立体几何之向量解法ok

立体几何的空间向量法一、线面关系与空间向量之间的转换如下表：间向量之间的转换方法，则线面位置关系与空，的法向量分别为、，平面，，的方向向量分别为，，若直线212121 n n v v v l l l βα直直线与平面线与直线垂直平行为非零实数）（λλ212121 ////v v v v l l =⇔⇔0212121=⋅⇔⊥⇔⊥v v v v l l 均为实数，为平面内不共线的向量其中②①y x a a b y a x v l n v n v l ,, ,//0 //2111+=⇔=⋅⇔⊥⇔αα)(//11为非零实数λλαn v n v l =⇔⇔⊥平面与平面垂直平行为非零实数）（λλβα2121 ////n n n n =⇔⇔02121=⋅⇔⊥⇔⊥n n n n βα例：3D. 21C. 2B. 1A. ).,3,2()2,2,1(.12121）的值为（数，则实若和的方向向量分别为和若m l l m b a l l ⊥-=-=不能确定相交但不垂直）的位置关系是（，则，的法向量分别为为不同平面，若平面平面 D. ,C. B. //A. )12,3,6()4,1,2( .221βαβαβαβαβαβα⊥--=-=、n n 、、二、空间向量法的证明（以垂直为例） 1.直线与直线垂直、平行的问题用向量的方法证明直线与直线的垂直就是转化为证明直线的方向向量之间的垂直，设向量b a ,分别为直线b a ,的一个方向向量，则0=∙⇔⊥⇔⊥b a b a b a . 平行：b a b a λ=⇔//例1、如图，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC＝BC ＝BB 1.求证：BC 1⊥AB 1 .2.直线与平面垂直、平行的问题证明直线与平面的垂直可用向量的方法转化为证明直线的一个方向向量与平面的一个法向量平行.设向量a 为直线a 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，则.//n a n a λ=⇔ 平行：0=∙⇔⊥n a n a例2、 如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1CC 、1BD 的 中点，求证：⊥F A 1平面BDE .证明：如图2，取1,,DD DC DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()(),0,1,1,1,2,0,2,0,2,0,2,2,0,0,21F E A B A()()()1,2,0,0,2,2,2,1,11==--=DE DB F A设()z y x n ,,=为平面BDE 的法向量，则⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0202200z y y x DE n DB n ， 取1=x 则2,1=-=z y ， ∴()2,1,1-=n ， ∴n F A -=1，∴⊥F A 1平面BDE . 图2ADBD1B1CB1FA1ExyzA 1B 1C 1ABCD3.平面与平面垂直、平行的问题用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直.设21,n n 分别是平面βα,的法向量则02121=∙⇔⊥⇔⊥n n n n βα. 平行：2121////n n n n λβα=⇔⇔例3 、三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图3所示，截面为,90,111︒=∠BAC C B A ⊥1AA 面ABC ,1,2,2,3111====C A AC AB AA ,.21=DC BD .求证：平面AD A 1⊥平面11B BCC 证明：如图建立空间直角坐标系，则()(),0,0,2,0,0,0B A()()()3,1,0,3,0,0,0,2,011C A C ∵21=DC BD ， )0,2,2(-=BC ∴BC BD 31=， ∴D 点的坐标为（0,32,322）. ∴=AD （0,32,322）,()3,0,01=AA , )3,1,0(1-=CC .设()z y x n ,,1=是平面D AA 1的法向量，则 图3⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00111AA n AD n ⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒03032322z y x ， 取,1=x 则0,2=-=z y ，∴()0,2,11-=n . 设()z y x n ,,2=是平面11B BCC 的法向量，则：⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00122CC n BC n ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒03022z y y x ，取1=y 则33,2==z x ， ∴=2n (2,1,33).∴02221=-=∙n n ，∴21n n ⊥， ∴平面AD A 1⊥平面11B BCC ._ D_ B_ C 1_ B 1_ A 1 _ A_x_ C_y_z三、空间向量法的计算 1.异面直线的距离异面直线间的距离用向量的方法求解只需记住一个公式即可：设b a ,为异面直线，则b a ,间的距离为：nn BA d ||∙= ，其中n 与b a ,均垂直，BA ,分别为两异面直线上的任意两点.例4、如图在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在棱1CC 上，且CP CC 41=.求异面直线AP 与B D 1的距离.解：如图建立空间坐标系，依题意有()()()()4,0,0,1,4,0,0,4,4,0,0,41D P B A . 设()z y x n ,,=为AP 与1BD 的公垂线的一个方向向量，)4,4,4(),1,4,4(1-=-=B D AP ,)0,4,0(=AB .则⎩⎨⎧=-+=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0444044001z y x z y x B D n AP n .取3=y ，则8,5==z x ， ∴()8,3,5=n .则异面直线AP 与B D 1的距离为726||=∙=nn AB d 2.点到平面的距离点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可：已知点A 是平面α外的一个点,点B 是平面α内的一个点，n 为平面α的法向量，则A 到平面α的距离：nn BA d ||∙=_ B1 _ C 1_ A 1_ D_ C_ B_ P_ A_x_y_ D 1_z例5、如上图4，在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在棱1CC 上，且CP CC 41=.求P 到平面1ABD 的距离.解：如图建立空间坐标系，依题意有()()()()4,0,0,1,4,0,0,4,4,0,0,41D P B A .)0,4,0(=AB ,)4,0,4(1-=AD ，)1,4,4(-=AP 设平面1ABD 的一个法向量为(),,,1z y m =则()1,0,11004404001=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙m z y z x y AD m AB m . 则点P 到平面1ABD 的距离为223||||=∙=m m AP d 3.异面直线夹角的向量求法异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线n m ,所成的角为θ，则θ等于n m ,的方向向量b a ,所成的角或其补角的大小，则||||||cos b a b a ∙∙=θ.4.直线与平面所成的角直线l 与平面α成角θ，a 是直线l 的方向向量，b 是平面α的一个法向量， 则|||||||,cos |sin b a b a b a ∙∙=><=θ.5.平面与平面所成的角平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算，设平面α与平面ε所成的角为θ，则θ等于平面α与平面ε的法向量b a ,所成的角或其补角的大小，则||||||,cos b a b a b a ∙∙>=<.θ=><b a ,或θ=π-><b a ,.例6、如图在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是BC 、11D A 的中点，（1） 求直线C A 1与DE 所成角；（2） 求直线AD 与平面EDF B 1所成的角； （3） 求平面EDF 与平面ABCD 所成的角.解：（1）如图建立坐标系，则()()()⎪⎭⎫⎝⎛0,2,,0,,0,0,,,,0,01a a E a D a a C a A ，),0,(1a a B .∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=0,2,,,,1a a DE a a a C A ，∴1515||||||,cos 111=∙∙>=<DE C A DE C A DE C A ，故C A 1与DE 所成的角为1515arccos . (2)先求平面EDF B 1的法向量.设()z y n ,,1=，由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a EB a a ED ,2,0,0,2,1，∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙12001z y EB n ED n ， ∴()1,2,1=n . 又()0,,0a DA -=，∴33|||||||,cos |sin =∙∙=><=DA n DA n DA n θ. 故AD 与平面EDF B 1所成角为33arccos. (3)∵()()()()⎪⎭⎫⎝⎛0,2,,,0,,,0,0,0,,0,0,0,011a a E a a B a A a D A ，∴平面ABCD 的法向量为),0,0(1a A A =.又（2）知平面EDF B 1的法向量()1,2,1=n ，∴66||||||,cos 111=∙∙>=<A A n A A n A A n . 所以平面EDF B 1与平面ABCD 所成的角为66arccos . 四、空间向量法的逆向使用_ D _ A 1_ B1 _ A_ C 1_ D 1_ C_ B_x_y_z_ E_ F例：（5）103余弦值为所成平面角的二面角的与平面，使得平面，问是否存在上，且在设ABC ABQ MN MQ MN Q λλ=。