高考数学模拟复习试卷试题模拟卷092 3

高三数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分；共60分）1．非空集合A 、B 满足≠⊂B A ；U 是全集；则下列式子；①B B A = ；②A B A = ；③（A U） B＝U ；④（A U） （B U）＝U 中成立的是（ ）．A ．①；②B ．③；④C ．①；②；③D ．①；②；③；④2．已知OM ＝（3；-2）；ON ＝（-5；-1）；则21MN 等于（ ）． A ．（8；1） B ．（-8；1） C ．（-8；-1） D ．4(-；21）3．函数)3(log 1sinl x y -=的定义域是（ ）．A ．（2；3）B ．[2；)3C ．（2；]3D ．（2；＋∞） 4．如果数列}{n a 的前n 项和))(49(41*N ∈-=n S n nnn ；那么这个数列（ ）． A ．是等差数列而不是等比数列 B ．是等比数列而不是等差数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列又不是等比数列5．锐二面角βα--l 的棱l 上一点A ；射线α⊂AB ；且与棱成45°角；又AB 与β成30°角；则二面角βα--l 的大小是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．有6个人分别来自3个不同的国家；每一个国家2人。

他们排成一行；要求同一国家的人不能相邻；那么他们不同的排法有（ ）．A ．720B ．432C ．360D ．2407．直线经过点A （2；1）；B （1；2m ）两点)(R ∈m ；那么直线l 的倾斜角取值范围是（ ）．A ．[0；)πB ．[0；2π(]4π；)π C ．0[；]4π D ．4π[；2π()2π ；)π 8．下列函数中同时具有性质；（1）最小正周期是π；（2）图象关于3π=x 对称；（3）在6π[-；]3π上是增函数的是（ ）． A ．)6π2sin(+=x y B ．)3π2cos(+=x y C ．)6π2sin(-=x y D ．)6π2cos(-=x y 9．设双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点；右焦点为F ；且F A ⊥FB ；则双曲线的离心率为（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．332 10．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表那么分数在[100；110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（ ）．A ．0.18；0.47B ．0.47；0.18C ．0.18；1D ．0.38；1 11．已知)3π2sin(3)(+=x x f ；则以下选项正确的是（ ）． A ．f （3）＞f （1）＞f （2） B ．f （3）＞f （1）＞f （2） C ．f （3）＞f （2）＞f （1） D ．f （1）＞f （3）＞f （2） 12．下列各组复合命题中；满足“p 或q ”为真；“p 且q ”为假；“非p ”为真的是（ ）． A ．p ；0＝∅；q ；0∅∈B ．p ；过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a ；b 都相交；q ；在△ABC 中若B A 2cos 2cos =；则A ＝BC ．p ；不等式x x >||的解集为（-∞；0）；q ；y ＝x sin 在第一象限是增函数D ．p ；01cos 1sin >-；q ；椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4二、填空题（每小题4分；共16分） 13．已知一个球的半径为1；若使其表面积增加到原来的2倍；则表面积增加后球的体积是______________． 14．函数59323+--=x x x y 的单调递减区间是______________．15．已知α、β是实数；给出下列四个论断；（1）||||||βαβα+=+；（2）||||βαβα+≤-；（3）22||>α；22||>β；（4）5||>+βα．以其中的两个论断为条件；其余两个论断作为结论；写出你认为正确的一个命题；________．16．一天内的不同的时刻；经理把文件交由秘书打字。

〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A. B. C. D.4.（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1205.（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A.14B.13C.12D.106.（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A.计算数列{2n﹣1}的前10项和B.计算数列{2n﹣1}的前9项和C.计算数列{2n﹣1}的前10项和D.计算数列{2n﹣1}的前9项和7.（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A. B. C.5 D.108.（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.∀x∈R，f（x）≤f（x0）B.﹣x0是f（﹣x）的极小值点C.﹣x0是﹣f（x）的极小值点D.﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9.（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为D.数列{c n}为等比数列，公比为10.（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A.A=N*，B=NB.A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C.A={x|0＜x＜1}，B=RD.A=Z，B=Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.11.（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为.12.（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是.13.（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为.14.（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于.15.（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=.三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17.（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值.18.（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点.（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程.19.（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）20.（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象.（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21.（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标.22.（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上.（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.23.设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值.参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项.【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）.z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查.2.（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论.【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A.【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件.3.（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A. B. C. D.【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离.【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=.故选：C.【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键.4.（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求.【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8.由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人.故选：B.【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力.5.（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A.14B.13C.12D.10【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a ≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解.【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种.（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1.所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.6.（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A.计算数列{2n﹣1}的前10项和B.计算数列{2n﹣1}的前9项和C.计算数列{2n﹣1}的前10项和D.计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束.故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和.故选：A.【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律.7.（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A. B. C.5 D.10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可.【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5.故选：C.【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力.8.（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.∀x∈R，f（x）≤f（x0）B.﹣x0是f（﹣x）的极小值点C.﹣x0是﹣f（x）的极小值点D.﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点.【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确.故选：D.【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.9.（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为D.数列{c n}为等比数列，公比为【分析】①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项.【解答】解：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，又b n﹣b n=，不是常数，故选项A不正确，+1②∵等比数列{a n}的公比为q，∴，∴=，∴===，故C正确D不正确.综上可知：只有C正确.故选：C.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键.10.（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A.A=N*，B=NB.A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C.A={x|0＜x＜1}，B=RD.A=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数.排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案.【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D.故选：D.【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.11.（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解.【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==.故答案为：.【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.12.（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π.【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可.【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π.故答案为：12π.【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力.13.（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为.【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长.【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.14.（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于.【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而.设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可.【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°.又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴.设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得.∴该椭圆的离心率e=.故答案为.【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法.15.（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=.【分析】根据二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论.【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：.【点评】本题主要考查二项式定理的应用.是道好题，解决问题的关键在于对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了.三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率.（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）.根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案.【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为.（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大.【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键.17.（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值.【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），.（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a.又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0.从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值.综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.18.（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点.（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积之比为4：1，求直线l 的方程.【分析】（I ）由题意，求出过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），即可得到直线OB i 的方程为.联立方程，即可得到P i 满足的方程；（II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S △OCM =S △OCN ，可得|x 1|=4|x 2|.即x 1=﹣4x 2.联立即可得到k ，进而得到直线方程.【解答】（I ）证明：由题意，过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），∴直线OB i 的方程为. 设P i （x ，y ），由，解得，即x 2=10y. ∴点都在同一条抛物线上，抛物线E 的方程为x 2=10y. （II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10， 联立消去y 得到x 2﹣10kx ﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=10k ，x 1x 2=﹣100，∵S △OCM =4S △OCN ，∴|x 1|=4|x 2|.∴x 1=﹣4x 2. 联立，解得.∴直线l 的方程为.即为3x +2y ﹣20=0或3x ﹣2y +20=0.【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力.19.（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k）.【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1.（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）.∴，，.设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3.∴.设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1.（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力.20.（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象.（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x ＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解.通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）.问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况.通过其导数，列表分析即可求得答案.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x.将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx.（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解.设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x∈（，），∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意.（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）.现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况.令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况.h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，π）（π，）（，2π）h′（x）+0﹣﹣0+h（x）↗1↘↘﹣1↗当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，=3×671，∴依题意得n=671×2=1342.综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题.22.（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上.（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较.【解答】解：（Ⅰ）点A在直线l上，得，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1。

高考数学模拟题复习试卷高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种间接法：﹣﹣﹣+1=590故答案为：590．【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时Pn中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷文科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．已知集合A={x|x23x<0},B={y|y=},则A∩B（）A.(0,3)B.[1,3)C.(3,0)D.(3,1]2.若复数z满足z2=4，则复数z的实部为（）A．2B．1C．2D．03.已知命题p:“x<0”是“x+1<0”的充分不必要条件,命题q:“∃x0∈R,x0>0”的否定是“∀x∈R,x2x≤0”,则下列命题是真命题的是（）A.p∨(¬q)B.p∧qC.p∨qD.(¬p)∧(¬q)4. 已知圆C过点A(2,4),B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2yt=0与圆C相切,则t的值为（）A.6±2B.6±2C.2±6D.6±45.已知函数y=sinωx在[，]上是减函数，则ω的取值范围是（）A．[−，0)B．[3，0）C．(0，]D．（0，3]6. 设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107.若三角形ABC中，sinCsin（AB）=sin2（A+B），则此三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2B．3C．4D．69.如图，点A（2，m），B（n，2），均在双曲线y=（x＞0）上，过点A，B分别作AG⊥y轴，BH⊥x轴，垂足为G，H，下列说法错误的是（）A．AO=BO B．∠AOB可能等于30°C．△AOG与△BOH的面积相等D．△AOG≌△BOH10.已知平面区域D={（x，y）|}，Z=．若命题“∀（x，y）∈D，Z≥m”为真命题，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．11.设点M，N为圆x2+y2=9上两个动点，且|MN|=4，若点P为线段3x+4y+15=0（xy≥0）上一点，则|+|的最大值为（）A．4B．6C．8D．1212.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=（ax2+x）ex，若f（x）在[1，1]上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．[，0]B．（∞，0）∪[，+∞）C．[0，]D．（∞，]∪[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数y=的定义域为R，则k∈。

高考数学模拟题复习试卷高三第二次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:第1次联考内容＋三角函数与解三角形＋平面向量.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x|2x2－x－6＜0},N＝{x|0＜x≤4},则M∩N等于A.(0,2)B.(－,0)C.(－2,3)D.(－2,2)2.已知命题p:对∀x∈(0,＋∞),有3x＞2x;命题q:∃θ∈R,sinθ＋cosθ＝,则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)3.设a＝(,cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直,则cos2θ的值等于A.－B.0C.－D.－14.设函数f(x)＝的最小值为－1,则实数a的取值范围是A.[－,＋∞)B.(－∞,－]C.(－1,]D. [1,＋∞)5.若四边形ABCD满足:＋＝0,(＋)·＝0,则该四边形一定是A.矩形B.正方形C.菱形D.直角梯形6.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且atanB＝,bsinA＝4,则a等于A.3B.C.4D.57.已知非零向量a,b的夹角为60°,且满足|a－2b|＝2,则a·b的最大值为A. B.1C.2D.38.若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R,ω＞0),又f(α)＝－2,f(β)＝0,且|α－β|的最小值为,则函数g(x)＝f(x)－1在[－2π,0]上零点的个数为A.0B.1C.2D.39.已知△ABC各角的对应边分别为a,b,c,且满足＋≥ 1,则角A的取值范围是A.(0,]B.(0,]C.[,π)D.[,π)10.已知向量a,b的模均为2,且＜a,b≥.若向量c满足|c－(a＋b)|＝,则|c|的取值范围为A.[2－,2]B.[1－,1＋]C.[2,2＋]D.[2－,2＋]11.已知函数f(x)＝,函数g(x)＝asin(x)－2a＋2(a＞0),若存在x1∈[0,1],对任意x2∈[0,1]都有f(x1)＝g(x2)成立,则实数a的取值范围是A.(,1]B.[,1)C.[,1]D.[,2]12.已知函数f(x)＝aln(x＋1)－x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式＞1恒成立,则实数a的取值范围为A.(－12,15]B.(－∞,15]C.(12,30]D.[15,＋∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知sin2α＝cos(＋α),α∈(0,π),则sin2α＝▲.14.给出如下三个命题:①“x≥2”是“log2(x＋1)＞2”的充分不必要条件;②将函数y＝sin(2x－)的图象向左平移个单位可得到函数y＝sin2x的图象;③a,b为单位向量,其夹角为θ,若|a－b|＞1,则＜θ≤π.其中正确的命题是▲.(填序号)15.已知△ABC的三边a,b,c和其面积S满足S＝c2－(a－b)2,则tanC＝▲.16.圆心为O的圆内有一条弦BC,其长为2,动点A在圆上运动,且∠BAC＝45°,若∠ABC 为锐角,则·的取值范围是▲.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sinx·sin(＋x)－2sin2x＋1(x∈R).(1)若f()＝,x0∈(－,),求cos2x0的值;(2)在锐角△ABC中,三条边a,b,c对应的内角分别为A,B,C,若b＝2,C＝,且满足f(－)＝, 求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知向量m＝(sinωx,cosωx),n＝(cosωx,－cosωx)(ω＞0),函数f(x)＝m·n的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)设△ABC的三边a、b、c满足:b2＝ac,且边b所对的角为x,若关于x的方程f(x)＝k 有两个不同的实数解,求实数k的取值范围.19.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中,E是DC的中点,AE交BD于点M,||＝4,||＝2,,的夹角为.(1)若＝λ＋μ,求λ＋3μ的值;(2)当点P在平行四边形ABCD的边BC和CD上运动时,求·的取值范围.20.(本小题满分12分)在△OAC地段中,OB是连接△OBC与△OAB的一条道路,且OB＝(1＋)百米, 点B在AC 上,且∠AOB＝30°,∠BOC＝45°.设OA＝x(3≤x≤6)百米,OC＝y百米.(1)将y表示成x的函数;(2)当x取何值时,△AOC的面积最小?最小值是多少平方米?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(2x－)＋2sin(x－)cos(x－),x∈R.(1)若对任意x∈[－,],都有f(x)≥a成立,求a的取值范围;(2)若先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,然后再向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象,求函数y＝g(x)－在区间[－2π,4π]内的所有零点之和.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax,a∈R .(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)当a＝1时,函数g(x)＝－x在区间[t,＋∞)(t∈N*)上存在极值,求t的最大值.(参考数值: 自然对数的底数e≈2.71828)高三第二次联考·数学试卷参考答案1.AM＝{x|－＜x＜2},所以M∩N＝{x|0＜x＜2}.2.B由题意可知命题p:∀x∈(0,＋∞),有3x＞2x,为真命题;命题q:∃θ∈R,使得sinθ＋cosθ＝为假命题.故选B.3.C根据题意得－＋2cos2θ＝0,∴cos2θ＝,则cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.4.A当x≥时,4x－3≥－1,∴当x＜时,f(x)＝－x＋a≥－1,即－＋a≥－1,得a≥－.5.C∵＋＝0,∴AB∥DC且AB＝DC,即四边形ABCD是平行四边形,又∵(＋)·＝0,∴·＝0,即BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.6.D∵atanB＝,bsinA＝4,∴＝,即＝cosB＝,则tanB＝,∴a＝⇒a＝5.7.B∵a,b的夹角为60°,且|a－2b|＝2,∴a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－2|a||b|＝4≥4|a||b|－2|a||b|＝2|a||b|,即|a||b|≤2,∴a·b＝|a||b|≤1.8.B∵|α－β|的最小值为,∴＝,则T＝3π,又∵ω＞0,∴ω＝＝.令g(x)＝f(x)－1＝2sin(x＋)－1＝0,得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋(k∈Z),即x＝3kπ－或x＝3kπ＋(k∈Z).当且仅当k＝0时,有x＝－符合题意.9.A由已知得:b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b),即b2＋c2－a2≥bc,将不等式两边同除以2bc得≥,即cosA≥(0＜A＜π),所以0＜A≤.10.D如图所示,圆的半径为,|a＋b|＝2.当c与a＋b共线时,|c|分别取得最大值2＋与最小值2－,所以|c|的取值范围为[2－,2＋].11.C因为f(x)＝,所以当x1∈[0,1]时,f(x1)∈[0,1],因为x2∈[0,1],所以x2∈[0,],又a＞0,所以asin(x2)∈[0,a],所以g(x2)∈[2－2a,2－a],因为若存在x1∈[0,1],对任意x2∈[0,1]都有f(x1)＝g(x2)成立,所以解得a∈[,1].12.D由于＞1 表示点(p＋1,f(p＋1)) 与点(q＋1,f(q＋1))连线的斜率,因实数p,q在区间(0,1)内,故p＋1 和q＋1在区间(1,2)内.∵不等式＞1恒成立,∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,故函数的导数大于1在(1,2)内恒成立.由函数的定义域知x＞－1,∴f'(x)＝－2x＞1 在(1,2)内恒成立,即 a＞2x2＋3x＋1在(1,2)内恒成立.由于二次函数y＝2x2＋3x＋1在[1,2]上是单调增函数,故 x＝2时,y＝2x2＋3x＋1 在[1,2]上取最大值为15,∴a≥15.13.由已知得2sinαcosα＝sinα,即cosα＝,∵α∈(0,π),∴sinα＝,sin2α＝2××＝.14.②③由log2(x＋1)＞2得x＞3,则“x＞2”是“log2(x＋1)＞2”的必要不充分条件,故①错误;②正确;由|a－b|＞1,得cosθ＜,θ∈[0,π],所以＜θ≤π,③正确.15.S＝c2－(a2＋b2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝2ab(1－cosC)＝absinC,＝,∴＝,∴tan＝,tanC＝＝＝.16.(－2,2]因为BC＝2,∠A＝45°,所以2R＝⇒R＝,建立如图所示的直角坐标系,则B(－1,0),C(1,0),O(0,1),求得圆O:x2＋(y－1)2＝2.设A(x,y),则因为－1＜x≤,所以·＝2x∈(－2,2].17.解:(1)f(x)＝2sinx·cosx－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋).因为x0∈(－,),所以x0＋∈(0,).又因为f()＝sin(2·＋)＝sin(x0＋)＝,得sin(x0＋)＝.所以cos(x0＋)＝＝.所以cos2x0＝sin(2x0＋)＝sin[2(x0＋)]＝2sin(x0＋)cos(x0＋)＝2··＝.5分(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋),所以f(－)＝sin[2(－)＋]＝sinA＝,sinA＝,又因为△ABC为锐角三角形,所以A＝,又因为C＝,所以B＝,所以b＝c＝2,△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×2×sin＝1.10分18.解:(1)f(x)＝m·n＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＝sin2ωx－＝sin(2ωx－)－,∴T＝＝,ω＝2.5分(2)由余弦定理得cosx＝＝≥＝,∴0＜x≤,由 f(x)＝k得sin(4x－)＝k＋,由函数y＝sin(4x－)(0＜x≤)的图象知,方程sin(4x－)＝k＋有两个不同的实数解等价于－＜k＋＜1,所以－1＜k＜.12分19.解:(1)如图所示,易得△ABM与△EDM相似,且＝＝＝2,∴＝,又＝＋＝＋＝＋,∴＝(＋)＝＋,＝＋,＝－,代入＝λ＋μ,得＋＝λ(＋)＋μ(－)＝(λ＋μ)＋(λ－μ),∴,解得λ＝,μ＝,∴λ＋3μ＝＋3×＝1.6分(2)如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),E(3,).∴＝(4,0)＝,＝(1,)＝,＝(3,),①当点P位于边BC上时,设＝m(0≤m≤1).则＝＋＝＋m＝(4,0)＋m(1,)＝(4＋m,m),∴·＝(4＋m,m)·(3,)＝3(4＋m)＋3m＝6m＋12.∵0≤m≤1,∴12≤6m＋12≤18,∴·的取值范围[12,18].9分②当点P位于边CD上时,设＝n(0≤n≤1).则＝＋＝＋n＝(1,)＋n(4,0)＝(1＋4n,),∴·＝(1＋4n,)·(3,)＝3(1＋4n)＋3＝12n＋6.∵0≤n≤1,∴6≤12n＋6≤18,∴·的取值范围是[6,18].综上①②可知:·的取值范围是[6,18].12分20.解:(1)根据图形可知S△BOC＋S△BOA＝S△AOC,3分于是x(1＋)sin30°＋y(1＋)sin45°＝xysin75°,即x(1＋)＋y(1＋)＝xy,所以2x＋2y＝xy,解得y＝(3≤x≤6).6分(2)由(1)知y＝(3≤x≤6),因此S△AOC＝xysin75°＝·＝[(x－2)＋＋4]≥2＋2(当且仅当x －2＝,即x＝4时,等号成立).即当x＝400米时,△AOC的面积最小,最小值是(2＋2)×104平方米.12分21.解:(1)f(x)＝cos(2x－)＋2sin(x－)cos(x－)＝cos(2x－)＋sin(2x－)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－).3分若对任意x∈[－,],都有f(x)≥a成立,则只需fmin(x)≥a即可.∵－≤x≤,∴ －≤2x－≤,∴当2x－＝－,即x＝－时,f(x)有最小值－,故a≤－.6分(2)依题意可得g(x)＝sinx,由g(x)－＝0得sinx＝,由图可知,sinx＝在[－2π,4π]上有6个零点:x1,x2,x3,x4,x5,x6.根据对称性有＝－,＝,＝,从而所有零点和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝3π.12分22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),∵f(x)＝lnx＋x2＋ax,∴f'(x)＝＋2x＋a.∵函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴ f'(x)≥0, 即＋2x＋a≥0对x∈(0,＋∞)恒成立.∴ －a≤＋2x对x∈(0,＋∞)都成立.当x＞0时, ＋2x≥2＝2, 当且仅当＝2x, 即x＝时,取等号.∴－a≤2, 即a≥－2.∴a的取值范围为[－2,＋∞).6分(2)当a＝1时, g(x)＝－x＝－x＝.g'(x)＝.∵函数g(x)在[t,＋∞)(t∈N*)上存在极值,∴方程g'(x)＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解,即方程1＋－lnx＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解.令φ(x)＝1＋－lnx(x＞0), 则φ'(x)＝－－＜0,∴函数φ(x)在(0,＋∞)上单调递减.∵φ(3)＝－ln3＝ln＞0,φ(4)＝－ln4＝ln＜0,∴函数φ(x)的零点x0∈(3,4).∵方程φ(x)＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解,∴t≤3,∴t的最大值为3.12分高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

高考数学模拟试卷9参考答案及评分标准一、选择题：（1）C （2）C （3）C （4）D （5）C （6）A （7）B （8）C （9）A （10）D （11）B （12）B 二、填空题： （13）分层（14）x= —1或3x —4y+3=0 （15）⑤ （16）233 三、解答题（17）基本事件的种数为26c =15种 ……（2分）（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有1313c c ⋅=9种 ……（4分）∴这一事件的概率P 1=159=0.6 ……（5分）（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生∴所求事件的概率P 2=8.0151215923==+c ……（9分）（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生∴所求事件的概率P 3=8.0151215923==+c ……（12分）（18）（Ⅰ）⋅=cos23x cos 2x +sin 23x (—sin 2x )=cos(23x +2x )=cos2x …（3分）+=(cos 23x +cos 2x ,sin 23x—sin 2x ) ……（4分）+=x x x xx x x cos 2cos 42cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos222==+=-++ … （5分）∵x ∈[2π，23π] ,+=—2cosx ……（6分）（Ⅱ）f(x)＝⋅+=cos2x —(—2cosx)=cos2x+2cosx =2cos 2x+2cosx —1=23)21(cos 22-+x …… （10分） ∵x ∈[2π，23π] ,∴—1≤cosx ≤0 ∴当cosx=—21时，f(x)min =23- ……（12分）（19）（Ⅰ）由f(x)=ax 2+bx+c 知：f ′(x)=2ax+b ……（2分）由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧-===∴⎪⎩⎪⎨⎧=++==101101001c b a c b a c b a b c 或 ……（4分）∵a>0 ∴f(x)=x 2—1 ……（5分）（Ⅱ）x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2∴f(x 2) — f(x 1)=(x 22—1) —(x 12—1)=x 22—x 12∴|f(x 2) —f(x 1)|=|x 22—x 12|=|x 2+x 1|·|x 2—x 1| ……（7分） ∵x 1,x 2∈[0,1] , ∴0≤x 2+x 1≤2 ∴|x 2+x 1|·|x 2—x 1|≤2|x 2—x 1| 即 |f(x 2) — f(x 1)|≤2|x 2—x 1|成立。

绝密★启用前高考模拟试题（九）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i R a ai z ，∈-=(23为虚数单位)，若i z 23212-=，则=a ()A.1B.2C.21D.232.若61)4tan(=-πθ，则=θtan ()A.1B.75-C.65-D.573.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =在],0[π的图象大致为()BA CD4.已知平面向量a )1,2(=，b ),2(x =，且(a +2b )⊥(a —b )，则=x ()A.21-B.21 C.—1 D.15.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.18B.21C.318+ D.321+6.设集合}1)2()(|),{(}1)4(|),{(2222=+-+-==+-=at y t x y x B y x y x A ，，如果命题“ØB A R t ≠∈∃ ，”是真命题，则实数a 的取值范围为()A.34,(-∞ B.]34,0[ C.)2,34[ D.),2(+∞7.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率为()A.51 B.41 C.32D.528.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列}{n a 满足：11=a ，12=a ，21--+=n n n a a a (3≥n ，*N n ∈)，记其前n 项和为n S ，设t a =2018(t 为常数)，则=-+2015201720182S S S ()A.2tB.tC.t2 D.t39.作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+341043y x y x ，，表示的平面区域，过该区域上任意一点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ，，则PAB ∠cos 的最大值为()A.23 B.32 C.31 D.2110.已知函数)(x f '是函数)(x f 的导函数，ef 1)1(=（e 是自然对数的底数），对任意实数x ，都有0)()(>'-x f x f ，则不等式2)(-<x e x f 的解集为()A.),(e -∞ B.),1(+∞ C.),1(e D.),(+∞e 11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A 、是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则ABMN 的最大值是()A.3B.23 C.33 D.4312.体积为3的三棱锥ABC P -的顶点都在球的球O 面上，⊥PA 平面ABC ，。

2009年高考模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答•漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1参考公式：锥体的体积公式V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P={x|x c1},集合Q=«x| 丄c0?,则P“Q =A. "Xx c O〉B. <xx>l}C. {xx c O或x > "D.空集©2 —ai2. 若复数（a・R）是纯虚数（i是虚数单位），则a =（）1+i c 1 1A. -2B.C. 一D. 22223. 若函数f （x）二sin 2x（x・ R）是（）A .最小正周期为的偶函数B .最小正周期为的奇函数2 2C.最小正周期为■:的偶函数 D .最小正周期为■:的奇函数4 .某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A. 24B. 18C. 16D. 125 •在边长为1的等边二ABC 中，设BC 二a , CA 二b ，则a b 二（）■ 0A. 1B. 2C. 3D. 4C. 命题“若m • 0，则方程x 2 x 「m 二0有实根”的逆否命题为“若方程x 2 • x 「m = 0无 实根，则m 乞0D. “ x -1 ”是“ x 2 -3x • 2 = 0 ”的充分不必要条件2&函数f （x ）=mx -x -1在（0,1）内恰有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.2]C.[2, ：：）D. （2,：：）9 .设有直线m 、n 和平面〉、：•下列四个命题中，正确的是 （）A.若 m 「,n // ：•，则 m II nB.若 m 二卅，n 二圧,m // :,n // :，则〉// :C.若：•— ：，m 二圧,则 m 」■；'D.若：■ _ :, m 」, m-:，则 m // ：■10 .对于函数f （x ）二e x 定义域中任意捲公2（捲=X2）有如下结论:上述结论中正确的结论个数是（ A 1 1.3.B.-C.D2 226. 已知几何体的三视图女口图 1所示， 它的表面积是（ ）A. 4.2B. 2..2C.3 、2D.67. 卜列命题错误的是（）A .命题“若xy 二0 , 则x, y 中至少 有一个为零” 的否定是： “若xy = 0，则x, y 都不为零”— 2；则—p :- x R ，均有 x • x T _ 0① f （x 「X 2）= f （xj f （X 2） ② f （捲 X 2） = f （xj f （X 2） f （X 1）- f（X 2）④ X 1 x 2f（X 1）f （X 2）2 2E.对于命题 p : T x • R ，使得X x ^：： 0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分•其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合}0|{}0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S ，，则S ∩T =A. [2,3]B. ),3[]2,(+∞-∞C. ),3[+∞D. ),3[]2,0(+∞2. =-+=1i 4i 21z z z ，则若 A. 1 B. 1 C. i D. i3. 已知向量)21,23()23,21(==BC BA ，，则∠ABC = A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. =+=ααα2sin 2cos 43tan 2，则若 A. 2564 B. 2548 C. 1 D. 2516 6. 已知3152342542===c b a ，，，则A. b < a < cB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b7. 执行右面的程序框图，如果输入的a = 4，b = 6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 68. 在△ABC 中，4π=B ，BC 边上的高等于31BC ，则sinA = A. 103B. 1010 C.55D. 10103 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 53618+B. 51854+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB = 6，BC = 8，AA1 = 3，则V 的最大值是A. π4B. 29π C. π6 D. 332π 11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：)1(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点。

2023年高考数学模拟试题(九)参考答案 一㊁选择题1.A 2.D3.A 提示:由于双曲线的焦点在y 轴上,所以选项B ,D 不满足题意;选项A 中双曲线的渐近线为y =ʃx ,两渐近线的斜率乘积为-1,故两渐近线互相垂直,所以选项A满足题意;选项C 中双曲线的渐近线为y =ʃ3x ,两渐近线的斜率乘积不为-1,故两渐近线不互相垂直,所以选项C 不满足题意㊂4.D 提示:在空间中,同垂直于一条直线的两条直线的位置关系是平行㊁异面或相交,故A 错误;同样,在空间中,平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行㊁异面或相交,故B 错误;如果一条直线与平面的垂线垂直,则该直线与平面是平行或直线在平面内,故C 错误;在空间中,同垂直一条直线的两个平面是平行的,故D 正确㊂5.B 提示:由雷达图易知刀片电池的安全性更高,价格优势更突出,故A 错误;三元锂电池的循环寿命较短㊁价格偏高㊁安全性偏低,故B 正确;对于这7项指标,刀片电池的平均得分为(4+4+5+4+5+5+4)ː7=317,三元锂电池的平均得分为(5+5+3+5+3+4+5)ː7=307,故C 错误;磷酸铁锂电池能量密度低㊁低温性能差,故D 错误㊂6.C 提示:因为f x是R 上周期为3的偶函数,且当0<x ɤ32时,f x =l o g 4x ,所以f-132 =f 132 =f 6+12=f 12=l o g 412=l o g 44-12=-12㊂7.A 提示:由圆C :x 2+y 2=1,知圆C 的圆心坐标为(0,0),半径R =1㊂①若b =1,则直线l :y =x +1,即x -y +1=0,所以圆心到直线l 的距离d =|0-0+1|12+(-1)2=22,由圆的弦长公式得|A B |=2R 2-d 2=2,所以|C A |2+|C B |2=|A B |2,故øA C B =π2,从而弦A B 所对的圆心角为π2;②若弦A B 所对圆心角为π2,结合圆的性质可知,әA C B 为等腰直角三角形,易得圆心C 到直线l 的距离d =22,又因为d =|0-0+b |12+(-1)2=22|b |,故b =ʃ1㊂从而b =1 是 弦A B所对的圆心角为π2的充分不必要条件㊂图18.C 提示:该几何体的直观图如图1所示,取A C 的中点为H ,易得әA B C 为等腰直角三角形,所以P H ʅ平面A B C ,所以三棱锥的外接球的球心O 在P H 上㊂设外接球的半径为R ,在әO A H 中,有R 2=(4-R )2+(23)2,解得R =72,所以该几何体的外接球的表面积为49π㊂9.B 提示:设从今年起第n 年绿洲面积为a n ,上一年绿洲面积a n -1,n ȡ2,n ɪN *,因为a n =a n -1+(1-a n -1)ˑ425-a n -1ˑ125=45a n -1+425,所以a n -45=45a n -1-45,又a 1=310,则a 1-45=-12,所以a n-45 是以-12为首项,45为公比的等比数列,所以a n -45=-1245n -1,即a n =-1245n -1+45,则a n =-1245n -1+45>35,所以45n -1<25,两边取常用对数得(n -1)l g 45=l g 25,所以n -1>l g25l g45=2l g 2-13l g 2-1=参考答案与提示高考数学 2023年7-8月2ˑ0.301-13ˑ0.301-1ʈ4.1,则n >5.1㊂故至少经过6年,绿洲面积可超过60%㊂10.C 提示:f (x )=(s i n x +c o s x )㊃(s i n x -c o s x )=-(c o s 2x -s i n 2x )=-c o s 2x ,故周期T =2π2=π,A 选项错误;注意到f -π4 =f π4 =0,故f (x )在区间-π4,π4 上不单调,B 选项错误;注意到fx m a x=1,由|f (x 1)|+|f (x 2)|=2得|f (x 1)|=|f (x 2)|=1,即c o s 2x 1=c o s 2x 2=1,解得x 1=k 1π2,x 2=k 2π2,k 1,k 2ɪZ ,则x 1+x 2=(k 1+k 2)π2,即x 1+x 2=k π2,k ɪZ ,C 选项正确;令2x =k π,k ɪZ ,即f (x )的对称轴为x =k π2,k ɪZ ,D 选项错误㊂11.C 提示:易得抛物线C :y 2=4x ,点A ,B 位于x 轴的两侧,且在抛物线C 上,不妨设A y 214,y 1,B y 224,y 2,y 1>0,y 2<0,由题知O A ң㊃O B ң=(y 1y 2)216+y 1y 2=5,解得图2y 1y 2=-20,或y 1y 2=4(舍去)㊂如图2,记l 为抛物线的准线,交x 轴于点D ,过A ,B作l 的垂线,垂足分别为M ,N ㊂由抛物线定义可知A M =y 214+1,B N =y 224+1,O D =1,则S 1=S 梯形A MN B -S 梯形A M D O -S 梯形B N D O =12㊃y 214+y 224+2 (y 1-y 2)-y 214+2 y 1+y 224+2 y 2=y 1y 2(y 2-y 1)8=52(y 1-y 2)㊂又S 2=12ˑ1ˑy 1=12y 1,所以14S 1+34S 2=58(y 1-y 2)+38y 1=y 1-58y 2㊂又y 1y 2=-20,所以14S 1+34S 2=y 1+252y 1ȡ2252=52,当且仅当y 1=252y 1,即y 1=522时,等号成立㊂12.D 提示:不等式x me x+xɤe m x+m x mx -l n x恒成立⇔e x+x ɤem xxm +m x -l n x=e m x -l n x+m x -l n x㊂令fx =e x+x ,则原不等式等价于f x ɤfm x -l n x 恒成立㊂因为f x =e x+x 在(0,+ɕ)上单调递增,所以x ɤm ㊃(x-l n x )㊂令g x =x -l n x ,则g 'x =1-1x =x -1x,可得当x =1时,函数g (x )取得极小值,即最小值,所以g x ȡg 1 =1>0,所以x ɤm x -l n x⇔m ȡxx -l n x㊂令h x=xx -l n x,x ɪ0,+ɕ ,则h '(x )=1-l n xx -l n x 2㊂当x ɪ0,e 时,h '(x )>0,h x 在0,e 上单调递增;当x ɪe ,+ɕ 时,h 'x <0,h x 在e ,+ɕ 上单调递减㊂所以h x m a x =h e =ee -1㊂所以实数m 的取值范围为ee -1,+ɕ㊂二、填空题13.72 提示:由x +y =2,x -3y =0,解得图3x =32,y =12,画出可行域,如图3所示,由图可知,平移基准直线2x +y =0到点32,12时,2x +y 取得最大值为2ˑ32+12=72㊂14.5 提示:因为a ʅb ,所以a ㊃b =0,所以|a +b |=a 2+b 2+2a ㊃b =5㊂15.①②③ 提示:对于①,由正六边形 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月的性质知向量CD ң与A B ң的夹角为2π3,则向量C D ң在A B ң上的投影为C D ңco s 2π3=-1,①正确;对于②,若λ=12,则G 为A B 图4的中点,如图4,则E G ң=E Fң+F A ң+A G ң=E B ң+B F ң-A F ң+12A B ң=2F A ң+A F ң-A B ң-A F ң+12A B ң=-12A B ң-2A F ң,②正确;对于③,以A 为坐标原点,图5A B ң,A E ң的正方向为x 轴,y轴,建立如图5所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),设P (m ,n )(-1ɤm ɤ3),所以A P ң=(m ,n ),A B ң=(2,0),故A P ң㊃A B ң=2m ɪ[-2,6],③正确;对于④,由题意知E (0,23),C (3,3),A B ң=(2,0),设G (t ,0)(0ɤt ɤ2),所以C E ң=(-3,3),C G ң=(t -3,-3),所C G ң㊃C E ң=-3(t -3)-3=1,解得t =53,所以A G ң=53,0,所以A G ң=56A B ң,即λ=56,④错误㊂16.182+18 提示:连接O B ㊂由题意知A B =B C =6,øA B O =øC B O =π-π4-α=3π4-α㊂在әO B A 中,由正弦定理O B s i n α=A Bs i n øA O B,得O B =62s i n α㊂于是S =2ˑ12ˑO B ˑB A ˑs i n 3π4-α=362s i n αs i n3π4-α=362s i n α㊃22c o s α+22s i n α=36s i n αc o s α+36s i n 2α=18s i n 2α+181-c o s 2α=182㊃s i n 2α-π4+18㊂因为0<α<π2,所以当2α-π4=π2,即α=3π8时,S 取得最大值,最大值为182+18㊂三、解答题17.(1)当n ȡ2,n ɪN *时,S 2n =a nS n -a n ,所以S 2n =S n -S n -1 S n -S n -S n -1 ,整理得S n S n -1=S n -1-S n ,即1S n -1S n -1=1,所以数列1S n是以1S 1=1a 1=2为首项,1为公差的等差数列,所以1S n=n +1,即S n =1n +1,n ɪN *㊂(2)由(1)知,2nS n=(n +1)㊃2n㊂所以T n =2㊃2+3㊃22+ +n ㊃2n -1+(n +1)㊃2n ,2T n =2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n+(n +1)㊃2n +1,所以-T n =T n -2T n =4+(22+23+ +2n )-(n +1)㊃2n +1=-n ㊃2n +1,所以T n =n ㊃2n +1㊂因为λT n ɤn 2+9㊃2n ,所以λn ㊃2n +1ɤn 2+9㊃2n,即λɤn 2+9 2n =n 2+92n,因为n 2+92n ȡ2n 2㊃92n=3,当且仅当n =3时,等号成立,所以λɤ3㊂18.(1)连接A C 1与A 1C 交于点O ,连接O E ,由O ,E 分别为A C 1,A B 的中点,所以O E ʊB C 1㊂又O E ⊂平面A 1C E ,B C 1⊄平面A 1C E ,所以B C 1ʊ平面A 1C E ㊂图6(2)由条件可知A C ʅC B ,又A A 1ʅ底面A B C ,故C C 1ʅ底面A B C ,建立如图6所示的空间直角坐标系C -x yz ,则A 1(2,0,22),C (0,0,0),C 1(0,0,22),E (1,1,0),B (0,2,0),B 1(0,2,22),所以C E ң=(1,1,0),C A 1ң=(2,0,22)㊂设平面A 1C E 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则C E ң㊃m =x +y =0,C A 1ң㊃m =2x +22z =0,令x =1,得y =-1,z =-22,则m =1,-1,-22㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月因为C C 1ʅ底面A B C ,所以C C 1ң=(0,0,22)为平面C E A 的一个法向量,所以c o s <C C 1ң,m >=C C 1ң㊃m |C C 1ң||m |=-55㊂由图可知,二面角A 1 C E A 为锐角,所以二面角A 1 C E A 的余弦值为55㊂19.(1)已知表格中的数据,有182.4>79.2,所以182.4ð7i =1y i -y 2>79.2ð7i =1y i -y 2,所以1-182.4ð7t =1y i-y2<1-79.2ð7t =1y i-y2㊂可见模型①的相关指数R 21小于模型②的相关指数R 22㊂所以回归模型②的拟合效果更好㊂(2)由(1)知,回归模型②的拟合效果更好,其回归方程为^y =21.3x -14.4,所以当x =17(亿元)时,科技升级直接收益的预测值为^y =21.3ˑ17-14.4ʈ21.3ˑ4.1-14.4=72.93(亿元)㊂当x >17时,由已知得x =15(21+22+23+24+25)=23,y =15(68.5+68+67.5+66+66)=67.2,所以a =y +0.7x =67.2+0.7ˑ23=83.3㊂所以当x >17时,y 与x 满足的线性回归方程为^y =-0.7x +83.3㊂当x =20时,科技升级直接收益的预测值为^y =-0.7ˑ20+83.3=69.3(亿元)㊂当x =20(亿元)时,实际收益的预测值为69.3+5=74.3(亿元)>72.93(亿元),所以技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大㊂20.(1)依题意得2a =23,3+1=a +c ,a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2,c =1,所以椭圆C 的方程为x 23+y22=1㊂(2)直线A B 过定点3,0㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2㊂由题意知y 1㊃y 2>0,由对称性可知,若动直线A B 经过一个定点,则该定点在x 轴上,因为øO F 2A 与øO F 2B 互补,所以øO F 2A +øO F 2B =π,所以点B 关于x 轴的对称点B 1(x 2,-y 2)在直线A F 2上㊂设直线A F 2的方程为y =k x -1,则直线B F 2的方程为y =-k x -1㊂联立y =k x -1 ,2x 2+3y 2-6=0,消去y 整理得2+3k 2x 2-6k 2x +3k 2-6=0,又因为A (x 1,y 1),B 1x 2,-y 2,所以x 1+x 2=6k 22+3k 2,x 1x 2=3k 2-62+3k2㊂因为k A B =y 2-y 1x 2-x 1,所以直线A B 的方程为y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1x -x 1,令y =0,得x =x 2-x 1y 2-y 1-y 1+x 1=x 1y 2-x 2y 1y 2-y 1㊂因为y 2=-k x 2-1 ,y 1=kx 1-1 ,所以x =-x 1k x 2-1 -x 2k x 1-1y 2-y 1=-k 2x 1x 2-x 1-x 2 -k x 1+x 2-2 =2x 1x 2-x 1-x 2x 1+x 2-2=2㊃3k 2-62+3k 2-6k22+3k26k22+3k2-2=3㊂所以直线A B 过定点3,0㊂21.(1)当a =1时,f (x )=e x -l n (x +1),函数f (x )的定义域为(-1,+ɕ),f'(x )=e x -1x +1=x +1 e x-1x +1㊂令g x =x +1 e x-1x >-1,则g'x =e xx +2 >0在-1,+ɕ 上恒成立,故函数g x 在-1,+ɕ 上单调递增㊂因为g 0 =0,所以当x ɪ-1,0时,g (x )<0,即f 'x <0,函数f x 单调递减;当x ɪ(0,+ɕ)时,g (x )>0,即f '(x )>0,函数f (x )单调递增㊂所以函数f x的单调递增区间为0,+ɕ ,单调递减区间为-1,0㊂ 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月(2)不等式f x ȡc o s a -1恒成立,即φx =a e x-l n x +1 -c o s a -1 ȡ0在-1,+ɕ 上恒成立㊂当x =0时,φ0=a -c o s a -1 ,令h a =a -c o s a -1 ,a ɪR ,则h 'a =1+s i n a -1 ȡ0,所以h a 在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,又h 1 =1-c o s 1-1 =0,则a ȡ1时,有h a ȡh 1 =0,所以当a ȡ1时,φ0 =a -c o s a -1 ȡ0恒成立㊂当a =1时,φx =e x-l n x +1 -1,由(1)知e x -l n x +1-1ȡe 0-l n0+1 -1=0恒成立,(当且仅当x =0时取等号)㊂因为φ'x =a e x-1x +1,令k x=a e x-1x +1,x ɪ-1,+ɕ ,则当a >1时,k '(x )=a e x+1x +12>0,所以k x ,即φ'(x )在-1,+ɕ 上单调递增,且φ'1a-1=a e 1a-1-a <a -a =0,φ'0 =a -1>0,所以∃x 0ɪ-1,0,使得φ'x 0 =0,即a e x-1x 0+1=0,即x 0+l n a =-l n (x 0+1)㊂所以当x ɪ(-1,x 0)时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减;当x ɪ(x 0,+ɕ)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增㊂所以φx ȡφx 0 =a e x-l n (x 0+1)-c o s (a -1)=1x 0+1+x 0+l n a -c o s a -1=1x 0+1+1+x 0+l n a -c o s (a -1)-1>21x 0+1㊃(1+x 0)+l n a -c o s (a -1)-1=1+l n a -c o s (a -1)ȡ0㊂所以a 的取值范围为[1,+ɕ)㊂22.(1)设P ,Q 的极坐标分别为(ρ0,θ),(ρ,θ),因为O Q ң=Q P ң,所以O P ң=2O Q ң,所以ρ=12ρ0=2c o s θ+4s i n θ,所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2c o s θ+4s i n θ,两边同乘ρ得ρ2=2ρc o s θ+4ρs i n θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2x +4y ,即x -1 2+y -2 2=5㊂(2)设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则M A =t 1,M B =t 2㊂将直线l 的参数方程x =t c o s α,y =1+t s i n α,代入曲线C 2的直角坐标方程整理得t 2-2c o s α+s i n α t -3=0,所以t 1+t 2=2c o s α+s i n α ,t 1t 2=-3㊂所以M A +M B =t 1+t 2=t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4c o s α+s i n α 2+12=4s i n 2α+16ȡ23,当且仅当s i n 2α=-1时,等号成立,则t a n α=-1,所以当M A +M B 取得最小值时,直线l 的普通方程为x +y -1=0㊂23.(1)f a x +2ɤ4,即a x +2ɤ4,所以-4ɤa x +2ɤ4,即-6ɤa x ɤ2,显然a ʂ0㊂当a >0时,-6a ɤx ɤ2a,则-6a=-3,2a =1,解得a =2;当a <0时,2a ɤx ɤ-6a,则2a=-3,-6a =1,无解㊂综上可得,a =2㊂(2)f (x +m )-f (x -2-m )=|x +m |-|x -2-m |ɤ|(x +m )-(x -2-m )|=m +2-m ,当且仅当x +m 与x -2-m 同号时,等号成立㊂因为m ɪ0,2 ,所以2[m +(2-m )]ȡ(m +2-m )2,当且仅当m =2-m ,即m =1时,等号成立㊂所以(m +2-m )2ɤ4,即m +2-m ɤ2,故f (x +m )-f (x -2-m )ɤ2㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。