【精品】2016年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试卷

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁UA= ．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= ．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A= {2} ．U【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A={2}．U故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 3 ．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为 4 ．【解答】解：∵f（）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0 ．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），∴g（）=2sin（2++φ），∵g（）为偶函数，因此+φ=π+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为 1 ．【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为 3 ．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2 ．【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，==1+．l（θ）ma答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．【解答】（1）证明：设1，2是区间（0，）上的任意两个实数，且1＜2，则f（1）﹣f（2）=2（1﹣2）+（﹣）=，因为0＜1＜2＜，所以1﹣2＜0，0＜12＜，故212﹣1＜0，所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），所以函数f（）在（0，）上单调递减，函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，即2•（4）2﹣3•4+1=0，解得：4=1或4=，所以=﹣或0；综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，=g（0）=3，所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）min所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，所以f（t）min当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

江苏省重点中学高一上学期期末考试数学试卷高一数学试题 2016.1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1、已知集合},0,1{-=A 集合{}2,1,0+=x B ，且{}1,0-=B A ，则实数x 的值 为 ▲ .2、已知函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π， 则=ω ▲ .3、已知向量()()1,1,1,1--=+=x b x a ，若a ∥b ，则实数x 的取值是 ▲ .4、函数)10)(2(log 31)(≠>-+-=a a x x x f a 且的定义域为 ▲ .5、已知函数2)(3-+=bx ax x f ，若4)2(=-f ，则=)2(f ▲ .6、把函数x y sin =图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，且横坐标保持不变，得到图象1C ，再把图象1C 沿着x 轴向右平移4π单位得到图象2C ，最后把图象2C 沿着y 轴向上平移一个单位得到图象3C ，则图象3C 的函数表达式为 ▲ . 7、函数x x y 214-+=的值域为 ▲ . 8、已知向量m ，n 的夹角为43π1=2=，则=-m 3 ▲ . 9、已知函数)10(2log )(≠>+=a a x x f a 且的图象恒过定点A ，若点A 也在函数)10(7)(1≠>-=+b b b x f x 且的图象上，则实数=b ▲ .10、已知)2cos()cos()23sin()2cos()sin()(απαπαπαπαπα+⋅---⋅-⋅-=f ，则31()3f π-的值为 ▲ . 11、已知函数k x x f x-+=2)(有唯一的零点为0x ，且其中的k 为整数，若)1,0(0∈x ，则整数=k ▲ .12、设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)2(=f ，则不等式0)(<xx f 的解集 为 ▲ .13、已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上任取的一点，则)()(PD PB BD AP +⋅+的最大值为 ▲ . 14、已知函数()112x x f x +--=，函数()221g x ax x =-+．若方程)()(x g x f =恰好有2个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

2008～2009学年度高一年级上学期期末模拟试题（四）一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}3,1,0,1,3U =--，{}3,0,1A =-，则U A =ð ．2．函数sin(3)4y x π=-的最小正周期为 ．3．在平行四边形ABCD 中，若向量,AB a AC b ==，则向量AD = ．（用,a b 表示） 4.若210()((6))x x f x f f x -≥⎧=⎨+⎩ ，　，x<10，则f(5)的值等于 .5．已知向量a =(2, 3)，b =(1, 1)，c =(3, 7)，若存在一对实数12,λλ，使12c a b λλ=+，则12λλ+= ．6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且当26x <≤时，()3f x x =-，则(1)f = ． 7．已知向量a=，且单位向量b 与a 的夹角为30︒，则b 的坐标为 ．8.函数31()log (3)f x x =-的定义域是 ．9．若4sin 5θ=，且cos()0πθ+>，则cos()3πθ-= ． 10.已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是______________． 11．若向量,a b 满足：||5a b -=，71(,)22a =,2||b =，则a 与b 的数量积为 ．12．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则1324PP P P ⋅等于 .13.定义运算2)2(2)(,)(,222-⊕*=-=⊕-=*x xx f b a b a b a b a 则函数的奇偶性为 .14．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。

2016-2017学年江苏省南通市海安中学高一（上）期末数学试卷一.填空题1．在函数图象的对称轴中，与原点距离最小的一条的方程为x=．2．满足{1，2}∪B={1，2，3}的集合B的个数为．3．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则点D的坐标为．4．已知幂函数f（x）=xα，其中，则使f（x）为奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数的α的所有值为．5．函数的值域为．6．用7.2m长的合金条（忽略其宽度和厚度）做一个“日”形的窗户．当窗户的高为m时，透过的光线最多（即窗户面积最大）．7．设θ为锐角，且，则θ的弧度数为．8．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为m/s．9．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A，B均为U的子集，且A∩（∁U B）={1，8}，（∁U A）∩B={2，6}，∁U（A∪B）={4，5，7}，则集合A=．（用列举法表示）10．设0＜a＜1，若函数f（x）=a x+b的图象上每一点都不在第一象限，则实数b 的最大值为．11．以下给出关于向量的四个结论：①；②；③；④若，则；其中正确结论的序号是．12．设，且，则tanα的值为．13．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=log2x；当﹣1≤x≤1时，f（x）+f（﹣x）=0；当时，．则的值为．14．已知函数y=x2﹣2x及其图象上三点A（m﹣1，a），B（m，b），C（m+1，c），若abc＜0，则实数m的取值范围是．二.解答题15．设函数和g（x）=ln（﹣x2+4x﹣3）的定义域分别为集合A和B．（1）当a=2，求函数y=f（x）+g（x）的定义域；（2）若A∩（∁R B）=A，求实数a的取值范围．16．设向量的夹角为135°，且；（1）求的值；（2）设，当取得最小值时，求向量与夹角的大小．17．在平面直角坐标系中，设向量，其中θ∈（0，π）．（1）若，求sinθ和cosθ的值；（2）设，且，若，求证：．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，A＞0，ω＞0，0＜ϕ≤π）的最小正周期为，最大值为2（1）求A和ω的值；（2）设函数f（x）为R上的偶函数．①求函数f（x）的解析式；②由函数y=f（x）的图象经过怎样的变换可以得到函数的图象．19．已知函数．（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；（2）当k＞0时，求函数f（x）的定义域；（3）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围．20．已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市海安中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在函数图象的对称轴中，与原点距离最小的一条的方程为x=． 【考点】正弦函数的对称性． 【分析】由相位的终边落在y 轴上求得x 值得答案．【解答】解：由x +=+kπ，得x=kπ+，k ∈Z ．取k=0，得x=．∴与原点距离最小的对称轴方程是x=．故答案为：．2．满足{1，2}∪B={1，2，3}的集合B 的个数为 4 ．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵{1，2}∪B={1，2，3}，∴满足条件的集合B 可能为：{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴满足{1，2}∪B={1，2，3}的集合B 的个数为4．故答案为：4．3．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A （0，0），B （1，1），C （2，﹣1），则点D 的坐标为 （1，﹣2） ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平行四边形ABCD 中=，利用坐标相等列出方程组，即可求出点D的坐标．【解答】解：平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），设点D的坐标为（x，y），则=，即（1，1）=（2﹣x，﹣1﹣y），∴，解得；∴点D的坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．4．已知幂函数f（x）=xα，其中，则使f（x）为奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数的α的所有值为1，3．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】先看幂指数的符号与单调性对应，再结合幂指数的定义域、解析式判断奇偶性．【解答】解：因为函数是R+上的增函数，所以指数大于0，又因为是奇函数，所以指数为1或3，结合1，3都大于0，所以y=x与y=x3都是R+上的增函数．故α的值为1，3，故答案为：1，3．5．函数的值域为．【考点】三角函数的最值．【分析】先画出余弦函数的图象，由x的范围和图象求出y=cosx的最大值、最小值，可得答案．【解答】解：如右图余弦函数的图象：∵，∴由图得，当x=0时，y=cosx取最大值是1，当x=时，y=cosx取最小值是，∴函数y=cosx的值域是，故答案为：．6．用7.2m长的合金条（忽略其宽度和厚度）做一个“日”形的窗户．当窗户的高为 1.8m时，透过的光线最多（即窗户面积最大）．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设窗框的长为xm，根据合金条的总长度是7.2m，表示出高，然后根据窗户的面积列式整理，再根据二次函数的最值问题解答即可得到．【解答】解：设窗户的高为xm，则窗户的宽为（7.2﹣2x），所以，窗户的面积=（7.2﹣2x）x=﹣x2+2.4x=﹣（x﹣1.8）2+2.16，∴当x=1.8时，窗户的面积最大，透过窗户的光线最多，且为2.16m2，即宽为（7.2﹣2x）=1.2，故窗户的高应为1.8m，宽应为1.2m，透过的光线最多．故答案为：1.8．7．设θ为锐角，且，则θ的弧度数为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可得出．【解答】解：==，θ为锐角，则θ=．故答案为：．8．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为2m/s．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边的边．长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．【解答】解：为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸；静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．∴静水速度v1====2m/s．故答案为：．9．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A，B均为U的子集，且A∩（∁U B）={1，8}，（∁U A）∩B={2，6}，∁U（A∪B）={4，5，7}，则集合A={1，3，8} ．（用列举法表示）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U与∁U（A∪B）得出A∪B，再根据A∩（∁U B）和（∁U A）∩B，即可写出集合A．【解答】解：如图所示，全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A，B均为U的子集，∁U（A∪B）={4，5，7}，∴A∪B={1，2，3，6，8}，又A∩（∁U B）={1，8}，（∁U A）∩B={2，6}，∴集合A={1，3，8}．故答案为：{1，3，8}．10．设0＜a＜1，若函数f（x）=a x+b的图象上每一点都不在第一象限，则实数b 的最大值为﹣1．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据题意、指数函数的图象以及函数图象的平移法则，求出实数b的范围，可得实数b的最大值．【解答】解：∵0＜a＜1，若函数f（x）=a x+b的图象上每一点都不在第一象限，∴函数y=a x的图象向下平移至少一个单位，则b≤﹣1，即实数b的最大值是﹣1，故答案为：﹣1．11．以下给出关于向量的四个结论：①；②；③；④若，则；其中正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解判断即可．【解答】解：①；满足向量的数量积的运算法则，正确；②；满足向量的数量积的运算法则，正确；③；不满足数量积的运算法则，所以不正确；④若，则；正确．故答案为：①②④12．设，且，则tanα的值为﹣7．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简可求4tan2α+25tanα﹣21=0，结合α的范围，即可计算得解．【解答】解：∵，∴=，即：=，∴整理可得：4tan2α+25tanα﹣21=0，∴解得：tanα=，或﹣7，∵，∴tanα＜0，可得：tanα=﹣7．故答案为：﹣7．13．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=log2x；当﹣1≤x≤1时，f（x）+f（﹣x）=0；当时，．则的值为5．【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知分析出当﹣1≤x≤1时的奇偶性和当时的周期性，进而可得答案．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=log2x；∴f（1）=0，f（）=﹣5，∵当﹣1≤x≤1时，f（x）+f（﹣x）=0；∴f（﹣）+f（）=0，即f（﹣）=5，同理：f（﹣1）=0又∵当时，．故f（﹣32）=f（﹣31）=f（﹣30）=…=f（﹣1）=0，故=5，故答案为：5．14．已知函数y=x2﹣2x及其图象上三点A（m﹣1，a），B（m，b），C（m+1，c），若abc＜0，则实数m的取值范围是（﹣1，0）∪（2，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数式，可得abc=（m﹣1）2（m﹣3）（m+1）m（m﹣2）＜0，即有（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）＜0，且m≠1，可得0＜m2﹣2m＜3且m≠1，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：y=x2﹣2x=x（x﹣2），由题意可得abc=（m﹣1）（m﹣3）m（m﹣2）（m+1）（m﹣1）=（m﹣1）2（m﹣3）（m+1）m（m﹣2）＜0，即有（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）＜0，且m≠1，可得0＜m2﹣2m＜3且m≠1，即有，解得2＜m＜3或﹣1＜m＜0．故答案为：（﹣1，0）∪（2，3）．二.解答题15．设函数和g（x）=ln（﹣x2+4x﹣3）的定义域分别为集合A和B．（1）当a=2，求函数y=f（x）+g（x）的定义域；（2）若A∩（∁R B）=A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）a=2时求出函数y=f（x）+g（x）的定义域即可；（2）由集合A、B，根据补集与交集的定义，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时，函数=，g（x）=ln（﹣x2+4x﹣3），∴函数y=f（x）+g（x）=+ln（﹣x2+4x﹣3），应满足，解得，即1＜x＜2，∴函数y的定义域为（1，2）；（2）∵A=（﹣∞，a），B=（1，3），∴∁R B=（﹣∞，1]∪[3，+∞）；若A∩（∁R B）=A，则a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．16．设向量的夹角为135°，且；（1）求的值；（2）设，当取得最小值时，求向量与夹角的大小．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）根据向量的数量积运算即可，（2）根据向量的模和二次函数的性质求出x的值，再根据向量的夹角的公式计算即可．【解答】解：（1）∵向量的夹角为135°，且，∴•=||•||•cos135°=×2×（﹣）=﹣2，（2）设，∴||2=x2﹣2x+=2x2+4x+4=2（x+1）2+2≥2，当且仅当x=﹣1时取等号，∴=+，∴•=（+）=•+=﹣2+4=2当取得最小值为，设向量与夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°17．在平面直角坐标系中，设向量，其中θ∈（0，π）．（1）若，求sinθ和cosθ的值；（2）设，且，若，求证：．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的化简求值．【分析】（1）由，得到==﹣2=tanθ，由此能求出sinθ，cosθ．（2）利用诱导公式求出cosϕ﹣sinϕ=0，从而cosϕ=sinϕ=，进而得到sinθ+cosθ=，求出sinθcosθ=，由此能证明．【解答】解：（1）∵平面直角坐标系中，向量，其中θ∈（0，π）．，∴==﹣2=tanθ，∴θ∈（），∴sinθ==，cosθ=﹣．证明：（2）∵，且，∴cosϕ﹣sinϕ=0，∴cosϕ=sinϕ=cos=sin=，∵，∴（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=，∴=sinθcosθ﹣=0，∴．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，A＞0，ω＞0，0＜ϕ≤π）的最小正周期为，最大值为2（1）求A和ω的值；（2）设函数f（x）为R上的偶函数．①求函数f（x）的解析式；②由函数y=f（x）的图象经过怎样的变换可以得到函数的图象．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据正弦函数的图象，三角函数的周期公式即可得解．（2）①结合三角函数的奇偶性可求ϕ，进而可求函数解析式，②由条件利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（1）∵函数的最小正周期为，最大值为2，∴A=2，T==，即ω=3．（2）①∵由（1）可得：f（x）=2sin（3x+ϕ），∵函数f（x）为R上的偶函数，∴则ϕ=+2kπ，k∈Z，∴f（x）=2sin（3x++2kπ）=2cos3x，k∈Z．②∵f（x）=2cos3x，∴把所得图象的横坐标变为原来的3倍，可得y=2cosx的图象；把所得图象的纵坐标变为原来的倍，可得y=cosx的图象；把函数y=cosx的图象向右平移个单位，可得y=sinx的图象；再把所得图象向左平移个单位，可得函数的图象．19．已知函数．（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；（2）当k＞0时，求函数f（x）的定义域；（3）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数的定义域及其求法．【分析】（1）当k=0时，根据f（x）=﹣lg（1﹣x）∈R，求得它的值域．（2）当k＞0时，由函数的解析式可得（kx﹣1）（x﹣1）＞0，分类讨论k的范围，求得x的范围．（3）由题意可得g（x）==lg（k+）在区间[10，+∞）上是单调增函数，故有k﹣1＜0，且k+＞0，由此求得k的范围．【解答】解：（1）当k=0时，对于函数=lg=﹣lg（1﹣x）∈R，由于1﹣x能取遍所有的正实数，故函数的值域为R．（2）当k＞0时，f（x）=lg，由可得（kx﹣1）（x﹣1）＞0，当k＞1时，＜1，求得{x|x＜，或x＞1}；当k=1时，求得{x|x∈R且x≠1}；当0＜k＜1时，＞1，求得{x|x＞，或x＜1}；故函数f（x）的定义域为当k＞1时，定义域为{x|x＜，或x＞1}；当k=1时，定义域为{x|x∈R且x≠1}；当0＜k＜1时，定义域为{x|x＞，或x＜1}．（3）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是单调增函数，则g（x）==lg（k+）在区间[10，+∞）上是单调增函数，∴k﹣1＜0，且k+＞0，求得＜k＜1，故实数k的取值范围为（，1）．20．已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）a=0时，f（x）=，即可解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，换元，分类讨论，即可求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即﹣≤1，设x=2t（x＞0），则2x2﹣（3a+1）x+a2≥0，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，∵f（x）＞1，即＞1，∴0＜2x＜1，解得x＜0．（2）y=2f（x）﹣f（2x）=，∴函数y=2f（x）﹣f（2x）的定义域为{x|x≠log2a，且x≠log2a}．令y=0得22x+1﹣2x﹣a=0，令t=2x（t＞0，且t≠a，t），方程为2t2﹣t﹣a=0，△=1+8a＞0，若a=1，t=1或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为0若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为2；（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即﹣≤1，∴22t+1﹣（3a+1）•2t+a2≥0，设x=2t（x＞0），则2x2﹣（3a+1）x+a2≥0，∴△≤0或，∴a≤﹣．2017年3月11日。

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高一（上）10月段考数学试卷一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分）1．设A=（﹣1，3]，B=[2，4），则A∩B=__________．2．函数的定义域为__________．3．已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1，则g[f（x）]=__________．4．设集合A={x|x2+2x﹣a=0，x∈R}，若A是非空集合，则实数a的取值范围是__________．5．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x＞m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是__________．6．已知f（x）=ax3﹣bx，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=__________．7．设A⊆N*，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2+1，g（x）=3x+5．若对于A 中的任意一个x，都有f（x）=g（x），则集合A=__________．8．已知函数f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣1，2]，则函数f（x）的最大值是__________．9．已知f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式为__________．10．若不等式x2+2（a﹣2）x+4＞0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________．11．已知函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围为__________．12．定义在R上的奇函数f（x）单调递增，且对任意实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）=0，则a+b=__________．13．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为__________．14．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有x•f （x+1）=（x+1）•f（x），则的值是__________．二、解答题：（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知集合A={﹣3，m+1}，B={2m﹣1，m﹣3}，若A∩B={﹣3}，求实数m的值并求A∪B．16．（14分）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|．17．设定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）为单调减函数，若f（m﹣1）+f（2m2）＜0，求实数m的取值范围．18．某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R元（R指工厂售出产品的全部收入，它是成本与利润之和），是年产量Q（单位：件）的函数．满足关系式，求该厂每年生产多少件产品，总利润最大，最大值是多少？19．（16分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数f（x）=a﹣2x﹣x2的值域为B．（1）若（∁R A）∪B=R，求a的取值范围；（2）设集合C={x|x2﹣（a+a2）x+a3＜0}，若A∩C=C，求a的取值范围．20．（16分）在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数f（x）为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”，已知函数f（x）=1﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”，若f（x）是“弱增函数”，请加以证明；若不是，请说明理由；（2）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高一（上）10月段考数学试卷一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分）1．设A=（﹣1，3]，B=[2，4），则A∩B=[2，3]．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】结合数轴直接求解．【解答】解：由数轴可得A∩B=[0，2]，故答案为：[2，3]．【点评】本题考查集合的运算，基础题．注意数形结合2．函数的定义域为（﹣∞，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】解：由3﹣x＞0，得x＜3．∴函数的定义域为（﹣∞，3）．故答案为：【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1，则g[f（x）]=x2﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】g（x）中的x换上x2便可得出g[f（x）]．【解答】解：g[f（x）]=g（x2）=x2﹣1．故答案为：x2﹣1．【点评】考查函数解析式的概念，以及已知g（x）解析式求g[f（x）]解析式的方法．4．设集合A={x|x2+2x﹣a=0，x∈R}，若A是非空集合，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】空集的定义、性质及运算．【专题】计算题．【分析】由集合A={x|x2+2x﹣a=0，x∈R}，A是非空集合，得到x2+2x﹣a=0有解，故△≥0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2+2x﹣a=0，x∈R}，A是非空集合，∴x2+2x﹣a=0有解，∴△=4﹣4（﹣a）≥0，解得a≥﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根有判别式的合理运用．5．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x＞m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由已知求出∁U A，根据∁U A⊆B，转化为两集合端点值间的关系得答案．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＜1}，则∁U A={x|x≥1}，又B={x|x＞m}，且∁U A⊆B，则m＜1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题．6．已知f（x）=ax3﹣bx，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，然后求解函数值即可．【解答】解：f（x）=ax3﹣bx，a，b∈R，可得f（﹣x）=﹣ax3+bx=﹣（ax3﹣bx）=﹣f（x），函数是奇函数，f（﹣2）=﹣1，则f（2）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．7．设A⊆N*，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2+1，g（x）=3x+5．若对于A 中的任意一个x，都有f（x）=g（x），则集合A={4}．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】若对于A中的任意一个x，都有f（x）=g（x），则x2+1=3x+5，结合A⊆N*，可得答案．【解答】解：令x2+1=3x+5，则x=﹣1，或x=4，又由A⊆N*，且A≠∅，故A={4}，故答案为：{4}【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，映射的定义，难度不大，属于基础题．8．已知函数f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣1，2]，则函数f（x）的最大值是10．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】结合二次函数的图象和性质，分析函数f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣1，2]的单调性，进而可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴的抛物线，当x∈[﹣1，2]时，函数为增函数，故当x=2时，函数取最大值10，故答案为：10．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．9．已知f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式为f （x）=﹣x2﹣2x（x＜0）．【考点】奇函数．【分析】已知x≥0时的解析式，所以求x＜0时的解析式可取﹣x，以便利用条件；然后结合奇函数定义即可解决问题．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，因为x≥0时，f（x）=x2﹣2x，所以f（﹣x）=x2+2x，（x＜0），又f（x）为奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），所以﹣f（x）=x2+2x，即f（x）=﹣x2﹣2x，（x＜0）．【点评】本题考查奇函数定义和基本的代数运算能力．10．若不等式x2+2（a﹣2）x+4＞0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由不等式x2+2（a﹣2）x+4＞0对一切x∈R恒成立，且该不等式对应的二次函数开口向上，则只需其判别式小于0即可，然后求解关于a的不等式得答案．【解答】解：∵不等式x2+2（a﹣2）x+4＞0对一切x∈R恒成立，∴[2（a﹣2）]2﹣16＜0，即4a2﹣16a+16﹣16＜0，也就是a（a﹣4）＜0，解得0＜a＜4．∴a的取值范围是（0，4）．故答案为（0，4）．【点评】本题考查恒成立问题，训练了利用“三个二次”结合求解变量的范围，是基础题．11．已知函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围为[0，]．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】当a=0时，f（x）=﹣2x+2在（﹣∞，1]上单调递减，当a≠0时，根据二次函数的性质可得不等式，解出即可．【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2在（﹣∞，1]上单调递减，满足题意，当a≠0时，根据二次函数的性质可得，若使得函数f（x）在（﹣∞，1]单调递减则，解可得，0＜a≤，综上可得0≤a≤，故答案为[0，]．【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的单调性的应用，解答本题容易漏掉对a=0的情况的考虑．12．定义在R上的奇函数f（x）单调递增，且对任意实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）=0，则a+b=1．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由所给的等式可得f（a）=f（1﹣b），再由f（x）单调递增可得a=1﹣b，从而得到a+b=1，从而得出结论．【解答】解：由于奇函数满足对任意实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）=0，可得f（a）=f（1﹣b），再由f（x）单调递增可得a=1﹣b，即a+b=1，故答案为1．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．13．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．【解答】解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为【点评】本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．14．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有x•f （x+1）=（x+1）•f（x），则的值是0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf（x+1）=（x+1）f（x），我们易得到，且，求出f值后，进而根据xf（x+1）=（x+1）f（x），求出的值．【解答】解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得，，∵，∴，则．故答案为0．【点评】本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．二、解答题：（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知集合A={﹣3，m+1}，B={2m﹣1，m﹣3}，若A∩B={﹣3}，求实数m的值并求A∪B．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知可得2m﹣1=﹣3或m﹣3=﹣3，求出m值后验证是否符合题意，进一步求得A∪B．【解答】解：∵A={﹣3，m+1}，B={2m﹣1，m﹣3}，且A∩B={﹣3}，∴2m﹣1=﹣3或m﹣3=﹣3，得m=﹣1或m=0．当m=﹣1时，A={﹣3，0}，B={﹣3，﹣4}，符合题意，此时A∪B={0，﹣3，﹣4}；当m=0时，A={﹣3，1}，B={﹣1，﹣3}，符合题意，此时A∪B={﹣1，﹣3，1}．【点评】本题考查并集及其运算，解答时注意集合中元素的特性，是基础题．16．（14分）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】奇函数或偶函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义即可．【解答】解：（1）由x+1＞0，可得x＞﹣1，不关于原点对称，∴非奇非偶；（2）函数的定义域为R，∵f（﹣x）=|﹣x+2|﹣|﹣x﹣2|=|x﹣2|﹣|x+2|=﹣f（x），∴函数是奇函数．【点评】考查奇函数或偶函数定义域的特点，以及函数奇偶性的判断方法．17．设定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）为单调减函数，若f（m﹣1）+f（2m2）＜0，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先根据f（x）定义的定义域，得到，解之得﹣1≤m≤1…①．再根据f（x）是奇函数且为单调减函数，得到f（m﹣1）＜f（﹣2m2），有m﹣1＞﹣2m2，解之得m＜﹣1或m＞…②，联解①②，可得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）定义在[﹣2，2]上，∴要使原不等式有意义，必须，解之得﹣1≤m≤1…①∵f（x）是奇函数，∴f（m﹣1）+f（2m2）＜0，等价于f（m﹣1）＜﹣f（2m2）=f（﹣2m2）又∵f（x）为单调减函数，∴m﹣1＞﹣2m2，解之得m＜﹣1或m＞…②联解①②，可得实数m的取值范围是＜m≤1．【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为例，考查了一元二次不等式的解法、函数的定义域与简单性质等知识点，属于基础题．18．某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R元（R指工厂售出产品的全部收入，它是成本与利润之和），是年产量Q（单位：件）的函数．满足关系式，求该厂每年生产多少件产品，总利润最大，最大值是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过设该厂每年生产x件产品，总利润为y元，利用利润=收益﹣成本建立函数关系式，进而通过配方求出最大值．【解答】解：设该厂每年生产x件产品，总利润为y元，依题意，y=R﹣20000﹣100x=，整理得：y=，当0≤x＜400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，故当x=300时，y取最大值25000；当x＞400时，y为递减函数，此时y取最大值60000﹣40000=20000；综上所述，当x=300时，y取最大值25000，答：该厂每年生产300件产品，总利润最大，最大值是25000元．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数f（x）=a﹣2x﹣x2的值域为B．（1）若（∁R A）∪B=R，求a的取值范围；（2）设集合C={x|x2﹣（a+a2）x+a3＜0}，若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．（2）若A∩C=C，等价为C⊆A，根据一元二次不等式的解法进行讨论求解即可．【解答】解：（1）由3x﹣x2﹣2≥0得x2﹣3x+2≤0，解得1≤x≤2，即A=[1，2]，f（x）=a﹣2x﹣x2=﹣（x+1）x2+1+a≤1+a，即B=（﹣∞，1+a]，则∁R A=（﹣∞，1）∪（2，+∞），若（∁R A）∪B=R，则1+a≥2，即a≥1，即a的取值范围[1，+∞）；（2）由x2﹣（a+a2）x+a3＜0得（x﹣a）（x﹣a2）＜0，当a=1或a=0时，不等式无解，即C=∅，当0＜a＜1时，a2＜a，不等式的解为a2＜x＜a，即C=（a2，a），当a＞1或a＜0时，a2＞a，不等式的解为a＜x＜a2，即C=（a，a2），若A∩C=C，则C⊆A，当C=∅，即a=1或a=0时满足条件，若0＜a＜1时，满足，即，此时不等式组无解．若a＞1或a＜0时，满足，即，解得1＜a≤，综上1≤a≤或a=0．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．20．（16分）在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数f（x）为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”，已知函数f（x）=1﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”，若f（x）是“弱增函数”，请加以证明；若不是，请说明理由；（2）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）结合函数单调性的性质，可得：f（x）在区间（0，1]为增函数，化简f（x）的解析式为，可得函数减函数，可得f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．（2）当x∈（0，1]时，不等式等价于：，由f（x）为减函数，可得1﹣≤f（x）＜，从而求得实数a，b的取值范围．【解答】解：（1）∵y=在区间（0，1]上为增函数，∴y=在区间（0，1]上为减函数，∴f（x）在区间（0，1]为增函数，∵f（x）=（1﹣）=﹣==，∵y=1+x+在区间（0，1]上为增函数，∴f（x）为减函数，∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．（2）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立．当x=0时，不等式显然成立．当x∈（0，1]时．等价于：，由（1）f（x）为减函数，∴1﹣≤f（x）＜，∴a≥，b≤1﹣．【点评】本题考查函数的单调性的判断和证明，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，得到当x∈（0，1]时．等价于：是解题的难点，属于中档题．。

第一学期江苏省如皋、海安期末调研试卷高一数学 人教版高一数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置. 1． 设{}12,1,,1,2,32α∈--，则使y x =α为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值为 ▲ .2． 设全集U =R ，集合{|30},{|1},A x x B x x =-<<=<-则()U A B = ▲ . 3． 已知()4sin ,35πα+=则()cos 6πα-= ▲ .4． 已知向量a 与向量b 的夹角为2π3，且4,==a b 那么(2)⋅+b a b 的值为 ▲ .5． 若向量(2,3),(1,2),=-=-a b 向量c 满足,1⊥⋅=c a b c ，则c 的坐标为 ▲ . 6． 用二分法求函数()34x f x x =--的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得()34x f x x =--一个零点的近似值(精确到0．01)为 ▲ . 7． 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ .8． 已知函数)()1f x a =≠在[1,0]-上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ▲ .OABC9． 设平面上的三个向量OA OB OC 、、(如图)满足：OA 与OB 的夹角为2π3，OC 与OB 的夹角为π6，1,23OA OB OC ===，(,OC OA OB =+∈λμλμR )， 则+λμ的值为 ▲ .10．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,2()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤ 则()154f -π= ▲ .11．实数x 满足3log 1sin x =+θ，则()2log 19x x -+-= ▲ .12．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()2y f x π=+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②()2y f x π=+的图象可以由()y f x =的图象向右平移π2得到；③(,0)-π是()y f x =的图象的一个对称中心； ④当π2x =时，()y f x =一定取最大值． 其中描述正确的是 ▲ .13．已知函数()()π()1cos π202g x x =-+<<ϕϕ的图象过点()1,22，若有4个不同的正数i x满足()(01)i g x M M =<<，且4(1,2,3,4)i x i <=，则1234x x x x +++等于 ▲ . 14．设()f x 是偶函数，其定义域为[4,4]-，且在[0,4]内是增函数，又(3)0f -=，则()0sin f x x≤的解集是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分12分)已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C =4000+50n . 若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出. 试写出这一天的利润P 关于这一 天的生产数量n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本．16．(本小题满分12分)函数()f x =的定义域为集合A ，关于x 的不等式()212(2xa x a -->∈R)的解集为B ，求使A B B =的实数a 取值范围．17．(本小题满分16分)已知函数22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x =++∈R . (1)求该函数的单调增区间；(2)求该函数的最大值及对应的x 的值； (3)求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，(BC AD =∈λλR )，2,23AB AD CB CD ==-=且 △BCD 是以BC 为斜边的直角三角形. 求： (1)λ的值； (2)CB BA ⋅的值．A BCD19．(本小题满分18分)已知函数()π()sin ()3f x x x =+∈R ω，且()π 1.6f =(1)求ω的最小正值及此时函数()y f x =的表达式；(2)将(1)中所得函数()y f x =的图象结果怎样的变换可得11sin 22y x =的图象；(3)在(1)的前提下，设()π2π5π34,,,,(),()636355f f ⎡⎤∈∈--==-⎢⎥⎣⎦παβαβ，①求tan α的值；②求cos2()1--αβ的值．20．(本小题满分18分)已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．高一期末数学参考答案及评分标准200901一、填空题(5分×14＝70分)1. －12. [)1,0-3. 454. 05. ()3,2--6. 1.567. 2，38. (0，1)9. 610.11. 3 12. ①③ 13. 10 14. (π,3](0,3](π,4]--二、解答题 15.(12分)由题意得()90(400050)p n n n =-+404000().n n *=-∈N -----------------------6分 要不亏本，必须()0,p n ≥ 解得100n ≥. ---------------------10分 答：每天至少生产100双皮鞋，才能不亏本. ---------------------12分 16.(12分)由201x x +≥-解得2x -≤或1x > 于是(,2](1,).A =-∞-+∞ -----------------------4分()()()2211122.222xxa xa xx a x x a +-->⇔>⇔<+⇔<所以(,)B a =-∞. -----------------------8分 因为,A B B = 所以B A ⊆，所以2a -≤，即a 的取值范围是(],2.-∞- ---------------------12分 17.(16分)22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 3(1cos 2)1cos 2sin 222x x x +-=++sin2cos22x x =++()π224x =++. -----------------------5分(1)由πππ2π22π242k x k -+++≤≤，得()3ππππ88k x k k -++∈Z ≤≤.所以函数的单调增区间为()3πππ,π.88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z -----------------------8分(2)令ππ22π42x k +=+， 得()ππ8x k k =+∈Z ,所以当()ππ8x k k =+∈Z 时，max 2y =+ ---------------------12分(3)由ππ2π42x k +=+，得()ππ82k x k =+∈Z ,所以该函数的对称轴方程为()ππ82k x k =+∈Z . 由π2π4x k +=，得()ππ82k x k =-+∈Z ,所以，该函数的对称中心为()ππ,0()82k k -+∈Z . ---------------------16分18. (14分)(1)因为BC AD =λ，所以//BC AD ，且BC AD =λ. -----------------------2分 因为2,AB AD == 所以2BC =λ.又23CB CD -=23BD = -----------------------5分 作AH BD ⊥于H ，则H 为BD 的中点.在Rt △AHB 中，得cos BH ABH AB ∠==，于是30.ABH ∠=所以30ADB DBC ∠=∠=.而90BDC ∠=，所以cos30BD BC =，即2=λ 2.λ=----------------10分(2)由(1)知，60ABC ∠=，4CB =， 所以CB 与BA 的夹角为120.故cos1204CB BA CB BA ⋅=⋅=-. -----------------------14分 19.(18分)(1) 因为()π16f =，所以()ππsin 163⋅+=ω， -----------------------2分于是πππ+2π()632k k ⋅=+∈Z ω，即 112()k k =+∈Z ω， 故当k =0时，ω取得最小正值1. -----------------------4分此时()π()sin 3f x x =+. ` -----------------------5分(2)(方法一)先将()πsin 3y x =+的图象向右平移π3个单位得y =sin x 的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得1sin 2y x =的图象；最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变)得11sin 22y x =的图象.-----------------------8分(方法二)先将()πsin 3y x =+的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得()1πsin 23y x =+的图象；再将所得图象向右平移2π3个单位得1sin 2y x =的图象;最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变)得11sin 22y x =的图象.(3)因为34(),()55f f ==-αβ，所以()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ. 因为()π2π5π,,,,6363⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ 所以()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ.于是()()π4π3cos ,cos .3535+=-+=αβ -----------------------11分①因为()()()πsin 3π3tan 34πcos 3++==-+ααα，所以()()()ππtan tan 33ππtan tan 33ππ1tan tan 33+-⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦++⋅αααα()34314-===+- -----------------------15分 ②因为()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ()()33447,555525=⋅--⋅-=- 所以()22798cos2()12sin ()2.25625--=--=-⨯-=-αβαβ -----------------------18分20.(18分)(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立. 于是9999912log (91)log (91)log log (91)9x xxx x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-. -----------------------3分(2)由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.因为99911()log log 199xx x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而121199x x >. 于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12()()g x g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.因为1119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.所以b 的取值范围是(],0.-∞ ----------------------- 10分 (3)由题意知方程143333x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.若a =1，则34t =-，不合, 舍去；若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由304a ∆=⇒=或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132a t =-⇒=；方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞． ----------------------- 18分。

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､单项选择题： 1.设全集，集合，，则（{}1,0,1,2,3U =-{}1,0M =-{}0,1,2N =()U M N ⋂=ð）A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}0,3{}0,1【答案】A 【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.{}1,2,3U M =ð()UM NðI【详解】全集，集合，，则.{}1,0,1,2,3U =-{}1,0M =-{}0,1,2N ={}1,2,3U M =ð.(){}1,2UM N ⋂=ð故选：.A 【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，意在考查学生的计算能力.2.已知向量，且，则实数m ＝（ ）a =()1m ，()2,1b =- ()a b b -⊥ A. 3 B. C. D. ﹣31212-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m 的方程,然后解方程求出的值.m 【详解】解:由,得,(1,),(2,1)a m b ==- (1,1)a b m -=-+因为,所以,()a b b -⊥ ()0a b b -=所以,所以.121(1)0m -⨯-⨯+=3m =-故选:.D 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.3.函数的定义域为（ ）()f x =A. B. {}14x x -<<{}04x x <<C.D.{}4x x >{}1x x <-【答案】B 【解析】【分析】函数定义域满足，解得答案.2310430x x x ⎧->⎨+->⎩【详解】函数的定义域满足：，解得.()f x =2310430x x x ⎧->⎨+->⎩04x <<故选：.B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值()sin 2f x x=π6()y g x =π4g ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A. B. C.12-12【答案】B 【解析】【分析】计算得到，代入数据计算得到答案.()sin 26x y g x π=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】，则.()sin 26x y g x π=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭π51sin 2sin 44662g πππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查了三角函数的平移和计算，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握..5.函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）()e ln x f x x=⋅eA. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】当时，；当时，，对比图像得到答案.x →+∞()f x →+∞x →-∞()0f x →【详解】当时，；当时，，对比图像知满足.x →+∞()f x →+∞x →-∞()0f x →A 故选：.A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.6.已知函数为奇函数，则（ ）222,0,(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+≤⎩()f a b +=A. B. C. D. 2-1-12【答案】C 【解析】【分析】当时，，代入计算得到，得到，计算得到答案.0x >0x -<222ax x x bx -=+1,2a b ==-【详解】当时，，则，，0x >0x -<2()f x x bx -=--()2()f x f x x bx =-=+即，解得，故.222ax x x bx -=+1,2a b ==-()()11f a b f +=-=故选：.C 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.7.已知，则（）πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin πsin 3αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. B. C.5272【答案】B 【解析】【分析】化简得到，再利用齐次式计算得到答案.πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=【详解】，解得πtan 6α⎛⎫-== ⎪⎝⎭tan α=.sin 7π2s in 3αα===⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查了三角函数化简，齐次式的应用，意在考查学生的计算能力.8.已知函数的图象关于点及直线()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且在不存在最值，则的值为（ ）π:3l x =()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕA. B. C. D. π3-π6-π6π3【答案】C 【解析】【分析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据2,12T k N k π=∈+T π≥2T π=1ω=对称中心得到，得到答案.,6m m Zπϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.π:3l x =则.2+,,4236212T kT T k N k ππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6π=ϕ故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.二､多项选择题：9.下列个结论中，正确的结论是（ ）4A. 对任意角，使得α()cos πcos αα+=B. 存在角和，使得αβ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+C. 存在无穷多个角和，使得αβ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-D. 对任意角和，都有αβ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅【答案】BC 【解析】【分析】根据诱导公式和和差公式依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 对任意角，，错误；α()cos πcos αα+=-A B. 当时，成立，故正确；2,k k Z βπ=∈()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+B C. 当时，任意，成立，故正确；2,k k Z βπ=∈α()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-C D. 当时，不成立，故错误；,2k k Zπαβπ+=+∈()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅D 故选：.BC 【点睛】本题考查了诱导公式和和差公式，意在考查学生对于三角函数公式的理解.10.关于函数，，下述结论正确的是（ ）()y f x =()y g x =A. 若是奇函数，则()y f x =()00f =B. 若是偶函数，则也为偶函数()y f x =()y f x =C. 若满足，则是区间上的增函数()()y f x x R =∈()()12f f <()f x []1,2D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数()y f x =()y g x =R ()()y f x g x =+R 【答案】BD 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；()y f x =()00f =0A B. 若是偶函数，，故，也为偶函数，()y f x =()()f x f x =-()()f x f x =-()y f x =正确；B C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()12f f <[]1,2C D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数()y f x =()y g x =R ()()y f x g x =+R 设，则12x x <()()()()2211f x g x f x g x +-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故单调递增，故正确；()()()()21210f x f x g x g x =-+->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()y f x g x =+D故选：.BD 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.11.在梯形中，，，，分别是，的中点，与ABCD //AB CD 2AB CD =E F AB CD AC 交于，设，，则下列结论正确的是（ ）BD M AB a = AD b =A.B.12AC a b=+ 12BC a b=-+C.D.1233BM a b=-+ 14EF a b=-+【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量运算依次计算每个选项判断得到答案.【详解】A. ，正确；1122AC AD DC AD AB a b=+=+=+A B. ，正确；1122BC BA AD DC AB AD AB a b=++=-++=-+B C.，错误；222333BM BA AM AB AC a b=+=-+=-+C D. ，正确；111244EF EA AD DF AB AD AB a b=++=-++=-+D 故选：.ABD 【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.12.设函数，则下列结论正确的是（ ）()sin cos f x x x=+A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上是单调增函数()f x π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的值域是()f x 2π3x =()f x []0,2【答案】ACD 【解析】【分析】化简得到，画出函数图像，根据图像得到答案.()sin cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【详解】，画出函数图像，如图所示：()sin cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭根据图像知：函数的最小正周期为；函数在上先增后减；()f x π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭函数的图象关于直线对称；函数的值域是；()f x 2π3x =()f x []0,2故选：.ACD 【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，对称和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，画出函数图像是解题的关键.三､填空题13.已知，那么 ．tan =2αcos 2α=【答案】35-【解析】试题分析：.22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin sin cos tan 15ααααααααα--=-===-++考点：齐次式、倍角公式.14.已知函数，则是________函数（从“奇”，“偶”，()12221x f x x =-+()()1g x f x =+“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为________.()()24102f x x f x -+-≤-【答案】 (1). 奇 (2). []5,2-【解析】【分析】，计算得到得到答案，化简得到()121221x xg x x =-++()()g x g x -=-，根据函数单调性得到答案.()()2104g x x g x -≤-【详解】函数单调递增，故单调递增；12,221x y x y ==-+()12221x f x x =-+，函数单调递增；()()1212112212211x x xg x f x x x -+==-++++=，故是奇函数；()()()121121221221x x x x x x g x g x -----+=--=-++-=()g x ，即.()()24102f x x f x -+-≤-()()()2410104g x x g x g x -≤--=-故，解得.2104x x x -≤-52x -≤≤故答案为：奇；.[]5,2-【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是ABCD 边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，1EFGH E F G H AF BG ，的中点，则的值为________.CH DE AG DF ⋅【答案】0【解析】【分析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，计A AB x AD y 算直线方程得到坐标，，计算向量得到答案.42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐A AB x AD y 标系.延长与交于点，，故为中点.AF BC I 1tan 2FB BIFAB FA AB ∠===I BC 直线，同理可得：直线，直线；1:2AI y x =:22GB y x =-+11:22HC y x =+解得：，，42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故，，.()0,0A ()0,1D 34,55AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 43,55DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 0AG DF ⋅=故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能力和计算能力，建立坐标系转化为坐标运算是解题的关键.16.已知函数其中，且，若函数有个()1,0,π2sin ,02,2x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨<<⎪⎩0a >1a ≠()1y f x =-3不同的零点，，，且，则实数的取值范围是________.1x 2x 3x 1230x x x ++>a【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】画出函数图像，排除的情况，根据对称性得到，计算得到答案.1a >232x x +=【详解】如图所示：当时，函数有个不同的零点，不满足；1a >()1y f x =-2当时，不妨设，根据对称性知，故.01a <<123x x x <<232x x +=12x >-，故，故11x a -=log 22a x =>-0a<<故答案为：.⎛ ⎝【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.四､解答题：17.已知集合，集合.102x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭{}3,xB y y x a ==≤（1）若，求；1a =A B（2）若，求实数的取值范围.()R B C A ≠∅ a 【答案】（1）（2）{}23A B x x ⋃=-<≤0a ≥【解析】【分析】（1）计算得到，，再计算并集得到答案.{}21A x x =-<<{}03B y y =<≤（2）或，，根据计算得到答案.{2R A x x =≤-ð}1x ≥{}03aB y y =<≤()RB A ≠∅ ð【详解】（1），102x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭()(){}120x x x =-+>{}21x x =-<<当时，，1a ={}{}3,103x B y y x y y ==≤=<≤所以.{}23A B x x ⋃=-<≤（2），则或，{}21A x x =-<<{2R A x x =≤-ð}1x ≥，{}{}3,03x aB y y x a y y ==≤=<≤因为，所以，解得.()R B A ≠∅ð31a≥0a ≥【点睛】本题考查了并集运算，根据交集运算结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在xOy P Q AB P 的右侧），点为半圆的圆心，已知，点，设.Q O 2AB =43,55P ⎛⎫⎪⎝⎭POQ α∠=（1）若，求的值；π2α=AQ AO ⋅（2）若点的纵坐标为，求的值.Q 12cos α【答案】（1）（225【解析】【分析】（1）设，则，，计算，根据计POB β∠=3sin 5β=4cos 5β=35Q x =-1Q AQ AO x ⋅=+ 算得到答案.（2）计算得到，利用和差公式将展开计算得到答案.5π6αβ+=5πcos cos 6αβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则，.POB β∠=3sin 5β=4cos 5β=所以，()3cos cos sin 25Q x παβββ⎛⎫=+=+=-=-⎪⎝⎭.()()()()21,01,015Q Q Q AQ AO x y x ⋅=--⋅--=+=（2），且，，()13sin sin 25αββ+=<=()0,παβ+∈π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以，.π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5π6αβ+=5π6αβ=-所以.5π5π5πcos cos cos cos sin sin 666αβββ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭413525=+⋅=【点睛】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.19.已知函数，其中为实数.()2log 11m f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭m （1）若，求证：函数在上为减函数；1m =()f x ()1,+∞（2）若为奇函数，求实数的值.()f x m【答案】（1）证明见解析（2）或0m =2m =【解析】【分析】（1）对于，，且，计算得到证明.1x ∀()21,x ∈+∞12x x <()()120f x f x ->（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到()()0f x f x -+=()22211x m x --=-答案.【详解】（1）当时，，1m =()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对于，，且，1x ∀()21,x ∈+∞12x x <()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为，所以，所以，12x x <12x x ->-121122x x x x x x ->-又因，，且，所以，1x ()21,x ∈+∞12x x <()1222110x x x x x -=->即，所以，.1211221x x x x x x ->-1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭()()120f x f x ->所以函数在上为减函数.()f x ()1,+∞（2），()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭若为奇函数，则，即.()f x ()()f x f x -=-()()0f x f x -+=所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭所以，所以，或.()22211x m x --=-()211m -=0m =2m =【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段ΔABC BC P B C H 上，且满足.已知，，设.BC CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.ABC PCB ∠=∠CA CP +当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；θ（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.60PBA ∠=︒CH CP +当为何值时，取得最大值，并求该最大值.θCH CP +【答案】（1）（2）当，π6θ=π12θ=CH CP +【解析】【分析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ΔABC sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到，得的最值.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，.ABC PCB θ∠=∠=ΔABC sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，ΔPBC 2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ΔABC 1122ABC S CA CB AB CH∆=⋅=⋅可得.sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，ΔPBC πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，，1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=+-，11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以当，.π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.21.如图，在中，，，，是的中点，点满足ΔABC 90BAC ∠=︒2AB =3AC =D BCE ，与交于点.2AE EC =BE AD G （1）设，求实数的值；AG AD λ=λ（2）设是上一点，且，求的值.H BE HA HB HC HA ⋅=⋅ GH BC ⋅【答案】（1）（2）452-【解析】【分析】（1）设，，得到，，计算得到答案.AC a = AB b = 22AC a b λλ=+ ()213t AG a t b=+-（2），代入数据化简得到答案.()GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅=-⋅=⋅-⋅【详解】（1）设，，因为，是的中点，AC a = AB b =AG AD λ= D BC 所以.①222AC AB AC a bλλλ+=⋅=+设，，BG tBE =01t <<故，整理得，()AG AB t AE AB-=- ()1AG t AE t AB=+- 又，即，2AE EC = 23AE AC=所以.②()()221133t AG t AC t AB a t b=⋅+-=+-联立①②，据平面向量其本定理，得解得，，2,231,2t t λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩45λ=35t =所以实数的值为.λ45（2）因为，所以，即，HA HB HC HA ⋅=⋅ ()HA HB HC ⋅-= 0AH BC ⋅= 所以()GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅=-⋅=⋅-⋅ .()()22222555AG BC a b a b a b ⎛⎫=-⋅=-+⋅-=-- ⎪⎝⎭()2223225=-⨯-=-【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.22.已知函数，其中.()231f x x ax =---0a >（1）若，求函数的单调区间；2a =()f x （2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范x ()23f x x ≤-()1,0x ∈-a 围；（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.()f x 4a 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）(),1-∞-()1,-+∞2a≥3a <<【解析】【分析】（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.()22324,,2322,,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩（2）化简得到恒成立，计算函数的最大值得到答案.12a x x ≥-++12y x x =-++（3）化简得到，确定在和上都各有()2234,,32,,x ax x af x x ax x a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩()f x 3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭个不同的零点，计算得到答案.2【详解】（1）当时，2a =()222324,,2231322,,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩当时，，32x <()()222415f x x x x =+-=+-所以在上单调递减，在上单调递减.()f x (),1-∞-31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，32x ≥()()222211f x x x x =-+=-+所以在上单调递增.()f x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭因为函数的图象在上不间断，()f x R 所以的单调减区间是，单调增区间是.()f x (),1-∞-()1,-+∞（2）对任意恒成立.23123x ax x ---≤-()1,0x ∈-因为，，所以，()1,0x ∈-0a >30ax -<故不等式可化为，即，23123x ax x +--≤-12a x x ≥-++所以问题转化为不等式对任意恒成立.12a x x ≥-++()1,0x ∈-又在上单调递减，12y x x =-++()1,0-所以，()1121+221y x x =-++<--+=-所以.2a ≥（3），其中.()22234,,3132,,x ax x a f x x ax x ax x a ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+≥⎪⎩0a >显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，3x a <()23f x x ax =+-23x a ≥至多有个不同的零点，()22f x x ax =-+2又有个不同的零点，()f x 4所以在和上都各有个不同的零点，()f x 3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2所以且即0,230,a f f a ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩3,20,230,a a a f f a ⎧>⎪⎪⎪⎛⎫<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩22240,42310,3,220,42a a a a a aa a a ⎧⎛⎫+⋅--<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎪⎪-⋅+<⎪⎩又，解得，0a>3a <<所以实数的取值范围是.a 3a <<【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，根据零点个数求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.。

海陆市高一上学期数学期末测试卷一 选择题1 数列 －1，58 ，－715 ，924，… 的一个通项公式是 【 】A (1)(1)21n nn n a n +=-+B (2)(1)1n n n n a n +=-+C 2(1)(1)1nnn a n +=-+ D(2)(1)21n n n n a n +=-+ 2 在等差数列{a n }中，前4项的和是1，前8项的和是4，则17181920a a a a +++值为 【 】A 7B 8C 9D 10 3 若等比数列{a n }的前三项依次为2，32，62，…，则它的第四项是【 】A 1B 122C 92D 824 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成【 】A 511个B 512个C 1183个D 1184个 5 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 【 】A y =2log 2x y = C 2/y x x = D 5log 5x y =6已知5lo g m 与5log n互为相反数，则mn ＝【 】A 1B 5C －1D 10 7方程22lo g 2x x =-的实根个数是【 】A 3B 2C 1D 0 8 已知函数()52xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集是【 】A （－∞，3）B （2，3）C （2，∞）D （－∞，2）9 已知函数log (6)a y ax =-在(2,2)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是 【 】A (0,3)B (1,3)C (1,3]D [3,)+∞10若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有【 】A 13项B 12项C 11项D 10项11 已知{a n }是公差不为0的等差数列，它的第二、第三、第六项是一个等比数列的连续3项，则 这个等比数列的公比为 【 】A 1B 2C 3D 4 12 已知等比数列}{n a 的各项都是正数 ，且243879236a a a a a a ++=，那么38a a +的值等于 【 】A 5B 6C 10D 18 二 填空题13 3log 21411log 3ln1()642-+++＝_______. 14 等差数列{a n }的前n 项的和S n ＝pn 2＋n(n ＋1）＋p ＋3，则p ＝______；通项公式a n ＝________。

2016-2017学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5.00分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5.00分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5.00分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5.00分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5.00分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B 的大小为．6．（5.00分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5.00分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5.00分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5.00分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5.00分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5.00分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5.00分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x ≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14.00分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16.00分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16.00分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m ∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16.00分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2016-2017学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5.00分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【分析】根据补集的定义写出A在U中的补集∁U A即可．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5.00分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【分析】由已知利用正弦函数的周期公式即可计算得解．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5.00分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出该函数的单调递减区间．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5.00分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【分析】先求出f（﹣）=2=2=2，从而f[f（﹣）]=f （2），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5.00分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【分析】由⊥，得•=sinB+cosB=0即可．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5.00分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5.00分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【分析】首先，结合平移得到g（x）=2sin（2x++φ），然后根据g（x）为偶函数即可求解．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5.00分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【分析】首先根据二次函数的值域为[0，+∞），来确定满足的条件是，进一步通过解不等式组求的结果．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5.00分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求结合已知即可计算得解．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5.00分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【分析】利用两角和差的正弦公式求得sinαcosβ和cosαsinβ 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得的值．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα=4，再根据tan（α+θ）=﹣1，利用两角和的正切公式，求得tanθ的值．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【分析】由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，可得﹣1＜a2﹣2a＜0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5.00分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【分析】由题意，M，N关于点（，0）对称，即可求出|+|．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5.00分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【分析】设，运用平面向量基本定理、向量的三角形法则，将向量作为平面基底，用基底表示，，运用向量的数量积的定义，结合向量的平方即为模的平方，将•表示为λ的函数求解．【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x ≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简集合A，B，再由并集的含义即可得到；（2）运用指数函数的单调性求出集合B，由A∩B=∅，可得a 的范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【分析】（1）由图可知A的值，由T，可求ω，从而可求函数f（x）的解析式．（2）由f（α+）=，可知sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，由f（β+）=，可知cosβ，利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，利用两角和的余弦函数公式可求cos（α+β），结合范围α+β∈（0，π），即可得解α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14.00分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【分析】（1）由|+|=2，|+2|=3⇒2+2+2•=4 和2+42+4•=9，即可求解；（2）利用（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos求解．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16.00分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【分析】（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．运用直角三角形中锐角三角函数的定义，求得PD，ND，PA；（2）运用同角的平方关系和二倍角公式及两角和差函数公式，化简函数式，再由正弦函数的图形和性质，可得最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16.00分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m ∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用辅助角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论；（2）据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，所以，即可求出实数m的取值范围；（3）据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，分类讨论，求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16.00分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）①将a=4带入g（x），通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g（x）的单调性，从而求出g（x）的值域即可．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，x x x即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。