全等三角形的判定练习题
（一）三角形全等的[判别：
1、如图：△ABC 与△DEF 中
2、如图：△ABC 与△DEF 中
∵??
?
??===EF BC DE AB ___________________
∵??
?
??===_______________________________________DF AC
∴△ABC ≌△DEF （S.A.S ） ∴△ABC ≌△DEF （A.S.A ）
3、如图：△ABC 与△DEF 中
4、如图：△ABC 与△DEF 中
∵??
?
??===EF BC ______________________________________ ∵??
?
??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （A.A.S ） ∴△ABC ≌△DEF （S.S.S ）
5、如图：△ABC 与△DEF 中
6、如图：△ABC 与△DEF 中
∵??
?
??===EF BC ______________________________________
∵??
?
??===_______________________________________DE AB
∴△ABC ≌△DEF （A.A.S ） ∴△ABC ≌△DEF （A.S.A ）
（二）全等三角形的性质： ∵△ABC ≌△DEF
∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ；
（三）解答题：
1．如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，问：ΔABC与ΔDEF全等吗？AB与DF平行吗？请说明你的理由。
2．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等吗？说明你的理由。
3．已知如图，AC和BD相交于O，且被点O平分，你能得到AB∥CD，且AB=CD 吗？请说明理由。
4．如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性。
全等三角形的判定 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 9．已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 A B C D F E A C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C A B C D 1 2
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？ 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？ 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 C D E F 1 2 A B C E H D A C M E F B D A B C E F D A B C E D F A D E B C 1 2 3 4 D C F E A B
全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.
全等三角形的判定 一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA) ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） ④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗 二、常考典型例题分析 第一部分：基础巩固 1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（） A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等 2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）
A.∠B=∠C B ．AD=AE C ．BD=CE D ．BE=CD 3.下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ） A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．甲和丙 D ．只有丙 4.如图，E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE B ．DF ∥A C C ．∠E=∠ABC D ．AB ∥DE 5.如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ） A ．∠A=∠D B ．AB=D C C ．∠ACB=∠DBC D ．AC=BD 6.如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线OC ，作法用得的三角形全等的判定方法是（ ） A ．SAS B ．SSS C ．ASA D ．HL 第二部分：考点讲解 考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等 1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ． 2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠ 考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题
一．知识点： 1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌” 3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4．全等三角形的性质： ⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等. 二、基础习题 1如图，ABC ?≌ADE ?，?=∠30EAC ，求BAD ∠的度数. 2、如图，ABC ?≌DEF ?，且A 、D 、B 、E 在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由. 3、如图，ABE ?≌ACD ?，21∠=∠，C B ∠=∠.求证：CAE BAD ∠=∠ 4.如图，ABC ?≌EFC ?，B 、C 、E 在同一条直线上，且cm BC 3=，cm CE 4=，?=∠52EFC . 求AF 的长和A ∠的度数. 5.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且 ?=∠50BAF .求DAE ∠的度数. 6、如图，点A 、E 、B 、F 在同一条直线上，ABC ?≌FED ?. ⑴判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由； ⑵判断AE 与BF 的数量关系，并说明理由.
一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SSS ） 二、基础习题 1如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠ 2、如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC =求证：DE AB // 3、如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //． 4、如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE // 全等三角形（3） 一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SAS ）
r 三角形全等的判定专题训练题 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ． 2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ． 3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ． 4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ． （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A
r 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E在同一直线上． 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG． 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC． 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM． 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF． 求证：△ABE≌△DCF． 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF． 求证：AM是△ABC的中线． 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AB=AC． G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A M F E （图9） C B A E （图10） D C B A
全等三角形的判定训练题(SSS 、SAS) 判定定理1: 简单的表示为：数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AC=A 'C ' （已知） BC=B 'C ' （已知） AB=A 'B ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SSS ） 1、若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。 2、△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠B 与∠C 有什么关系？请证明。 3、点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，则AB 和DE 有怎样的位置关系？请证明。
4、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 5、如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC 6、如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C 7、如图，△ABC中，AD=AE，BE=CD，AB=AC，说明△ABD≌△ACE
判定定理2: 简单的表示为：数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AB=A 'B ' （已知） ∠B=∠B ' （已知） BC=B 'C '（已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SSS ） 8、如图，已知AC ，BD 相交于O ，AO=DO ，BO=CO ，证明：∠A=∠D 9．如图，AE 是，BAC 的平分线 AB=AC.证明 △ABD ≌△ACD 10、 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD. C C A D B E C
11、如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ADB≌△AEC 12、如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证： BE=DC 13、如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。 14、如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.证明：△ABC≌△BAD C D A B Q C P E A D B
全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 例2：已知：如图，是和的平分线，。 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=? OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =
全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．
③ ② ① D A C B 初二下期三角形全等证明题练习 一、填空题 1. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB =CD ，BC =DE ，则∠ACE =____. （第2题） （第3题） 2.如图，∠A ＝∠D ，再添加条件___ 或条件_____,就可以用____定理来判定△ABC ≌△DCB . 3. 如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带去碎片中的第______块。 F D A C G E B A P ' C P B D A C E B （第4题） （第5题） （第6题） 4.已知如图，F 在正方形ABCD 的边BC 边上，E 在AB 的延长线上，FB ＝EB ，AF 交CE 于G ，则∠AGC 的度数是______. 5. 如图， BC 是Rt △ABC 的斜边，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，如果AP ＝3，那么PP ′的长等于______. 6. 如图，已知在△ABC 中，90,,A AB AC CD ∠=?=平分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若15cm BC =，则DEB △的周长为 cm ． 7. 如图，△ABC 是不等边三角形，DE =BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形 与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出_____个． D A E B D A C F E B D A O E B （第7题） （第8题） （第9题） 第1题 C B A D E
二、选择题（每小题3分，共30分） 8.下列说法不正确的是( ) . A. 全等三角形周长相等 B. 全等三角形能够完全重合 C. 形状相同的图形就是全等图形 D.全等图形的形状和大小都相同 9.如图，已知△ABC ≌△DEF ，且AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，则DE 的长为( ). Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.不能确定 10．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C =20°，则∠OAD 等于（ ）. Ａ. 85° Ｂ. 95° Ｃ. 65° Ｄ. 105° 11. 如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需条件（ ）. A. AB ＝AD ，BC ＝DE B. BC ＝DE ，AC ＝AE C. ∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E D.AC ＝AE ，AB ＝AD D A C 2 1 E B F A C E B D A C 12. 如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠F AB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ； ④∠EAB ＝∠F AC ，其中正确结论的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，它的周长为24，又AD ⊥BC 于D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长为（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 三、证明题 1．已知：如图点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD=BE.求证：∠D=∠E. 2．已知：E 、F 是AB 上的两点，AE=BF ，又AC ∥DB ，且AC=DB.求证：CF=DE 。 A C B E D A B C D E F
全等三角形判定专题一（证明题） 1、如图，AC=AD，BC=BD，求证：AB平分∠CAD． 2如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．∠A=∠D=90°；求证：AB∥DE． 3、如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 4如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB 于E，请说明AE=BE． 5、一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 6、已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC．
7、如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 8、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 9、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF． 10、已知：如图，点E、F在AD上，且AF=DE，∠B=∠C，AB∥DC．求证：AB=DC． 11已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交 于点F，且AB=BC． 求证：△ABF≌△CBD．
12、如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F． （1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数． 、 13、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 14、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C． 求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF． 15、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC． 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．
全等三角形的性质及判定（习题）例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD=BE，CD∥BE．求 证：△ACD≌△CBE． 【思路分析】 ①读题标注： D D B B ②梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由 已知得，CD=BE； 根据条件C 为AB 中点，得AC=CB； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B． 发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需 要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 A C E A C E
∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC = CB （已证） ACD = B （已证） CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）
E C 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 E A A 1 F E B C 2 B D C D 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使 △ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 如图，D 是线段 AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的 一对全等三角形是 ，理由是 ． A C A G D F H
1、如图，四边形A ＢＣD 是边长为２的正方形，点Ｇ 是ＢＣ延长线上一点，连结A Ｇ，点Ｅ、F 分别在AG 上，连接B Ｅ、DF,∠1=∠２ ， ∠3＝∠４. （1)证明：△ＡBE ≌△DAF ； （2）若∠A ＧB=３0°，求EF 的长. 【解析】 (1）∵四边形ＡBCD 是正方形, ∴AB=ＡＤ, 在△ＡBE 和△D ＡF 中,??? ??∠=∠=∠=∠3 41 2DA AB ， ∴△ABE ≌△D ＡF. （2）∵四边形ABC Ｄ是正方形, ∴∠1+∠4=90o ∵∠３=∠4, ∴∠1＋∠３=90o ∴∠A ＦＤ=9０o 在正方形ＡBCD 中， A Ｄ∥B Ｃ, ∴∠1=∠AGB=3０o 在R ｔ△ADF 中,∠AFD ＝90o ＡＤ=2 , ∴A Ｆ＝ 3 , ＤF =1, 由(1）得△ＡＢＥ≌△ADF, ∴AE=ＤF=1, ∴EF=AF-A Ｅ=13-. 2、如图， ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 【解析】 （1)ADB ADC △≌△、 ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即 可）. （２）以△ADB ≌ADC 为例证明. 证明: ,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°. 在Rt ADB △和Ｒt ADC △中, ,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △. 3、在△ABC 中,AB=C Ｂ,∠ＡBC ＝9０o，F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且A Ｅ=CF. (１）求证:Rt △AB E ≌Ｒｔ△C ＢF; (２）若∠CAE=30o，求∠ACF 度数. A C B D E F G 1 423
￥ 全等三角形的判定 1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ） A ．只能证明△AO B ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COB D ．能证明△AOB ≌△COD 和△AOD ≌△COB 2．已知△ABC 的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ） | A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙 3．如图,已知MB ＝ND,∠MBA ＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ） A ．∠M ＝∠N B ．AB ＝CD C ．AM ＝CN D ．AM ∥CN 4．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 （ ） … A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①和②去 第3题 第4题 第7题 5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 （ ） A ．两条直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等 C ．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D ．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 6．△ABC 中,AB ＝AC,BD 、CE 是AC 、AB 边上的高,则BE 与CD 的大小关系为（ ） ` A ．BE ＞CD B ．BE ＝CD C ．BE ＜CD D ．不确定 7．如图,是一个三角形测平架,已知AB ＝AC,在BC 的中点D 挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A 恰好在重锤线上,AD 和BC 的关系为＿＿＿＿＿＿． 8．正方形ABCD 中,AC 、BD 交于O,∠EOF ＝90o ,已知AE ＝3,CF ＝4,则EF 的长为＿＿＿. 9、若△ABC 的边a,b 满足2212161000a a b b -+-+=,则第三边c 的中线长m 的取值范 围为 10．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE ＝DF,EH ＝FH,不用度量,就知道∠DEH ＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）．
1、已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。 求证：△ADE≌△EFC 2、已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。 求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。 3、已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。 4、已知：AB=CD，AB∥DC 求证：△ABC≌△CDA 5、已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD 求证：DE=BC 6、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点
求证：∠ABE=∠ACD 7、已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。 求证：∠CAD=∠DBC。 8、如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD． 9、如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB. 1 0、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：△ABC、△均为锐角三角形，AB=，BC=，∠C=∠.证明：△ABC≌⊿.(请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B、，作BD⊥CA于D，⊥于， 则∠BDC=∠=90o. ∵BC=，∠C=∠. ∴△BCD≌△，∴BD=. ⑵归纳与叙述：由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论. 11、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将两张三角形纸片摆成如图18的形式，使点B，F，C， D在同一条直线上． （1）你能说明AB⊥DE吗？ （2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形， 并给予说明． 12、如图，已知M在AB上，BC=BD，MC=MD．请说明：AC=AD． 13、如图18，在△ABC中，点D在AB上，BD=BE， （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是 理由是： （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 （只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由。）
全等三角形的判定 练习巩固与提高 A:知识点总结 （一）三角形全等的识别方法 1、如图：△ABC 与△DEF 中 2、如图：△ABC 与△DEF 中 ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∵?? ? ??===_______________________________________ ___________________ ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 3、如图：△ABC 与△DEF 中 4、如图：△ABC 与△DEF 中 ∵?? ? ??===_______________________________________ ___________________ ∵?? ? ??===_______________________________________ ___________________ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） ∴△ABC ≌△DEF （ AAS ） 5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠____=∠_____=90° ∵???==______________________________________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ） （二）全等三角形的性质 ∵△ABC ≌△DEF ∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ； B:知识运用 一.理解运用 1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ） A ．只能证明△AOB ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COB
全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 如图，在ABC ?和DEF ?中?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点D 是对应点，?=∠26 BAC ，且?=∠20B ，1=?ABC S ，求 ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ A D
例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF 全等三角形（二） 【知识要点】 定义：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示 如图，在ABC ?和DEF ?中， ABC EF BC E B DE AB ?∴?? ? ??=∠=∠=≌)(SAS DEF ? 【典型例题】 【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD. 【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明. 【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数 . C A D B E C
《全等三角形的性质和判定》同步测试题 姓名：得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列条件中，不能判定三角形全等的是（） A、三条边对应相等 B、三个角对应相等 C、两角及其中一对等角的对边对应相等 D、两角和它们的夹边对应相等 2、如图,已知:△ABE≌△A CD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（） A、AB=AC B、∠BAE=∠CAD C、BE=DC D、AD=DE 3、在△ABC和△A′B′C′,要使△ABC≌△A′B′C′.则满足下列条件( ), A、AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′; B、AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′ C、AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′; D、AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′ 4、如果两个三角形全等,则不正确的是（） A、它们最小角相等 B、它们对应外角相等 C、它们是直角三角形 D、它们最长 边相等 5、图中全等的三角形是（） A、Ⅰ和Ⅱ B、Ⅱ和Ⅳ C、Ⅱ和Ⅲ D、Ⅰ和Ⅲ 6、已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF、则不正确的等式是（） A、AC=DF B、AD=BE C、DF=EF D、BC=EF
第6题图 第7题图 第8题图 7、如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC 的度数为 （ ） A 、50° B 、30° C 、45° D 、25° 8、把两根钢条AB ′、BA ′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如 图， 若测得AB=5厘米，则槽宽为（ ）厘米． A 、5 B 、6 C 、7 D 、2.5 9、如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学 知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样 的依据是（ ） A 、 SSS B 、 SAS C 、 AAS D 、 ASA 10、如图，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E ，F 在DB 上两点且BF ＝DE ， 若∠AEB ＝120°，∠ADB ＝30°，则∠BCF ＝ （ ） A 、150° B 、40° C 、80° D 、90° 二、填空题（每题3分，共24分） 11、已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有 对全 等三角形 A D B C E F
全等三角形的判定证明题训练 考点提炼整理 1、认识全等图形中的对应关系，理解全等概念。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形 全等符号：“≌”，读作“全等于” 2、掌握全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等。 ②全等三角形的对应角相等。 3、理解全等三角形的三个判定公理和一个判定定理。 ①角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）。 ②边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）。 ③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）。 ④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）。 典例剖析 例1：已知：如图AC=BD ，∠CAB=∠DBA 。求证：∠CAD=∠DBC 。 例2：已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥AD 。求证：CE=BF 例3：已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE 、AC=DF 、BE=CF 。 求证：△ABC ≌△DEF 。 例4．已知，如图，四边形ABCD 中，AB=DC ，∠BAD=∠CDA. 求证：∠ABC=∠DCB. 例5．已知：如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线。求证：)(2 1 AC AB AM +< 例6．已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。求证：BF=DE 例7．已知：如图AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于G 。 求证：AG 平分∠BAC. 考点击破
一、思维拓展题。 1、已知，AB//EF，EC=BD，要使△ABC≌△FED，还需要添加什么条件？为什么？ 2、已知：∠B=∠C，要使△ABD≌△ACE还需要添加什么条件为什么？ 3、已知：∠DBA=∠CAB，要使△ABD≌△BAC还需要添加什么条件为什么？ 二、指出下列图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形，全等的理由是什么？ 1、△ABC中，AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB，DF⊥AC. 2、OA=OB，OC=OD. 3、△ABC中，AB=AC，AE=AF,AD⊥BC于D. 三、证明：
全等三角形的判定 巩固与提高 A:学习篇 ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） 3、如图：△ABC 与△DEF 中 4、如图：△ABC 与△DEF 中 ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） 5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠____=∠_____=90° ∵???==______________________________________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ） （二）全等三角形的特征 ∵△ABC ≌△DEF ∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ； B:运用篇 一.理解运用 1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ）
A．只能证明△AOB≌△COD B．只能证明△AOD≌△COB C．只能证明△AOB≌△COB D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB 2．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 3．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 4．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 第3题第4题第7题 5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（） A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 6．△ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD的大小关系为（）A．BE＞CD B．BE＝CD C．BE＜CD D．不确定 7．如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为＿＿＿＿＿＿． 8．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则EF的长为＿＿＿. 9、若△ABC的边a,b满足22 -+-+=,则第三边c的中线长m的取值范 12161000 a a b b 围为 10．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）． 第8题第10题