数学人教版九年级上册线段的最大值问题

线段最值问题的方法技巧模型介绍：几何最值中比较常见的是线段最值与线段和差最值，主要来源于两个公理，一是两点之间线段最短，二是垂线段最短，由这两个公理衍生出一些基本定理和基本图形.常用到的定理是：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.解题思路：利用平移、对称或旋转来变换线段和点的位置，使动点变定点，或找出动点的运动轨迹( 经常在某直线或某圆周上) ，使之符合基本定理或基本图形来求线段最值或线段和差最值.类型1 平移变换方法技巧基本型平移变换线段AB平移，注意线段AB不能发生旋转，与定点或动点(一般情况下在直线上移动)之间连线组成线段和差最值，利用平行四边形的对边平行且相等来变换线段的位置.例1、如图，已知直线b‖c，点A，B分别在直线b，c 上，且AB⊥b，C，D是平面内的两点，DE‖AB，CE‖b，若AB=2，DE=6，CE=3，求DA+AB+BC的最小值.练习题1、如图，OA 是⊙O的半径，OA=3，AD⊥OA，AD=7，B是⊙O上一动点，过点B作CB‖AD，且CB=1(点C 在点B 的上方)，连接DC，求DC的最小值和最大值.2、如图，直线b‖c，且两条平行线间的距离是2，C是直线b，c外一点，且点し均且线c的距离CG=4，点A，B分别在直线b，c上，且AB与直线b所夹的锐角是45°，E是直线c上一点，EG=8，且过点E的直线EF与直线c 所夹的锐角是30°，M是EF上一点，连接AM，求BC+AM 的最小值.类型2 对称变换方法技巧基本型对称变换一个点或多个点在同一条直线上移动或在不同直线上移动，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等来变换线段的位置.例1、如图，P是直线l上任意一点，A，B是直线l上方的两点，A，B两点到直线l 的距离分别是1，4即AM=1，BN=4，已知AB=5，求PA+PB的最小值.练习题1、如图，AB=4，P 为AB 的中点，顶点为P 且在AB 上方的两条射线PM，PN形成的夹，求CD的最大值. 角∠MPN=120°，C是PM 上一点，D是PN上一点，且AC=3，BD=432、如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2AB=6，E是DC上一点，G是BC上一点,CD=3CE，BC=2CG，M是BC上一动点，连接AM，N是AM的中点,连接ND，NF，求D N−FN 的最大值.3、问题提出（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝2，BN＝3，MN＝5，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．问题探究（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝3，BN＝4，MN＝7，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．问题解决（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，OM，ON是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与OM的距离为20m，与ON的距离为30m，岛B与OM的距离为40m，与ON的距离为20m．现计划在旅游大道OM处选一点P，修建桥梁PA，PB，通往A，B两岛，并修建桥梁AB，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）类型3旋转变换方法技巧基本型旋转变换通过旋转变换，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线) 转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间，线段最短”求最小值(化折为直).例1、问题提出：如图1，△ABC是边长为 1 的等边三角形，P 为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值.方法分析：通过旋转，可把所求问题中的PA，PB，PC 由分散变为集中，再利用“两点之间，线段最短”求最小值.问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至，△BP′A′，过点A′作A′E⊥CB交CB的延长线于点E，连接PP′，A′C，设A′C与AB相交于点D，易知BA′=BA=BC=1，∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=120°，由BP′=BP，∠P′BP=60°，知△P′BP为等边三角形，因此，PB=P′P，故PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC，当点A′，P′，P，C共线时，PA+PB+PC最小，最小值是，A′C的长，再在Rt△A'BE 和Rt△A′CE中解直角三角形，即可求出A′C的长.学以致用：(1)如图3，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=4，CA=3，P 为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值为;(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，则√2PA+PB+PC的最小值为 .练习题【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP'，可知△APP′为等边三角形，因此PA+PB+PC＝PP'+PB+P'C'，由两点之间，线段最短，可知PA+PB+PC的最小值即为点B，P，P′，C′共线时线段BC′的长．【类比探究】（2）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的最小值．【实际应用】（3）如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道PB，PC，PE，要求PE⊥AD．若AB＝4，BC＝6，请直接写出输水管道长度的最小值．。

二次函数专题训练类型一 与线段、周长有关的问题的导学案一、考点聚焦（一）与几何最值有关的知识点。

1.两点之间，线段最短；2. 在直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短；3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（二）求线段和的最小值，线段差的最大值二、玩转重庆四年中考（2016年B 卷26（2）题 ， 2015年A 卷26（2）题，）（2014年A 卷25题，2013年A 卷25（2）题，B 卷25（2）题 ）三、典例精讲例 1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A 、B (1，0)，与y 轴交于点C ，直线y ＝21x －2经过 点A 、C .抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l .(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)设点E 为x 轴上一点，且AE ＝CE ，求点E 的坐标；(3)设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD＋GB 的值最小，若存在，求出点G 的(4)在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；(5)在y轴上是否存在一点S，使得SD－SB的值最大，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HK＝d.①求d 关于h的函数关系式；②求d 的最大值及此时H点的坐标．四、针对演练与课后作业（1、2、3题必作题， 4题选作）1x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－1. 如图，抛物线y＝－44)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问是否存在这样的点E ，使DE ＝2DF ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. (2017原创)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(2016重庆南开阶段测试一)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 分别交x 轴于A (4，0)、B (－1，0)，交y 轴于点C (0，－3)，过点A 的直线y ＝－34x ＋3交抛物线于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)若点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在线段AC 上，且Q 点到x 轴的距离为95，连接PC 、PQ ，当△PCQ 周长最小时，求出点P 的坐标； (3)如图②，在(2)的结论下，连接PD ，在平面内是否存在△A 1P 1D 1，使△A 1P 1D 1≌△APD (点A 1、P 1、D 1的对应点分别是A 、P 、D ，A 1P 1平行于y轴，点P1在点A1上方)，且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m；若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．。

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π2．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 3．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．434+B ．43C ．438+D ．63 4．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）A ．17°B ．27°C ．32°D ．22°5．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3 ）A．32B．33C．3π26-D．3π36-6．已知△ABC的外心为O，连结BO，若∠OBA=18°，则∠C的度数为（）A．60°B．68°C．70°D．72°7．如图，ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC绕点B顺时针旋转到A B C'''的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A．254πB．134πC．132πD．136π8．已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为3，则能表示直线l与⊙O的位置关系的图是（）A．B．C．D．9．在下列命题中，正确的是( )A．弦是直径B．半圆是弧C．经过三点确定一个圆D．三角形的外心一定在三角形的外部10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒11．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．45°12．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．5二、填空题13．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l 经过点A ，作CE ⊥l 于点E ，连接BE.则当直线l 绕着点A 转动时，线段BE 长度的最大值是________．14．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．15．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是______．16．如图，点C ，D 是半圈O 的三等分点，直径43AB =．连结AC 交半径OD 于E ，则阴影部分的面积是_______．17．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．18．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．19．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．20．如图所示，在⊙O中，AB为弦，交AB于AB点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为_____.三、解答题21．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB＝12cm，求阴影部分面积．22．如图，AB是圆的直径，且AD//OC，求证：CD BC．23．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8，BC=12，求⊙O的半径．24．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．求证：AP=BP．25．如图，长方形ABCD的长是a，宽是b，分别以A、C为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L和面积S（结果中保留π）．⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．26．如图，在33（1）在图1中，圆过格点A，B，请作出圆心O；=，请作一个45圆周角．（2）在图2中，⊙O的两条弦AB CD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．B解析：B【分析】作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB ＋FE 的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E 的长即可．【详解】解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB ＝FB′，∴FB ＋FE ＝FB′＋FE ＝B′E ，此时FB ＋FE 的值最小，∵∠BAC ＝30°，∴∠B′AC ＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB ＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝32， ∴B′E ＝3AE ＝332， 即BF ＋EF 的最小值为332． 故选：B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．3．A解析：A【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，则DCM CAB ≅△△，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232+，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】解：以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB ==∠∠，∴DCM ACB =∠∠，∵DC=AC ，MC=BC ，∴DCM CAB ≅△△（SAS ），∴DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232，此时面积为：434故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D 的位置是解题的关键．4．D解析：D【分析】连接OB，利用圆周角定理求得∠AOB，再根据切线性质证得∠OBP=90°，利用直角三角形的两锐角互余即可求解．【详解】解：连接OB，∵∠ACB=34°，∴∠AOB=2∠ACB=68°，∵PB为O的切线，∴OB⊥PB，即∠OBP=90°,∴∠P=90°﹣∠AOB=22°，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．5．C解析：C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO−S扇形OBD计算即可．【详解】连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB＝3，∠A＝30°，∴OB＝ABtan30°=1，∴S阴＝S△ABO−S扇形OBD＝12×1×3−2601360π⋅＝3π26-．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．6．D解析：D【分析】连接OA，则OA=OB，可得∠OBA=∠OAB，再结合∠OBA=18°即可求得∠AOB=144°，再根据圆周角的性质即可求得∠C=72°．【详解】解：如图，连接OA，∵点O为ABC的外心，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，又∵∠OBA=18°，∴∠OAB=∠OBA=18°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=144°，∴∠C=12∠AOB=72°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，熟练掌握相关定义及性质是解决本题的关键．7．B解析：B【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得==由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积=2290n13= 3603604AB⨯=πππ．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形，难度一般．8．C解析：C【分析】因为⊙O的直径为6，所以圆的半径是3，圆心O到直线l的距离为3即d=3，所以d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切．【详解】解：∵⊙O的直径为6，∴r=3，∵圆心O到直线l的距离为3即d=3，∴d=r∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．9．B解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B、半圆是弧，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．10．D解析：D【分析】连接AC ，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC ，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．11．B解析：B【分析】设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．【详解】解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，在Rt △BEO 和△BFO 中，OE OF OB OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）∴∠1=∠2，同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，即∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=110°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．12．A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P 点的运动轨迹，找出DP 长的最小值时的位置是解题的关键．二、填空题13．【分析】以AC 为直径作圆O 连接BO 并延长交圆O 于点可得BO+O ＞B 从而可得BO+OE ＞B 即BE 为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE ⊥l 于点E ∴以AC 为直径作圆O ∵CE 解析：225+【分析】以AC 为直径作圆O ，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，可得BO+O E '＞B E '，从而可得BO+OE ＞B E '，即BE 为最大值，再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题．【详解】 解：由题意知，CE ⊥l 于点E ，∴以AC 为直径作圆O ，∵CE ⊥AE,∴点E 在圆O 上运动，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，如图，∴BO+O E '＞B E '，∵OE=O E '，∴BO+OE ＞B E '，∴BE 的长为最大值， ∵AO=OC=OE ，且AB=AC=4，∴122OE AC == 又∵∠BAC=90° ∴222224220BO AO AB =+=+=∴25BO =∴BE=252BO OE +=故答案为：225+【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE 的外接贺是解答本题的关键．14．【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴ 解析：()3,33 【分析】 如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒，∵多边形OABCDE 为正六边形，∴60OPA ∠=︒，∵PO PA =， ∴OPA 为等边三角形，又∵PG ⊥OA ，∴PG 平分OPA ∠，∴30OPG ∠=︒，又∵OA=6，∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =-=-=，∴P 的坐标是()3,33，故答案为：()3,33【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.15．﹣【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积从而可以解答本题【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2∴正六边形ABCDEF 的面积是：6××22＝∠FAB ＝∠EDC解析：63﹣83π 【分析】 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴正六边形ABCDEF 的面积是：6×34×22＝63，∠FAB ＝∠EDC ＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：63﹣2×21202360π⋅⋅＝63﹣83π， 故答案为：63﹣83π． 【点睛】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．【分析】连接OC 由点CD 是半圆O 的三等分点得到根据垂径定理得到OD ⊥AC ∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC ∵点CD 是半圆O 的三等分点∴∴OD解析：332π-【分析】连接OC ，由点C ，D 是半圆O 的三等分点，得到AD CD CB ==，根据垂径定理得到OD ⊥AC ，∠DOC=60°，求得OE=3，CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OC ，∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，∴AD CD CB ==，∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，∴∠OCE=30°，∵3AB =∴3∴CE=3，∴S阴影=S 扇形COD -S △OCE =2601236022ππ⋅⋅-⨯=-．故答案为：22π-． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 17．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】 根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可． 【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心， 1190906012022BOC A ， 故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 18．或4或8【分析】取CD 中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B 是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A 点P1点B 作圆与ADBC 各有一个交点即这样的P 点一共3个再运用勾解析：4或8．【分析】取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，由勾股定理可求AP 1＝BP 1＝△AP 1B 是等边三角形，可得∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：34或8． 故答案为：34或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C ＝180°∴∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣76°＝104°故答案为：104【点睛】本题考查的是解析：104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A +∠C ＝180°，∴∠C ＝180°﹣∠A＝180°﹣76°＝104°，故答案为：104．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20．【分析】作直径CE 连OAAEBE 利用垂经定理的AD=BD 在利用勾股定理计算出AD 则AB=2AD 当点P 与点E 重合时P 点到AB 的距离最大然后根据三角形面积公式求解即可【详解】延长CD 交⊙O 于点E 连接OA【分析】作直径CE ，连OA 、AE 、BE ，利用垂经定理的AD=BD ，在利用勾股定理计算出AD ，则AB=2AD ，当点P 与点E 重合时，P 点到AB 的距离最大，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】延长CD 交⊙O 于点E ，连接OA ，AE ，BE 如图，∵OA=OC=1，OD=CD ，∴OD=CD=12OC=12， ∵OC ⊥AB ，∴2=， AD=BD=12AB ，，∴sin ∠OAD=12OD OA =， ∴∠OAD=30º， ∴∠AOD =90º-∠OAD =60º，∵OA =OE ，∴∠OAE=∠OEA ，∵∠AOD=∠OAE+∠OEA ，∴∠OAE=∠OEA=30º，∵CE ⊥AB ，∴AE=BE ，∴∠OEB=∠OEA=30º，∴∠AEB=∠OEB+∠OEA=60º，∴△ABE 是等边三角形，∴DE=223 2AE AD-=，S△ABE=133 24AB DE=，∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大，∴S△ABP的最大值=334．故答案为：334．【点睛】本题考查三角形面积，掌握垂经定理，勾股定理，和引辅助线构造图形，找到当点P与点E重合时，P点到AB的距离最大，然后根据三角形面积公式求解是解题关键．三、解答题21．（1）30°；（2）6π﹣93【分析】（1）如图，连接OE，OF，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证得OE∥BC，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接OE，OF．∵CD切半圆O于点E，∴OE⊥CD，∵BD为等腰直角△BCD的斜边，∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，∴OE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠AOE ＝60°，∴∠ABG ＝∠ABC ﹣∠CBD ＝60°﹣45°＝15°∴弧AG 的度数＝2∠ABG ＝30°，∴量角器在点G 处的读数α＝弧AG 的度数＝30°；（2）∵AB ＝12cm ，∴OF ＝OB ＝6cm ，∠ABC ＝60°，∴△OBF 为正三角形，∠BOF ＝60°，∴S 扇形＝2606360π⋅⨯＝6π（cm 2），S △OBF ＝93， ∴S 阴影＝S 扇形﹣S △OBF ＝6π﹣93．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．22．证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．（1）作图见解析；（2）10．【分析】（1）分别做AB 、BC 的垂直平分线且交于O ，然后以O 为圆心、OA 为半径画圆即可； （2）如图：连接OB ，然后根据垂径定理求得BD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）如图所示∴⊙O 即为所求作的外接圆；（2）如图：连接OB∵已知△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离OD =8∵线段BC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴BD =CD =12BC=6， 在Rt △BOD 中，OB =2286+=10，∴⊙O 的半径长10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆的作法和垂径定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．24．见解析【分析】根据切线的性质得出OP ⊥AB ，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP ，∵大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，∴OP ⊥AB ，∵OP 过O ，∴AP=BP ．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．25．22L b a b π=+-；212S ab b π=-.【分析】由已知图知，阴影部分的周长是()12πb 22a b ⨯+-； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14圆的面积(半圆的面积)． 【详解】 阴影部分的周长()122222L b a b b a b ππ=⨯+-=+-； 阴影部分的面积221=1242S ab b ab b ππ=-⨯-. 【点睛】此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．26．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．【详解】（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，∴AN 、BM 是直径，∴直径交点O 就是圆心．（2）如图4，连接BC 、AD 、BD∵AB=CD ，∴AB CD =，∴ADB CBD ∠=∠，又∵AC CA =，∴ABC CDA ∠=∠，∴ABD CDB ∠=∠，又∵90BED ∠=︒，∴45ABD CDB ∠=∠=︒，故连接BD ，则45BDC ∠=︒．【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．。

压轴题05 二次函数中三种线段问题目录解题知识必备..............................................................Error! Bookmark not defined.压轴题型讲练 (2)题型一、线段的数量关系 (2)题型二、线段最值问题 (11)题型三、周长最值问题 (20)压轴能力测评（13题） (28)一、线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；二、线段最值问题此类问题通常有两类：①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；三、周长最值问题此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).题型一、线段的数量关系【例1】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图1，抛物线2144y x =-+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求 A ，B 两点的坐标和直线BC 的解析式；(2)D 是直线BC 上的点，过点D 作x 轴的平行线，交抛物线于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若3DM DN =，求点D 的横坐标．【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，交直线BC 于点M ，如果2PQ PM =，求点P 的坐标；(3)点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，如果以点,,,B C D E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ，与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·天津和平·期末）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()30A -,，()3,0B ．已知抛物线254y ax ax =-+（a 为常数，0a ¹），与y 轴相交于点C ，P 为顶点．(1)当抛物线过点A 时，求该抛物线的顶点P 的坐标；(2)若点P 在x 轴上方，当45POB Ð=°时，求a 的值；(3)在（1）的情况下，连接AC ，BC ，点E ，点F 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CE BF =，连接AE ，AF ，求AE AF +最小值，并求此时点E 和点F 的坐标．题型二、线段最值问题【例2】．（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图，抛物线()21y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0,−3)．(1)求抛物线的对称轴及k 的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M 作PM x ^轴交线段AC 于点P ，求出线段PM 长度的最大值．【变式1】．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为4，当32x =时，y 有最大值254：(1)求二次函数的表达式；(2)点P 在对称轴上，当PA PC +的值最小时，求点P 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax 2x c =++与y 轴交于点A (0,3)，与x 轴交于点()1,0B -和点C ，抛物线的顶点为P ．(1)求此抛物线的解析式和顶点P 的坐标；(2)若点D ，E 均在此抛物线上，其横坐标分别为m ，2m （0m >）．且D ，E 两点的纵坐标的差为8．①求m 的值；②将点C 向上平移2m 个单位得到点C ¢，将抛物线沿x 轴向右平移n 个单位得到新抛物线，点D 的对应点为点D ¢，点E 的对应点为点E ¢，顶点P 的对应点为点P ¢，在抛物线平移过程中，求C D C E +¢¢¢¢的最小值，并求出新抛物线的顶点P ¢的坐标．【变式3】．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A (−2,0)和点B (4,0)，与y 轴交于点()0,4C ，作直线BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，已知直线BC 上方抛物线上有一点P ，过点P 作PE y P 轴与BC 交于点E ，过点P 作PF x ∥轴与y 轴交于点F ，求PE PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y 轴交于点D ，已知点M 为新抛物线上的一点，且290ODB MDB Ð+Ð=°，请直接写出所有符合条件的点M 的横坐标．题型三、周长最值问题【例3】．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，抛物线过点O (0,0)，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）【变式1】．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于()3,0A -、B (4,0)两点，且OB OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点H 是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH 、CH 、AC ，求出当ACH V 的周长最小时点H 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)直线23y x =-与抛物线交于点C 、D ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PBD △的周长最小？如果存在，请求出点P 坐标；如不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x 轴于点()()3,0,1,0A B --，交y 轴于点C (0,−3)(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为P ，求ABP V 的面积(3)点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q ，使QBC △的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()1,0A -，B (4,0)，与y 轴交于点C ，P 为BC 上方抛物线上一动点，过P 作垂直于x 轴的直线l 交线段BC 于点F ．(1)求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；(2)在动直线l 移动的过程中，试求线段PF 长度的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使ABQ V 的面积等于ABC V 的面积，若存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点10,2A æö-ç÷èø，顶点坐标为13,24B æö--ç÷èø．(1)求b ，c 的值；(2)若C 是x 轴上一动点，求ABC V 周长的最小值；(3)m 是抛物线2y x bx c =++与x 轴的交点的横坐标，求5433610322024m m m m m ++++-的值．3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线2()30y ax bx a =++¹与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已的点A 的坐标是(1,0)-，抛物线的对称轴是直线1x =．(1)求抛物线的解析式，及点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；(3)当1n x n ££+时．最大值为154，直接写出n 的值．4.（23-24九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22=++与x轴交于y ax bx()6,0B两点．交y轴于点C．1,0A-，()(1)求抛物线的表达式；P轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE yEF EC=，求PE CF+的最大值及此时点P坐标；(3)将该抛物线沿射线BC个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得2Ð=Ð．写出所有符合条件的点M的横坐标．井写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．BCM OBC5．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++与直线AB交于点y x bx c()2,0B．A-，()0,2(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，求PC的最大值及此时点P的坐标；V的周长最小，求点N的坐标．(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使AMN6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线2y ax 2x c =++经过点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上，过点P 作PQ y ∥轴交AC 于点Q ，连接PA ，PC ，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求线段PQ 长度的最大值．7．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过()()3,0,0,3B C -两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE CE +的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使BPC V 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ¹经过点A (−4,0)、()2,0B ，交y 轴于点80,3C æö-ç÷èø．D 为抛物线在第三象限部分上的一点，作DE x ^轴于点E ，交线段AC 于点F ，连接AD ．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；(3)若线段AF 把ADE V 分成面积比为1:2的两部分，求此时点E 的坐标．9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A ，B 两点，交y 轴于点4(0)C ，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交x轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，点G 是新抛物线1y 的顶点，点M 为新抛物线1y 的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点C ，G ，M ，N 为顶点的四边形是以MG 为边的菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．10．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ^轴于点E ，交AC 于点D ，求PD AD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移4.5个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点N ，点Q 为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以QM 为腰的QMN V 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．11．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为()0,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)当点M 是抛物线对称轴l 上的一个动点时，求当MB MC +最小时，点M 的坐标；(3)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求ADC △面积的最大值．12．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点A (−2,0)和()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是OA 的中点，点N 是抛物线上一点，其横坐标为t ，试探究是否存在点N ，使45NMC Ð=°？若存在，求出t 的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由．13．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++过点(2,3)，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD x ^轴于点D ，交BC 于点E ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE 取得最大值时，将该抛物线沿射线AC P 的对应点为点N ，点Q 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H ，使得以点P ，N ，Q ，H 为顶点的四边形是菱形，且线段PN 是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H 的坐标．。

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°2．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15° 4．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒6．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 7．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 8．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．239．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能12．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定13．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90 得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）14．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．15．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．17．如图，O 是正方形ABCD 的中心，M 是ABCD 内一点，90DMC ∠=︒，将DMC 绕O 点旋转180°后得到BNA ．若3MD =，4CM =，则MN 的长为______．18．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．19．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．20．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．21．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．22．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．23．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.24．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．26．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形④9634AOC AOB S S +=+△△．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．28．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．29．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0 0)O ，，点(10 0)A ，，点(0 6)B ，．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ， F ．（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB △≌BCA ；②求出ABH 面积．30．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明．（1）如图1，AC 与BD 交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，求证：OA=OC ．（2）如图2，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．求证：BD ＝AE ．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图1或图2的基本图形来解决问题：如图3，把一块含45°的直角三角板ABC （即ABC ∆是等腰直角三角形，90C =∠，AC BC =）绕点A 逆时针旋转后成为ADE ∆，已知点B 、C 的对应点分别是点D 、E ．连结BD ，并作射线CE 交BD 于点F ，试探究在旋转过程中，DF 与BF 的大小关系如何，并证明．。

人教版九年级上册数学二次函数解答题练习1．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．抛物线22(2)3y x m x =-+-+与x 轴交于A ，B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求m 的值及顶点D 的坐标；(2)如图1，若点E 是抛物线上对称轴右侧一点，设点E 到直线AC 的距离为1d ，到抛物线的对称轴的距离为2d ,当122d d -=时，请求出点E 的坐标．(3)如图2，直线3y x b =-+交抛物线于点M ，N ，连接AM ，AN 分别交y 轴的正半轴和负半轴于点P ，Q ，试探究线段OP ，OQ 之间的数量关系．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）与直线y ＝kx +c （k ≠0）相交于A （﹣1，0）、B （1，﹣2）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若12PBC ABC S S =，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．5．如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．6．综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 ；(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE △x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．7．综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积； (3)在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图：已知关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图像与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3）．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；(3)有一个点M 在线段CB 上运动，作MN △x 轴交抛物线于点N ，问当M 、N 点位于何处时，△BCN 的面积最大，求最大面积.9．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点()1,0A -，()0,3C 两点，对称轴为直线1x =，对称轴与x 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的点，当45ACP ∠=︒时，求点P 的坐标；(3)点F 为二次函数图像上与点C 对称的点，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点F ，A ，M ，N 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =++与x 轴交于点()4.0A -，()2,0B x ，与y 轴交于点C ．经过点B 的直线y kx b =+与y 轴交于点()0,2D ，与抛物线交于点E ．(1)求抛物线的表达式及B ，C 两点的坐标；(2)若点P 为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)若点M 是直线BE 上的动点，过M 作MN y ∥轴交抛物线于点N ，判断是否存在点M ，使以点M ，N ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．14．如图，二次函数234y x x=-++与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A的坐标为（–1，0）．(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；(2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；(3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点D的坐标．15．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2-8x+6（a≠0）相交于A（4，6）和B（12，52），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PD△x轴于点E，交抛物线于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)当D为抛物线顶点的时候，求△ADC的面积；(3)是否存在这样的点P，使△ADC的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．17．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使23ABC ABD S S =△△？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与直线AC 交于点F ，直接写出BF 的长．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx -6与x 轴交于A （-6，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点 C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与轴x交于点E，连接AC．(1)求抛物线的解析式；(2)连接CE，在抛物线上存在点P，使得△PEC+△ACE=45︒，求出点P的坐标；(3)连接BC，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作BC的平行线l．在直线l上是否存在点H，使得以点Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．(1)求抛物线的解析式；=+只有一个交点，求m的值；(2)若抛物线与直线y x m(3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；(4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．20．如图，把两个全等的Rt AOB 和Rt COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上，已知点A (2，4)，抛物线2y ax bx c =++经过O ，A ，C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为OC 上方的抛物线上一动点，求点G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点（不与O ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，是否存在点P ，使线段AM 与BP 相等？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题一、单选题1．如图，O的直径12AB=，弦CD垂直平分半径OA，动点M从点C出发在优弧CBD 上运动到点D停止，在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动路径长为（）A．3πB．4πC．5πD．6π2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，45∠=︒，连接BC，M，N分别ACB为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3 B．4 C．2D．24．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°5．如图，O 的半径为13，弦AB 的长为24，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．56．如图，在Rt AOB 中，OA ＝OB ＝42，⊙O 的半径为2， 点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为（ ）A ．23B ．3C ．1D ．27．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A 3B 33C ．3D ．3328．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A ，B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为（ ）．A ．3B ．23C ．43D ．4二、填空题 9．如图所示，AB 是O 的直径，20AB =，30CAB ∠=︒，点D 为弧BC 的中点，点P 是直径AB 上的一个动点，PC PD +的最小值为__________．10．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆心角的度数是__________．11．如图，AB 是O 的弦，5AB =，点C 是O 上的一个动点，且45ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是______．12．如图，在扇形ABD 中，60BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠交弧BD 于点C ，点P 为半径AB 上一动点，若4AB =，则阴影部分周长的最小值为___________．13．在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．14．如图，在扇形AOB 中，45AOB ∠=︒，点C 是AB 的中点，点D ，E 分别为半径OA ，OB 上的动点．若2OB =，则CDE △周长的最小值为______．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．当⊙P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，则BP 的长为________．三、解答题16．如图，在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边DC ，CB 上移动（不与顶点重合），且满足DE CF =．连接AE 和DF ，交于点P ．（1）请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点P 的运动路径；②若10AD =，请求出线段CP 的最小值．17．如图，O为Rt ABC的外接圆，90,43,4∠=︒==，点D是O上的ACB BC AC、分别位于AB的两侧．动点，且点C D（1）求O的半径；∠的度数；（2）当42CD=时，求ACD（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．19．如图，在平行四边行ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，BC 边上的高AH ＝3，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的⊙C 与边AD 交于点E ，F （点E 在点F 的左侧）． （1）当⊙C 经过点A 时，求CP 的长；（2）连接AP ，当AP ∥CE 时，求⊙C 的半径及弦EF 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的一个动点，以CD 为直径的O 交AD 于点E ，过点C 作//CF AB ，交O 于点F ，连接CE 、EF ．（1）当45CFE ∠=︒时，求CD 的长；（2）求证：BAC CEF ∠=∠；（3）是否存在点D ，使得CFE 是以CF 为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．参考答案1．B解：如图，连接OC，设CD交AB于点E．∵CD垂直平分线段OA，∴CA=CO，∵OC=OA，∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAE=60°，当点M与C重合时，连接PE，OP，∵P A=PM，∴OP⊥AM，∴∠APO=90°，∵AE=EO，OA=3，∴EP=12∵PE=AE=3，∠P AE=60°，∴△P AE是等边三角形，∴∠AEP=60°；在点M整个运动过程中，如下图，∵点P 是AM 的中点，点E 是AO 的中点， ∴1122PE OM OA AE EO ====， ∴线段AM 的中点P 的运动轨迹是图中IOJ ，∵260120IEJ ∠=⨯︒=︒，∴IOJ 的圆心角360120240=︒-︒=︒，∴运动路径的长=24034180ππ•=． 故选：B ．2．D解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，过点O 作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，∵AC ＝12，BC ＝9，∴AB 22AC BC +22129+15，∵∠OPB ＝90°，∴OP ∥AC ，,OPB ACB ∴∽2,3OP OB AC AB ∴== ∵点O 是AB 的三等分点，∴21510,3OB =⨯=， ∴OP ＝8，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，,AOD ABC ∴∽ ∴13OD OA BC AB ==， ∴OD ＝3，∴MN 最小值为OP ﹣OF ＝8﹣3＝5，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值＝OB +OE ＝10+3＝13，∴MN 长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．故选：D ．3．C解：由题知A 、B 、C 三点共圆，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，12MN AC ∴=， ∴当AC 过圆心即AC 是直径时（如图所示），AC 取得最大值，此时MN 取的最大值， 45ACB =︒∠，90ABC ∠=︒∴此时ABC 是等腰直角三角形，BMN △是等腰直角三角形，132BM BN AB ∴===，MN ∴=故选C ．4．B解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝12 PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝12∠POT＝90°，故选：B．5．D解：过O作OM AB'⊥于M'，此时线段OM'的长最短，连接OA，OM '过点O ，OM AB '⊥， 11241222AM AB '∴==⨯=， 在Rt AMO △中，由勾股定理得：221691445OM OA AM ''=-=-=． 故选：D ．6．A解：连接OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，2∴2OA=8，∴OP=4OA OB AB•=， ∴2223OP OQ =-故选：A ．7．B解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32，∴B′E333即BF＋EF33故选：B．8．D∵过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，∴AC=PC，BD=PD，∴CD∥AB，且CD=12AB，∵AB=8，∴CD=12AB=4．故选择：D．9．102解：作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′．又∵点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为弧BC 的中点，即BD BD '=，∴∠BAD ′=12∠CAB =15°．∴∠CAD ′=45°．∴∠COD ′=90°．则△COD ′是等腰直角三角形．∵OC =OD ′=12AB =10，∴CD ′=2故答案为：10210．120︒解：作OD ⊥AB ，∵P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，∴OD=1，∵⊙O 的半径是2，∴12OD OA ， ∵OA=OB ，∴30OAB OBA ==︒∠∠，∴弦AB 所对的圆心角120AOB ∠=︒，故答案为：120︒ ．11．522 解：∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN =12BC ， ∵当BC 最大时，线段MN 长的最大，当BC 为⊙O 的直径时，BC 的长度最大，此时，∠A =90°，∠ACB =45°，∴直径BC =2AB =52，则线段MN 长的最大值为522， 故答案为：522． 12．2423π+ 解：如图，作点C 关于AB 的对称点C '，连接C D '交OB 于点P '，连接P C '、OC '，此时P C P D ''+最小，即=P C P D C D '''+，由题意得，30DAC CAB BAC '∠=∠=∠=︒，∴90DAC '∠=︒， ∴22224442C D OC OD ''=+=+=，CD 的长3042==1803l ππ⨯， ∴阴影部分周长的最小值为242+3π， 故答案为：242+3π． 13．52-如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==22112AO ∴=+=112ON OM AB ===,3BC = 221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=线段CD 长度的最小值为52-． 52-14．2解：如图，作点C 关于,OA OB 的对称点,M N ，连接,,,,DM EN OM OC ON ，则,,,,,DM CD OM OC AOM AOC EN CE ON OC BON BOC ==∠=∠==∠=∠， CDE ∴的周长为CD DE CE DM DE EN ++=++，由两点之间线段最短得：当点,,,M D E N 共线时，CDE △周长最小，最小值为MN ， ,AOM AOC BON BOC ∠=∠∠=∠，45AOC BOC AOB ∠+∠=∠=︒，2()90MON AOM AOC BON BOC AOC BOC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，由同圆半径相等得：2OC OB ==，2OM ON ∴==，在Rt MON 中，2222MN OM ON +=即CDE △周长的最小值为22 故答案为：2215．4当⊙P 与直线CD 相切时，设PC ＝PM ＝x ．则PB =9-x ，132BM AB == 在Rt △PBM 中，∵222PM BM PB =+，∴2223(9)x x =+-，∴x ＝5，∴PC ＝5，∴BP ＝BC ﹣PC ＝9﹣5＝4．故答案为：4．16．解：（1）AE DF =，AE DF ⊥，理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =，90ADE DCF ∠=∠=︒，∵DE CF =，在ADE 和DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF ≅△△，∴AE DF =，DAE FDC ∠=∠∵90ADE ∠=︒，∴90ADP FDC ∠+∠=︒，∴90ADP DAE ∠+∠=︒，∴1809090APD ∠=︒-︒=︒，∴AE DF ⊥；（2）如图，①∵点P 在运动中保持90APD ∠=︒，设正方形ABCD 的中心为O ， ∴得出点P 的运动路径是以AD 为直径的圆的圆弧DPO （去除端点D ，O ），②设AD 的中点（圆心）为G ，连接CG 交圆弧于点P ，此时线段CP 的长度最小． 在Rt CDG 中，222210555CG CD DG ++∴555=-=-CP CG GP即线段CP的最小值是555-．17．（1）4；（2）15°；（3）存在，232+解：（1）如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3∴AB2222++=8，4(43)AC BC∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊥AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊥OA，∴CJ22=-=23，AC AJ∵CM≤CJ+JM＝23+2，∴CM的最大值为23+2．18．【详解】（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴ OE ＝OM ，∵ OE 为⊙O 的半径，∴ OM 为⊙O 的半径，∴ AC 是⊙O 的切线．（2）解：∵OM ＝OE ＝OF ＝3．且F 是OA 的中点，∴ AO ＝6，在Rt ΔAEO 中，AE ＝33， ∴ AEO S ＝12OE AE ＝932． ∵ OE ⊥AB ，在Rt ΔAEO 中，∠OEA ＝90°，AO ＝6，AE ＝33，OE ＝3，∴ ∠EOF ＝60°，∴ OEF S 扇形＝260333602ππ⋅=， ∴ S 阴影AEO OEF S S =-扇形△93322π=-． （3）解：如图，作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG 交BC 于P ，∵ =PF PG ，∴ PE PF PE PG EG +=+=，此时EP +FP 最小，∵ OG =OF =OE ，∴ =G OEG ∠∠，而 =+=60AOE G OEG ︒∠∠∠，∴=30G︒∠，∴=G EAG∠∠，∴33EG EA==，即PE PF+最小值为33，在Rt OPG中，333OP OG==，在Rt ABO中，3362333OB OA==⨯=，∴=23-3=3BP，即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3．19．（1）CP＝5；（2）⊙C的半径为258，EF＝74．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝2222534AB AH-=-=，∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝225AH CH+=，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴P A＝CP，设P A＝CP＝x，则PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝P A2，即32+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝258， 即⊙C 的半径为258， 作CM ⊥EF 于M ，如图2所示：则CM ＝AH ＝3，ME ＝MF ＝12EF ，在Rt △CEM 中，由勾股定理得：ME ＝2222257()388CE CM -=-=， ∴EF ＝2ME ＝74．20．解：（1）∵45CDE CFE ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒∴45DAC CDA ∠=∠=︒∴6CD AC ==（2）∵//CF AB ，∴B FCB ∠=∠，∵FCB DEF ∠=∠，∴B DEF ∠=∠，①又90BAC B ∠+∠=︒②∵CD 是圆O 的直径，90CED ∠=︒，∴90DEF CEF ∠+∠=︒③由①②③可得BAC CEF ∠=∠（3）CFE 是CF 为底的等腰三角形，则EF CE =，则∠EFC =∠ECF ． 连接FD ，并延长和AB 相交于G ，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG=∠ECF，又∵∠CDE=∠CFE，∴∠ADG=∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵FC∥AB，∴∠FGA=90°，∴∠FGA=∠ACD，∵AD=AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG=CD，在Rt△BDG中，设CD=x，BG2+DG2=BD2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，即CD=3。