新北师大八下数学下册第一章等腰三角形习题(共4课时)含答案

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明 1.1.1等腰三角形的性质同步课时练习题含答案北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明 1.1.1等腰三角形的性质同步课时练习题1．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠DD．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A．5 B．4 C．3 D．23. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( ) A．35° B．40° C．45° D．50°4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( ) A．36° B．54° C．18° D．64°5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC等于( )A．40° B．45° C．60° D．70°6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( ) A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．60°13. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE14. 证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝23AB，AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△AMD和△AND中，AM＝AN，∠MAD＝∠NAD，AD＝AD，∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN15. 解：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠DFC＋∠DCF＝90°，∠B＋∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DFC，又∵∠DFC＝∠EFA，∴∠B＝∠EFA.在△AEF和△CEB中，∠EFA ＝∠B，∠FEA＝∠BEC＝90°，AE＝CE，∴△AEF≌△CEB(AAS)(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴BC＝2CD，∴AF＝2CD16. 证明：连接AC，AD，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD.又∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD。

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题（附答案）1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB 于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（）A．30°B．40°C．20°D．25°3．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2B．1，1，3C．2，2，1D．2，2，54．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．点D是线段AC的中点D．AD＝BD＝BC5．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6B．7C．8D．7或86．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．8．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为度．9．如图，P、M、N分别是△ABC三边上的点，BM＝BP，CP＝CN，∠MPN＝40°，则∠A ＝．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠BGE＝110°，则∠BDF的度数为11．如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，O点是△ABC的角平分线BD及高线CE 的交点，则∠DOC的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE ＝∠BAD．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．14．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．15．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．17．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交底BC于G．求证GD＝GE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．19．如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE，求∠EDC的度数．参考答案1．解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，∴AD＝BD，EB＝ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．2．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°．故选：C．3．解：A、∵1+1＝2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项不符合题意；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项不符合题意；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项符合题意；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项不符合题意；故选：C．4．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故D正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故C错误．故选：C．5．解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3＝7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2＝8．故选：D．6．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝50°，∴∠ADC＝130°，当∠ADB＝90°时，则∠ADC＝90°，故答案为：130°或90°．7．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．故答案为6．8．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝74°，∵AD＝BD，∴2∠B＝∠ADC＝74°，∴∠B＝37°，故答案为37°．9．解：∵∠MPN＝40°，∴∠BPM+∠CPN＝140°，∵BM＝BP，CP＝CN，∴∠BMP＝∠BPM，∠CPN＝∠CNP，∴∠BMP+∠CNP＝140°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠A＝100°．故答案为：100°．10．解：∵EG∥AB，∠BGE＝110°，∴∠B＝180°﹣∠BGE＝70°，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝70°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，∴∠CEG＝∠A＝40°，∵EG平分∠CED，∴∠GED＝∠CEG＝40°，∴∠ADE＝∠GED＝40°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝140°．∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠BDE＝70°．故答案为70°．11．解：∵在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝35°．∵CE是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝20°，∴∠DOC＝∠DBC+∠BCE＝35°+20°＝55°．故答案为55°．12．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°．，∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠CBE＝∠CAD．，∴∠CBE＝∠BAD．13．证明：∵AB＝AC（已知），∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB＝∠BDC＝90°．∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB．∴∠ECB＝∠DBC（等量代换）．∴FB＝FC（等角对等边），在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠BAF＝∠CAF（全等三角形对应角相等），∴AF平分∠BAC．14．解：（1）∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．（2）连接BF∵AB＝BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD＝∠ABC．15．证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D，又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D．16．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC；（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠DOE+∠A＝180°∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．17．证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F＝∠B，∵∠ACB＝∠FCE，∴∠F＝∠FCE，∴CE＝EF，∵BD＝CE，∴BD＝EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD＝GE．18．解：设∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．19．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF＝，∴∠BAC＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵∠BAC＝∠ACF，∠B＝∠BAC，∠ADF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵∠ADF+∠CAD+∠AGD＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF＝180°，又∵∠AGD＝∠CGF，∴∠F＝∠CAD＝20°．20．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15．所以∠EDC的度数是15°．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1章三角形的证明等腰三角形一、单选题1．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A．17B．22C．13D．17或222．一个顶角为126°的等腰三角形，它的底角的度数为（）A．18°B．24°C．27°D．34°3．如图，已知ABC是等腰三角形，AB BC=，BD平分ABCAC=，则ADÐ，若6的长为（）A．2B．3C．4D．84．如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（）A．7B．8C．9D．105．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）AB ．C ．D ．6．如图，在ABC 中，AB =AC =4，∠B =∠C =15°．则△ABC 的面积为（）A ．16B ．4C ．6D ．87．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，腰长为4，则其底边上的高是（）A ．2B ．2或C ．2或2D ．8．在ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．如图，AD 为等边△ABC 边BC 上的高，AB ＝4，AE ＝1，P 为高AD 上任意一点，则EP ＋BP 的最小值为（）A．B C D 10．如图，已知等边ABC 和等边ADE ，其中点A 、D 、B 在同一条直线上，连接BE 交AC 于点M ，连接DC 交AE 于点N ，BE 和DC 交于点P ，则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC Ð=°；（3）DN DE =；（4）BAM CAN @△△．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是________度．12．如图，在ABC中，AB AC=，中线AD交BC于点D，点E在AD上，且AE CE=，Ð=°，则∠B为__________度．35ACE13．如图，在ABC中，3AB ACÐ和ACB==，ABCÐ的平分线交于点E，过点E 作EM BC∥分别交AB，AC于M，N，则AMN的周长为_______14．如图，正方形OABC的边长等于4，且AO边与x轴正半轴夹角为60°，点O为坐标原点，则点B的坐标为______．15．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为2，BD是AC边上的中线，E为BC 延长线上一点，且CD CE=，则DE=________．三、解答题16．如图，AB AC AD ==，且,28AD BC BAC Ð=°∥，求D Ð的度数．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 边上一点，连接BE 与AD 交于点F ，G 为△ABC 外一点，满足∠ACG ＝∠ABE ，∠F AG ＝∠BAC ，连接EG ．(1)求证：△ABF ≌△ACG ；(2)求证：BE ＝CG +EG ．18．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AD=BE=CF，求证：DE=EF．19．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．(1)求证∠E＝∠F；(2)若CE＝10，DG＝4，求EG的长．20．如图，在ABC中，90Ð=°，3BAC==，D为BC边的中点，点E、FAB AC分别在AB、AC边上运动，且始终保持BE AF=，连接DE、DF、EF．(1)求证：ADE≌CDF；(2)判断DEF的形状，并说明理由；(3)求四边形AEDF的面积；(4)若2BE=，求EF的长．参考答案1．B2．C3．B4．B5．D6．B7．B8．A9．B10．C11．2012．5513．6-+14．(221516.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABD+∠DBC＝∠C，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠D，∴∠C＝∠ABC＝2∠D，∵∠BAC＝28°，∴∠ABC＝∠C＝1（180°－∠BAC）＝76°，2∠ABC＝38°．∴∠D＝1217.(1)∵BAC FAGÐ=Ð，∴33BAC FAG Ð-Ð=Ð-Ð，即1=2ÐÐ．在ABF 和ACG 中，∵12AB AC ABF ACGÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴ABF ≌ACG （ASA ）．(2)∵ABF ≌ACG ，∴AF AG =，BF CG =．∵AB AC =，AD BC ^于点D ，∴1=3ÐÐ．∵1=2ÐÐ，∴2=3ÐÐ．在AEF 和AEG △中，∵32AF AGAE AE=ìïÐ=Ðíï=î，∴AEF ≌AEG △（SAS ）．∴EF EG =．∴BE BF FE CG EG =+=+．18.解：证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，AB =BC ，∵AD =BE =CF ，∴AB -AD =BC -BE∴BD =CE ，在△BDE 和△CEF 中，BD CE B C BE CF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△BDE ≌△CEF （SAS ），∴DE =EF ．19.(1)证明：∵AD BC =，∴AD DC BC DC +=+，即AC BD =，在ACE 与BDF 中，AC BD A B AE BF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ACE BDF SAS ≌△△，∴E F Ð=Ð；(2)由（1）得ACE BDF V V ≌，∴ACE BDF Ð=Ð，∴4CG DG ==，∴1046EG CE CG =-=-=．20.(1)证明： 90BAC Ð=°，3AB AC ==，D 为BC 边的中点，145,=452B C DAE DAB BAC \Ð=Ð=°ÐÐ=Ð=°DAC C \Ð=Ð，DAE C Ð=ÐAD DC\= ,AB AC BE AF==AE CF∴=在ADE 与CDF 中，10/10AD BD DAE CAE CF =ìïÐ=Ðíï=î\ADE ≌CDF ；(2) ADE ≌CDF ，,DE DF BDE ADF \=Ð=Ð，90BDE ADE ADE ADF \Ð+Ð=Ð+Ð=°，即90EDF Ð=°，DEF \是等腰直角三角形，(3) ADE ≌CDF ，ADE CDFS S \=\四边形AEDF 的面积ADE ADF CDF ADF ADC S S S S S =+=+=113322ABC S ==´´92=(4)3,321,312AB AC AE AB BE AF AC FC ===-=-==-=-= 在Rt AEF中EF ===。

第一章三角形的证明一、单选题1．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为：（）A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm 3．如图所示，V ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15︒，则∠2的度数为（）A．15︒B．30°C．30°D．60︒4．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A．1,2,3B．7,12,13C．5,8,10D．15,20,255．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，在V ABC中，∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC，与AC交于点P,下列结论正确的是（）． ∠ △°A ． PC < 2P AB ． PC > 2P AC ． AB < 2P AD ． AB > 2P A7．在联欢会上，有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的（）A ．三边中垂线的交点C ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点D ．三边上高的交点8 如图所示，Rt△ABC 中， C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于点 E .当∠B 30时，图中一定不相等的线段有()△A ．AC △AE BEC ．△CD DEB ．AD △BDD ．AC △BD9．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 A B 、AC于 D 和 E ，再分别以点 D 、E 为圆心，大于二分之一 DE 为半径作弧，两弧交于点 F ，连接AF 并延长交 BC 于点 G ，GH ⊥AC 于 H ，GH ＝2，则△ABG 的面积为（ ）A．4B．5C．9D．1010．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题11．如图，已知在∆ABC中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）12．如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90︒,AB=26米，BC=24米．则这块菜地的面积是_____．13．如图，在V ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于1AC长为半径画2弧，两弧相交于点M、N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B=70︒，则∠BAD的度数是_____度．14．如图，∆ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AE=AF；④FG//AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是______．三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝△45°，求证：ACD为等腰三角形；（△2）若ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120︒，求∠BDC的度数．17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？△18．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、△OC，若OBC的周长为13cm，求OA的长．19．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)△求AMN的周长．答案1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6.C.△， ，△， △﹣ △， △﹣ ﹣ △，△， △，△， △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7．A8．D9．B10．C11．AD ⊥BC12．96△△△13．3014．①③④15．（1） AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°， BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△， ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形；（2）有两种情况： △当 ADC=90°△时，B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°；△当 CAD=90°△时， BAD= BAC CAD=120° 90°=30°；△即 BAD 的度数是 60°或 30°．⎨∠BAO = ∠CAD16．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°∵AO=OD ，∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ ， AB = AC∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC=∠OAD ，∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.（1）解：在 Rt ∆AOB 中，由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7（2）设梯子的 A 端下移到 D ， OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中，由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了：2.4=2=0.4m18.解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（△2）∵OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．19.解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS△可证BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS△可证DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN(2)由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6。

1.1等腰三角形同步练习一．选择题1．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：23．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠C的度数是（）A．80°B．100°C．50°D．40°4．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（）A．③④B．①②C．①②③D．②③④5．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC 的长为（）A．9B．8C．6D．77．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若NM＝4，则OM的值（）A．2B．3C．4D．58．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，E，F是AD上的两点，且AE＝EF＝FD．若△ABC的面积为6cm2，则图中阴影部分的面积是（）cm2．A．2B．3C．4.8D．5二．填空题11．在△ABC中，若∠A＝66°，∠B＝∠C，则∠B＝．12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为．13．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE ＝；△EDC与△ABC的面积关系是：＝．14．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为cm．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD 交于点F．（1）求证：DC＝EB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求证：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．参考答案一．选择题1．解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．2．解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c＝2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．3．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°．故选：D．4．解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故选：C．5．解：由图可知，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°∴△CBD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A∴△BAD均为等腰三角形，∴图中三角形共有三个．故选：B．6．解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝60°，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：B．7．解：过点P作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∵OP＝10，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝3，故选：B．8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．9．解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．10．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴BD＝CD，∵阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，∵△ABC的面积6cm2，∴阴影部分的面积＝3cm2．故选：B．二．填空题11．解：∵∠A＝66°，∠B＝∠C，∴∠B＝＝×（180°﹣66°）＝57°．故答案为：57°．12．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DA＝DB＝3，∴∠DBC＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，∴DC＝2DB＝6，∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．故答案为：9．13．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC＝∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE＝AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC＝×6×EC＝3EC，S△ABC＝×12×BC＝6BC＝24EC，∴．故答案为：6，．14．证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF为等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案为：5．15．解：设∠A1B1O＝x，则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，∴θ1＝，设∠A2B2B1＝y，则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，∴θ2＝＝，…θn＝．故答案为：．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．17．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，，∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．18．（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．。

北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为=∵4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．秒B．3秒C．秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．北师大版数学八年级课时练习一、选择题1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A. 8B. 9C. 10D.11答案：C解析：解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C.分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°答案：A解析：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°－24°=48°，故选：A.分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数. 3．如图，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，若已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC的长为（）A. 10B. 9C. 7D. 5答案：C解析：解：如图，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，∴AG=BG，∵AB=10，△GBC的周长为17，∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，∴BC=7．故选C.分析：首先根据题意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，根据线段垂直平分线的性质，可得AG=BG，继而可得△GBC的周长=AC+BC=17，则可求得答案. 4．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（）A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°答案：A解析：解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．故选A.分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，则△BCE的周长为（）A. 6B. 14C. 18D. 24答案：B解析：解：∵AC=10，BC=4，∴AC+BC=10+4=14，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=14．故选B.分析：先根据AC=10，BC=4，可得出AC+BC的长，再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE，进而可得出答案.6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC 于N、M两点，则△BCM的周长为（）A. 18B. 16C. 17D. 无法确定答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得，BC=5，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故选：C分析：根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：C解析：解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，则AO=OB，AO=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°，即△ABC是钝角三角形，故选C分析：先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可.8. 已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.无法确定答案：B解析：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．故选B.分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案.9. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为（）A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm答案：D解析：解：如图，连接BD，∵D在线段AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm，∴AB=60 cm－38 cm =22 cm，∴AC=22 cm，∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm，即等腰三角形的腰为22 cm，底为16 cm，故选D.分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案.10．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点答案：A解析：解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.11. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点答案：B解析：解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：B.分析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案.12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A．50°B．60°C．150°D．50°或130°答案：D解析：解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时易得∠A=90°－40°=50°，（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，易得∠DAB=90°－40°=50°，∴∠A=130°，故选D.分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．无法计算答案：B解析：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，故选：B分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.14. 如图，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（）A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B答案：A解析：解：∵ED垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=A，AC=B，∴AB=AE+BE=AE+CE=A．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=A+B．故选A分析：要求三角形的周长，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分线，结合线段的垂直平分线的性质，知EC=BE，这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB，代入数值，答案可得.15. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处答案：C解析：解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选C.分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.二、填空题16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．若FC=3 cm，则BF=_________．答案：6 cm解析：解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°；∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∠FAC=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF（30°直角边等于斜边的一半），∴BF=2CF=6 cm．故答案是：6 cm分析：利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC= 120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.17. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC=________．答案：3解析：解：∵ED为AC上的垂直平分线，∴AE=EC，∵AB=AE+EB=5，△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8，∴BC=8－5=3．故答案为：3分析：根据ED为AC上的垂直平分线，得出AE=CE，再根据AB=5，△BCE的周长为AB+BC=8，即可求得BC.18．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC=__________ ．答案：6解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，∵AC=10，△BDC的周长为16，∴BC=16－AC=16－10=6．故答案为：6分析：先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为16即可求出答案.19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=答案：15解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，故答案为：15分析：根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案.20.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= _________．答案：7解析：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．三、解答题21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．答案：解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，则P即为售票中心解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.22．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数答案：140°解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠B=∠EAB.∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.分析：根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.23．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长答案：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形.（2）30°（3）32解析：解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°－40°）÷2=70°.∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AD=12.∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.24．如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．（2）若AB=AC，且△BCD的周长为18 cm，△ABC的周长为30 cm，求BE的长.答案：（1）15°；（2）6 cm解析：解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°.又∵DE垂直平分AB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°．（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AE=BE，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm．∵△ABC的周长=30 cm，∴AB=30－18=12 cm，∴BE=AE=6 cm．分析：（1）已知∠A=50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．25．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B 的度数=26°答案：B解析：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B.设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为（）A.3B.4C.2D.2.52、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（）A.20°或70°B.30°或60°C.25°或65°D.35°或65°3、下列命题中错误的有（）个（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A.1B.2C.3D.44、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A.55°B.40°C.35°D.20°5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D.AC=AB7、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm8、等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（）A.50°，80°B.65°，65°C.50°，80°或65°，65° D.无法确定9、如图，在中，，则的度数为（）A. B. C. D.10、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A.2B.8C.2D.1012、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm13、如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C.8 D.914、已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为A.13 cmB.17cmC.13cm或17cmD.10cm或13cm15、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A.50°B.60°C.150°D.50°或130°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，若正方形ABCD的边长为1，且∠BFC＝90°，则AE的长为________17、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长度是________cm.19、如图，于，于，且.若，，则的大小为________度.20、如图，在中，点在上，，点在的延长线上，，连接，则的度数为________ ．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，则BD的长为________．22、如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC=7cm，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________cm ．cm23、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O恰好是AC的中点，则CD的长为________．24、如图， AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点D，若∠A=38°，则∠BDM=________度.25、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处。

《等腰三角形与直角三角形》习题1一、选择题1．已知，如图在ABC 中，AB AC =，AD 是三角形的高，若20CAD ∠=︒，则B Ð的度数是( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒2．等腰三角形的两边长分别为1cm ，2cm ，则其周长为( )A ．3cmB ．4cmC ．4cm 或5cmD ．5cm3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是( )A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒4．如图，在ABC 中，AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线，点D 是线段AE 上的一点(不包括端点)，则下列结论不正确的是( )A ．AE ⊥BCB ．BED CED △≌△C ．BAD CAD ≌D ．ABD DBE△≌△5．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是( )A ．4，6，8BC ．5，12，14D ．，6．如图，△ABC 是等边三角形，AD=AE ，BD=CE ，则∠ACE 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．若△ABC 的三边长,,a b c 满足2222220a b c ab bc ++--=，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是( )A ．如果∠A －∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2=b 2－c 2，那么△ABC 是直角三角形，且∠C=90°C ．如果∠A ︰∠B ︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2︰b 2︰c 2=9︰16︰25，那么△ABC 是直角三角形9．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．910．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为( )A ．16B ．32C ．64D ．12811．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OD=，4=，2OA OBOE=，则BE的长为( )A．12B．10C．8D．612．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为( )A．6B．7C．8D．913．(2021·四川绵阳市·八年级期末)如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有( )A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在边长为9的等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E、F分别是边AB、AC上的两个点，且AE=CF=4cm，在CD上有一动点P，则PE+PF的最小值是( )A ．4B ．4.5C ．5D ．8二、填空题15．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，若//BD AE ，20DBC ∠=︒，则CAE ∠的度数是______16．如图所示是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC ，8AB m =，30A ∠︒＝，则立柱 BC 的长度为___________．17_________________．18．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP =，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．三、解答题19．如图△ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线交于点O ，过O 点做//EF BC ，交AB 、AC 于E 、F ，请写出图中线段EF 与BE 、CF 间的数量关系，并说明理由．20．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．(1)求∠BCE的度数；(2)若∠A＝20°，求∠ACE的度数．21．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C 都是格点．∠是直角，请补全他的思路；(1)小明发现ABC小明的思路22．如图，△ABC 中，AC ＝15，AB ＝25，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝12．(1)求线段AD 的长度；(2)判断△ABC 的形状并说明理由．23．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，在线段CB 延长线上取一点D ，以AD 为直角边，点D 为直角顶点，在射线CB 上方作等腰Rt ADE △，过点E 作EF CB ⊥，垂足为点F ．(1)依题意补全图形；(2)求证：AC DF =；(3)连接EB ，并延长交AC 的延长线于点G ，试求线段CG 与AC 的数量关系，并给出证明．24．已知，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ．(1)如图1，求证：DB ＝DE ；(2)如图2，过点D 作DE 的垂线交BC 于点F ，求证：△DFC 是等边三角形．25．在△ABC 中，AB=AC ，点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合)，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；(2)设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上(线段BC 之外)移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线:3AB y kx =+与直线:2AC y x b =-+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)求直线AC 的函数表达式．(2)若点D 在线段BO 上．①当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．②当DEF 与AFC △的面积相等时，求线段AD 的长．(3)若DEF 为直角三角形，请直接写出点D 的坐标．答案一、选择题1．D．2．D．3．A．4．D．5．D．6．C．7．D. 8．B．9．B．10．C．11．C．12．B.13．D．14．C．二、填空题15．70°．16．4m．17．18．6三、解答题19．解：CF＋BE＝EF．证明如下：∵BO平分∠ABC∴∠EBO＝∠CBO ，EF BC∵//,∴∠EOB＝∠OBC ，∴∠EBO＝∠EOB，∴EO＝BE ，同理可得：CF＝FO，∵EO ＋FO ＝EF ，∴CF ＋BE ＝EF ．20．解：(1)∵△ABC ≌△DEC ，∴CB ＝CE ，∴∠CEB ＝∠B ＝65°，在△BEC 中，∠CEB+∠B+∠ECB ＝180°，∴∠ECB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，(2)∵∠A ＝20°，∠B ＝65°∴∠ACB ＝95°，在△ABC 中，∠ACE ＝180-∠A-∠B-∠ECB ＝180°-20°-65°-50°＝45°．21．(1)先利用勾股定理求出ABC 的三条边长，可得AB，BC =AC =从而可得AB 、BC 、AC 之间的数量关系是222AB BC AC +=，根据勾股定理逆定理，可得ABC ∠是直角．(2)作图如图，由图可得：AD BE =，BD CE =，90ADB BEC ∠=∠=°．在ADB △和BEC △中，AD BE ADB BEC BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB BEC SAS ∴≅ ，ABD BCE ∴∠=∠．在BEC △中，18090BCE EBC BEC ∠+∠=︒-∠=︒，90ABD EBC ∠∴+=∠︒．∵D 、B 、E 三点共线，180ABD EBC ABC ∴∠+∠+∠=︒，180()90ABC ABD EBC ∴∠=︒-∠+∠=︒．22．(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AC＝15，CD＝12，∴AD2＝AC2−CD2＝152−122＝81，∵AD＞0，∴AD＝9；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB＝25，AD＝9，∴BD＝AB−AD＝25−9＝16，在Rt△CDB中，∵∠BDC＝90°，∴BC2＝CD2＋BD2＝122＋162＝400，∵BC＞0，∴BC＝20，∵AC2＋BC2＝152＋202＝252＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．23．解：(1) 依题意补全图形；(2)证明：∵EF CB ⊥， 90C ∠=︒，∴90EFD C ∠=∠=︒，∴3290∠+∠=︒，又∵90ADE ∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，又∵AD ED =，∴ACD ∆≌DFE ∆，∴AC DF =；(3)线段CG 与AC 的数量关系是：CG AC =．∵ACD ∆≌DFE ∆，∴DC EF =，又∵AC BC =，∴BC DF =，∴DC BF EF ==，即EBF ∆为等腰直角三角形，∴45EBF GBC∠=︒=∠∴△BCG 为等腰直角三角形，∴BC=CG ，∴CG=AC ．24．解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠A ＝∠ACB ＝60°，∵AB ＝BC ，BD 是中线∴BD ⊥AC ，BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，∵CE ＝CD ，∠ACB ＝60°∴∠CDE ＝∠E ＝30°，∴∠E ＝∠CBD ＝30°，∴DB ＝DE ，(2)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°∵FD ⊥DE ，∠E ＝30°，∴∠DFC ＝60°，∴∠DFC ＝∠DCF ＝60°∴△DCF 是等边三角形．25．解：(1)∵BAC 90∠=︒，∴90DAE BAC ∠=∠=︒，∵AB=AC ，AD=AE ，∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，∵DAE BAC ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE V 中AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD CAE ≅ ，∴45ACE B ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒(2)αβ180+=︒．理由：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌．∴B ACE ∠=∠．∴B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=+．∴B ACB β∠∠+=．∵αB ACB 180∠∠++=︒，∴αβ180+=︒．②如图：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌．∴ABD ACE ∠=∠．∵ABD ACB+α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，ACE ABD βα∴=∠-∠+，αβ∴=．26．解：(1)把点0()6,B -代入3y kx =+，630,k ∴-+=∴ 12k =∴直线AB 为132y x =+把点(2,)A n 代入132y x =+，得4n =(2,4)A ∴把(2,4)A 代入2y x b =-+得，44,b ∴-+=∴ 8b =∴直线AC 的函数表达式28y x =-+．(2)①如图，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，则()22222(62)0480AH AE AB ===--+-=，，HE ∴==4OE HE OH ∴=-=，E ∴点坐标为(0,4-②DEF AFCS S = DEF ADF AFC ADFS S S S ∴+=+ 即ADE ADCS S = 而ABD ADES S =△△ABD ADCS S ∴= ∴点D 为BC 的中点28y x =-+，当0y =时，280,x ∴-+=∴ 4x =(4,0)C ∴()6,0,B -64(,0)2D -+∴即()10D -，，AD ∴=(3)由对折可得：90,E ABD ∠=∠≠︒ DEF ∴ 为直角三角形，分两种情况讨论：当90EDF ∠=︒时，如图，由对折可得：360901352ADB ADE ︒-︒∠=∠==︒， 1359045ADO ∴∠=︒-︒=︒，过A 作AG BC ⊥于,G4,AG DG ∴==2,OG =2,OD ∴=()2,0,D ∴-如图，当90DFE ∠=︒时，由对折可得：AE AB === ,BD DE =4,EF ∴=由,A B 两点坐标可得：()268,BF =--= 设,DF m = 则8,BD m =-8,DE m ∴=-()()22284,m m ∴-=+2,m ∴=-224,OD DF OF ∴=-=-=-∴ (4D -．综上：(2,0)D -或(4D -．。

知识点 2 等腰三角形的性质3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm 和 6 cm,那么此三角形的周长是A.15 cmB.15 cm 或 16 cmC.17 cmD.16 cm 或 17 cm4.已知等腰三角形的一个角为 75°,则其顶角为A.30 °B.75° (D) (D)C.75°或 105°D.30°或 75°知识点 3 等腰三角形三线合一5.如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是∠ BAC 的平分线 .已知 AB= 5,AD= 3,则 BC 的长为 (C) A.5第 1 课时 等腰三角形的有关概念知识要点基础练知识点 1 全等三角形1. （成都中考 ）如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件 ,不能判定 △ABC ≌△DCB 的是 C.AC=DB2. （荆州中考 ）已知:∠AOB,求作:∠AOB 的平分线 .作法: ①以点 O 为圆心,适当长为半径画弧 ,分别 交 OA,OB 于点 M,N;②分别以点 M,N 为圆心 ,大于 MN 的长为半径画弧 ,两弧在∠ AOB 内部交于 点 C;③画射线 OC.射线 OC 即为所求 .上述作图用到了全等三角形的判定方法 ,这个方法是 SSS . (C)A.∠A=∠DD.AB=DCB. 6C. 8D.106.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC 的平分线交 BC 边于点 D,AB= 5,BC= 6,则 AD= 47.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿AC 翻折 180°,使点 B 落在点 B'的位置上 ,则下列关 于线段 AC 的性质的说法正确的是 (D)A. 是边 BB'上的中线B. 是边 BB' 上的高C. 是∠ BAB'的平分线D. 以上三种性质都有A. 20C.35°D.409. 若实数 m,n 满足等式 |m-4|+ - =0,且m,n 恰好是等腰 △ABC 的两边的边长 ,则△ABC 的周长是(B)A. 22B.20D. 20 或 16综合能力提升练8.如图,AB=AC ,BD=BC ,若∠ A=40 (B)B.30C.1610. （张家界中考）如图,将△ABC 绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D 恰好在同一直线上,则∠ B的度数为15° .11. 如图,AB=AE ,BC=DE ,∠ B= ∠ E,M 是CD 的中点.求证:AM⊥CD.证明:连接AC,AD.在△ABC 和△AED 中,∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD,∴△ACD 是等腰三角形.∵M 是CD 的中点,∴由三线合一知AM ⊥ CD.12. 如图,在△ABC中,AB=AC,EF 交AB 于点E,交AC的延长线于点F,交BC 于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.解:过点E作EG∥AC 交BC 于点G,∴∠F=∠DEG,∠EDG= ∠FDC,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B, ∴∠B=∠EGB,∴BE=EG.∵BE=CF ,∴EG=CF.在△EGD 和△FCD 中,∴△EGD ≌△FCD(AAS), ∴DE=DF.拓展探究突破练13. (常州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC ;(2)若∠ ABC= 50° ,求∠ BOC的度数.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD,CE是△ABC 的两条高线, ∴∠BEC= ∠ BDC= 90° ,∴△BEC≌△CDB,∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC. (2)∵∠ABC= 50°,AB=AC , ∴∠A=180°-2×50°=80°.∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC= ∠DOE= 100第 2 课时等腰三角形的有关性质知识要点基础练知识点1等腰三角形中相等的线段1. 在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD ,则线段CD (D)A. 是边AB 上的中线B. 是边AB 上的高线C. 是∠ ACB的平分线D. 不一定是边AB 上的中线2. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD 平分∠ BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM= 2BM ,AN= 2NC.求证:DM=DN.证明:∵AM= 2MB,∴AM= AB.同理AN= AC. 又∵AB=AC,∴AM=AN. ∵AD平分∠ BAC,∴∠MAD= ∠NAD.在△AMD 和△AND 中,∴△AMD ≌△AND(SAS), ∴DM=DN.知识点 2 等边三角形的性质3. (福建中考)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD 上,∠EBC= 45°,则∠ ACE 等于A.15°C.45°4. 如图所示,在等边△ABC中,点D,E 分别在边BC,AB上,且BD=AE ,AD 与CE交于点F,则∠ DFC 的度数为(A)(A)B.30D.60A.60°B.45°5.边长为 6 cm 的等边三角形中,其一边上高的长度为 3 cm6.如图,在等边三角形 ABC 中,D 为 AC 边的中点 ,E 为 BC 延长线上一点 ,CE=CD ,DM ⊥BC 于点 M. 求证:M 是 BE 的中点 .证明 :连接 BD.∵△ABC 是等边三角形 ,∴∠ABC=∠ACB=60° .∵CD=CE,∴∠CDE= ∠E=30° .∵BD 是 AC 边上的中线 ,∴BD 平分∠ ABC,即∠ DBC= 30°,∴∠DBE=∠E,∴DB=DE , 又∵DM ⊥BE,∴DM 是 BE 边上的中线 ,即 M 是BE 的中点.综合能力提升练7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A) A. 顶角的一半B. 底角的一半C. 90°减去顶角的一半D.90°减去底角的一半9.如图,A,C,B 三点在同一条直线上 ,△DAC 和△EBC 都是等边三角形 ,AE,BD 分别与 CD,CE 交于 点 M,N,则下列结论 :①△ACE ≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN. 其中正确结论的个数是 (B) A.100 (A) 8.如图 ,△ABC 内有 ,则∠ BDC 的大小是A.3C.1D.0 10.（徐州中考 ）边长为 a 的正三角形的面积等于 a 211.如图,C 为线段 AE 上一动点 （不与点 A,E 重合）,在AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE,AD 与BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与CD 交于点 Q,连接 PQ.以下几个结论 :① AD=BE;②PQ ∥AE;③∠AOB=60°.恒成立的有 ①②③ .（把你认为正确的序号都填上 ） 12.如图,P 是等边三角形 ABC 内的一点,连接 PA,PB,PC,以PB 为边作∠ PBQ=60°,且BQ=BP ,连 接 CQ.观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系 ,并证明你的结论 .解:猜想 :AP=CQ.证明:∵△ABC 是等边三角形 ,∴∠ ABC= 60°. ∵∠PBQ=60°,∴∠ABC=∠PBQ, ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.在△ABP 和△CBQ 中,∴△ABP ≌△CBQ(SAS).∴AP=CQ.13.已知等边 △ABC 和点 P,设点 P 到△ABC 三边 AB,AC,BC 的距离分别为 h 1,h 2,h 3,△ABC 的高为 h. “若点 P 在一边 BC 上（如图 1）,此时 h 3=0,可得结论 h 1+h 2+h 3=h. ” 请直接应用上述信息解决下列问题 :当点 P 在△ABC 内（如图 2）,点 P 在△ABC 外（如图 3）这两种情况时 ,上述结论是否还成立 ?若成立, 请给予证明 ;若不成立 ,h 1,h 2,h 3与h 之间的关系如何 ?请写出你的猜想 ,不用证明 . B.2拓展探究突破练解:当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h 仍然成立.理由:连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S △PCA=S△ABC,∴ AB·PD+ BC·PF+ CA·PE= BC·AM,∴PD+PE+PF=AM ,即h1+h2+h3=h.当点P在△ABC 外时,结论h1+h2+h3=h 不成立.此时,它们的关系是h1+h 2-h3=h.提示:∵S△PAB+S △PCA-S△PBC=S△ABC,∴ AB·PD+ CA·PE- BC·PF= BC·AM,∴PD+PE-PF=AM∴ h1 +h 2-h3=h.第 3 课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点 1 等腰三角形的判定1.下列能判定△ABC 为等腰三角形的是(B)A.∠A=3°,∠B=60°B.∠A=50° ,∠B= 80°C.AB=AC= 2,BC= 4D.AB= 3,BC= 7,周长为182.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO 是等腰三角形,则点P的坐标不可(B) 能是A.(4,0)B.(1,0)C.(-2 ,0)D.(2,0)3. (桂林中考)如图,在△ABC中, ∠A= 36° ,AB=AC ,BD平分∠ ABC,则图中等腰三角形的个数是 3.知识点 2 反证法4. 用反证法证明“若a⊥ c,b⊥ c,则a∥b”,第一步应假设(D)A.a∥bB.a与b垂直C.a与b不一定平行D.a与b相交5. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60° ,应先假设(B)A. 三角形中有一个内角小于60°B. 三角形中每一个内角都小于60°C. 三角形中有一个内角大于60°D. 三角形中每一个内角都大于60°综合能力提升练6. 如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ ABC和∠ ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE= 5,则线段DE 的长为(A)A.5B.6C.7D.87. 用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设a=b .8. 为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是等腰直角三角形.9. 如图,AD 是△ABC的边BC 上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是①②③④ .(写出所有正确答案的序号)①∠BAD=∠CAD;②BD=CD;③AB+BD=AC+CD ;④AB-BD=AC-CD.10. 如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE ,∠BAD= ∠BCE,AD与CE相交于点F, 试判断△AFC的形状,并说明理由.解:△AFC 是等腰三角形. 理由:∵∠BAD= ∠BCE,∠B=∠B,BD=BE, ∴△ABD≌△CBE,∴AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∴∠FAC= ∠FCA,∴△AFC 是等腰三角形.拓展探究突破练11. 在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点 E.(1)求证:△ADE 是等腰三角形;(2)图中除△ADE 是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有, 请说明理由.解:(1)∵BD=AB,∴∠BAD= ∠BDA. ∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°. 又∵∠BAC=90°,∴∠EAD= ∠EDA, ∴△ADE 是等腰三角形.(2) 还有三个等腰三角形:△ABD,△ABC,△CDE.第 4 课时等边三角形的判定知识要点基础练知识点 1 等边三角形的判定1. 如图,在△ABC 中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC= 2 cm. (C)A.6B.8C.9D.122. 如图,在等边三角形ABC 的边AB,AC上分别截出AD=AE ,则△ADE (C)A.不是等边三角形B. 不一定是等边三角形C.一定是等边三角形D. 无法判断3. 如图,点 D 在BC上,点 E 在AD 上,BE=AE=CE ,并且∠ BED= ∠ CED= 60°.下列结论:①△ABC 是等边三角形;②BD=CD ;③BE平分∠ ⊥ BC.其中正确的有(D)ABC;④AD A.1 个 B.2 个 C.3 个知识点 2 含30° 角的直角三角形D.4个4.如图,AC=BC= 10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD 的长为(C)综合能力提升练6.已知∠ AOB=30°,点P 在∠ AOB 的内部,点 P 1与点 P 关于 OB 对称,点P 2与点 P 关于 OA 对称, 则 P 1,O,P 2 三点构成的三角形是 (D) A. 直角三角形B.钝角三角形C. 等腰三角形 D .等边三角形7. 如图,CD 是Rt △ABC 斜边 AB 上的高,将△BCD 沿CD 折叠,B 点恰好落在 AB 的中点 E 处,则∠A 等于 (B)8.(淄博中考)如图,在Rt △ABC 中,CM 平分∠ ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作MN ∥BC 交AC 于点 N, 且 MN 平分∠ AMC,若 AN= 1,则 BC 的长为 (B)9. 如图,已知 AO= 10,P 是射线 ON 上一动点 (即P 点可在射线 ON 上运动),∠AON= 60°(1)OP= 10 时,△AOP 为等边三角形 ;(2)OP= 5或 20 时,△AOP 为直角三角形 .拓展探究突破练10. 如图,△ABC 为等边三角形 ,D 为 BC 延长线上的一点 ,CE 平分∠ ACD,CE=BD.求证:△ADE 是等 边三角形 .证明:由条件知∠ ACD=120°,∴∠ACE=∠ECD=60A.25B.30 A.4 B.6C.4 C.45°D.60D.8在△ABD 和△ACE 中,∵AB=AC,∠B=∠ACE,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AE=AD,∠BAD= ∠CAE, ∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE 是等边三角形。

八年级下册第一章 等腰三角形 考试题1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

AD1 BM C E2. 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD3. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2BAC ∠=∠。

A 1 2D BCE34、.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A 36° E DFBC5. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对6. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 37. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.8. ABC ∆中，120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

AE DO BC1 2八年级下册第一章 等腰三角形 答案1. 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。

因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝21∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）2.分析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。