全等三角形的判定(HL)练习题

11 三角形全等的判定（四)HL基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有__________（填简写)SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL2．如图，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB ＝PC ，则AB ＝ __________，理由是__________（填全等三角形及三角形全等的理由)AC △ABP ≌△ACP (HL )A3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，若AD ⊥BC ，则BD ＝CD ，其判定三角形全等的方法是( )DA ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HLB C4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，欲证OB ＝OC ，可以先利用“HL ”说明__________得到AB ＝DC ，再利用__________证明△AOB ≌__________得到OB ＝O C ．△ABC ≌△DCB “AAS ” △DOCC5．已知：如图∠B ＝∠E ＝90°，AC ＝DF ，FB ＝E C ．求证：AB ＝DE ．FEC B证：△ABC ≌△DEF (HL )6．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，BD ＝CD ，求证：AD ⊥B C ．C AB证：△ABD ≌△ACD (HL ) △BDE ≌△CDE (SAS )7．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ，求证：DE ＋CE ＝A C ．D证：连BE ． △ABE ≌△DBE (HL )，DE ＝AE ．8．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴__________ ，理由__________；AC ＝BD HL⑵__________ ，理由__________；BC ＝AD HL⑶__________ ，理由__________；∠ABC ＝∠BAD AAS⑷__________ ，理由__________；∠BAC ＝∠ABD AAS中组题训练9．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ，那么下列结论中： ①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ，其中正确的有( )AA ．①②③B ． ①②C ． ①D ．③10．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？E F证：△ABE≌△DCF(HL)，∠ABE＝∠DCF，△ABC≌△DCB(SAS)11．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE＝DF，求证：AB＝A C．DB证：连AD，△BDE≌△CDF(HL)．BE＝CF．证：△ADE≌△ADF(HL),AE＝AF，AE＋BE＝AF＋CF，故AB＝A C．12．如图，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD于，∠B＝∠E，求证：AF平分∠BAE．F EBA证：连AC、AD，△ABC≌△AED(SAS) △ACF≌△ADF(HL)13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点（4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．⑴求OA＋OB的值；P⑵将直角三角形绕点逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA－OB的值．解：⑴作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，证∠P AM＝∠PBN，△P AM≌△PBN AB＝BN，OM＝ON，∴OA＋OB＝OM＋ON＝8．⑵作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，证∠P AM＝∠PBO，△P AM≌△PBNAM＝BN，OM＝ON，∴OA－OB＝OM＋ON＝8．。

1
全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）
姓名
1、已知AB=CD ，BE=DF ，AF=CE ，则AB 与CD 有怎样的位置关系？
2、已知O 是AB 中点，OC=OD ，AOD BOC ∠=∠，求证：AC BD =
3、已知：如图，DBA CAB ∠=∠，BD AC =。

求证∠C=∠D
4、已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB ．
5、已知：如图 , FB=CE , AB ∥ED , AC ∥FD.F 、C 在直线 BE 上． 求证：AB=DE , AC=DF ．
2
6、 已知：如图 , E 、D 、B 、F 在同一条直线上 , AD ∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF ．
求证：AE ∥CF.
7、如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 分别为垂足， 且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.
8、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。

B
A
E
F
C
D
9、如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.
10、如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。

求证:AN 平分∠BAC 。

A
D
C
B F E
B A
2
1N M
C。

1
全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）
姓名
1、已知AB=CD ，BE=DF ，AF=CE ，则AB 与CD 有怎样的位置关系？
2、已知O 是AB 中点，OC=OD ，AOD BOC ∠=∠，求证：AC BD =
3、已知：如图，DBA CAB ∠=∠，BD AC =。

求证∠C=∠D
4、已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB ．
5、已知：如图 , FB=CE , AB ∥ED , AC ∥FD.F 、C 在直线 BE 上． 求证：AB=DE , AC=DF ．
6、 已知：如图 , E 、D 、B 、F 在同一条直线上 , AD ∥CB
,
∠BAD=∠BCD , DE=BF ．
求证：AE ∥CF. 7、如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 分别为垂足， 且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.
8、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC=
BF 。

9、如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.
10、如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB
的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。

求证:AN 平分∠BAC 。

A
D
B
F E B
A
2
1N
M
C。

12.2.5三角形全等的判定HL用HL判定三角形全等概念题型一：判定使用HL证明全等【例题1】（2020·广东期末）如图，OD AB⊥于D，OP AC⊥于P，且OD OP=，则AOD与AOP 全等的理由是()A．SSS B．ASA C．SSA D．HL【点睛】本题考查三角形全等的判定方法HL.根据已知结合图形，找到已经有的条件，然后结合判定方法选择条件是正确解答本题的关键．特别注意题目要求利用HL判定全等,需要的是两个直角三角形的斜边和一直角边对应相等.变式训练【变式1-1】（2021·四川期末）如图，AB BD⊥，CD BD⊥，AD BC=，则能直接判断Rt RtABD CDB△△≌的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS知识点管理归类探究在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”【变式1-2】（2021·全国八年级）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL【变式1-3】（2020·东莞市东莞中学初中部八年级期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为点E ，F ，且CE DF =，AC BD =，那么Rt Rt AEC BFD △≌△的理由是（ ）．A ．HLB ．SSSC ．SASD ．AAS题型二：通过添加条件利用SSS ，判定三角形全等【例题2】（2020·河南期末）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD △≌△，若根据“HL ”判定，还需要加条件__________【点睛】本题考查选条件补齐使用HL 证明三角形全等.注意要两个直角三角形+斜边+一直角边. 变式训练【变式2-1】（2020·东莞期中）如图，已知AB⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定⊥ABC ⊥⊥DBE ，则需要添加的一个条件是__________．【变式2-2】（2021·江苏期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，AC DF =，_______Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学八年级月考）如图，要用“HL ”判定Rt ABC 和Rt A B C '''全等的条件是（ ）A ．AC AC ''=，BCBC ''= B ．A A '∠=∠，AB A B ''=C ．AC AC ''=，AB A B ''=D ．B B '∠=∠，BC B C ''= 题型三：直接利用SSS 证明三角形全等【例题3】（2020·沭阳县修远中学七年级期末）已知：BE⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：⊥BEC⊥⊥DAE【点睛】HL 证明全等需要两个直角三角形+两个条件，在此类简单的证明题中往往题目中给出两个明显的条件，第三个条件可能隐藏在公共边或者线段的和差得到；此外还可能需要寻找题目中已知条件或者图形中隐含条件通过等量代换达到证明全等的目的.变式训练【变式3-1】（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，已知AB ＝CD ，CE ＝BF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求证：CD ⊥AB ．【变式3-2】（2020·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级学业考试）已知：如图，AB=CD ，DE⊥AC ，BF⊥AC ，E ，F 是垂足，AE=CF ．求证：⊥ABF⊥⊥CDE【变式3-3】（2020·荣县留佳初级中学校八年级期中）已知：如图，DE⊥AC ，BF⊥AC ，AD=BC ，DE=BF ，求证：AD⊥BCHL 证明全等的应用题型四：全等三角形性质与HL 判定的综合运用【例题4】（2021·全国八年级专题练习）如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.变式训练【变式4-1】 （2019·江苏苏州市·七年级期末）已知:如图，AB BC ⊥，CD DA ⊥，AB CD =．求证:OB OD =．【变式4-2】（2019·河南开封市·八年级月考）在ABC 中，,90AB CB ABC ︒=∠=，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =.（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≅△△（2）若30EAB ︒∠=，求BFC ∠度数.【变式4-3】（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图所示，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北处与正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A 、B 两点，那么CE 与DF 平行吗？为什么？题型五：角平分线与HL 的综合【例题5】（2019·江苏南通市·南通第一初中七年级月考）如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则⊥APD 与⊥APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AAAC ．SSSD ．HL【点睛】此题型考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握HL 全等三角形的判定和性质是解题的关键．注意灵活使用角平分线上的点到角两边距离相等.变式训练【变式5-1】（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSS B ．C ．SASD ．ASA 【变式5-2】（2020·吉林市亚桥第一九年制学校八年级期中）如图，四边形ABCD 中，90D ∠=︒，AB AC =，BEAC ⊥于点E ，=AE AD ．求证：AC 平分DAB ∠．3.（2018·郴州市第五中学八年级期末）如图，AC平分⊥BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD的延长线于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【真题1】（2014·江苏南京市）（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，然后，对⊥B进行分类，可分为“⊥B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当⊥B是直角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（1）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E=90°，根据，可以知道Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF．第二种情况：当⊥B是钝角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（2）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是钝角，求证：⊥ABC⊥⊥DEF．第三种情况：当⊥B是锐角时，⊥ABC和⊥DEF不一定全等．（3）在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，请你用尺规在图⊥中作出⊥DEF，使⊥DEF和⊥ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）⊥B还要满足什么条件，就可以使⊥ABC⊥⊥DEF？请直接写出结论：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，链接中考BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，若，则⊥ABC⊥⊥DEF．【拓展1】（2019·辽宁大连市·八年级月考）阅读下面材料，完成（1）-（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，⊥ABD和⊥ACE中，AB＝AD，AC＝AE，⊥DAB＝⊥CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”小伟：“通过观察发现，⊥AFE与α存在某种数量关系．”老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”（1）求证：BE＝CD；（2）求⊥AFE的度数（用含α的式子表示）；（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．【拓展2】（2020·湖北黄石市·黄石八中八年级期中）如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，⊥ACP与⊥BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“⊥CAB=⊥DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得⊥ACP与⊥BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，满分冲刺请说明理由．。

11.2 三角形全等的判定(HL)题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。

◆课堂测控测试点斜边，直角边1．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，由_______可证明△ABD≌△ACD，从而有BD=______，∠B=________．2．下列命题中，正确的是（）A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3．如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求证：AB∥CD．4．（研讨题）“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对吗？下面是小松、小强、小红三位同学的看法．小松：正确．因为如果两边都为直角边，则夹角是直角，用SAS可以证明它们全等．小强：正确，因为如果其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用HL证明它们全等．小红：不正确，如果一个三角形的较长的直角边与较长的直角边相等，•则显而易见两个三角形不全等．请发表你的看法．◆课后测控5．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边相等的两个直角三角形全等B．有两直角边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有一锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等6．如图，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分别为BF，CF的中点，•则图中全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD交于点O，如果AC=BD，那么下列结论中：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC=∠CBD；④OC=OD，其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③8．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（）A．DE=DB B．DE=AE C．AE=BE D．AE=BD9．如图，AC=AD，∠C和∠D是直角，将上述条件标注在图中，线段BC和BD相等吗？请说明理由．10．如图，∠BAC=90°，AB=AC，D在AC上，E在BA的延长线上，•BD=CE，BD延长线交CE 于F，求证：BF⊥CE．[注明：图中标注的∠1，∠2能不能给你启发呢？]11．如图，△ABC中，∠B=90°，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，E为AB上一点，且DE=DC．求证：BE=CF．◆拓展测控12．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，•且AB=A′B′，AD=A′D′，请你补充一个条件使△ABC≌△A′B′C′．答案：1．HL CD ∠C （点拨：AD 为公共的直角边） 2．C （点拨：两条直角边的夹角为直角） 3．证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ,,AB CD BF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴∠A=∠C ，∴AB ∥CD ．4．小松、小强两学生的回答都片面地理解成这两边是对应的，•即直角边与直角边对应，斜边与斜边对应，故得出了错误的结论，•恰恰命题中漏掉了两个关键字“对应”，就会出现小红同学的分析结果，故小红是正确的，•所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字．[总结反思]有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 5．C （点拨：C 选项中没有边对应相等）6．D （点拨：图中有△ABF ≌△ACF ，△ABD ≌△ACE ，△ADF ≌△AEF ，△ABE ≌△ACD ） 7．A （点拨：易证：△ABD ≌△BAC ，△AOD ≌△BOC ） 8．B （点拨：连结CE ，则Rt △ACE ≌Rt △DCE ） 9．解：BC=BD ．理由如下： 在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，,.AC AD AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ），∴BC=BD ．[解题规律]充分利用公共斜边或直角边证明两直角三角形全等．10．证明：∵∠BAC=90°，∴在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，,,AB AC BD CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）．∴∠1=∠2．∵∠2+∠E=90°，∴∠1+∠E=90°，∴∠BFE=90°，即BF⊥CE．[解题方法]结合图形，分析已知条件发现直角三角形全等，得∠1=∠2，再充分利用图中∠2+∠E=90°，从而得到∠1+∠E=90°，这类题目要关注构图的规律．11．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD．在△ABD和△AFD中，,90,,BAD FADB AFDAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，,, BD DF DE DC=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．[解题方法]分析结论须证△BDE≌△FDC，但还差一条件，为此先证△ABD≌△AFD得到BD=FD，一般地一次三角形全等不能解决问题时，要细致分析，证两次或两次以上的三角形全等．而第一次全等的目的是为证第二次全等服务的．12．可供选择的条件可从以下几条中任选其一：①∠C=∠C′②BC=B′C′③∠BAC=∠B′A′C′④AC=A′C′⑤∠DAC=∠D′A′C′⑥DC=D′C′[解题技巧]这是一道探究题，题目探究△ABC≌△A′B′C′的条件，解题时应先分析已具备什么条件，还缺什么条件，同时联系三角形全等的各种证明方法，•选择出多种满足结论的条件．可以编辑的试卷（可以删除）。

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

11.2全等三角形的判定同步练习（ HL ）1、如图，已知MB=ND , / MBA= /NDC ,下列添加的条件中，「 1哪一个不能用于判定△ ABM ◎△ CDN 的是（）A CB DA. / M= / NB.AB=CD2、下列说法正确的是（） A.面积相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个直角三角形全等 角三角形全等3、如图已知 AB=CD , AE 丄BD 于 E , CF 丄BD 于 F , AE=CF ,4、 如图，在 Rt △ ABC 中，/BAC=90 ° , DE 丄 BC ,BE=EC , AC=6 , AB=10，贝ADC 的周长是____________________________________ .5、 如图，AB=CD , AE 丄BC 于E , DF 丄BC 于F ,若BE=CF ,则厶ABE ◎△_,其依据是C. AM=CND.AM // CNB.周长相等的两个直角三角形全等D. 有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直 则图中全等的三角形有（) A.1对B.2对C.3对D.4对.6、如图，AE 丄BC, DF 丄BC, E, F 是垂足，且AE=DF , AB=DC , 求证：/ABC= / DCB.D7、如图，AB=CD , AE 丄BC, DF丄BC,垂足分别为E, F, CE=BF.求证：AB // CD .&如图，在△ ABC中，/ B=Z C, D是BC中点，DE丄AB , DF丄AC , E, F为垂足, 求证：AD平分/ BAC .答案：1、C 2、A 3、C 4、16 5、DCF HL6、证：AE 丄BC, DF 丄BC, 所以在Rt A ABE和Rt A DCF中，= DF,DC t所以Rt△ ABE 也Rt A DCF, 所以/ ABC= / DCB .7、证：CE=BF，所以CE+EF=BF+EF ,即BE=CF,在Rt A AEB 和Rt△ DCF 中，AB 二CD,BE 二CF,所以△ ABE ◎△ DCF，所以/ B=Z C,所以AB // CD.8、证：F 丄 AC , DE 丄 AB ，所以/ BED= / CFD=90°。

直角三角形全等HL【典型例题】例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系. 例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.例3 公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？例4 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系. 例5 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.【经典练习】1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE= 90，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF（填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABCABBABDCE F的理由是（ ）A ．SSS B. ASA C. SASD. HL3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HL4．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个5．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 6．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.7．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）.A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .9．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.10．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF BAADAN吗？谈谈你的理由!11．如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ，求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.提高题型：1.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 分别为垂足，且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.2.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，试说明AB=AC.3.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE. AEDBC ABE4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。

12.2三角形全等的判定HL学校： 班级： 学号： 姓名： 成绩：1 .判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕2. 在Rt △ABC 和Rt △AB /C /中，∠C=∠C /=90°，以下条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /的个数有〔 〕(1)AC=A /C / ,∠A=∠A / ；〔2〕AC=A /C / ，AB=A /B /；〔3〕AC=A /C / ，BC=B /C / ；〔4〕AB=A /B / ,∠A=∠A/3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，假设利用“AAS 〞证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 ；假设利用“HL 〞证明证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 .4. 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，AC 交BD 于点O ，假设AC=DB ，那么以下结论不正确的选项是〔 〕A.∠A=∠DB.∠ABC ≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD 5. 如下图，△ABC 中，∠BAD=∠CAD，要判断△ABD≌△ACD: (1)根据SAS 还需要添加的最少条件是： (1)根据ASA 还需要添加的最少条件是：(1)根据AAS 还需要添加的最少条件是：(1)根据HL 还需要添加的最少条件是：6． 如下图，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边。

能否判断△ABC≌△ACD？请说明理由。

A DB COD B CA第3题图 第4题图 第5题图 A DB7.，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△AB D ≌△CDB。

8. 如图，AB=CD ，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。

用“ASA”或“AAS判断两个三角形全等1、有‗‗‗‗‗‗和它们的‗‗‗‗‗‗分别‗‗‗‗‗‗的两个三角形全等，可简写成“‗‗‗‗‗‗”或“‗‗‗‗‗‗”。

2、有‗‗‗‗‗‗和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，可简写成“‗‗‗‗‗‗”或“‗‗‗‗‗‗”。

3、三角分别相等的两个三角形‗‗‗‗‗‗全等。

4、如图所示，已知AB平分∠CAD，当∠1=∠2时，△ABC≌△ABD的依据是‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.5、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带‗‗‗‗‗‗去配，依据是‗‗‗‗‗‗‗‗‗.6、如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求证：BC=DC.7、如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC.求证AD=CB.8、如图，AC与BD交于点O，∠A=∠D，请补充条件‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗，使△AOB≌△DOC.9、如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“SAS”为依据，还需添加的条件为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；（2）若以“ASA”为依据，还需添加的条件为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；（3）若以“AAS”为依据，还需添加的条件为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；10、如图所示，点D在△ABC的BC边上，DE与AC交于F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则（） .A、△ABD≌△AFEB、△AFE≌△ADCC、△AFE≌DFCD、△ABC≌△ADE11、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）.A 、AB=3，BC=4，CA=8 B、AB=4，BC=3，∠A=30°C、∠A=60°，∠B=45°，AB=4D、∠C=90°，AB=612、如图，有一块直角三角形纸片，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C与斜边AB的中点E正好重合，则∠CAB等于（）。

第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。