高考数学总复习 10-2 用样本估计总体但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 10-2 用样本估计总体但因为测试新人教B版1.(文)(2011·重庆文，4)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5[答案] C[解析] 在10个测出的数值中，有4个数据落在[114.5,124.5)内，它们是：120、122、116、120，故频率P＝410＝0.4，选C.(理)已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.25的范围是( )A．5.5～7.5 B．7.5～9.5C．9.5～11.5 D．11.5～13.5[答案] D[解析] 样本容量为20，频率若为0.25，则在此组的频数应为20×0.25＝5.列出频率分布表如下：可知选D.[点评] 解答此类问题，只要数出各小组的频数即可选出答案．2.(文)(2011·安庆模拟)如下图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A ．161cmB ．162cmC ．163cmD ．164cm[答案] B[解析] 由给定的茎叶图可知，这10位同学身高的中位数为161＋1632＝162(cm)．(理)(2011·福州市期末)如下图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1、a 2的大小不确定[答案] B[解析] 由于去掉一个最高分和一个最低分，则甲去掉70和(90＋m )乙去掉79和93，故a 1＝15(1＋5×3＋4)＋80＝84，a 2＝15(4×3＋6＋7)＋80＝85，∴a 2>a 1.3．(文)(2011·咸阳模拟)样本容量为100的频率分布直方图如下图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a ，则a 的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4[答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a ＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.(理)(2011·济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如下图，那么在这片树木中，底部周长小于110cm 的株数大约是( )A ．3000B ．6000C ．7000D ．8000[答案] C[解析] ∵底部周长小于110cm 的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7， ∴1万株中底部小于110cm 的株数为0.7×10000＝7000. [点评] 用样本的频率作为总体频率的估计值．4．(2011·安徽江南十校联考)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x －，则 s 2＝14[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x －)2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2)， ∴4x －2＝16，∴x －＝2，x －＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4，故选C.5．(文)(2011·东北三校联考)甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A.x 甲>x 乙B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定 C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定 D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 [答案] C[解析] 从茎叶图中可见甲的成绩在70～80段有3个，其余两段各1个，而乙的成绩在80～90段有2个，90以上有2个，故乙的平均成绩较好，∴x 甲<x 乙；甲的成绩散布在(72,92)内，乙的成绩在(78,91)内，且乙的成绩的分布较集中，∴乙比甲稳定，故选C.(理)(2011·广州调研)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )A.甲C ．丙 D ．丁[答案] C[解析] 由表可知，乙、丙的平均成绩最好，平均环数为8.9；但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选，故选C.6．(2011·海南五校联考)一个容量为10的样本数据，组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本数据的平均数和中位数分别是( )A ．13,13B ．13,12C ．12,13D ．13,14[答案] A[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1a 7＝a 23，所以(8－2d )(8＋4d )＝82，又d ≠0，∴d ＝2，易得这10个数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，计算得其平均数为13，中位数为12＋142＝13.7．(文)(2010·浙江文)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.[答案[解析] 由茎叶图知，甲、乙两组数据数均为9， 其中位数均为从小到大排列的中间那个数， 将甲、乙两组数据前后各去掉4个数即可得到．[点评] 找中位数前后去掉数时，前边从小到大，后边从大到小．(理)(2010·福建莆田市质检)在某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如下图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是________.[答案] 45[解析] 去掉最高分93分和最低分78分后，剩下数据的平均数为x －＝80＋15(4＋4＋6＋5＋6)＝85，故所剩数据的方差为s 2＝15[(84－85)2×2＋(86－85)2×2＋(85－85)2]＝45.8．(2011·北京西城区模拟)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如下图所示的频率分布直方图．则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有________名．[答案] 40[解析] 由题知，成绩大于等于80分且小于90分的学生所占的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名．采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如上图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为________．[答案] 60[解析] 由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为620，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为620×200＝60.10．(文)(2011·北京文，16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组(1)(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10. 所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354； 方差为s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P (C )＝416＝14.(理)(2011·徐州模拟)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm ，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．[解析] (1)频率分布表如下：(2)误差不超过0.03mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．[点评] (1)表中频率组距一栏只为画图方便而列上的，实际列频率分布表可以不要这一栏.[来源:]11.(文)(2011·山东临沂一模)某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如下图，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元[答案] C[解析] 由频率分布直方图可知，11时至12时的销售额占全部销售额的25，即销售额为25×25＝10万元．(理)(2011·兰州质检)如下图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50[答案] C[解析] 设第一小组的频率为x ，则依题意得，x ＋2x ＋3x ＋(0.0375＋0.0125)×5＝1，∴x ＝0.125，设抽取学生人数为n ，由第2小组的频数为10得，10n＝2×0.125，∴n ＝40.12．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4[19.5,23.5)9 [23.5,27.5) 18[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( )A.211B.13C.12D.23[答案] B[解析] 由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率约为22 66＝1 3.13．(2011·温州月考)某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是________．[答案] 600[解析] 1000×[(0.035＋0.015＋0.01)×10]＝600.14．(文)(2010·安徽文)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,9177,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． [解析] (1)①计算极差，最小值为45，最大值为103，极差为103－45＝58. ②决定组数和组距，取组距为10，组数为5810＝5.8，∴分成6组．③将第一组起点定为44.5，组距为10，分成6组，画频率分布表.(2)(3)该市一月中空气污染指数在0～50的概率为230，在51～100的概率为2630＝1315，在101～150的概率为230，处于优或良的概率为1415，该市的空气质量基本良好．(理)(2011·临沂质检)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参加植树活动，林业部门为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进行检测，现从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)．甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33；乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.(1)用茎叶图表示上述两组数据，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)分别将两组中高度高于各自平均数的树苗选出并合在一起组成一个新的样本，从这个新的样本中任取两株树苗，求这两株树苗分别来自甲、乙两组的概率．[解析] (1)茎叶图①甲批树苗比乙批树苗高度整齐；②甲批树苗的高度大多数集中在均值附近，乙批树苗的高度分布较为分散； ③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；④甲批树苗高度的中位数为27cm ，乙批树苗高度的中位数为28.5cm. (2)x －甲＝110[37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋33]＝27，x －乙＝110[10＋30＋47＋27＋46＋14＋26＋10＋44＋46]＝30.∴甲批树苗中高度高于平均数27的是： 37,31,29,32,33，共5株，乙批树苗中高度高于平均数30的是： 47,46,44,46共4株．新的样本中共有9株树苗，从中任取2株的基本事件有C 29＝36个，其中“一株来自甲批，一株来自乙批”为事件A ，包含的基本事件有5×4＝20个， ∴P (A )＝2036＝59.15．(文)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．[解析] (1)分数在[120,130)内的频率为： 1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. 频率组距＝0.310＝0.03，补全后的直方图如下：(2)平均分为： x －＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共15种．事件A 包含的基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种．∴P (A )＝915＝35.(理)(2011·西安八校联考)从某高校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况(单位：cm)并根据身高评定其发育标准如下表所示：(1)好的概率；(2)按身高分层抽样，现已抽取20人准备参加世博会志愿者活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记“这3名学生中身高低于170 cm 的人数”为ξ，求ξ的分布列及期望．[分析] (1)由样本容量为100可填①，由频率和为1，可填②.(2)利用分层抽样，由比例关系可求出对应人数，求出ξ可能取值的概率．[解析] (1)100－(5＋35＋30＋10)＝20，故①处填20,1－(0.050＋0.200＋0.300＋0.100)＝0.350(或35÷100＝0.35)，故②处填0.350.设该批新生中发育正常或较好的概率为P ，则根据频率分布表可知P ＝0.350＋0.300＝0.650.(2)用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“身高低于170 cm”的有5人，“身高不低于170 cm”的有15人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 315C 320＝91228，P (ξ＝1)＝C 215C 15C 320＝3576，P (ξ＝2)＝C 115C 25C 320＝538，P (ξ＝3)＝C 35C 320＝1114.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×228＋1×76＝2×38＋3×114＝4.1．(2010·龙岩质检)一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，甲种观察了9次、乙种观察了10次后，得到树苗高度数据的茎叶图如下图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是( )A.44 C ．50 D ．52[答案] D[解析] 甲的中位数为24，乙的中位数为28， ∴和为24＋28＝52.2．(2010·陕西文)如下图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x －A >x －B ，S A >S B B.x －A <x －B ，S A >S B C.x －A >x －B ，S A <S B D.x －A <x －B ，S A <S B[答案] B[解析] x A ＝16(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，x B ＝16(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝353≈11.67，S 2A ＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90S 2B ＝(15－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2＝3.47故x A <x B ，S A >S B .[点评] 作为选择题，这样计算量比较大，要花费较多时间，平时应注意训练观察分析能力，从图中可以看出，A 中数据都不大于B 中数据，故x －A <x －B ，排除A 、C ；又A 中数据比B 中数据波动的幅度要大，故S A >S B ，排除D ，选B.这样也许十秒左右就解决了，而计算至少也要六七分钟．3．(2010·广州联考)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生的数学成绩，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图如下图，已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．42D ．33[答案] D[解析] 该班学生成绩在(80,100)之间的学生人数为 60×5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝33.4．(2010·安徽合肥市质检)甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如下图所示.②甲同学的平均分比乙同学高 ③甲同学的平均分比乙同学低④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差 上面说法正确的是( ) A ．③④ B ．①②④ C ．②④ D ．①③[答案] A[解析] 甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B 、D ；甲的平均分x －＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x －′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故③真，∴选A.5．(2011·厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45[答案] A[解析] 产品净重小于10克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.6．(2010·山东济南市模拟)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm 到195cm 之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．(1)求下列频率分布表中所标字母的值.(2)高分别为x、y，求满足|x－y|≤5事件的概率．[解析] (1)由直方图可得前5组的频率是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，∵第8组与第1组的人数相同，∴第8组的频率是0.008×5＝0.04，频数为z＝0.04×50＝2，∴第6、7两组的频率为1－(0.82＋0.04)＝0.14，频数为0.14×50＝7人，∴x＋m＝7，∵x，m，z成等差数列，∴x＋z＝2m，∴m＝3，x＝4，从而y＝0.08，n＝0.06，p＝0.008，z＝2.(2)由(1)知，身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的人数为2人，设为A，B，若x，y∈[180,185)有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195]有AB有1种情况，若x∈[180,185)，y∈[190,195]时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB有8种情况．所以基本事件总数为6＋1＋8＝15种．所以，事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件为6＋1＝7种，∴P(|x－y|≤5)＝715.。