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当x∈［2,3］时，f(x)=x，则x∈［-2,0］时，f(x)的解析式
为( )
(A)f(x)=2+|x+1|
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
【创新体验】分段函数的性质判断
【典例】(2012·福建高考)设函数 Dx 10,,xx为为有无理理数数，，则下列
结论错误的是( )
(A)D(x)的值域为{0,1}
(B)D(x)是偶函数
(C)D(x)不是周期函数
(D)D(x)不是单调函数
3.(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+ f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1 2 010 335.
6
而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
个周期.
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】选B.∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)=f(0)=0,故选B.
(2)因为f(x)的周期为2,
所以 f ( 3) f ( 3 2) f ( 1),
22
2
即 f (1) f ( 1).
2
2
又因为
f (
1) 2
1a 2
1,f (1) 2
b
2 1
2 1
b 3
4,
2
所以 1 a 1 b 4 ,
2
3
∴3a+2b=-2
①,
又因为f(-1)=f(1),所以 a 1 即bb=2 ,-2a ②,
【拓展提升】判断函数周期性的三个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它 的一个周期. (2)f(x+a)= 1(a≠0),则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它
f (x)
的一个周期.
(3)f(x+a)= f 1x则 , 函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一
若奇函数f(x)在原点 有意义则f(0)=_0_
2.周期性 (1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
①T≠0; ②_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 _最__小__的__正__数__，那么这个_最__小__的__正__数__就叫做它的最小正周期． (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
考向 3 函数的周期性及其应用
【典例3】(1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足
f(x+6)=f(x),当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，
f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( )
(A)335
(B)338
(C)1 678
(D)2 012
(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
ax 1, 1 x＜0,
在区间［-1，1］上，f
x
bx 2 x 1
,0
x
1,
其中a,b∈R,若
f (1) f ( 3), 则a+3b的值为______.
22
【思路点拨】(1)先根据周期性求f(1)+f(2)+…+f(6),再根据
周期性求f(1)+f(2)+…+f(2 012).
(2)利用周期性可知f(-1)=f(1), f ( 3) f (列1)方 f程(1),
2
22
组求解.
【解析】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x＜3时，f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
2
将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10. 答案：-10
【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x， 恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).
第三节 函数的奇偶性与周期性
1.奇函数、偶函数的定义与性质
定义
图象 定义域 性 质 单调性 图象与原点 的关系
偶函数
奇函数
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
f(-x)=_f_(_x_)_
f(-x)=_-_f_(_x_)_
关于_y_轴__对称
关于_原__点__对称
关于_原__点__对称
在关于原点对称的两个区间上 有_相__反__的单调性 有_相__同__的单调性
【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴f(x)=x2+2x. 又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］, ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.
