中考数学 第三轮 专题突破 挑战满分 综合大专题三 开放与研究问题 新人教版

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连结EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是____． ①EF ＝2OE ；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】1.如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．2.写出一个运算结果是a6的算式．3.如图2－1－5，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

2018年中考数学开放探究专题复习题（人教版带答案）
5 c 开放探究专题
王涛
开放探究题是相对于条完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条不全，或满足条的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳补全所需条，结论或选择相关的求解途径．这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题．
一、条开放型
条开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条的一类题型，其特征是问题的条不完备，且所要补充的条不一定是得出结论的所必须的条，即不一定由结论唯一推出．
解条开放型问题的一般思路是由已知的结论反思题目应具备怎样的条，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合乎要求的一些条．
例1 （②），则应添加∠AFE=∠ABc或∠AEF=∠AcB等．
评注本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条较多，要注意题目中共角这一隐藏条的应用．
跟踪训练
1．（1、0、1，其他的均可，
8（1），点B的坐标为(0,3)
（2）x＜0或x＞4
5 c。

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O 重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN 分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____．①EF ＝2OE ；②S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤. 【课堂提升】1.如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行．2.写出一个运算结果是a 6的算式 ．3.如图2－1－5，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB .E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习热点解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别地重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题。

如果对这类题型了解不清楚的情况下，很多同学直接就选择了放弃，其实其难度并不是特别大部分，分值拿到手还是非常轻松的。

解题思路解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。

所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。

分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。

在历年的考题当中，以下的三大类阅读型的题型值得大家在复习当中明确其考查的方式和方法，对于大家对阅读型理解题型的了解迈出重要的一步。

首先，阅读试题所提供的新定义，新定理，解决新问题。

这类题型的解决方法以及做题的规律都从题目当中进行寻找，题目已经给出，只要结合题目中的方法进行简单的推理，那么就可以得到我们解决问题的方法，其中计算的方式是大家比较困难的，所以题目中所给的例子一定要研读清楚，搞清楚其变化的规律，就能掌握其解题的技巧。

针对练习1、（2024·陕西西安·二模）完成下列各题(1)【问题提出】如图1，为的一条弦，点C 在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我AB O AB 们知道的度数______（填“变”或“不变”）；若，则______度．即：若ACB ∠100AOB ∠=︒ACB =∠∵60BE AD A ⊥∠=︒，，∴，315sin 5322BE AB A =⨯=⨯=设经过圆心O 时的线段为，则PC 11PC 1PC∵90BAD BCD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒∴180BAD BCD ∠+∠=∴四点共圆，A B C D ，，，∴45BAC CDB ∠=∠=︒∴2MON MAN ∠=∠=则ADC PBC ≌，∴90CP CA ACP =∠=，，．∵180BAD BCD ∠+∠=∴180D ABC ∠+∠=︒，∴180ABC CBP ∠+∠=∴三点共线，A B P ，，∴为等腰直角三角形，ACP △，2290,2EAG EG AE ∴∠=︒=∵，2222AE BE DE =+222,EG BE DE ∴=+∴，222EG DG DE =+90,EDG ∴∠=︒∴，180EAG EDG ∠+∠=︒，180AED AGD ∴∠+∠=︒∴，180AED AEB ∠+∠=︒点在对角线上．∴E BD 3、（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相O ABC BC O AB AC 、切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知．D E 、OC F DF ，AC G 8cm AB =(1)求的长；DE (2)求证：；CFG CGF ∠=∠(3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积．D G 、E G DE 【正确答案】(1)2πcm(2)见解析点分别为与的切点，D E 、O AB AC 、，且OD AB OE AC ∴⊥⊥，OD OE =为等腰直角的斜边，BC ABC ，，90A ∴∠=︒45B ∠=︒则1142422DEG S EG OE =⨯⨯=⨯⨯ ()2290π44πcm 360DOE S S ︒=⨯⨯=︒扇形，阴影部分的面积为DEG DOE S S +- 扇形设，则dm EF y =MF =(1)观察猜想如图①，四边形是对补四边形，且对角线平分ABCD BD 关系是________．(2)深入探究如图②，在直角三角形中，，ACB 90ACB ∠=︒60cm AB =于点D ，E 为边上的一点，连接，作与交于点AC DE DF DE ⊥BC【分析】（1）过点作，，通过证明即可求解；D DE AB ⊥DF BC ⊥()AAS DCF DAE ≌（2）①过点D 作于点G ，于点H ，利用全等三角形的判定与性质，求解即可；DG AC ⊥DH BC ⊥②过点D 作，交于点G ，通过证明求解即可；DG AB ⊥BC ()ASA ADE GDF △≌△（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：AD CD =过点作，，如下图：D DE AB ⊥DF BC ⊥则，90DEA DFC ∠=∠=︒由题意可得：，180A BCD ∠+∠=︒180DCF BCD ∠+∠=︒∴，DCF A ∠=∠又∵平分BD ABC∠∴DF DE=∴()AAS DCF DAE ≌∴DA DC=（2）解：①如图②，过点D 作于点G ，于点H ．DG AC ⊥DH BC ⊥又平分，∴．CD ACB ∠DG DH =又∵90ACB ∠=︒∴四边形为矩形，DGCH 又∵CD 平分，，ACB ∠DG AC ⊥DH BC⊥∴DG DH=∴矩形是正方形．DGCH ∵，90ACB EDF ∠=∠=︒∴，．180DEC DFC ∠+∠=︒DEC DEA ∠+∠=180︒∴．DEA DFC ∠=∠又，90DGE DHF ∠=∠=︒∴．DGE DHF ≌∴DGCHCFDE S S =正方形四边形∵，，DG BC ∥:1:3AD AB =∴．:1:3DG BC =设，则，，，，cm DG x =3cm BC x =2cm BH x =cm DH x =40cm BD =在中，，Rt DHB △222DH BH BD +=∴．222(2)40x x +=∴．2320x =∴．2320cm DGCH S =四边形∴．2320cm CFDE S =四边形∴四边形的面积为．CFDE 2320cm ②如图③，过点D 作，交于点G ．DG AB ⊥BC由（1）可知，．DE DF =DEA DFG ∠=∠∵，EDF ∠=90ADG ∠=︒∴．ADE GDF ∠=∠∴．()ASA ADE GDF △≌△【正确答案】图中阴影部分面积的最小值为【分析】设，DM EM a ==BN 有最大值，则图中阴影部分面积有最小值，当CMN S 【详解】解：设与的切点为MN BD∴，AD AE AB ==ADM ∠=∴，Rt Rt ADM AEM ≌△△Rt ∴，，=DM EM BN EN =设，DM EM a ==BN EN =∵，222MC NC MN +=则都是等腰直角三角形，CFM CFN 、△△在正方形中，ABCD AD CD ==∴，424FC =-∴，48322CMN S =-△【正确答案】（1）①；（【分析】（1）求出函数y（2）求出函数y x c =+（1）取，的中点D ，E ，在边上作；AB AC BC MN DE =（2）连接，分别过点D ，N 作，，垂足为G ，H ；EM DG EM ⊥NH EM ⊥（3）将四边形剪下，绕点D 旋转至四边形的位置，将四边形BDGM 180︒ADPQ E 旋转至四边形的位置；180︒AEST （4）延长，交于点F ．PQ ST[任务3]的方法画出示意图如图由【任务2】可得PQ BC ∥过点D 作，垂足为DR BC ⊥在中，Rt DCR sin DCB ∠=∴4sin 95DR CD DCB =⋅∠=⨯(12GEST ABCD S S ==⨯正方形梯形（3）方法迁移：ABCD用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：E小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得2设，则DG x =2AG =-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，52EH =-理由如下，连接，设正方形的边长为GE设，则DG x =4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，174EH =-设，则DG x =1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC EB =∴，211EH m =+-在中，Rt ,Rt AEG GHE(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形ABCD 4(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边ABCD AB 的度数；ACB ∠(3)如图2，在四边形中，，与ABCD AC BD =AD 请说明理由．∵四边形为“可旋四边形ABCD ∴，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠由方法1可知，不等式故；23x -<<（2）解：由题意知，故选：D ；（3）解：如图2，作函数由图像可得，的解集为260x x --<综上，的解集为260x x --<2-本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题∵四边形为平行四边形，若，ABCD ,AB a BC b ==∴，,,AB DC a AD BC AD BC b ====∥∵，，AE BC ⊥DF BC ⊥∴，AE DF =∴，()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△∴，BE CF =∴222222AC BD AE CE BF DF+=+++()()()22222AB BE BC BE BC CF DF =-+-+++222222222AB BE BC BC BE BE BC BC BE BE AE =-+-⋅+++⋅++22222AB BC BC BE AE =++++2222AB BC BC AB =+++()222AB BC =+；()222a b =+拓展提升：延长到点C ，使，BO OD BO =∵为的一条中线，BO ABC ∴，OA CO =∴四边形是平行四边形，ABCD ∵．,,AB a BC b AC c ===(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）A B d (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；B A d t (3)在整个往返过程中，若，求的值．18d =t 【正确答案】(1)由负到正(2)12234d t =-+(3)当或时，6t =18t =18d =【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；12d l l =-（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当AB n 121l l n ++=12d l l =-181t n =-+和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得4.5s t = 5.5s d 5t =0d =91d =滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；()()91115=6m/s -÷()2612l t =-12d l l =-（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，18d =010t ≤≤1227t ≤≤18d =进而即可求解．【详解】（1）∵，12d l l =-当滑块在点时，，，A 10l =2d l =-0<当滑块在点时，，，B 20l =1d l =0>∴的值由负到正．d 故由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，AB n ∵，121l l n ++=∴，211l n l =--∴()12111221291181d l l l n l l n t n t n =-=---=-+=⨯-+=-+∴是的一次函数，d t ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；4.5s t =5.5s d ∴当时，，5t =0d =∴，18510n ⨯-+=∴，91d =∴滑块从点到点所用的时间为，A B ()911910-÷=()s ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，27s B 2s ∴滑块从点到点的滑动时间为，B A 27102=--15s ∴滑块返回的速度为，()()91115=6m/s -÷∴当时，，1227t ≤≤()2612l t =-∴，()12911906121626l l t t =--=--=-∴，()12162661212234l l t t t -=---=-+∴与的函数表达式为；d t 12234d t =-+（3）当时，有两种情况，18d =由（2）可得，①当时，，010t ≤≤1891118t -+=解得：；6t =②当时，，1227t ≤≤1223418t -+=解得：，18t =综上所述，当或时，．6t =18t =18d =本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．91n =17、（2023·江苏连云港·中考真题试卷）【问题情境 建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设ABCD 4,AB M =CD AE BM ⊥E ，试用含的代数式表示．,BC x AE y ==x y【由数想形新知初探】y x（2）在上述表达式中，与是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图【数形结合深度探究】x（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：y增大；②函数值的取值范围是∽∽∽在图像上存在四点A B C__________．（写出所有正确结论的序号）（3）根据函数图象可得①函数值②由(1)可得函数值，故函数值的范围为y AB <③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点四边形，故④正确；或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻ABC A ADE V ADE V A l 折，得到，则与成自位似轴对称．AFG ABC AFG(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①ABC 90ACB ∠=︒AC BC <CD AB ⊥D 与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是ABC ACD BAC BCD △DAC △DCB △________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，ABC ADE V Q DE P 使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；P Q (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连ABC D BC E ABC ABE C ∠=∠BAE CAD ∠=∠接，求证：．DE DE AC ∥【正确答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；②与成自位似轴对称，对称轴为BAC BCD △ ③与不成自位似轴对称，DAC △DCB △故①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取AC AB AE '=（3）证明：延长交于点BE AC本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19、（2022·江苏南通·中考真题试卷）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于。