近世代数课件36多项式环

a0 ,
a1 , a2
b0 ,
b1 , b2

我们规定一个加法：
a0 ,
a1 ,
b0 ,
b1 ,
a0 b0 , a1 b1,

显然这是一个 P 的代数运算，而且 P 对于这个加法 来说作成一个加群。这个加群的零元是 0, 0, 0, 。 我们再规定一种乘法：
a0 a1 an n 0
a0 2, a1 0 , a2 1 比方说，当 2的时候，取， ， 那么多项式` a0 a1 a2 2 2 2 0
未定元
定义3
的一个元 R x 叫做R的一个未定元，假如 0
a0 a1x an xn 0
2 2 2 a b 2 a 0
6.3 未定元的存在性
定理 1 给了一个有单位元的交换环R，存在一个
包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 x存在.
证明(省略) 我们非三步来证明这个定理。 1.首先我们利用R来作一个环 P。我们让 P 刚好包含 所有无穷序列 a0 , a1, a2 ，这里 ai R ，但只有有限个 ai 0 我们限定： 只在 ai bi , i 1, 2, 时，
6.1 多项式环R[ ]
我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊 的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 R0是一个有单位的交换环， R 是 R0的子环， R 并且包含 的单位元。比如 , 为复数环 (域), 为整 R0 R0 数环.

在 R0 里取出一个元 来，那么 a0 0 a11 an n a0 a1 有意义，是 R0 的一个元。
m
, b2
d0 ,
c1 ,
d1 , d 2

e1 ,
c0 ,
i j
e0 ,

那么，照乘法的定义， d ab
i j m
ek
mk n

d m ck a b i j ck i j m ai b j ck
m k n
的多项式
an n ai R
定义1 一个可以写成 a0 a1 an n ai R, n是 0的整数 形式 R0 的元叫做R上 a的一个多项式。 ai 叫做多项 式的系数。 注1：多项式常用 f ( ), g ( ) 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不 定义次数. 原因在什么地方?
多项式环 R[ ] 记 R[ ] ={所有R上的 的多项式}. 我们要注意，对于m n，
a0 am m a0 am m 0 m1 0 n
所以当我们只考虑 R 的有限个多项式的时候， 可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一 样的。因此， R 的两个元相加相乘适合以下公式： n n n a a b b a b a b 0 0 0 0 n n n n
a0
an n a0
an n R
定义2 R 叫做R上 的多项式环. 注3：R 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 R 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法。
6.2 一元多项式环 R[ x]
的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数 a0 , a1 , , an 不都等于零的时候，很可能 的多项式
是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 deg( f )。
注6：多项式0不定义次数。 注7： deg( fg ) , deg( f g )
例1 R是整数环， R0 是复数域, 在 R0 上发现一些R 的未定元. 例2 ( R0 上可能没有R的未定元) R是整数环，R0 是包含所有 a bi a, b是整数 的整环， 这时对 R0 的每一个元 a bi 来说，都有
在R里找不到不都等于零的元 a0 , a1, , an 来，使得
在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 x 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 a0 a1x an xn ai R 的形式（不计系数是零的项）。
定义4 令
f ( x) a0 a1x an xn , an 0
i j
d1 , d 2

那么，由加法和乘法的定义，
i j k
a b
i i j
j
i j k
ab ac
i j k
把 a0 , a1 , b0 , b1 , a0 , a1 , c0 , 然会得到同样的结果。 这样 P 作成一个交换环。 在 P 里我们有等式

i j k n

把 a0 , a1 , b0 , b1 到同样的结果。
,
c0 ,
c1 ,
计算一下，可以得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这两个代数运算也适合分配律：叫
a0 ,
a1 ,
b0 ,
b1 ,
c0 ,
dk
c1 ,
d0 ,
ck
a0 ,
a1 , a2
k 1, 2, 这里 显然这也是一个 P 的代数运算，并且这个乘法适合 交换律。
b0 , b1 , b2 ck ai b j i j k
c0 ,
c1 , c2

这个乘法也适合结合律：叫
a0 , a1 , a2 b0 , b1 a0 , a1 , b0 , b1 ,
a
这里
0
an n b0
bn n c0 ak b0
i j k i
cm n m n
j
ck a0bk a1bk 1
ab
R 对于加法和乘法来说都 这两个式子告诉我们， 是闭的。进一步,
所以 R 是一个(子)环。