江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研

2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B={0，1}．2．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是∃x∈（1，2），x2≤1．3．（5分）设（i为虚数单位），则a+b=．解：因为==，b=．故答案为：．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24．=55．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）⊥”•=0：已知=⊥”，∴•“”⊥”6．（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=e x的一条切线，则实数b的值是3﹣3ln3．﹣=3﹣+7．（5分）在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，则边c=7（1+）．，，=，即=，又∴由正弦定理得：==14，sin75sin（××）1+8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是[﹣7，3]．w=表示的平面区域如下图所示：w=，当w=9．（5分）下列四个命题：①函数f（x）=xsinx是偶函数；②函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；③把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象；④函数f（x）=sin（x﹣）在区间[0，π]上是减函数．其中是真命题的是①②③（写出所有真命题的序号）．）x+））），图象向右平移个单位长度﹣10．（5分）（2008•长宁区二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．4+，利用基本不+==4++≥4+，11．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有a n﹣a n+1≠1，a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2，则S2012=4023．12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2．上，而而=2解：由题意可得：，故=2cos，，由基本不等式可得：≤213．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为3．±上，∴±＜﹣时，当﹣＜﹣（﹣．＜．，﹣=1967114．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]≤﹣=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．，=16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）设，试求的取值范围．cosB=．由此能求出），由，得，由此能求出cosB=…）因为）…的取值范围是17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？×（==x=）时，，x=）=．答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为18．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．，由根系关系即可求得实数，），，=x，=x=﹣x==，=+（（==+=19．（16分）各项为正数的数列{a n} 的前n项和为S n，且满足：S n=2++（n∈N*）（1）求a n；（2）设函数f（n）=，c n=f（2n+4（n∈N*），求数列{c n} 的前n项和T n；（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n＞λS k恒成立，求实数λ的最大值．2（2（+恒成立．．20．（16分）设函数y=f（x）=x2﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f （x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|．（1）求b及k的值；（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：++≤．，可以求出≥≤得：=，，，）=恒成立，所以（≤（+[2=γ≥∴（）=时，等号成立．。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题错误！未指定书签。

．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________【答案】27错误！未指定书签。

．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.【答案】1错误！未指定书签。

．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数)(x f y =是增函数,且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称,设s ,t 满足不等式)4()4(22t t f s s f --≥-,若22≤≤-s 时,则s t +3的范围是____________.【答案】[8,16]-错误！未指定书签。

．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.【答案】2错误！未指定书签。

．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未指定书签。

．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设，，x x f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.【答案】2≥k .错误！未指定书签。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。

2013学年第一学期期中试卷高二职高数学本试题卷共4页，五大题17小题。

全卷满分100分。

考试用时100分钟注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷一、选择题（本大题共l2小题．每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的）1、已知 A （－5，2）B （0，－3）则直线AB 斜率为 （ ） A 、 －1 B 、1 C 、31D 、0 2、经过点（1，2）且倾斜角为450的直线方程为 （ ） A 、1+=x y B 、x y 2= C 、3+-=x y D 、x y 2-= 3、如图直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k 则 （ ） A 、1k ＞2k ＞3k B 、2k ＞1k ＞3k C 、3k ＞2k ＞1k D 、2k ＞3k ＞1k4、直线06=+-y x 与直线0=+y x 的交点坐标为 ( ) A 、 （－3，3） B 、 （3，－3） C 、（4，2） D 、（3，3）5、直线1l 的倾斜角130α=o，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为 ( )A 3-B 3C 33-D 336、经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程为 ( ) A 23100x y -+= B 01032=++y x C 23100x y +-= D 23100x y --=7、过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程为 ( ) A 20x y += B 20x y -= C 02=-y x D 20x y +=8、三条直线相交于一点，可以确定的平面个数是 （ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、1个或3个9、下列选项中，能确定一个平面的是 （ ） A 、三个点 B 、一点和一条直线 C 、两条直线 D 、两条平行直线 10、若直线a 平行于平面α内的一条直线，则a 与平面α的位置关系是 （ ） A 、α//a B 、α⊂aC 、α//a 或α⊂aD 、α//a 或a 与α相交 11、用符合语言表示“点P 在直线l 上，l 在平面α内”，正确的是 （ ） A 、α∈∈l l P , B 、α⊂∈l l P , C 、α∈⊂l l P , D 、α⊂⊂l l P ,12、圆心为（-1,4），半径为5的圆的方程为 （ ） A 、25)4()1(22=++-y x B 、25)4()1(22=-++y x C 、5)4()1(22=++-y x D 、5)4()1(22=-++y x二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在对应的位置上，其答案书写不清，模棱两可均不得分）13x+y+1=0的倾斜角为 ___ 14、原点到直线0834=+-y x 的距离为____________15、已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则圆心坐标为__________,半径为___________ 16、已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱所在的直线总共有_______对是异面直线 17、已知c b a ,,是三条直线，给出下列命题：（1）若a 与b 垂直，c 与b 垂直，则a 与c 也垂直；（2）若a 与b 是异面直线，c 与b 是异面直线，则a 与c 也是异面直线；（3）若a 与b 是相交直线，c 与b 是相交直线，则a 与c 也是相交直线；（4）若a 与b 共面，c 与b 共面，则a 与c 也共面。

2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}230,3,1,0,1,2,3A x x x B =-£=--∣，则A B =I （ ）A. {}1,2,3 B. {}0,1,2,3 C. {}3,1-- D. {}3【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式解出集合A ，再求交集即可；详解】()23030x x x x -£Û-£，解得03x ££，所以{}03A xx =££∣，所以{}0,1,2,3A B =I ，故选：B.2. 复数i 11i-+的虚部为（ ）A. 1 B. 1- C. iD. i-【答案】A 【解析】分析】化简求解即可.【详解】()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+，虚部1，故选：A.3. 若向量()()2,1,3,4a b ==r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量为（ ）A. 68,55æöç÷èøB. 34,55æöç÷èøC. 34,55æö-ç÷èøD. 【【为【答案】A 【解析】【分析】直接利用投影向量的公式求解即可.【详解】a r在b r 上的投影向量()210683,4,2555||a b b b ×æö==ç÷èør r rr ，故选：A.4. 已知圆锥的母线长为13，侧面积为65π，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.100π9B.4000π81C.400π9D.1000π81【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥的特征先计算其高与底面圆半径，再利用相似的性质计算内切球半径，计算其表面积即可.【详解】设该圆锥底面圆半径为r ，高为h ，根据题意有π13π65π,5,12rl r r h ==\==，设其内切球半径1210,,5133R h R R R R R r l --\=Þ=\=，所以内切球的表面积2100400π4π4π99S R ==×=，故选：C.5. 等比数列{}n a 的各项均为正数，若1234327,2a a a a a a ++==+，则789a a a ++=（ ）A. 588 B. 448 C. 896 D. 548【答案】B 【解析】【分析】由已知等式结合等比数列下标的性质解出q ，再利用下标的性质求解即可；【详解】由4322a a a =+，可得321112a q a q a q =+，因为等比数列{}n a 的各项均为正数，则222,20,1q q q q q =+--==-（舍）或2，()6789123764448a a a a a a q ++=++=´=，故选：B.6. 在直角坐标系xOy 中，已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AOB V 的面积的最大值为（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离1d =£，利用勾股定理可表示出弦长AB =.【详解】圆心到直线的距离1d =£，AB =1122AOB S AB d =×=×V =又2(0,1]d Î，所以()2243dd -£，即AOBS£V故选：D.7. 已知()()11sin ,sin 23a b a b +=-=，则22cos cos a b -=（ ）A.136B. 136-C.16D. 16-【答案】D 【解析】【分析】先用降幂公式，再用和差化积公式即可.【详解】()221+cos21+cos21coscos cos2cos2222a b a b a b -=-=-()()1cos cos 2a a b b a b a b éù=++--+-+ëû()()111sin sin 236a b a b =-+-=-´=-.故选：D.8. 已知定义在()0,¥+上的函数()f x 满足()()()f xy xf y yf x =+，且()e e f =，则（ ）A.()22e 1e f = B.()1010e 10e f =C. ()f x 是增函数 D.()f x x是减函数【答案】B 【解析】【分析】先将等式两边同时除以xy ，得到()()()f xy f y f x xy y x=+，利用赋值法判断AB ，举反例为()ln f x x x =判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，()()()f xy xf y yf x =+，则()()()f xy f y f x xy y x=+，令e x y ==，则()22e (e)(e)112e e ef f f =+=+=，故A 错误；故()22e 2ef =，则()22e 2ef =，对于B ，令2e x y ==，则()222244e (e )(e )224e e ef f f =+=+=，则()44e 4e f =，同理可得()88e8e f =，令82e e x y ==，，则()()()10821082e e e 8210e e ef f f =+=+=，故B 正确；对于CD ，令()ln f x x x =，显然满足在()0,¥+，()()()f xy xf y yf x =+，()e e f =，得()ln 1f x x ¢=+，令()0f x ¢=得1ex =，显然当10,ex æùÎçúèû时，()ln 10f x x ¢=+<，此时()f x 单调递减，故C 错误；此时()ln f x x x=，显然在定义域上单调递增，故D 错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题CD 选项的判断关键在于，根据()f x 的性质举反例()ln f x x x =，从而得解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数()π2sin 23f x x æö=+ç÷èø，则（ ）A. ()f x 的图象关于点π,03æöç÷èø对称B. ()f x 的图象可由()2sin2g x x =的图象向左平移π3个单位长度得到C. ()f x 在区间ππ,122æöç÷èø单调递减D. 当π0,2x æöÎç÷èø时，()f x 的值域为2ùû【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：直接代入可得π03f æö=ç÷èø，即可判断对称中心；对于B ：根据三角函数图像变换分析判断；对于C ：以π23x +为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于D ：以π23x +为整体，结合正弦函数值域分析判断.【详解】对于选项A ：因为π2sin π03f æö==ç÷èø，所以()f x 关于π,03æöç÷èø对称，故A 正确；对于选项B ：()g x 向左平移π3个单位，可得()π2π2sin 233g x x f x æöæö+=+¹ç÷ç÷èøèø，故B 错误；对于选项C ：因为ππ,122x æöÎç÷èø，则ππ4π2,323x æö+Îç÷èø，且sin y x =在π3π,22æöç÷èø内单调递减，所以()f x 在区间ππ,122æöç÷èø单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为π02x <<，则ππ4ππ2,sin 213333x x æö<+<<+£ç÷èø，所以()f x 的值域为(2ùû，故D 错误.故选：AC.10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱111,CC C D 的中点，则（ ）A. 直线MN 与直线1AD 的夹角为60oB. 直线MN 与平面11AB DC. 点A 到平面1B MND. 三棱锥11C B MN -【答案】ABD 【解析】【分析】由三角形中位线的性质可得MN 与1AD 的夹角为1CD 与1AD 的夹角即1,AD C Ð再由1AD C V 为正三角形可得A 正确；建立如图所示坐标系，求出平面11AB D 的一个法向量，代入线面角公式求解可得B 正确；求出平面1B MN 的法向量，代入空间点面距离公式可得C 错误；画出图形，找到球心，由勾股定理列方程组可得D 正确；【详解】对于A ，由点,M N 分别是棱111,CC C D 的中点，所以1//MN CD ，所以MN 与1AD 的夹角为1CD 与1AD 的夹角即1,AD C Ð1AD C V 为正三角形，160AD C \Ð=o ，故A 正确；对于B ，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,0,2,0,2,1,0,1,2A B D M N ，则()0,1,1MN =-uuuu r ，()()110,2,2,2,0,2AB AD ==-uuur uuuu r，设平面11AB D 的一个法向量为(),,m a b c =r，则1102202200m AB b c a c m AD ì×=+=ìïÞíí-+=×=îïîuuur r uuuu r r ，取1a =，则()1,1,1m =-r ，设直线MN 与平面11AB D 所成的角为q ，则sin cos MN q =uuuu r MN \与平面11AB D，故B 正确；对于C ，()12,0,1B M =--uuuur，设平面1B MN 的法向量()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ì×=-+=ìï=\íí--=×=îïîuuuu r r r uuuur r 不放设1x =，则()2,2,1,2,2,z y n =-=-=--r设点A 到平面1B MN 的距离为d，则d ，故C错误；对于D ，1C MN V 的外接圆是以MN 为直径的圆，设圆心为,P则112MN CD ==112PM PN PC ===，设三棱锥11C B MN -的外接球的半径为R ，球心为O，2222223,,12(2)2OP PM R R R OP Rì+=ï\==í-+=ïî故D 正确；故选：ABD.11. 如图，由函数e e 1x y =-+与()ln e 1y x =+-的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（ ）A. Γ有对称轴B. Γ的弦长的最大值为C. 直线x y t +=被Γ)e 2-D. Γ的面积大于2e 4-【答案】ACD 【解析】【分析】利用反函数概念可判断A ；联立方程，求出交点即可判断B ；找出过P 与曲线相切且与AB 平行的点0P 即可C ；由()0Γ122e 22P AB A B S S x x >=×-×-V ，计算即可判断D .【详解】由()e e 1e e 1,ln e 1xxy y x y =-+Þ=+-\=+-，e e 1x y \=-+的反函数为()ln e 1y x =+-，两者关于y x =对称，故A 正确.e e 1e e 1x x y x y xì=-+Þ-=-í=î，令()()e e 1,e 1x x h x x h x ¢=--+=-ℎ(x )在(),0¥-上单调递减；(0,+∞)上单调递增，注意到()()()120,12e 010eh h h ->-=+-<=，()h x \在()2,1--和有一个零点0x ，另一个零点为()()001,1,1,,A B x y \，)01AB x \=->，故B 错误.x y t +=与曲线Γ对称轴AB 垂直，如图，只需考察曲线e e 1xy =-+上P 到y x =距离大最大值即可，找出过P 与曲线相切且与AB 平行的点0P 即可，令()e e 1xf x =-+，令()e 10xf x x ==Þ=¢，此时()000,2e ,P P -到y x =的距离d =，\直线x y t +=被Γ)e 2-，故C 正确.()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x >=×-×-=-->-V ，)021x -<<-（，故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本题中000012P AB P OB P OA A B S S S OP x x =+=×-V V V .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12. 已知随机变量x 服从二项分布()10,B p ，若()3111E x +=，则p =__________.【答案】13【解析】【分析】利用二项分布的期望公式以及期望的性质可得出关于p 的等式，即可解得p 的值.【详解】因为()10,B p x~，由二项分布的期望公式可得()10E p x =，由期望的性质可得()()313130111E E p x x +=+=+=，解得13p =.故答案为：13.13. 在四面体ABCD 中，ABC V 是正三角形，ACD V 是等腰直角三角形，DA DC =，平面ACD ^平面ABC ，点E 在棱BD 上，使得四面体ACDE 与四面体ABCD 的体积之比为1:2，则二面角D AC E--的余弦值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】画出二面角，计算三角形边长，然后利用余弦定理求解即可.【详解】设2DA DC ==，则AB BC AC ===，取AC 中点F所以sin 60BF AB =°=,12DF AC ==,因为12B ACD E ACD V V --=，所以点E 为BD 中点，因为平面ACD ^平面ABC ，AD CD =,AB BC =所以,DF AC BF AC ^^所以AC ^平面BDF BF DF^,。

2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数的虚部为（ ）A.1B.C.D.3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.B. C. D.5.等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A.588B.448C.896D.5486.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）A.1C.27.已知，则（ ）A.B. C. D.{}{}230,3,1,0,1,2,3A xx x B =-≤=--∣A B ⋂={}1,2,3{}0,1,2,3{}3,1--{}3i 11i-+1-i i-()()2,1,3,4a b == ab 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭65π100π94000π81400π91000π81{}n a 1234327,2a a a a a a ++==+789a a a ++=xOy 1y kx =+224x y +=,A B AOB ()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=22cos cos αβ-=136136-1616-8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A.B.C.是增函数D.是减函数二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.在区间单调递减D.当时，的值域为10.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）A.直线与直线的夹角为B.直线与平面C.点到平面D.三棱锥11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）()0,∞+()f x ()()()f xy xf y yf x =+()e e f =()22e 1ef =()1010e 10e f =()f x ()f x x()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2sin2g x x =π3()f x ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2⎤⎦1111ABCD A B C D -,M N 111,CC C D MN 1AD 60MN 11AB D A 1B MN 11C B MN -e e 1x y =-+()ln e 1y x =+-ΓA.有对称轴B.的弦长的最大值为C.直线被D.的面积大于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从二项分布，若，则__________.13.在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.14.已知双曲线上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5（1）求关于的经验回归方程；（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：ΓΓx y t +=Γ)e 2-Γ2e 4-ξ()10,B p ()3111E ξ+=p =ABCD ABC ACD DA DC =ACD ⊥ABC E BD ACDE ABCD 1:2D AC E--()2222:10,0x y C a b a b-=>>C θ2268x y xy ++=C x t y t /tx /t y y x ˆˆˆy bx a =+100t 90t 100t t 1221ˆ()ˆˆ.ni i i ni i x y nxy b x n x ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑16.（15分）已知椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，点，求.17.（15分）已知数列满足为常数.（1）若，求；（2）若的各项均为正数，证明：.18.（17分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）点分别在边上，且平分平分，.①求证：；②求.19.（17分）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.（1）求证：函数具有性质；（2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：；（3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点()2222:10x y C a b a b +=>>C 22y x =+C ,A B 11,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ {}n a (*111,n nd n d a a +-=∈N )1211,3a a ==11nk k k a a +=∑{}n a 212n n n a a a +++≤ABC ,,A B C ,,a b c ()1cos sin b C B +=C ,P Q ,AC AB BP ,ABC CQ ∠ACB ∠BC BQ PB PC +=+AB APBC PC=ABC ∠R ()f x ()f x 'k ()x ϕ()()()244f x x kx x k ϕ=-+'()0x ϕ>x ()f x ()W k ()3212413f x x x x =-++()1W ()g x ()2W ()22121212,,sincos x x x x x x αθθ<=+2212cos sin x x βθθ=+θ∈R ()()()()12g g g x g x αβ-≤-()h x (),P a b ()()22()()L x x a h x b =-+-()()00,Q x h x ()L x 0x x =Q P h ()h x ()W k.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.()()()()()()121,,1,P t h t t P t h t t ϕϕ-++-t ∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h k2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，，选B.2.【答案】A 【解析】，虚部为1，选A.3.【答案】A【解析】在上的投影向量，选A.4.【答案】C【解析】，内切球半径，选C.5.【答案】B【解析】，则舍或2，选B.6.【答案】D 【解析】D.7.【答案】D【解析】，选D.8.【答案】B【解析】，则，则{}03A xx =≤≤∣{}0,1,2,3A B ⋂=()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+a b()210683,4,2555||a b b b ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭π13π65π,5,12rl r r h ==∴==1121021021313103R ⨯⨯⨯==++2100400π4π4π99S R ==⋅=4322a a a =+222,20,1q q q q q =+--==-()6789123764448a a a a a a q ++=++=⨯=111,22AOB d AB S AB d =≤==⋅=⋅ =≤()()()()2211111sin ,sin ,cos cos sin sin 23236αβαβαβαβαβ+=-=-=-+-=-⨯=-()()()f xy xf y yf x =+()()()(),ln f xy f y f x f x x xyyx x=+=，即对.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】关于对称，A 对.向左平移个单位变为错.，则的一个单调减区间而在单调递减，C 对.，则.D 错.选AC.10.【答案】ABD【解析】与的夹角为与的夹角即为正三角形，，A 对.面与平面，B 对.设平面的法向量()()1010ln ,ee10f x x x f ==⋅()1010e 10,B ef =()π0,3f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭π,03⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3()π2π2sin 2,B 33g x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2232x <+<()π7π,1212x f x <<∴π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭()πππ7π,,,1221212f x ⎛⎫⎛⎫⊂∴⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π02x <<ππ4ππ02π,2,2sin 223333x x x ⎛⎫<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭MN ∥1,CD MN 1AD 1CD 1AD 11,AD C AD C ∠ 160AD C ∠∴= 1CA ⊥()()111111,2,2,2,0,2,2,cos ,AB D CA D C CA D C =-=-==MN ∴11AB D 1B MN ()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ⎧⋅=-+=⎧⎪=∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩不放设，则错.对于D ，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为D 对.11.【答案】ACD【解析】由的反函数为，两者关于对称，A 正确.对于B ，，令在上单调递减；上单调递增，注意掉在和有一个零点，另一个零点为，B 错.对于与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离直线被正确.1x =()182,2,1,2,2,,C 3AB n z y n d n ⋅=-=-=--==1C MN MN ,P MN =22222132,,12(2)2OP R R R OP R ⎧+=⎪⎪∴==⎨⎪-+>⎪⎩()e e 1e e 1,ln e 1,e e 1xxxy y x y y =-+⇒=+-∴=+-∴=-+()ln e 1y x =+-y x =e e 1e e 1x x y x y x⎧=-+⇒-=-⎨=⎩()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-()h x (),0∞-()0,∞+()()()()120,12e 010,e h h h h x ->-=+-<=∴()2,1--0x ()()001,1,1,,A B x y ∴)01AB x ∴=->∴C,x y t +=ΓAB e e 1x y =-+P y x =P AB P ()e e 1xf x =-+()e 10x f x x ==⇒='()000,2e ,P P -y x =d =∴x y t +=Γ)e 2,C -对于D ，ВD 正确，选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】设，则，取中点为中点平面平面二面角为.14.【答案】4【解析】设在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x ∴>=⋅-⋅-=-->- ( )021,x -<<-∴13()()110,,10,313130111,3B p E p E E p p ξξξξ~=+=+=+=∴=122DA DC ==AC =AC 1,2B ACD E ACD V BF DF BD E V --====∴BD ACD ⊥,ABC BD DE EF ∴===D AC E --1,cos 2DFE DFE ∠∠∴=(),P x y 2268x y xy ++=(),P y x ∴'2268x y xy ++=(),P y x ''--∴2268x y xy ++=y x=±而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线联立实轴端点为，的虚轴长为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16.【解析】（1）由题意，椭圆：.（2），解得或.17.【解析】（1）.∴y x=-y x∴=221,68y xxx y xy=⎧⇒=±∴⎨++=⎩()()1,1,1,1--a∴=2c b⇒==C∴44114.5, 4.5,84.5,4 3.5i i i ii ix y x y x y xy=====-=∑∑4213.5ˆˆ45,0.7, 4.50.7 4.5 1.355iix x b a=-=∴===-⨯=∑0.7 1.5ˆ3.y x∴=+100,71.35x y==71.35t9071.3518.65-=∴18.65t222124,222ca ab c bca b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪⋅=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩22184x y+=2222184y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩2xy=⎧⎨=⎩()1616149,0,2,,14999xA By⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩113514113514637,2,24369436914416MA MB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯-⨯=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12111111,,2,121213n n na a n na a a+==∴-=∴=+-=-1111111,21(21)(21)22121n nnk kan k k k k==⎛⎫∴=∴=-⎪--+-+⎝⎭∑∑11111111112335212122121nn n n n⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（2）整理得显然成立，.18.【解析】（1）.（2）①证明：在和中分别使用正弦定理（2）同理()()1111111,0,0,11n n n d a d a a a n d a =+->≥∴=+-()()21111211111211n n n a a a nd n d n d a a a +++≤⇔≤+++-++2221111nd nd d a a ⎛⎫⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n n n a a a +++∴≤()sin 1cos sin ,sin 0B C C B B +=> ππcos 12sin 1,63C C C C ⎛⎫-=⇒-== ⎪⎝⎭ABP BCP sin 4sin ,sin 3sin ABAP AB AP BC PC BC PC ∠θ∠θ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩①①②②()sin60sin sin60sin sin 60PB PC BC PB PCθθθ+===++ ()()1sin30sin 230sin 2302BC BQ BC BQθθ+==+++ ()()1sin 2302sin 230BC BQ PB PC θθ+++=+⇒=+19.【解析】（1）取，则具有性质.（2）具有性质函数使得时对恒成立在上单调递增，当且且另一方面，同理（3）设，，()1260sin 302θθ⇒+=<<+()12cos 602θ∴+==- ()()()22cos 3011cos 602cos 602θθθ-∴+=⇒--=()()()2cos 30sin 602602θθθ∴-+-=- ()()2cos 302cos 902θθ⇒-=- 30290,40,80ABC θθθ∠-=-∴==()()2244144f x x x x x '=-+=⋅-+()1x ϕ=()()()()244,f x x x x f x ϕ=⋅-+∴'()1W ()g x ()2,W ∴∃()x ϕ()()()2248g x x x x ϕ=-+'()()22240x x x ϕ=⋅-+>x ∀∈R ()g x ∴R ()()1212,x x g x g x <∴< 2222222111sin cos ,cos sin x x x x x x αθθβθθ≤+=≥+=()()()()()()()()2121,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≤≥∴-≤-22111sin cos x x x αθθ≥+=2x β≤()()()()()()()()1212,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≥≤∴-≥-()()()()()()2112g g g x g x g x g x αβ∴-≤-=-()()()()221(1)[]L x x t h x h t t ϕ=-++--()()()()222(1)[]L x x t h x h t t ϕ=--+-+()()()()()()1212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=-++--⎦'⎣'对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，①，②，①-②具有性质恒成立故恒成立综上：的取值范围为.()()()()()()2212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=--+-+⋅⎦'⎣' t ∀∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h ()000,,P x y x ∴()1L x ()2L x 0,x ∴R ()()10200L x L x ∴==''()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤⇒-++--=⎣⎦'()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤---+⎣'+=⎦()()()()()00044010h x t h x t h x ϕϕ⇒-⋅='⇒'⋅'⇒=>()h x ()()()0,00W k t h x ϕ∴>⇒>'2440kx x k -+>2116160k k k >⎧⇒⇒>⎨-<⎩k ()1,∞+。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编13：等比数列及其前n 项和（教师版）填空题错误！未指定书签。

．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{}n a 满足43713a a a a =⋅,则数列{}n a 的公比q =____.【答案】3错误！未指定书签。

．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和,若3620a a +=,则63S S 的值是___________. 【答案】12错误！未指定书签。

．（2013江苏高考数学）在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.【答案】解析:本题主要考察等比数列的有关概念及性质.指数函数二次函数的单调性.猜想与证明等知识及推理论证能力. 由215=a ,及376=+a a 得方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a 两式相除得:062=-+q q ,∴2=q (3-=q 舍)∴3211=a ∵n n a a a a a a 2121>+++∴)1(21111)1(-+++>--n nn q a qq a ∴2)10)(1(212-->-n n n ①∴n2>2)10)(1(212-->-n n n∴n2>2)10)(1(2--n n ②先通过②式利用函数xx f 2)(=大致确定n 的取值范围:∴2)10)(1(-->n n n ∴01132+-n n <0∴212913-<n <212913+又∵+∈N n 且12212113=+<212913+<13216913=+∴最大正整数n 的值为12 再通过①式利用函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调性说明最大正整数n的值为12 又∵2)1012)(112(12212-->- 1213-<2)1013)(113(2--且函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调增函数∴最大正整数n 的值为12错误！未指定书签。

江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校2024届高三上学期12月数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要3.(sin 40tan10=（）A.2B.－2C.1D.－14.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.4865.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BE b = ，则AB为（）A.1324a b - B.1223a b+C.1324a b+D.1223a b -6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率的取值范围为（）A.01e <<-B.11e -<< C.112e << D.102e <<7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-8.设tan 0.21a =，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -<D.+≤10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a 垂直，则实数x =____________.14.已知直线l 满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x =--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n nS a =+且515S =，记[]2log n n b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,]4x ∈，5a =时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅，求()f x 的值域.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN = ，求直线l 的方程.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a-=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.已知函数()()e0xf x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM ，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.2023~2024学年度第一学期阶段性测试高三数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，22{|log log 2}{|2}Mx x x x =>=>，{|(3)(3)0}{|33}N x x x x x =+-<=-<<，解得(2,3)M N = .故选：B2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断.【详解】当2m=时，直线1:2210l x y +-=，直线2:3310l x y ++=，此时221331-=≠，所以直线1l ‖2l ，当1l ‖2l 时，21(10)311m m m -=≠+≠+，得(1)61210m m m m +=⎧⎪+≠-⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以“2m=”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的充要条件，故选：C3.(sin 40tan10= （）A.2B.－2C.1D.－1【答案】D 【解析】【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 4012(sin10)22sin 40cos102(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin ︒︒⋅︒=︒︒=︒⋅︒︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-故选:D4.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.486【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于1,a q 的方程组，从而利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】因为122n n a S +=+，{}n a 为等比数列，设其公比为q ，当1n=时，2122a a =+，即1122a q a =+，当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，联立()1121112222a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，解得12,3a q ==（0q =舍去），则445123162a a q ==⨯=.故选：C.5.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BEb = ，则AB为（）A.1324a b -B.1223a b +C.1324a b +D.1223a b -【答案】A 【解析】【分析】先以,AB AC 为基底表示出AD 和BE，然后消去AC 可得.【详解】因为点D 为BC 边中点，2AE EC =，所以()1213AD AB AC BE AE AB AC AB ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩，消去AC 得234AD BE AB -= ，即13132424AB AD BE a b =-=-.故选：A.6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率e 的取值范围为（）A.01e <<B.11e -<< C.112e << D.102e <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到212b F F a<，得到2220c ac a +-<，转化为2210e e +-<，进而求得椭圆C 的离心率的取值范围.【详解】由1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，可得22b AB a=，即22b AF a=，因为1ABF 为钝角三角形，则1245AF F ∠>︒，可得212b F F a <，即22b c a<，即22b ac >，又因为222b a c =-，可得222a c ac ->，即2220c ac a +-<，即2210e e +-<，且01e <<，解得01e <<-，即椭圆C 的离心率的取值范围为1)-.故选：A.7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-【答案】B 【解析】【分析】利用三角形相似得到线段比，从而转化得解.【详解】记此人的眼睛在,M Q 处的位置分别为,D E ，如图，由题意可知ABN MDN ∽，ABP QEP ∽，所以AB ANMD MN=，AB APQE PQ=，又DM EQ h ==，MQ m =，,PQ a MN b ==，所以AB ANh b=，AB AP h a =，则b AB AN h ⋅=，a ABAP h⋅=，因为AP AN PN MP MN m a b -==+=-+，所以a AB b AB m a b h h ⋅⋅-=-+，解得mhAB ha b=--.故选：B.8.设tan 0.21a=，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b 【答案】C 【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x <<时，tan x x >，再通过构造函数()()πln 1,02f x x x x =-+<<进一步得到()ln 1x x >+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由此即可比较,a b ，通过构造函数()()ln 1,01x g x x x x=+->+即可比较,c b ，由此即可得解.【详解】设()πtan ,02h x x x x =-<<，则()()22cos cos sin sin 1π110,0cos cos 2x x x x h x x x x ⋅--'=-=-><<，所以()tan hx x x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()tan 00hx x x g =->=，即πtan ,02x x x ><<，令()()πln 1,02f x x x x =-+<<，则()11011x f x x x'=-=>++，所以()()ln 1f x x x =-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()()ln 100f x x x f =-+>=，即()ln 1x x >+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tanln 1x x x >>+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而当0.21x =时，tan 0.21ln1.21a b =>=，令()()ln 1,01x g x x x x =+->+，则()()()()22110111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()()ln 11xg x x x =+-+在()0,∞+上单调递增，所以()()210.21ln1.2100121g g =->=，即21ln1.21121b c =>=，综上所述：21tan 0.21ln1.21121a b c =>=>=.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是在比较,a b 的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较,c b 大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -< D.≤【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合基本不等式和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，对于A 中，由1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当b a a b=时，即12ab ==时，等号成立，所以A 不正确；对于B 中，由22221()21212(22a b a b a b ab ab ++=+-=-≥-⋅=，当且仅当12ab ==时，等号成立，所以B 正确；对于C 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，可得10b a -=-<，又因为函数2x y =为单调递增函数，可得22a a ->，所以122a b ->，所以C 不正确；对于D 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，设22πsin ,cos ,(02a b θθθ==<<，sin 2cos )θθθϕ+=+=+≤，其中tan 2ϕ=，所以D 正确.故选；BD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则12z z = B.11,Znn z z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n n z r n n θθ=+，于是1|||cos isin |n n n z r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||n n z r =，因此11nn z z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到当且仅当ω满足π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由此判断B ；进一步结合复合函数单调性、三角函数单调性以及B 选项分析即可进一步判断ACD.【详解】对于B ，由题意当[]0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，所以当且仅当π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得23291212ω≤<，即ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故B 正确；对于C ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极小值点有且仅有两个：3π7π,22，故C 选项正确；对于D ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极大值点有两个：π5π,22，但当π9π4π2π62t ω≤=+≤时，()f x 在区间()0,2π有且仅有2个极大值点，故D 选项错误；对于A ，由B 选项分析可知2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，不妨取2329,11252212ω∈=⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时ππ37π,6672t x ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，而sin y t =在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π37π,272⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 选项错误.故选：BC.12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f xg x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令=1x -，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a垂直，则实数x =____________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示，列出方程求解即得.【详解】由()1,a x =，()1,b x =- ，得2221,1a x a b x =+⋅=-+ ，由2a b - 与a 垂直，得2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅= ，即有22(1)2(1)0x x +--+=，解得x =所以实数x =.故答案为：14.已知直线l满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.【答案】10x y -+=（答案不唯一，10x y ++=）【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式，列式不解即得.【详解】当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x a =，于是||2a =，且|3|a -=，显然无解，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，于是2==，整理得22222168k b k kb b ⎧-=-⎨++=⎩，消去常数项得()(35)0k b k b -+=，即有0k b -=或350k b +=，由22210k b k b ⎧-=-⎨-=⎩解得1k b ==或1k b ==-，而方程组2221350k b k b ⎧-=-⎨+=⎩无解，因此1k b ==或1k b ==-，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x=--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】1[e,)-+∞【解析】【分析】根据题意，转化为()e x g x x =与y a =±的图象交点个数问题，分类讨论，利用导数求得函数()g x 的单调性与极小值，结合图象，即可求解.【详解】由函数()()()()1e ,01e 1e ,0xxxx ax x f x x a x x ax x ⎧--≥⎪=--=⎨-+<⎪⎩，当0x ≥时，可得()e xf x x a '=-；当0x <时，可得()e x f x x a '=+，令()e x g x x =，可得()(1)e x g x x '=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以，当=1x -时，函数取得极小值，极小值为()11eg --=-，且0x <时，()0g x <，()00g =，其函数()g x 的图象，如图所示，因为函数()f x 有且只有一个可导极值点，显然当0a <时，y a =与()e x g x x =在[)0,∞+上无交点，y a =-与()e xg x x =在(),0∞-上无交点，故不合题意，舍去，且由题目条件所知0a ≠，则0a >，①当函数()e x g x x =在[)0,∞+上与y a =，在(),0∞-上与y a =-上总共有一个交点时，当0a >时，设函数()f x 的唯一可导极值点为0x ，由图知00x >，若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上没有实数根，则1ea a ->⎧⎨>⎩，可得1e a ->，此时0x 即为直线y a =与()()e 0x g x x x =≥的交点横坐标，符合题意；②若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且在()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上有且仅有一个实数根，且此零点的左右两侧导函数值不变号，则10ea a ->⎧⎨-=-⎩，可得1e a -=，此时满足题意，综上可得，实数a 的取值范围为1[e ,)-+∞.故答案为：1[e,)-+∞.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S a =+且515S =，记[]2log nn b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.【答案】480【解析】【分析】求出na n =，则得到[]2log nb n =，再利用[]x 的定义即可求出答案.【详解】由题意得()()1122nn n n nS a a a =+=+，所以11a =，()515355152S a a a =+==，所以33a =，所以公差3112d -==，所以n a n =，[][]22log log n n b a n ==，当1n=时，10b =，当23n ≤≤时，1n b =，当47n ≤≤时，2n b =，当815n ≤≤时，3n b =，当1631n ≤≤时，4n b =，当3263n ≤≤时，5n b =，当64100n ≤≤时，6n b =，所以数列{}n b 的前100项和为0122438416532637480+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：480.【点睛】关键点睛：本题的关键是求出na n =，再利用取整函数的定义对nb 分类讨论，最后计算出答案.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,4x ∈，5a = 时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅ ，求()f x 的值域.【答案】（1）410+；（2）5[,14-.【解析】【分析】（1）利用给定的模求出π4x +的正余弦，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用数量积的坐标表示求出()f x ，再利用换元法，结合二次函数求出函数值域.【小问1详解】由π(sin(),1)4a x =+ ，5a = ，得2π41sin ()1425x ++=，即2π16sin (425x +=，由π[0,]4x ∈，得πππ[,442x +∈，解得π4π3sin(),cos()4545x x +=+=，所以7πππππππ4134sin()sin[()]sin()cos cos()sin 12434343525210x x x x ++=++=+++=⨯+⨯=.【小问2详解】依题意，π())sin 2sin cos 2sin cos 4f x a b x x x x x x=⋅=++=++2sin cos (sin cos )1x x x x =+++-，令πsin cos )[4t x x x +=∈=+，则22151()24y t t t =+-=+-，当12t =-时，min 54=-y ，当t =时，max 1y =+所以()f x 的值域是5[,14-+.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN =，求直线l 的方程.【答案】（1）226480x y x y +--+=（2）1x =，或351270--=x y 【解析】【分析】（1）设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入A 、B 、C 三点坐标可得答案；（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，求出M 、N 点坐标满足题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立，设()()1122,,,Mx y N x y ，利用2MP PN =可得2123+=x x ，再由韦达定理求出1x 、2x ，再根据12x x 可得答案.【小问1详解】设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C ，所以16040416240259530D F D E F D E F +++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得648D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足224361632200+-=+-=>D E F ，所以圆T 的方程226480x y x y +--+=；【小问2详解】由（1）圆T 的方程为226480x y x y +--+=，因为2277816480339⎛⎫+--⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以点P 在圆T 内，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，与圆T 的方程联立即2216480x x y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，当()1,1M 时，则()1,3N ，所以8220,0,33⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ MP PN ，不满足题意，当()1,1N 时，则()1,3M ，所以4420,,0,33⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP PN ，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立即()227136480y k x x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+--+=⎩，整理得()222222371260339⎛⎫++-+-+-+= ⎪⎝⎭k x k k x k k ，设()()1122,,,Mx y N x y ，可得212222631-+=++x x k k k ，2122237391-++=x k k kx ，1122771,,1,33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP x y PN x y ，由2MP PN =得12221x x -=-，可得2123+=x x ，221211122263231-++=++=+=+k k x x x x x x k ，可得2122331+-=+k k x k ，2224931-+=+k k x k ，所以2222221223724393933111-+++=+=-++⨯-x k k k k k k x k k k ，解得3512k =，所以直线l 的方程为()7351312-=-y x ，即351270--=x y ，综上所述，直线l 的方程为1x =，或351270--=x y.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A .【答案】（1）6；（2）π6.【解析】【分析】（1）根据给定等式，借助正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简并求出C ，然后利用余弦定理求解即得.（2）利用和差角的正弦公式、二倍角的正弦公式求解即得.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理及12cos 2a Bb =+，2c =，得1sin sin cos sin 2A C B B =+，则有1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，即1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B +=+，即有1sincos sin 2B C B =，而0πB <<，即sin 0B >，因此1cos 2C =，又0πC <<，则π3C =，由余弦定理得2222222π142cos()3()3()()324a b c a b ab a b ab a b a b +==+-=+-≥+-⋅=+，当且仅当a b =时取等号，此时max ()4a b +=，所以当2ab c ===时，ABC 的周长取得最大值6.【小问2详解】在ABC 中，由sin sin()2sin 2C B A A +-=，得sin()sin()2sin 2B A B A A ++-=，化简得2sin cos 4sin cos B A A A =，由a b <，知A 是锐角，即cos 0A >，因此sin 2sin B A =，由（1）得，πsin()2sin 3A A +=，即1cos sin 2sin 22A A A +=，整理得tan 3A =，所以π6A =.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111n n na n a -=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21,N na n n *=+∈（2）2,431,42,N 1,41,4n n n k n n k T k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩【解析】【分析】（1）根据题意构造新数列1nna b n =+，利用累加法求得{}n b 的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据（1）中所求知21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，分四种情况依次求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 即可.【小问1详解】由题13a =且当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a -=++，则11,21(1)n n a a n n n n n -=+≥++，令113,1112n n a a b b n ===++，即11111,2(1)1nn n n b b b b n n n n n --=+⇒-=-≥++，则211123bb -=-，323411b b -=-，L ，1111n n b b n n --=-+，累加得1111,22,2211n nb b n b n n n -=-≥⇒=-≥++，132b =也符合，所以12,N 1n b n n *=-∈+，1221,N 11n n n a b a n n n n *=-=⇒=+∈++.【小问2详解】由（1）得21na n =+，令πsin2n n n c a =，则21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，其中N k *∈，即12343,0,7,0c c c c ===-=，L，434241485,0,81,0,N k k k k c k c c k c k *---=-==-+=∈，因为43424144,N k k k k cc c c k *---+++=-∈所以当4n k =时，1244n n nT c c c n =+++=-⨯=- ，当41n k =-时，1114014n n n n T T c n +++=-=-⨯-=--，当42n k =-时，()()2212421114n n n n n T T c c n n ++++=--=-⨯--+-=+，当43n k =-时，111102n n n T T c n n ++=-=++-=+，则数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和122,431,42,N 1,41,4n n n n k n n k T c c c k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=+++=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩ .21.已知函数()()e 0x f x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.【答案】21.答案见解析22.1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，求得()(1)e x f x a x '=+，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，根据导数的几何意义求得切线方程，转化为()1211214,(0)1ex x a x x -=>+，设()()2241exx h x x =+，利用导数求得函数()hx 的单调性与极值，得出函数()h x 的值域，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()0x f x axe a =≠，可得()(1)e x f x a x '=+，当0a >时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，(1,)∈-+∞x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0a <时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(1,)∈-+∞x 时，()0f x '<，()f x 单调递减.【小问2详解】解：设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，可得()111(1)e x kf x a x '==+，可得切线方程为1111(1)e ()x x y ate a x x x -=+-，即112111(1)e ()e x x t y a x x ate a x t =++-+，即()112111e e x x y a x x ax =+-由()2g x x =-，可得()2g x x '=-，则2k b =，所以切线方程为22y bx b =-+所以1112212(1)e x x b a x b ax e⎧-=+⎨=-⎩，可得1211214,(0)(1)ex x a x x -=>+，设()2124,(0)(1)e xx h x x x =>+，可得()34(2)(1)(1)e x x x x h x x -+-'=+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以，当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()11eh =，又由当0x →时，()0h x →；当x →+∞时，()0h x →，所以()10e h x <≤，所以10e a <-≤时，即实数a 的取值范围为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法策略：利用导数研究参数问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值（值域），进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）()2,0【解析】【分析】（1）由题意根据准线方程、长轴长、平方关系列出方程组，即可得解.21（2）不妨设直线:(2)1l y k x =++，0(,0)Q x ，1122(,),(,)M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立根据韦达定理，可将1211k k +表示成含0,x k 的代数式，根据1211k k +定值的条件判断0x 是否存在即可.【小问1详解】由题意椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，即24,24a a c==，又因为222a b c =+，所以2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知，直线l 的斜率的存在，所以可设:(2)1l y k x =++，联立22143x y +=可得222(34)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，()()()()22221642144342112961202k k k k k k ⎡⎤∴∆=+-++-=->⇒<⎣⎦，21212228(21)4(21)12+=,=3+43+4k k k x x x x k k ++--，若存在满足条件的0(,0)Q x ，10201020121212112121x x x x x x x x k k y y kx k kx k ----∴+=+=+++++10220112()(21)()(21)(21)(21)x x kx k x x kx k kx k kx k -+++-++=++++1201202212122(21)()2(21)(21)()(21)kx x k kx x x x k k x x k k x x k ++-+-+=+++++00(2412)6123x k x k -+-=+当00(2412)6=123x x -+-时，0=2x ，这时12114k k +=-，即满足条件的(2,0)Q .。

2024~2025学年度第一学期调研测试高三数学（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效.2.答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足，则（）A. B. C. D.3.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.函数的图象大致是（）A. B. C. D.5.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.设数列的前项之积为，满足，则（）A. B. C. D.7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少。

已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过{}2|log1=>A x xR=C A()0,2(]0,2(),2-∞(],2-∞z()34512i+=+z i=z5131351251340.32=a20.3=b()2log0.3(1)=+>xc x x a b c<<b a c<<a b c<<c b a<<b c a()2cos22π=--xy x()33=-f x x x()212,-a a a(-()1,4-(]1,2-()1,2-{}na nnT()*21N+=∈n na T n2024=a4047404910111012101110134048404932.25g/m32.21g/m nnr()()0.25*0103R,N+=+-⋅∈∈n tnr r r r t nr1rn时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）A.12B.13C.14D.158.已知某个三角形的三边长为，，，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ）A.函数的图象关于点对称B.函数在区间上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.曲线在处的切线的斜率为111.已知函数，及其导函数，的定义域均为R ，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ）A.为偶函数B.的图象关于点对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.30.65g /m lg20.30≈lg30.48≈a b c <a b a b 2=-+y ax bx c a ()1,1212⎛⎝⎛ ⎝⎫⎪⎭)=a m ()0,1=b 2= a 1⋅= a b m ∥a b()4⊥-a ab 1=m 3=m a b - b ab 23π()21cos sin 2=+-f x x x x ()=y f x ()5,012π()=y f x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()=y f x 3πcos2=-y x ()=y f x 4π=x ()f x ()g x ()'f x ()'g x ()21-f x 1=x ()()11++=+f x g x x ()()1+=-+f x g x x ()21=g ()f x ()g x ()3,3()2021'=g ()991g 4949==∑i i12.函数的单调递增区间为________.13.已知是数列的前项和，是和的等差中项，则________.14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合，.（1）当时，求；（2）在“充分条件”“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“”的________？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，且对任意，都有.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求的面积.17.（本小题满分15分）已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.18.（本小题满分17分）已知数列前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状()()2ln 812=-+f x x x n S {}n a n n S 3n a 2-=n S △ABC A B C a b c 22233=-c a b ()tan -A B {}2|7100,R =-+<∈M x x x x {2,R}=-<∈‖∣N xx m x 1=m ⋂M N m ∈x M ∈x N m m △ABC A B C a b c ()()2sin ,sin =-m x A A ()cos ,1= n x ()=⋅ f x m n R ∈x ()()512π≤f x f ()fx =a sin sin +=B C △ABC ()ln =-f x x ax ()2=g x ax0≠a ()f x 0>a ()()≤f x g x a {}n a n n S ()*21N =-∈n n S a n {}n a =n n b na {}n b n n T ()32(1)0λλ=-⋅-≠n n n n c a λ*N ∈n 1+>n n c c λ态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形；（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：；（3）已知函数，其中，，.若对任意的恒成立，求的最大值.()e e 2-+=x xD x ()e e 2--=x xR x ()()()()[]2222=--R x y D x R x D x =y t ()=y D x ()=y R x 1x 2x 3x (123ln 1++>+x x x ()()()2=--f x D x aR x b 2840+≤a b a R ∈b ()4f x …))ln1,ln 1⎡⎤∈-⎣⎦x +a b。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式填空题1 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .【答案】14000 m .2 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为____.【答案】 3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,设222223111p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】1034 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.【答案】37(,]6-∞ 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,则21x x +-的最小值为_________.【答案】16 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________【答案】37 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____. 【答案】48 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z++++的最小值为________________. 【答案】79 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________.【答案】10．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法.设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a xx a x a x d ++-+=-+-=设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )对称轴为a t = 分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增, ∴a t =时,)(t f 取最小值 ∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)综上所述,1-=a 或1011．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为_______.【答案】3212．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.【答案】14解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()()6()2s t s t s t =+++-=+-.因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥所以221214x y x y +≥++. 13．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足2x+y-2 =0,则2x yxy+的最小值为___________________.【答案】9214．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于,M N两点,则线段MN 长的最小值是________【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数xx f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ的长4PQ =≥,当且仅当22k k=即1k =时上式取等号.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =12,若2x y +的最小值为64,则ba =________.【答案】6416．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x yx y x y+++的最大值为______. 【答案】32.本题可以进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x yk x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立?17．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,+∞),则1a +9c的最小值是________.【答案】3 解答题18．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为36平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)要最小.(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内,外周长最小为多少米?【答案】19．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）如图,某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为800平方米. (1)设试验田ABCD 的面积为S ,x AB =,求函数)(x f S =的解析式; (2)求试验田ABCD 占地面积的最小值.【答案】解:(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ,则800)2)(4(=--y x42792-+=x xy试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx(2令t x =-4,0>t ,则32002808S t t=++,968≥当且仅当tt 32002=时,40=t ,即44=x ,此时,22=y答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时,占地面积最小为968米220．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是x 米、y 米,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路,大棚所占地面积为S 平方米,其中a ∶b =1∶2. (1)试用x ,y 表示S ;(2)若要使S 最大,则x ,y 的值各为多少?【答案】解:(1)由题意可得:1800xy =,2b a =则333y a b a =++=+38(2)(3)(38)(38)1808333y yS x a x b x a x x -=-+-=-=-=--8818001600180831808318083()33y S x x x x x =--=--⋅=-+1808318082401568-⨯=-=≤ 当且仅当1600x x =,即 40x =时取等号, S 取得最大值.此时 180045y x== 所以当40x =,45y =时,S 取得最大值。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编32：导数在切线上的应用填空题1 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1,则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为__________.【答案】6x -y -5=0 ;2 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在曲线331y x x =-+的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.【答案】y=3x+13 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,点P是第一象限内曲线y = x 31上的一个动点,以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ,B 两点,则△AOB 的面积的最小值为______.【答案】4233 ;4 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）曲线12++=x xe y x在点(0,1)处的切线方程为_____________..【答案】5 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.【答案】1+=x y6 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知直线2+=x y 与曲线()a x y+=ln 相切,则a 的值为 _______.【答案】37 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值,则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为_________.【答案】5-;8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线,则切线斜率为_____.【答案】1e9 ．（2010年高考（江苏））函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=_________【答案】2110．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为___________【答案】1e11．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 【答案】【命题立意】本题主要考查了导数的应用、直线的方程、函数的最值等知识,对学生的运算求解能力、抽象概括能力都有较高的要求.)1(21ee +【解析】设则直线的方程为:,令,则,与垂直的直线方程为:,令,则,所以,考查函数,求导可得当时函数取得最大值.12．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线方程为______________.【答案】0x y -=13．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________.【答案】 答案:1e 2y x =-.本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.(1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=.在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中,令x =0,则得(1)e f '=. 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别.14．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_____________【答案】(0,0)15．（2009高考(江苏)）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为__★___.【答案】【答案】(2,15)-16．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C :32(,,y ax bx d a b d =++为常数上,若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行,则32a b d ++=______.【答案】717．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.【答案】2e18．（2013江苏高考数学）抛物线2x y =在1=x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】解析:本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识.x y 2'= ∴21'===x y k ∴切线方程为)1(21-=-x y与x 轴交点为)0,21(A ,与y 轴交点为)1,0(-B , 当直线y x z 2+=过点)0,21(A 时021m ax +=z 当直线y x z 2+=过点)1,0(-B 时2)1(20m in -=-⨯+=z ∴y x 2+的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,2解答题19．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知曲线x()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.【答案】k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时,取等号又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ,∴k 切=2,此时切点A(-1,-1),切线l :y=2x+1 由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1,∴)2sin(ϕ+x =0,从而B(21-,0) ∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ 又22πϕπ<<-,∴ϕ= 120．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l , 且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称; (2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【答案】解:(1)()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33,()x f ∴为奇函数设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23,()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ,∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->,∴2221x x =又21x x ≠,∴21x x -=, 又()f x 为奇函数, ∴点B A ,关于原点对称(2)由(1)知()()1111,,,y x B y x A --, ∴b ax x y k AB -==2111, 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113, 直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB k k axb ax b ⋅=--⋅-=-,令021≥=ax t ,即方程014322=++-b bt t 有非负实根,∴302≥⇒≥∆b ,又212103b t t +=> , ∴0034>⇒>b b.综上3≥b 【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查推理论证能力.。

江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月期中调研数学试题一、单选题1．在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i-关于虚轴对称，则z =（）A ．1i+B ．1i--C ．1i -+D ．1i-2．若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（）A ．π4B ．π2-C ．π4-D ．03．下列说法中不正确的是（）A ．“1a >”是“2a >”的必要不充分条件B ．命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C ．“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D ．设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件4．在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（）A ．144B ．312C ．288D ．1565．已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（）A ．12B ．9C ．6D ．36．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A ．14B ．4C ．12D 7．已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（）A ．3π8B ．π3C ．π4D ．π28．已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（）A ．2e -B ．1e -C ．eD ．2e二、多选题9．已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（）A ．若a b∥，则2x =-或1B ．若a b ⊥，则0x =或-3C ．若a b =，则1x =或3D ．若1x =-，则向量a ，b 夹角的余弦值为510．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A ．若ABC V 为锐角三角形，则sin cosB A >B ．若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D ．若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 的面积为411．已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（）A ．a b=B ．3a >或2a <-C ．22(2)a b +-值可能为11D ．使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个三、填空题12．已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为.13．如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅= .14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b的范围是.四、解答题15．已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .16．已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.(1)求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.(2)试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.(3)根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.17．如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==tan CDB ∠=O 为对角线BD 中点，F 为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.(1)求AE 的长.(2)从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角的余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.18．已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.(1)如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.(2)若()()()F x g x f x =-在11,e 1e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.(3)是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.19．对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-= .(1)若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .(2)若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.(3)记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.。