2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AFF

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-：⑴ 当1,0.1x x =∆=时；解： 2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时.解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而 ()()()010********31314413334713n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑ 又()()()010********21214412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？解：设每年以均匀流方式存入x 万元，则5= 10(10)0.050e d t x t -⎰即 5=20x (e 0.5-1) 0.514(e 1)x =-≈0.385386万元=3853.86元．习题六4．求对数螺线a r e θ=相应θ=0到θ=φ的一段弧长． 解：l =⎠⎛0φr 2+r ′2d θ =⎠⎛0φe 2a θ+a 2e 2a θd θ =1+a 2a ()e a φ-1．5． 设有一截锥体，其高为h ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a ，2b 和2A ，2B ，求这截锥体的体积。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d y x： ⑴ (sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)； ⑵ (),()(),x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩设()f t ''存在且不为零. 解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d yy a t t t x x a t tt===-- 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1 =(1-cos )(1cos )1 =.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅--- ⑵ d d ()()()d d d ()d yy f t tf t f t t t x x f t t''''+-==='' 22d d d 111()()1d d d d ()()d y t t x x x t f t f t t==⋅=⋅=''''.2．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩ 试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+3．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3n n ∞=∑； (4) 1n ∞=； (5)()1101n n a a ∞=>+∑； (6) ()1121n n ∞=-∑． 解：(1)∵ ()()21135n U n n n =<++ 而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n ++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散． (3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n n n n n n →∞→∞=⋅= 而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n Un=<= 而3121n n ∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a ∞=+∑也收敛． 当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散． 当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散． 综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散． (6)由021lim ln 2x x x →-=知121lim ln 211n x n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3lim tan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x x x π→-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim x a x a x a→--; ⑸ lim m mn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→; ⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x x x+→; ⑾ 2lim (arctan )πx x x →+∞⋅; ⑿ 10lim(1sin )x x x →+; ⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+; ⒁lim )x x →+∞; ⒂ sin 0e e lim sin x x x x x →--; ⒃ 210sin lim()x x x x→; ⒄ 1101lim[(1)]e x x x x →+.解：⑴ 原式=2π3cos33lim 5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1lim lim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++. ⑷ 原式=cos lim cos 1x a x a →=. ⑸ 原式=11lim m m n n x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+.⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→-- 204e e 3=lim 22x x x →-=. ⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =- 00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim 111 lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=00lim e 1x y +→==. ⑾ 令2(arctan )πx y x =⋅，则 2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim 1112 lim arctan 1πx x x x x x x y x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+ ∴原式=2πe -.⑿ 令1(1sin )x y x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⒀ 原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim =lim()01x x x x x++→→-=-⒁原式lim x x→+∞= 2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅ ⒂ 原式sin sin 0e (e 1)lim sin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x→⋅-- ⒃ 令12sin ()x x y x =，则 200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1 lim lim .666x x x x x x x x x x xx y x xx x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===- ∴原式=16e -.⒄ 令111[(1)]e x x y x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+- 2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111 lim .212x x x x x x xy x x x →→→→-+-+===-=-+2．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)3．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑； (2) 1cos 2n n nx ∞=∑； (3) 1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()2341111112311111231111112112311n n n n p n n n n p n n n n p n p n p n n pn n n +++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+ 当P 为奇数时， ()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n p n n n n p n p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+ 因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛． (2)对于任意自然数P ，都有()()()12121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n p n p n xn p x x n n ++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭< 于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则 ()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n p U U U n n n n nn n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+> 从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．4．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+； 解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn x U n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 5．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为 y =-x 10+5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x所求压力为F =⎠⎛0202x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x =⎣⎡⎦⎤5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN)6． 求下列曲线段的弧长：a) y 2=2x ，0≤x ≤2；解：见图18，2yy ′=2． y ′=1y∴1+y ′2=1+1y 2．从而 (18)l =2⎠⎛021+y ′2d x =2⎠⎛021+1y 2d x =2⎠⎛021y 1+y 2d y 22 =2⎠⎛021+y 2d y =y 1+y 2+ln ()y +1+y 2⎪⎪20=25+ln(2+5) b) y =ln x ，3≤x ≤8；解：l =⎠⎛381+y ′2d x =⎠⎛381+1x 2d x =⎠⎛381+x 2x d x =⎣⎡⎦⎤1+x 2-ln 1+1+x 2x 83=1+12ln 32． c) y =⎠⎜⎛−π2x cos t d t , −π2≤t ≤π2； （20）解：l =⎠⎜⎜⎛−π2π21+y ′2d x =⎠⎜⎜⎛−π2π21+cos x d x =⎠⎜⎜⎛−π2π22cos x 2d x =42⎠⎜⎛0π2cos x 2d x 2 =42sin x 2⎪⎪⎪π20=4.7．求下列旋转体的体积： （1） 由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋转； 解： 求两曲线交点⎩⎨⎧y =x 2y 2=x 3得(0，0)，(1，1) V =π⎠⎛01()x 3-x 4d x =π⎣⎡⎦⎤14x 4-15x 510=π20． （14） （2）由y =x 3，x =2，y =0所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转；解：见图14，V x =π⎠⎛02x 6d x =1287π V y =π⎠⎛08⎝⎛⎭⎫22-y 23d y =645π． （2）星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3绕x 轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是： ⎩⎨⎧x =a cos 3t y =a sin 3t0≤t ≤2π ， 由曲线关于x 轴及y 轴的对称性，所求体积可表示为V x =2π⎠⎛0ay 2d x=2π⎠⎜⎛π20()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3⎠⎜⎛0π2sin 7t cos 2t d t =32105πa 3 (15)8．求由参数式2020sin d cos d t t x u u y u u ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt===9．利用定义计算下列定积分：（1） d ();ba x x ab <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n -=+=-记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ== 则得和式 211()2(1)()[()]()2n n i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得 220122()(1) d lim ()lim[()]21 ().2n bi i a n i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰ (2) 10e d .x x ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-记每个小区间长度1,i x n ∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()in n n i i i i f x e nξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n nxn n n n n n i n n n n n n n n n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰10．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭; 证明：令 ()n f x x = 12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ， 则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈， ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e ()2x y x yx y ++>≠ ; 证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠ 则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即 2e e e 2x yx y++<. (3) ln ln ()ln (0,0,)2x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0) 1()ln 1,()0(0)f x x f x x x '''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.11．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+ 610y x ''=-，令0y ''=可得53x =.当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧； 当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=；解：(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的， 故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).12．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.h =时，其体积为最大.13．已知a >0，试证：11()11f x x x a =+++-的最大值为21aa++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2ax =，且422a f a⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得 故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.14．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解：()202202E T E t t T f t E T E t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩()()02022e d 22e d e d 41cos 2i t Ti t i t T F f tt E E t t E t E t T T E T T ωωωωωω+∞--∞---=⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰15．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlimsin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x→+∞+； ⑶ sin lim sin x x xx x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x xx x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin coslimlim sin cos x x x x x x x x x→→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1limlim sin 0sin x x x x x x x→→==, 故不能使用洛必达法则. ⑶ ∵sin 1cos limlimsin 1cos x x x x xx x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x x x x x xx x x→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xxx x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）. 16．证明:11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln,1121xx x x xx+==-<<-证: (1)由e esinh2x xy x--==得2e2e10x xy--=解方程2e2e10x xy--=得e x y=因为e0x>,所以e x y=ln(x y=所以sinhy x=的反函数是arcsin h ln(().y x x x==+-∞<<+∞(2)由e etanhe ex xx xy x---==+得21e1xyy+=-,得1112ln,ln121y yx xy y++==--;又由11yy+>-得11y-<<,所以函数tanhy x=的反函数为11arctan h ln (11).21xy x xx+==-<<-17．设()f x在[,]a b上有(1)n-阶连续导数，在(,)a b内有n阶导数，且(1)()()()()0.nf b f a f a f a-'=====试证：在(,)a b内至少存在一点ξ，使()()0nfξ=.证明：首先，对()f x在[,]a b上应用罗尔定理，有1(,)a a b∈，即1a a b<<，使得1()0f a'=；其次，对()f x'在[,]a b上应用罗尔定理，有21(,)a a b∈，即12a a a b<<<，使得2()0;,f a''=一般地，设在(,)a b内已找到1n-个点121,,,,na a a-其中121,na a a a b-<<<<<使得(1)1()0nnf a--=，则对(1)()0nf x-=在1[,]na b-上应用罗尔定理有1(,)(,),na b a bξ-∈⊂使得()()0nfξ=.18．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解：324dπ,π,.3drV r A r vt===2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t =⋅=⋅=⋅=⋅19．利用微分求下列各数的近似值： ⑴⑵ ln 0.99； ⑶ arctan1.02.解：⑴113x ≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==， 而21()1f x x'=+，则 21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+20．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：⑴ (sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；⑵ (),()(),x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩设()f t ''存在且不为零.解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t tt x x a t tt===-- 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---⑵ d d ()()()d d d ()d y y f t tf t f t t t x x f t t''''+-==='' 22d d d 111()()1d d d d ()()d y t t x x x t f t f t t==⋅=⋅=''''.21．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=22．试求曲线exy -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-=法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 2000012222.2S x y x y a ===24．设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数，()x ϕ为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性. 解：()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x aϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ϕ≠时，()f x在x a =处不可导.25．求下列函数的导数: (1) y =解：y '=(2) y =解：5323yx -'=-(3) 2y =解：2512326y x x +-==561.6y x -'=26．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩证明：00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x---→→-'===- 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩证明：100()(0)1(0)lim lim 0,01e xx x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e xx x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 021,1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.27．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax af a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=， 即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.28．设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根， 综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.29．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.30．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(coscos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又 π3π0()(2sin 3sin 3)3x f xx =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ． 试求最大利润． 解： 设利润函数L (x )． 则L (x )=R (x )－C (x )－50由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为 L (11)=1120(1211)d 50x x x -+--⎰311013341[611]50111.333x x x =-+--==6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为 ()f x =故()u t =====7．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。