高2021届高2018级步步高苏教版一轮复习第九章 第7节 抛物线

第七节抛物线[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质[常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12B [如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.]4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是 ．y 2＝－x 或x 2＝－8y [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1，∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .]考点1 抛物线的定义及应用 (1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化． ②注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p2.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．(1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.52B.32C ．1D ．3 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为 ．(1)B (2)4 [(1)∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程x ＝－14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋14＋x 2＋14＝3.解得x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点横坐标为54，∴线段AB的中点到准线的距离为54＋14＝32.故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][母题探究]1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．[解] 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ .6[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]考点2 抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019·潍坊模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为( ) A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝15x 2(2)[一题多解]在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝ .(1)B(2)4[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos ∠AFO＝4.]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]2.如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝xB[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝43，∵AE∥FG，∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.] 考点3 直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 条．(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .①若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； ②若AP →＝3PB →，求|AB |.(1)3 [(1)结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．](2)[解] 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2.①由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋ty 2＝3x，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而由－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.②由AP →＝3PB →得y 1＝－3y 2.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋ty 2＝3x，得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.解答本例(2)第②问的关键是从条件“AP →＝3PB →”中发现变量间的关系“y 1＝－3y 2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．[教师备选例题]1．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0， 故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 2．(2019·金华模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)在第一象限内的点P (2，t )到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存存，请说明由．[解](1)∵点P (2，t )到焦点F 的距离为52，∴2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2,2)， ∴l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎨⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，∴|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，①由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0，∴直线l 2：x ＝ny ＋2，∵圆心M (a,0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n2， ∴|DE |＝212－a －221＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，∴存在实数a ＝2，使得|DE |为定值．1.[一题多解]过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4 B.92 C ．5D ．6B [法一：(直接法)易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.法二：(应用性质)由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法三：(应用性质)因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.]2．(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围． [解](1)证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4， 又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1. ∴M (1，－2＋b )． 又点M 在抛物线内部， ∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b. ∴|BC|＝1＋4|x3－x4|＝5·x3＋x42－4x3x4＝5×64＋16b.又b＞94，∴|BC|＞10 5.∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．。

1.抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角).(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )1.(2016·四川改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0).2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 答案 8解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案 －34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 2－2ky －1＝0，y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)24＋y 1y 2＝14－1＝－34.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切， 所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4. 即PB ＋PF 的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PB＋PF≥BF＝42＋22＝16＋4＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连结AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝AB p 24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________. (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB的最大值为______.答案 (1)4 (2)33解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)， D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)设AF ＝a ，BF ＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线， 垂足分别为Q 、P .由抛物线的定义知，AF ＝AQ ，BF ＝BP ， 在梯形ABPQ 中，2MN ＝AQ ＋BP ＝a ＋b .AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b 2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得AB ≥32(a ＋b )， 所以MN AB ≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即MN AB 的最大值为33.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1).思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y1＝1，将它与抛物线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，又交点在第一象限，∴M (2，12)，准线方程为y ＝－1.故易求得N (42，－1).∴由三角形相似性质得FM MN ＝1－1212－(－1)＝13.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).[2分](2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y ，得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m).[9分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0，[12分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为____________. 答案 y 2＝8x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为____________. 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p4，0)，∴OF ＝3p4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连结AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，AF ＝4＋9p 216，∴sin ∠OAF ＝OFAF＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝AFMF＝3p 44＋9p 216，∵MF ＝5，AF ＝4＋9p 216，∴ 4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝p ＋2pk 2，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为____________.答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则PFP A的最小值是______.答案22解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结P A ， 在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝PN P A， 当PN P A ＝PFP A最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小，即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线，设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， PF P A ＝PN P A ＝cos ∠NP A ＝22. 7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0.方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22(x －p2)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴N (p 4，－22p )，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________. 答案 43解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 20＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝43.10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________. 答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.11.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12·AF ·AM ·sin ∠MAF 12·OF ·AF ·sin (π－∠MAF )＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22， ∴点A 的坐标是(2，±22).*12.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条.当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，所以4<r 2<16，即2<r <4.13.(2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4，解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在.设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，∴k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14， 于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)， ∴y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1). 14.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2. 因为AF ＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22).由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223. 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。

§9.7抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.145 D ．3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离， 由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离， 即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2， 则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2， 所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254， 又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ， 则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .(2)(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安四市联考)已知点A (－1,0)是抛物线y 2＝2px 的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则|PF ||P A |的最小值为( )A.13B.22C.45D.32 答案 B解析 由题设知p ＝2，设点P (x ，y )，点P 到直线x ＝－1的距离为d ， 则d ＝x ＋1. 所以|PF ||P A |＝d |P A |＝x ＋1(x ＋1)2＋4x ＝11＋4x (x ＋1)2＝11＋4xx 2＋2x ＋1＝11＋4x ＋1x＋2≥22. 故当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即当x ＝1时，|PF ||P A |取得最小值22.抛物线的几何性质例3 (1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97 D ．2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点．O为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为________． 答案2解析 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △AOB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2.(3)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值范围是________．答案 (8,12)解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )． 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4， ∴△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)． ∴△ABF 的周长的取值范围是(8,12)．思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.(2)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |＝m |P A |，则m 的最小值为________． 答案22解析 过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |＝|PF |， ∵|PF |＝m |P A |，∴|PN |＝m |P A |，则|PN ||P A |＝m ，设P A 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线P A 与抛物线相切， 设直线P A 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ， 可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0， ∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1， ∴m 的最小值为22.直线与抛物线例4 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设可得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3， 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1， 故|AB |＝4133. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离， 故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k2，y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧2－km k 2－3＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2， ∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.1．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14 B ．－14 C ．4 D ．－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.2．已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．2 B ．3 C. 3 D. 2 答案 B解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 4．(2020·四川省双流中学检测)过点(－1,0)且倾斜角为45°的直线与抛物线y 2＝4x 的位置关系是( )A ．相交且有两个公共点B ．相交且有一个公共点C ．有一个公共点且相切D ．无公共点答案 C解析 直线方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，得(x ＋1)2＝4x ⇒x 2－2x ＋1＝0，Δ＝0且有重根x ＝1， ∴该直线与抛物线y 2＝4x 有唯一公共点且相切．5．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p 答案 B解析 将直线方程代入抛物线方程， 可得x 2－4px －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4p ， ∴y 1＋y 2＝9p ，∵直线过抛物线的焦点， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( ) A. 6 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 答案 A解析 根据题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4k y －4＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则x 1＋x 2＝y 1＋y 2k ＋2＝4k2＋2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k 2＋2＋2＝6，则k ＝±2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝26，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×26＝6，∴△AOB 的面积为 6.7．(2020·成都模拟)已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________． 答案 x 2＝－8y解析 依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为焦点坐标为(0，－2)， 所以－p2＝－2，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .8．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为________． 答案 10解析 由抛物线的定义可知|PF |＝|PM |＝5，并且点P 到准线的距离x P ＋1＝5， ∴x P ＝4，y P ＝±4， ∴S ＝12×5×4＝10.9．已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)， 则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA→·MB→＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．解建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)，所以p ＝32. 所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)．因为车与箱共高4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，则x 20＝32， 所以|x 0|＝32＝62， 所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道．12．已知点F (0,1)，点A (x ，y )(y ≥0)为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足|AF |＝|AB |＋1.(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于两个不同点P ，Q (非原点)，过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ，设线段PQ 的中点为N ，若|FM |＝|FN |，求直线l 的斜率．解 (1)由|AF |＝|AB |＋1，得x 2＋(y －1)2＝|y |＋1，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，设N (x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝2k ，y N ＝2k 2＋b ， 又曲线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，y ′＝x 2， ∴过P 点的切线斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －14x 21. 同理，过Q 点的切线方程为y ＝x 22x －14x 22，联立两切线可得交点M 的坐标为x M ＝x 1＋x 22＝2k ，y M ＝14x 1x 2＝－b . 所以x M ＝x N ，又因为|FM |＝|FN |，所以MN 中点纵坐标为1，即2k 2＋b －b 2＝1， k ＝±1，故直线l 的斜率为k ＝±1.13．(2020·云南联考)已知M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 由题意知，圆心M 到直线x ＝－1和到点N (1,0)的距离相等，且点M 在抛物线上， 所以点N (1,0)是抛物线的焦点，直线x ＝－1是抛物线的准线，所以p 2＝1，即p ＝2. 设斜率为1的直线的方程为y ＝x ＋b ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x ＋b ，消去x ， 得y 2－4y ＋4b ＝0.因为直线与抛物线交于P ，Q 两点，所以y P ＋y Q ＝4，所以线段PQ 的中点的纵坐标为y P ＋y Q 2＝2. 14．长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________．答案 34解析 由题意知，2大于抛物线的通径，即AB 可以过焦点．设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN |＝12(|AC |＋|BD |)． 连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |.根据平面几何知识，可得|AF |＋|BF |≥|AB |，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC |＋|BD |≥|AB |＝2，∴|MN |＝12(|AC |＋|BD |)≥12|AB |＝1. 设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14， 则|MN |＝a ＋14≥1，解得a ≥34. 因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为34.15．过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3)．若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________．答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减得x 1＋x 2＝4(y 1－y 2)x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24， 则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2， 所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜率为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点， 求|F A |·|FB |的取值范围．解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0. 设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20.令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0. 又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立． 设A ⎝⎛⎭⎫－12，y 3，B ⎝⎛⎭⎫－12，y 4， 则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34. ∴|F A |·|FB |＝y 23＋94·y 24＋94 ＝(y 3y 4)2＋94(y 23＋y 24)＋8116＝⎝⎛⎭⎫3x 0－342＋94⎣⎡⎦⎤4y 20－2⎝⎛⎭⎫3x 0－34＋8116 ＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴|F A |·|FB |∈[3，＋∞)．。

第7讲 抛物线考试要求 1.抛物线的实际背景，抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质，B 级要求．知 识 梳 理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：MF ＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线．(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(2016·四川卷改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________．解析 抛物线y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，故y 2＝4x ，则焦点坐标为(1,0)．答案 (1,0)3．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．解析 设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px (p >0)，代入点P (1,3)得9＝2p ，则y 2＝9x 的焦点到准线的距离为p ＝92.答案 924．(选修2－1P53练习1(3)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．解析 很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上． 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2＝－8x ；当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12，此时抛物线的标准方程为x 2＝－y .综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y5．已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]． 答案 [－1,1]考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，则PA ＋PF 取最小值时点P 的坐标为________．解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. (2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．答案 (1)9 (2)(2,2)规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．【训练1】 (1)(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________． (2)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 解析 (1)由于点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则x A ＋p 2＝x A ＋1＝5，则A (4,4)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 答案 (1)43(2)y 2＝4x考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________． 解析 (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba＝ 3. x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y＝±3x .由题意得p21＋32＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . (2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵AB ＝42，DE ＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p ＋8＝p24＋5，解得p ＝4(负值舍去)， ∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)x 2＝16y (2)4规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2016·西安模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________． 解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于BC ＝2BF ＝2BB 1，则直线l 的斜率为3， 故AC ＝2AA 1＝6，从而BF ＝1，AB ＝4， 故p AA 1＝CF AC ＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x . (2)如图，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又AF ＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2，将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标为y ＝22，所以A (2,22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， 所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322.答案 (1)y 2＝3x (2)322考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】(2017·苏北四市联考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 法二 (1)同法一． (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求OH ON；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即OH ON＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点．[思想方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ；AB ＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1AF ＋1BF ＝2p.[易错防范]1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝________.解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，PF ＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2. 答案 22．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________． 解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 23．(2017·苏州测试)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.答案 84．(2017·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析 由图可知弦长AB ＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.答案 3 35．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则QF ＝________. 解析∵FP →＝4FQ →，∴FP →＝4|FQ →|，∴PQ PF ＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则AF ＝4，∴PQ PF ＝QQ ′AF ＝34，∴QQ ′＝3，根据抛物线定义可知QQ ′＝QF ＝3. 答案 36．(2017·扬州中学质检)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 87．(2017·南通调研)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，PF ＝________. 解析 如图，令l 与y 轴交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，BF ＝2，所以AB ＝233，若P (x 0，y 0)，则x 0＝233，代入x 2＝4y 中，则y 0＝13，所以PF ＝PA ＝y 0＋1＝43.答案 438．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米． 答案 2 6 二、解答题9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2， 又∵P ，Q 关于l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43，故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 10．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上． (1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22，当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.①解x 2－4kx －4k ＝0得x 1,2＝2k ±2k 2＋k .x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①，即直线的方程为x －y ＋1＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·镇江调研)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析 因为点P 在抛物线上，所以d 1＝PF －12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝PF ＋PA －12≥AF －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号． 答案 9212．(2016·四川卷改编)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________． 解析 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立． 答案2213．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m－n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 314．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F .(1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．解 (1)由题意得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离等于PO ， 由抛物线的定义得点P 到准线的距离为PF ，所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上， 所以p 4＝34，p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x .(2)四边形AEBF 为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16y 20，令上式中y ＝0，得x ＝－16y 20，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16y 20，0， 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，所以FA →＝BE →，所以FA ∥BE ，又AE ∥FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形.。

1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________． 答案 抛物线解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·苏州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南通模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)解析 由角的平分线性质定理得P A ＝2PB ， 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________． 答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )， 则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·镇江模拟)若点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，且满足PF 1→·PF 2→＝t ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 [－7,1]解析 设P (x ，y )，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，PF 1→＝(－22－x ，－y )，PF 2→＝(22－x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝(－22－x )(22－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－8.∵P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，∴y 2＝1－x 29，∴t ＝PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－8 ＝89x 2－7，∵0≤x 2≤9， ∴－7≤t ≤1，故实数t 的取值范围为[－7,1].题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4＝O 1O 2.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·常州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程． 解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连结OM ，ON ，则 OM ＋MN ＝ON ＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，故A ′B ＋AB ＝2(OM ＋MN )＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →. 设B (x 0，y 0)，则AB →＝(x 0－3，y 0)， 所以x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23. 则k OB ＝±22，k AB ＝∓2，则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)， 即2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12， 所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)． (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (16分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOQ ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分] 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，[4分] 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2.[7分] 由OP OQ ＝λ可得OP 2OQ 2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[10分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[12分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[14分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[16分]1．(2016·无锡质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件PM 1＋PM 2＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是__________． 答案 椭圆或线段解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当PM 1＋PM 2＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆．2．(2016·南京模拟)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点F 1，F 2的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为________________．答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝0解析 F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设M (x ，y )，则(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是____________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________． 答案 3解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为____________． 答案 y ＝2x解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·南通月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为______ __________．答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则AC ＋BC ＝10>8＝AB ，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y2)2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，∴F A ＋FB ＝4>2＝AB ，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． ∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．11．过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y ＝12x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程． 解 由e ＝c a ＝22，得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，c ＝b .设椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2， A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2， 两式相减得(x 21－x 22)＋2(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 设AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则k AB ＝－x 02y 0，又(x 0，y 0)在直线y ＝12x 上，故y 0＝12x 0，于是－x 02y 0＝－1，即k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋1.右焦点(b,0)关于直线l 的对称点设为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′x ′－b＝1，y ′2＝－x ′＋b2＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝1－b .由点(1,1－b )在椭圆上，得1＋2(1－b )2＝2b 2， ∴b ＝34，∴b 2＝916，a 2＝98.∴所求椭圆C 的方程为x 298＋y 2916＝1.12．(2016·连云港模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝BC ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解 (1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M .∵NM ＋NF ＝4>FM ，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴OA2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k2.将上式中的k 替换为－1k ，可得OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4. ∴S △ABC ＝2S △AOC ＝OA ·OC＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S 的取值范围．解 (1)连结QF ，根据题意，QP ＝QF ，则QE ＋QF ＝QE ＋QP ＝4>EF ＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝3，∴b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列，∴k 2＝k 1k 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2， 整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12. 此时Δ＝16(2－m 2)>0，解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)．故S ＝12·AB ·d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m | ＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22) ＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值．∴S 1＋S 2S ＝5π4×1(2－m 2)m2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。

第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 理 苏教版1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )1.(2016·四川改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0).2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 答案 8解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案 －34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0，设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 2－2ky －1＝0，y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 224＋y 1y 2＝14－1＝－34.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2， 圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切， 所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4. 即PB ＋PF 的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PB＋PF≥BF＝42＋22＝16＋4＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－2＋－2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________.(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______. 答案 (1)4 (2)33解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)设AF ＝a ，BF ＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线， 垂足分别为Q 、P .由抛物线的定义知，AF ＝AQ ，BF ＝BP ， 在梯形ABPQ 中，2MN ＝AQ ＋BP ＝a ＋b .AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab .又ab ≤(a ＋b2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得AB ≥32(a ＋b )， 所以MN AB≤12a ＋b 32a ＋b ＝33， 即MN AB的最大值为33.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1).思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x2＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y1＝1，将它与抛物线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，又交点在第一象限，∴M (2，12)，准线方程为y ＝－1.故易求得N (42，－1).∴由三角形相似性质得FM MN ＝1－1212－－＝13.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y ，得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).[9分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[12分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为____________.答案 y 2＝8x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为____________.答案 y 2＝4x 或y 2＝16x解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，∴OF ＝3p 4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连结AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，AF ＝4＋9p 216，∴sin∠OAF ＝OF AF＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝AF MF＝3p 44＋9p 216，∵MF ＝5，AF ＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24， ∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝p ＋2pk 2，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为____________.答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则PF PA的最小值是______. 答案22解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝PN PA， 当PN PA ＝PF PA最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，PF PA ＝PN PA ＝cos∠NPA ＝22. 7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22x －p2，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴N (p 4，－22p )，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________. 答案 43解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 20＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝43.10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.11.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12·AF ·AM ·sin∠MAF 12·OF ·AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).*12.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________.答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.13.(2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在. 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，∴k A ′B ＝y 2－y 1x 2－－x 1＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，∴y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1).14.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。

[基础题组练]1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.2．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A.由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B (－p ，－p 2)，所以S △F AB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.3．(2020·丽水调研)已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )A ．在C 开口内B ．在C 上 C ．在C 开口外D ．与p 值有关解析：选B.设B ⎝⎛⎭⎫－p 2，m ，由已知有AB 中点的横坐标为p2，则A ⎝⎛⎭⎫3p 2，m ，△ABF 是边长|AB |＝2p 的等边三角形，即|AF |＝⎝⎛⎭⎫3p 2－p 22＋m 2＝2p ，所以p 2＋m 2＝4p 2，所以m ＝±3p ，所以A ⎝⎛⎭⎫3p2，±3p ，代入y 2＝2px 中，得点A 在抛物线C 上，故选B. 4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2解析：选C.根据抛物线的定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2，所以|FP 1|＋|FP 3|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p 2＝(x 1＋x 3)＋p ＝2x 2＋p ＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝2|FP 2|. 5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C.F (1，0)，直线AF ：y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13.由于点A 在x 轴上方且直线的斜率为3，所以其坐标为(3，23)．因为|AF |＝|AK |＝3＋1＝4，AF 的斜率为3，即倾斜角为60°，所以∠KAF ＝60°， 所以△AKF 为等边三角形， 所以△AKF 的面积为34×42＝4 3. 6．(2020·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A.m －1m ＋1 B.m m ＋1 C.m －1mD.2m m ＋1解析：选A.设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N .在△ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α， 由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |， 根据抛物线的定义得，|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |， 所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在Rt △ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．解析：设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y Mx M －p 2＝±3p p ＝±3.答案：±38．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○·M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．解析：将○·M 的方程化为标准方程(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或49．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________． 解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3，0)， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小． 设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝（x 0－3）2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.答案：112－1 10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点(4，4)，焦点为F .(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y 2＝2px ，把(4，4)代入，得16＝2×4p ，所以p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1，0)．(2)设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，F (1，0)，M 是PF 的中点，则x 0＋1＝2x ，0＋y 0＝2y ， 所以x 0＝2x －1，y 0＝2y ，因为P 是抛物线上一动点，所以y 20＝4x 0， 所以(2y )2＝4(2x －1)，化简得y 2＝2x －1. 所以M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.[综合题组练]1．(2020·台州书生中学月考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线l 的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33B ．1 C.233D ．2解析：选A.过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，连接AF ，BF ，由抛物线的定义知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.所以⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，所以|MN ||AB |的最大值为33.2．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解析：选B.设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)， 则S △AFO ＝12×14x 1＝18x 1.由OA →·OB →＝2得x 1x 2－x 1x 2＝2， 即x 1x 2－x 1x 2－2＝0，解得x 1x 2＝4， 所以(|OA →|·|OB →|)2＝(x 21＋x 1)(x 22＋x 2)＝x 21x 22＋x 1x 2·(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝20＋4(x 1＋x 2)，因为cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB＝所以S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB＝12|OA →||OB →|＝12 （|OA →||OB →|）2－（OA →·OB →）2 ＝1216＋4（x 1＋x 2）＝4＋（x 1＋x 2）＝x 1＋4＋4x 1＝x 1＋2x 1，所以S △ABO ＋S △AFO ＝98x 1＋2x 1≥298x 1·2x 1＝3，当98x 1＝2x 1，即x 1＝169时等号成立． 3．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．解析：依题知C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，b ，因为点C ，F 在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝p （a ＋2b ），两式相除得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或ba＝1－2(舍)． 答案：1＋ 24．(2020·台州市高考模拟)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．解析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|DF |＝p ＝2，由抛物线的定义可知|FB |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，因为FC →＝4FB →，所以|DF ||BB 1|＝|FC ||BC |＝43，所以|FB |＝|BB 1|＝32.所以|FC |＝4|FB |＝6， 所以cos ∠DFC ＝|DF ||FC |＝13，所以cos ∠A 1AC ＝|AA 1||AC |＝|AF ||AF ＋6|＝13，解得|AF |＝3，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3＋32＝92.答案：925．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点． (1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值．解：(1)由抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点， 故设P ⎝⎛⎭⎫a ，a24(a ＞0)， 因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 24＋1＝2，所以a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)．(2)设点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫a ，a24(a ＞0)，则点P 到直线y ＝x －10的距离为⎪⎪⎪⎪a －a 24－102＝⎪⎪⎪⎪a 24－a ＋102.因为a24－a＋10＝14(a－2)2＋9，所以当a＝2时，a24－a＋10取得最小值9，故点P到直线y＝x－10的距离的最小值为92 2.6．(2020·杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．解：(1)因为A(1，2)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.设C⎝⎛⎭⎫t24，t，则由k AB·k AC＝－1，即－4－24－1·t－2t24－1＝－1，解得t＝6，即C(9，6)．(2)设A(x0，y0)，B⎝⎛⎭⎫y212p，y1，C⎝⎛⎭⎫y222p，y2，则y20＝2px0，直线BC的方程为y－y1y2－y1＝x－y212py222p－y212p，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由k AB·k AC＝y1－y0y212p－y202p·y2－y0y222p－y202p＝－1，得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y20＝－4p2，与直线BC的方程联立，化简，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)．因此直线AE的方程为y＝－y0p(x－x0)＋y0，代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，得点D的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2p（x0＋p）2y20，－2p（x0＋p）y0.因为线段AD总被直线BC平分，所以⎩⎪⎨⎪⎧2（x 0＋2p ）＝x 0＋2p （x 0＋p ）2y 20，－2y 0＝y 0－2p （x 0＋p ）y 0，解得x 0＝p2，y 0＝±p ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p .。