一元一次不等式与一次函数教案

14.3.2 一次函数与一元一次不等式各位评委老师，大家好！今天我抽取的课题是人教版义务教育课程标准实验教科——初中数学八年级上册14.3.2一次函数与一元一次不等式。

一、教学内容本节课是学生在对一元一次方程，二元一次方程组和一元一次不等式等以一次运算为基础的数学模型的已有认识上，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论。

从函数的角度对前面学习过的一元一次方程，一元一次不等式进行分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。

用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一起来认识，由此也可以让学生认识函数的重要性。

通过本节的学习不仅可以加深读对方程与不等式等数学对象的理解，而且可以加深对已经学过的相关内容之间联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。

本节课主要内容是学习一次函数与一元一次方程。

学习用函数的观点来认识一元一次不等式。

二、教学目标理解一次函数与一元一次不等式的关系，发展学生的认知体系．经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程，掌握其应用方法．培养良好的数学抽象思维，体会本节课知识在现实生活中的应用价值。

三、教学重点与难点重点:了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.难点:自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。

从一次函数的图象出发，直观地呈现出一元一次不等式的解的范围。

四、教学方法本节中的多数内容学生并不陌生，通过以新带旧,让学生自己观察、思考、总结、归纳，充分发挥学生主体参与作用，激发学生的学习兴趣，从而使学生更易于掌握知识。

根据对教材和学情的分析，结合本节教材特点，确定以探究性学习为主线的教学方法；教学中也应特别注意学法的指导：观察与对比，充分利用图象法解决问题。

五、教学过程1、回顾交流，知识迁移问题提出：请思考下面两个问题：（1）解不等式5x+6>3x+10；（2）当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？【学生活动】通过思考，得到（1）、（2）的答案，回答问题．【教师活动】在学生充分探讨的基础上，引导学生思考：“一元一次不等式与一次函数之间有何内在联系？”【思路点拨】在问题（1）中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，•解这个不等式得x>2；问题（2）就是解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0，•因此这两个问题实际上是同一个问题，从直线y=2x-4（如图）可以看出．当x>2时，•这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0．【问题探索】教师叙述：由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系？【学生活动】小组讨论，观察上述问题的图象，联系不等式、函数知识，解决问题．【师生共识】由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．【教学形式】师生互动交流，生生互动．2、范例点击，领悟新知【例2】用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．【教师活动】激发思考．【学生活动】小组合作讨论，运用两种思维方法解决例2问题．解法1：原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（左图），可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（右图），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．【评析】两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．3、随堂练习，巩固深化1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（） A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）4、课堂总结，发展潜能用一次函数图象来解一元一次方程或一元一次不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的关系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学是重要的．5、布置作业，专题突破最后，针对所有学生的实际情况，布置作业，并将作业进行分层，这样可以充分调动学生的学习积极性，同时也适应了不同学生的不同要求，切实减轻了学生的课业负担。

一元一次不等式与一次函数地关系教学目的知识与技能1.认识一元一次不等式与一次函数问题地转化关系.2.会用图象法解一元一次不等式与一元一次方程,会用数形结合地思想方法解决问题.过程与方法1.经历探索,思考等教学活动与思维过程,发展学生地合情推理能力,能有条理地,清晰地阐述观点.2.让学生体验并掌握数形结合地思想与解决问题地方法,提高解决问题地能力.3.体会解决问题地多种途径,发散学生地思维.情感,态度与价值观在探究过程中发展学生地合作交流意识与独立思考精神,增强学生对数学思维,数学方法地好奇心与兴趣.重点难点重点理解一次函数地图象与一元一次不等式,一元一次方程地关系,运用此关系求解问题.难点理解一元一次不等式,一元一次方程地图象解法.教学过程一,创设情境,导入新知师:妳会解一元一次方程-2x+8=0吗?生:会,x=4.师:我们现在看一次函数y=-2x+8.当x取什么值时,y为0?生:当x=4时,y=0.师:这个函数当x=4时,y=0,也就是这个函数地图象与x轴地交点坐标为(4,0),与x轴交点地横坐标为4.这个4一方面是方程地解,另一方面又是一次函数与x轴交点地横坐标,它们地数值是相同地,会不会是巧合,还是确实有联系?我们这节课就来研究这个问题.二,共同探究,获取新知教师多媒体出示:1.解方程:2x+6=0.2.已知一次函数y=2x+6,问x取什么值时,y=0?师:这两个问题有什么关系呢?学生讨论后回答:第二个问题中,y=0,也就是2x+6=0时,就成了第一个问题,所以它们地实质是一样地.师:大家回答得非常好!请大家画出y=2x+6地图象,看方程2x+6=0地解与这个图象又有什么关系.学生作图,教师巡视指导.教师多媒体出示:生:方程地解等于图象与x轴交点地横坐标.师:对.因为任何一个一元一次方程都可以写成y=kx+b地形式,所以解一元一次方程kx+b=0都可以转化成求函数y=kx+b中y=0时x地值,从图象上看,就是一次函数y=kx+b地图象与x轴交点地横坐标.三,层层推进,深入探究师:根据上面妳们画出地y=2x+6地图象,妳能说出一元一次不等式2x+6>0与2x+6<0地解集吗?学生合作交流生:当2x+6>0时就是一次函数y=2x+6中y地值大于0,而y>0在坐标平面上表现地就是图象在x轴上方.师:同学们回答得很好!那么x在什么范围时,图象在x轴地上方呢?生:因为图象与x轴地交点坐标是(-3,0),由图象知,当x>-3时,y>0,即2x+6>0地解集是x>-3.师:2x+6<0地解集呢?生:它对应地是图象在x轴下方地部分,当x<-3时,图象在x轴下方,所以2x+6<0.师:谁能总结一下呢?生:一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)地解集,就是使一次函数y=kx+b取正值(或负值)时x地取值范围.师:很好!从图象上看,kx+b>0地解集就是使直线y=kx+b位于x轴上方地部分相应地x地取值范围;kx+b<0地解集就是使直线y=kx+b位于x轴下方地部分相应地x地取值范围.四,例题讲解例画出函数y=-3x+6地图象,结合图象:(1)求方程-3x+6=0地解.(2)求不等式-3x+6>0与-3x+6<0地解集.解:(1)画出函数y=-3x+6地图象,如图所示,图象与x轴交点B地坐标为(2,0).所以,方程-3x+6=0地解就是交点B地横坐标:x=2.(2)结合图象可知,y>0时x地取值范围是x<2;y<0时x地取值范围是x>2.所以,不等式-3x+6>0地解集是x<2,不等式-3x+6<0地解集是x>2.五,课堂小结师:今天妳学到了什么新地内容?还有哪些疑问?学生回答,教师补充完善.教学反思在导入课题时,我让学生解一元一次方程与一元一次不等式,它们不理解为什么让它们做这些七年级地题目,讲到后面时它们豁然开朗,为自己地发现欣喜不已.在学习了本节课后,我带领它们用数形结合地方法探索并归纳了一次函数地图象与一元一次方程,一元一次不等式地关系,一元一次方程,一元一次不等式地图象解法,使学生初步认识到了这些知识地关联.。

一元一次不等式与一次函数【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、教学知识点。

（一）一元一次不等式与一次函数的关系。

（二）会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较。

二、能力训练要求。

（一）通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。

（二）训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力。

三、情感与价值观要求。

体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

【教学重点】了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。

【教学难点】自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。

【教学方法】研讨法。

即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用。

【教学准备】投影片两张。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。

［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用。

二、新课讲授。

（一）一元一次不等式与一次函数之间的关系。

［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式。

［生］如y=2x －5为一次函数。

［师］在一次函数y=2x －5中， 当y=0时，有方程2x －5=0； 当y ＞0时，有不等式2x －5＞0； 当y ＜0时，有不等式2x －5＜0。

由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式。

下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图像之间的关系。

（二）做一做。

请大家讨论后回答：［生］（1）当y=0时，2x －5=0，∴x=25，∴当x=25时，2x －5=0。

（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图像上可知，y ＞0时，图像在x 轴上方，图像上任一点所对应的x 值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0，解得x=25。

一元一次不等式与一次函数教案第一章：引言1.1 学习目标理解一元一次不等式与一次函数的概念掌握一元一次不等式与一次函数的关系1.2 教学内容介绍一元一次不等式与一次函数的定义解释一元一次不等式与一次函数的关系1.3 教学活动引入一元一次不等式与一次函数的概念通过实例解释一元一次不等式与一次函数的关系第二章：一元一次不等式的解法2.1 学习目标学会解一元一次不等式2.2 教学内容介绍一元一次不等式的解法讲解解一元一次不等式的步骤2.3 教学活动讲解解一元一次不等式的步骤学生分组练习解一元一次不等式第三章：一次函数的图像3.1 学习目标学会绘制一次函数的图像3.2 教学内容介绍一次函数的图像讲解绘制一次函数图像的方法3.3 教学活动讲解绘制一次函数图像的方法学生分组练习绘制一次函数图像第四章：一元一次不等式与一次函数的应用4.1 学习目标学会应用一元一次不等式与一次函数解决实际问题4.2 教学内容介绍一元一次不等式与一次函数的应用讲解一元一次不等式与一次函数在实际问题中的应用4.3 教学活动讲解一元一次不等式与一次函数在实际问题中的应用学生分组练习解决实际问题5.1 学习目标复习一元一次不等式与一次函数的知识点5.2 教学内容5.3 教学活动进行复习测试，巩固所学知识第六章：一元一次不等式的应用举例6.1 学习目标学会使用一元一次不等式解决实际问题。

6.2 教学内容通过实例讲解一元一次不等式在实际问题中的应用。

分析并解决实际问题。

6.3 教学活动分析实际问题，引导学生运用一元一次不等式进行解决。

学生分组讨论并练习解决实际问题。

第七章：一次函数的性质7.1 学习目标理解一次函数的性质，包括斜率和截距。

7.2 教学内容介绍一次函数的斜率和截距。

讲解一次函数的性质及其影响因素。

7.3 教学活动讲解一次函数的性质及其影响因素。

学生分组练习分析一次函数的性质。

第八章：一次函数图像的变换8.1 学习目标学会分析一次函数图像的平移变换。

一元一次不等式与一次函数（1）教学设计 教学目标：1、能把一次函数的问题转化成不等式的问题来解决2、会观察图象来回答有关一次函数的问题 教学重点：转化的思想的体会与运用以及观察图象回答有关问题教学难点：通过观察一次函数的图象来回答相关问题 教学过程：一、课前小测1、不等式的解集是2．不等式的解集为 ；3、不等式513-≥+x x 解集是 4、已知：函数32+=x y 中，当x 时，0=y 设计意图：帮助学生复习解不等式以及一次函数中的代入求值。

二、学习新知【知识点一】把一次函数的问题转化成解不等式来解决1、已知一次函数42-=x y ，当x_______时，y ＞0；2、已知一次函数2+-=x y ，当x_______时，y ＜0；3、已知一次函数421-=x y ，22+-=x y 当x_______时，21y y ≤。

设计意图：通过这一组题让学生掌握利用等量代换把一次函数的问题转化成解不等式来解决，并逐步领会到转化的思想。

【知识点二】观察图象，回答问题1、已知一次函数42+=x y 的图象如图1所示， 观察图象并回答问题：（1）当x_______时，y ＞0；（2）当x_______时，y ＜0。

2、已知一次函数52-=x y 的图象如图2所示， 观察图象并回答问题：（1）当x_______时，y ＞0；（2）当x_______时，y ＜0。

设计意图：这两小题较知识点一的多了一个图象，其它要求没变，学生可看图，也可不看图，让学生体会到只要给出了一次函数的解析式，就可以忽略图形，借用解图1y=2x+4不等式来解决问题。

【知识点三】观察图象，求出解析式，回答问题1、已知一次函数的图象如图3所示，观察图象并回答问题：（1）当x_______时，y ＞0；（2）当x_______时，y ＜0。

设计意图：此题关键是没有一次函数的解析式，若要想通过解不等式来解决问题，就要求出解析式，这对学生来讲，就要先掌握好待定系数法，而且计算量都比较大，所以能否通过观察图象来解决问题，避免烦琐的运算，就是留给学生思考的问题。

-=y 一次函数与一元一次不等式【教学目标】知识与技能：理解一次函数与一元一次不等式的关系掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。

过程与方法：渗透由特殊到一般和转化的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】 用函数的知识求一次不等式的解集。

【教学难点】 一次函数图象与一元一次不等式的关系。

【教学互动设计】〈一〉创设情景 导入新课大家对一次函数与一元一次方程之间的联系都有了一定的了解，通过一次函数的图象，我们可以直接看出对应的一元一次方程的解。

那么，一次函数与一元一次不等式又有何关系呢？我们能否通过看一次函数的图象得到一元一次不等式的解集呢？这就是我们今天要探讨的内容。

〈二〉合作交流 解读探究（课前导案，学生在课前进行学习讨论）一次函数与一元一次不等式的关系 ﹝展示﹞已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答：⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为 思考：⑵当x 时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为⑶当x 时，y ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为总结：当y=0时，正好是图象与轴的交点当y＞0时，图象位于轴方当y＜0时，图象位于轴方学生完成展示共同完成课本导学（多媒体展示）解(1)移项得:5x - 3x > 10 - 6合并,得2x > 4化系数为1,得x >2∴原不等式的解是: x>2(2)作出函数y = 2x -4 的图象(如图)从图知观察知，当x>2时y 的值在x轴上方，即y > 0因此当x > 2 时函数的值大于0。

﹝概括﹞任何一元一次不等式都可以化为0b＜ax+（a、b＞bax+或0为常数且a≠0）的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围；或者看作：当一次函数图象在x轴上（下）方时，求自变量的取值范围。

〈三〉例题讲解例题:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化为3x -6,画出直线y = 3x -6(如图)可以看出,当x<2 时这条直线上的点在轴的下方,即这时y = 3x -6 <0所以不等式的解集为x<2解法二：画出函数y = 2x+10 y = 5x+4图象从图中看出：当x <2时直线y = 5x +4 在y = 2x +10的下方即5x+4 < 2x +10∴不等式5x+4 < 2 x +10 的解集是x < 2师生总结步骤：1把不等号右边划为0 2 画函数图象 3 找与X轴的交点4作答〈四〉随堂练习1．自变量X的取值满足什么条件时，函数y=3X+8的值满中下列条件？(3)y>0 (4)y<22 利用函数图象解出X：（2）6x—4<3x+2〈五〉课堂小结1．一次函数与一元一次不等式的关系2．用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。