AA1与平面BB1C1C和平面DD1C1C都平行，故正确；②过A点仅能作两条直线（其中一条是正方体的面对角线AC，一条是与对角线BD平行的直线）与平面BB1C1C和平面DD1C1C均成45°，故正确；③过A点能作四条直线（其中一条是正方体的体对角线AC1，其它三条分别于体对角线BD1，CA1，DB1平行），与直线C1C，C1D1，C1B1所成角都相等，故正确；④若过A点能作一条直线与直线BC相交，则直线⊂平面ABCD，此时不可能与DD1，A1B1都相交，故错误；⑤过A、C1点的平面过BB1和DD1中点时，截正方体所得截面面积取最大值时，此时截面与正方形ABCD的面积比为，故正确．故答案为：①②③⑤根据正方体的几何特征，结合线面平行的几何特征，线面夹角的定义，线线夹角的定义，直线相交的几何特征，平面截正方体所得截面的性质，逐一判断5个结论的真假，即可得到答案．本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱的结构特征，熟练掌握相关空间直线与平面关系的几何特征，是解答的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某市为了了解本市2014届高三学生的数学毕业考试成绩（满分100分），随机抽取45名学生进行调查，得到茎叶图如图所示，将得分不低于80的称为“优秀”．①根据已知条件，完成下面的2×2列联表，据此资料你能否有90%的把握认为学生的数学成绩与性别有关；②将上述调查所得到的频率视为概率，现从该市参加学业考试的女学生中随机抽取4名学生，记被抽取的4名学生成绩优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望．参考公式：K2=，n=a+b+c+d．【答案】①解：…（3分）K2==1.5＜2.706…（6分）∴不能有90%的把握认为学生的数学成绩与性别有关…（7分）②由题意可知：ξ～B（4，），∴Eξ=4×=…（12分）【解析】①根据所给的茎叶图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与临界值比较即可得出结论；②由题意可知：ξ～B（4，），即可求ξ的分布列及其数学期望．本题考查独立性检验的运用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，考查分布列及其数学期望，属于中档题．17.已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【答案】解：①函数f（x）=•===，∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c 时取等号．∴，．∴∈，．∴，．∴f（B）=+1∈[2，3]．【解析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，，∈，.，．即可得出函数f（B）的值域．本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18.一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC；①证明：平面ACD⊥平面ADE；②已知AB=2，AC=，二面角C-AE-B的平面角为，求|BE|的长．【答案】①证明：∵AB是圆O的直径，∴CB⊥AC，∵DC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥BC，∵CD∩AC=C，∴CB⊥平面ACD，∵四边形DCBE为平行四边形，∴CB∥ED，∴ED⊥平面ACD，∵ED⊂平面ADE，②解：连结CO，过O作OG⊥AE于G，连结CG，∵AB=2，AC=，∴CO⊥AB且CO=1，∵CD∥BE，CD⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥CO，∴CO⊥平面ABC，∴∠，∴CO=，∴AG=，∴，即，∴|BE|=【解析】①证明ED⊥平面ACD，即可证明平面ACD⊥平面ADE；②连结CO，过O作OG⊥AE于G，连结CG，则∠，求出CO，AG，即可求|BE|的长．本题考查平面与平面垂直，考查平面与平面所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且斜率为1的直线交于A，B两点，若|AB|=2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，）作两条直线PE，PF交抛物线于点E、F，若两直线互相垂直，求证：EF恒过定点，并求出此点的坐标．【答案】（1）解：由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），设直线AB：y=x-，由得x2-3px=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，由抛物线的定义得，|AB|=x1+x2+p=4p，又|AB|=2，则p=，即抛物线方程是y2=x；（2）证明：由题设可设E（y12，y1），F（y22，y2），且P（1，1），由PE与PF垂直，得=0，即（y1-1）（y2-1）+（y12-1）（y22-1）=0，即（y1-1）（y2-1）[1+（y1+1）（y2+1）]=0，即有y1y2=-（y1+y2）-2，当y1+y2≠0时，直线EF：y-y1=（x-y12）．即y=（x+y1y2）=[x-（y1+y2）-2]，则直线恒过定点（2，-1）．当y1+y2=0时，y1=-y2，由y1y2=-（y1+y2）-2=-2，y12=2，直线EF：x=2，故EF恒过定点，此点的坐标为（2，-1）．【解析】（1）设直线AB：y=x-，联立方程消去y，得到x2-3px=0，运用韦达定理和抛物线的定义，即可求出p，从而得到方程；（2）可设E（y12，y1），F（y22，y2），且P（1，1），由PE与PF垂直，得=0即有y1y2=-（y1+y2）-2，当y1+y2≠0时，写出直线方程，化简判断直线恒过定点（2，-1）；当y1+y2=0时，化简得到直线EF：x=2，即可求出定点坐标．本题考查抛物线的方程、定义和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查联立方程消去一个变量运用韦达定理，及直线恒过定点的问题，属于中档题．20.已知f（α，β）（x）=（α+）x+β（x＞0，α≥0，β≥0）①令g（x）=ln（f（1，1）（x）），求证：g（x）在（0，1）上单调递减；②若f（α，0）（x）≤e在（0，+∞）上恒成立，求α的取值范围．（e为自然对数底数）【答案】①证明：由题意可得：g（x）==（x+1），∴′，令h（x）=，则′＞，∴函数h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．②解：∵f（a，0）（x）=≤e在（0，+∞）上恒成立，∴xln（α+）≤1在（0，+∞）上恒成立，∴≤在（0，+∞）上恒成立，∴，令t=，则t∈（0，+∞），设h（x）=e t-t，则h′（t）=e t-1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（t）＜h（0）=1，0≤α≤1．【解析】①由′，令h（x）=，则′＞，由此能证明g（x）在（0，1）上单调递减．②由已知得xln（α+）≤1在（0，+∞）上恒成立，从而，由此能求出α的取值范围．本题考查函数在区间上单调递减的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n=（++…+）（n∈N*）①求a1，a2，a3；②求数列{a n}的通项公式a n；③若数列{b n}满足b1=1，b n=+（n≥2），求证：b n2＜2+2（b1+b2+b3+…+b n-1）（n≥2）．【答案】解：①由a n=（++…+），∴，∴a1=1（负值舍去），同理：a2=2，a3=3；②猜想：a n=n（下面用数学归纳法证明a n=n），当n=1时，命题成立；假设当n=k时命题成立，即a k=k，a k+1=，∵a k=k，∴，=2[（1-）+（）+…+（）]+=2（1-）+=+，∴，∴2（k+1）+k（k2-3）a k+1-（k+1）（k+2）（k2+1）=0，∴[2（k+1）a k+1+（k+2）（k2+1）][a k+1-（k+1）]=0，∴a k+1=k+1，∴当n=k+1时命题成立．∴a n=n．③∵b n=b n-1+，∴+，∴=，∴=2（）+（），∴+（），∵＜（1）+（）+（）+…+（-）=1-（n≥2），∴＜1+2（）+1-，∴b n2＜2+2（b1+b2+b3+…+b n-1）（n≥2）．【解析】①令n=1、2、3可求得结果；②由①猜想通项公式，然后利用数学归纳法证明；③由b n=b n-1+两边平方后变形可得，=，累加可得=2（）+（），从而+（），放缩可得＜（1）+（）+（）+…+（-）=1-（n≥2），进而可得结论；该题考查数列求和、数学归纳法、不等式的证明等，考查学生的运算求解能力、推理论证能力，综合性强，难度大，能力要求高．。

安徽省合肥八中等2014届高三上学期联考（二）数学理试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

本卷满分150分，考试时间：1 20分钟。

所有答案均在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意。

请把正确答案填涂在答题卷的相应位置) 1． 已知i 是虚数单位，则11i ii i +++= （ ）A ．3122i - B ．3122i +C ．1322i - D ．1322i + 2． 设集合{}2|60,Q x x x x N =--<∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ． 无数个3．设p 、q 是两个命题，21251:1(||3)0,:066p og x q x x ->-+>，则p 是q 的 （ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1s in c o s ,2,4s in C B A ==S △（ ）A ．4B ．3C ． 2D ． 16．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （ ） A ． 10种 B ．20种 C ． 36种 D ．52种7．在△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）三角形A ．等腰直角B ． 钝角C ． 锐角D ． 非等腰的直角8．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4=4，a 1+a 2+a 3=14，则满足121..9n n n a a a ++>的最大正整数n 的值为 （ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69． 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=-，且当[0,2)x ∈ 时，2()1(1)f x o g x =+ ，则(2013)(f f +-的值为（ ） A ．－2 B ． －1 C ．1 D ． 210．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足{}.3|,21,,O A O B O A O B P O P O AO B Rλμλμλμ+====++≤∈所表示的区域的面积是 （ ）A ．B ．C ．D 第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分。

2014年安徽省皖南八校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（50分） 1. 已知复数z =2+i 1−i（其中i 为虚数单位），则z =( )A 12+32i B 12−32i C 1+32i D 32+32i2. “不等式x(x −2)>0”是“不等式2x <1”成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7+a 3a 8=27，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a 10=( )A 12B 10C 8D 2+log 354. 若直线l:{x =2t,y =1−4t （t 为参数）与曲线C:{x =√5cosθ,y =m +√5sinθ（θ为参数）相切，则实数m为（ ）A −4或6B −6或4C −1或9D −9或15. 设A(a, 1)，B(2, b)，C(4, 5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A 4a −5b =3B 5a −4b =3C 4a +5b =14D 5a +4b =14 6. 如图的程序框图输出的结果为（ ）A 511B 254C 1022D 5107. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A5003cm 3 B10003cm 3 C 1000cm 3 D 2000cm 38. 已知sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A 15 B −15 C 75 D ±159. 命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是（ ）A 全等三角形的面积不一定都相等B 不全等三角形的面积不一定都相等C 存在两个不全等三角形的面积相等D 存在两个全等三角形的面积不相等10.如图，正方体AC 1中，DF DD 1=AE AA 1=23，CG CC 1=BH BB 1=13，点P 为平面EFGH 内的一动点，且满足∠PAA 1=∠C 1AA 1，则点P 的轨迹是（ ） A 抛物线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. (x 2−4x +4)5的展开式中x 的系数是________． 12. ∫√a 2−x 20−a dx =________．13. 已知点F 为双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的公共焦点，M 是C 1与C 2的一个交点，MF ⊥x 轴，则双曲线C 1的离心率为________． 14. 已知实数x ，y 满足{0≤x ≤√2y ≤2x ≤√2y，则z =2x+y−1x−1的取值范围是________．15. 设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大值整数，则y =[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________ ①[−x]=−[x] ②x −1<[x]≤x③∀x ，y ∈R ，[x]+[y]≤[x +y] ④∀x ≥0，y ≥0，[xy]≤[x][y] ⑤离实数x 最近的整数是−[−x +12]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC +4xsinC +6<0的解集是空集. (1)求角C 的最大值；(2)若c =72，△ABC 的面积S =32√3，求当角C 取最大值时a +b 的值．17. 从正方体的各个棱面上的12条面对角线中任取两条，设ξ为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，ξ=π2 (1)求概率P(ξ=0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18. 已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，（1）求异面直线AC，DE所成的角；（2）求二面角A−CE−D的大小；（3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由．19. 数列{a n}满足：a1=6，a n+1=a n2+4a n+2，(n∈N∗)（1）设C n=log2(a n+2)，求证：{C n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=1a n−2−1a n2+4a n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：730≤T n<14．20. 已知命题“若点M(x0, y0)是圆x2+y2=r2上一点，则过点M的圆的切线方程为x0x+ y0y=r2”．（1）根据上述命题类比：“若点M(x0, y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，则过点M的切线方程为________”（写出直线的方程，不必证明）．（2）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−1, 0)，且经过点(1, 32)．(I)求椭圆C的方程；(II)过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=ax+1+lnxx，其中a∈R．（1）若f(x)的定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数g(x)=xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围．2014年安徽省皖南八校高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. A5. A6. D7. B8. C9. D10. C11. −512012. πa2413. 1+√214. (−∞, 1]∪[2√2+4, +∞)15. ②③⑤16.解：(1)∵ 不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集．∴ {cosC>0，Δ≤0，即{cosC>0，16sin2C−24cosC≤0，即{cosC>0，cosC≤−2或cosC≥12，故cosC≥12，∴ 角C的最大值为60∘．(2)当C=60∘时，S△ABC=12absinC=√34ab=32√3，∴ ab=6，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2abcosC，∴ (a+b)2=c2+3ab=1214，∴ a+b=112．17. 解：(I)当ξ=0时，即所选的两条面对角线平行．则P(ξ=0)=6C122=111．(II)由题意知ξ=0，π3，π2，P(ξ=0)=6C122=111，P(ξ=π3)=48C122=811，P(ξ=π2)=12C122=211，∴ ξ的分布列为：Eξ=0×111+π3×811+π2×211=π3．18. 解：（1）建立空间直角坐标系如图：∵ AB =AE =1，四边形ABCD 为正方形，∴ A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，E(0, 0, 1)．AC →=(1, 1, 0)，DE →=(0, −1, 1)， cos <AC →，DE →>=−1√2×√2=−12，故异面直线AC ，DE 所成的角为π3；（2）取DE 的中点P ，则P(0, 12, 12)，连接AP ，∵ 直线AE ⊥平面ABCD ，∴ AE ⊥CD ，又四边形ABCD 为正方形，CD ⊥AD ，∴ AP ⊥平面CDE ，∴ AP →为平面CDE 的法向量；∵ BD ⊥AC ，AE ⊥BD ，∴ BD ⊥平面ACE ，∴ BD →为平面ACE 的法向量， AP →=(0, 12, 12)，BD →=(−1, 1, 0)， cos <AP →，BD →>=12√22×√2=12．故二面角A −CE −D 为π3．（3）假设在平面ABE 内存在点H ，设H(m, 0, n)，PH →=(m, −12, n −12)，∵ PH ⊥平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ PH ⊥AC ，PH ⊥AE ，∴ PH →⋅AC →=m −12=0⇒m =12；PH →⋅AE →=n −12⇒n =12， 即H(12, 0, 12)，∵ BH →=12BE →，H 为B 、E 的中点．故存在点H，H为B、E的中点，满足条件．19. （1）证明：由a n+1=a 2n +4a n+2，得a n+1+2=(a n+2)2，∴ log2(a n+1+2)=2log2(a n+2)，∵ C n=log2(a n+2)，即C n+1=2C n，∴ 数列{C n}是以2为公比的等比数列；（2）解：∵ a1=6，∴ C1=log2(a1+2)=log28=3，则C n=3⋅2n−1，即a n+2=23⋅2n−1，∴ a n=23⋅2n−1−2；（3）证明：把a n=23⋅2n−1−2代入b n=1a n−2−1a n2+4a n，得：b n=1a n−2−1a n+1−2，则T n=(1a1−2−1a2−2)+(1a2−2−1a3−2)+⋯+(1a n−2−1a n+1−2)=1a1−2−1a n+1−2=14−123⋅2n−4．∴ 730≤T n<14．20. 解：(1)x0xa2+y0yb2=1．(2)(I)∵ 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−1, 0)，∴ 设椭圆C:x2a2+y2a2−1=1，∵ 椭圆经过点(1, 32)，∴ 1a2+94a2−4=1，整理，得4a4−17a2+4=0，解得a2=4，或a2=14，∴ 椭圆方程为：x24+y23=1．(II)当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为y=k(x+1)，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则椭圆在点A处的切线方程为：x1x4+y1y3=1，①椭圆在点B的切线方程为：x2x4+y2y3=1，②联立方程①②得：x=4(y2−y1)x1y2−x2y1=4k(x2−x1)x1k(x2−1)−x2k(x1+1)=−4，即此时交点的轨迹方程：x =−4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =−1，此时A(−1, 32)，B(−1, −32)，经过AB 两点的切线交点为(−4, 0)．综上所述，切线的交点的轨迹方程为：x =−4． 21. 解：（1）f′(x)=a +1−lnx x 2=ax 2−lnx+1x 2，∴ f ′(x)≥0，∀x >0，∴ ax 2−lnx +1≥0，∀x >0， ∴ a ≥lnx−1x 2令ℎ(x)=lnx−1x 2，则ℎ′(x)=1xx 2−2x(lnx−1)x 4=3−2lnx x 3=0有根：x 0=e 32，当x ∈(0, x 0)，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单增； 当x ∈(x 0,+∞)，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单减∴ a ≥(ℎ(x))max =ℎ(x 0)=12e 3（2）由题g(x)=xf(x)=ax 2+x +lnx =0，即a =−x−lnx x 2有唯一正实数根；令φ(x)=−x−lnx x 2，即函数y =a 与函数y =φ(x)有唯一交点；φ′(x)=(−1−1x)x 2−(−x−lnx)2x=x−1+2lnxx 3；再令R(x)=x −1+2lnx ，R ′(x)=1+2x>0，∀x >0，且易得R(1)=0， 故当x ∈(0, 1)时，R(x)<0，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减； 当x ∈(1, +∞)时，R(x)>0，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增； 即φ(x)≥φ(1)=−1又当x →0时，φ(x)→+∞，而当x →+∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a|a ≥0, 或a =−1}．。