微分方程基本概念(2)

第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。

微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。

二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。

(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。

(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。

2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。

(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。

3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。

(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。

三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

(3) 通解为齐次通解加上特解。

四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。

2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。

3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。

通过变量代换和积分可以求出其通解。

五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。

定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。

微分方程一 基本概念定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．定义若 微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．一阶微分方程一阶微分方程的一般形式：0),,(='y y x F 或),(y x f y ='．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．对上式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如要求其特解，可由初始条件00y yx x ==代入通解中定出任意常数C 的值，可得特解．例 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y 满足初始条件2)1(=y 的特解． 解 分离变量，得dx x x dy yy )1(1122+=+．即dx x x x dy y y⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111．两边积分，得C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即)ln(1)(1ln(222Cx y x =++）．通解为222)1)(1(Cx y x =++．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．所求特解为22210)1)(1(x y x =++．2．齐次方程可化为形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程． 齐次方程中，作变量替换xy u =就可以化为可分离变量的方程：dx x du uu f ⎰⎰=-1)(1求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 例 解微分方程.tan2x y x y y =-' 解 原方程可写成：.tan 2xy x y y +='这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入原方程得.tan 2⎰⎰=xdx udu 积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=得.sin 2cx u =将xy u =代入上式，便得原方程的通解为.sin 2cx xy =在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）满足初始条件10==x y的特解．解 原方程可化为yx y x xyx y dydx ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=23123222． 令yx u =，即uy x =，则dydu yu dydx +=，代入上式，得uu dydu y2512-=．分离变量，并两边积分，得dy ydu uu ⎰⎰=-15122．即C y u ln 51ln )51ln(512-=--．将yx u =代入，得到原方程的通解为C y x y =-3255将初始条件10==x y代入通解中，得到1=C ．所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dxdy ．解 令u y x =-，则u x y -=，dxdu dxdy -=1，于是 111+=-udxdu ． udxdu 1-=．分离变量，并两边积分，得C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程 可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程是齐次的.0)(=+y x P dxdy 称为对应于方程)()(x Q y x P dxdy =+的线性齐次微分方程．分离变量后，得dx x P ydy )(-=，两边积分得C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程的通解为⎰=-dxx P Ce y )(.下面求方程)()(x Q y x P dxdy =+的通解的方法：1.先求对应的齐次线性微分方程()0dy P x y dx+=的通解⎰=-dxx P Cey )(；2.常数变易：令⎰=-dx x P e x C y )()(是)()(x Q y x P dxdy=+的解，将该解带入方程)()(x Q y x P dxdy =+，有)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-，即 ⎰='dxx P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(. 得通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(.上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解. 线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解 对应齐次方程为.0cot =-'x y y 分离变量，得.cot 1xdx dy y=两边积分，得.sin sin ln cot x C CeCe y xxdx⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y = 代入原非齐次方程，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=例 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y的特解．解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dydx 262-=，即23y x ydydx -=-，将x 视为y 的函数，通解公式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y ex dy y dyy332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为2232yy x +=．形如ny x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程两边同除以n y 得)()(1x Q yx P dxdy y nn=+--．再令nyz -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdzn =+-．即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+．1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(xyy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-xx uu ud )(d ϕ．注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-．4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u y n=-1可转化为一阶线性方程．全微分方程全微分方程0pdx Qdy += 满足p Q yx∂∂=∂∂ ，则(,)u x y ∃使(,)du x y pdx Qdy =+此时，00(,)(,)(,)xyxyu x y p x y dx Q x y dy =+⎰⎰，方程解为：(,)u x y c =例 解微分方程()cos cos sin sin 0x y x y y x y '+-+= 解：()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+=()sin sin ,()cos cos p x y x y Q x x y x =-+=+sin cos ,cos sin p Q x y y x yx∂∂=-+=-∂∂，所以p Q yx ∂∂=∂∂所以()00(,)sin sin 1xyu x y y x y dx dy =-++⎰⎰(,)cos sin cos sin u x y y x y x y y y x x y =-++=+，方程的解为cos sin x x y C +=.也可以直接求解：原方程为()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+= 即()()cos sin cos sin 0x ydy ydx xdy y xdx ++-=()()sin sin cos cos 0xd y ydx xdy yd x +++=即sin cos 0dx y dy x +=，即()sin cos 0d x y y x +=，所以sin cos x y y x C +=. 例 解微分方程tan cos y y x x '+= 方法一：常数变易 tan 0y y x '+=，sin cos dy x dx y x=-⎰⎰ln ln cos ln y x c =+ cos y c x =，令()cos y c x x =是原方程的解，tan ()cos ()(sin )()sin cos y y x c x x c x x c x x x ''+=+-+= ()1c x '= 得()c x x c =+， 所以()cos y x c x =+.方法二（乘积分因子，将方程变为全微分方程）：由于sin cos cos x dy ydx xdx x+=，所以2cos cos cos xdy yd x xdx -= 2cos cos cos xdy yd xdx x -=，cos yddx x =.所以cos yx c x=+，()cos y x c x =+. 例 解微分方程2()20x y dx xydy -+=解：由2()20x y dx xydy -+=，有220xdx y dx xdy -+=所以取积分因子21x，有2220dx xdy y dxxx-+=即2ln 0yd x dx+=，所以原方程的解为2ln yx C x+=一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+的积分因子为()P x dxe ⎰例 ()()y p x y Q x '+=解：方程变形为()()dy p x ydx Q x dx += 方程两端乘积分因子()p x dxe ⎰有()()()()()p x dxp x dxp x dxe dy ye p x dx Q x e dx ⎰⎰⎰+=即()()()p x dxp x dxdye Q x e dx ⎰⎰=所以()()()p x dxp x dx ye Q x e dx C ⎰⎰=+⎰所以()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 我们看到，这正是一阶线性微分方程的公式解. 例 x x x y y sin 2cot =-' 解：我们选取cot ln sin 1sin xdxxe ex--⎰==做积分因子，方程变为21cos 2sin sin x dy ydx xdx xx-=，即2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，所以2sin y ddx x=，即2sin y x C x=+，()2sin y x C x =+.其实我们通过观察就可以将方程凑成全微分方程cos 2sin sin x dy ydx x xdx x-=，则2sin cos 2sin xdy y xdx x xdx -=2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，即2sin yddx x =所以2sin y x C x=+，即()2sin y x C x =+可降阶的高阶微分方程1．)()(x f y n = 型的微分方程（方程的右端仅含自变量x ） 方程两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f yn ++=⎰⎰-．继续下去，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程（方程中不显含未知函数y ） 设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程变成),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程()1,d d C x xy ψ=．对它积分即得方程的通解()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xpp x ，是一阶线性微分方程，化为221112xp xx p +=++'，通解为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x xC p xx xx x xd e11ed 1221d 1222211x C x ++=． 将y p '=代入上式，并做积分得方程的通解()212arctan 1ln 21C x Cxy +++=．3．()y y f y '='',型的微分方程（中不显含自变量x ） 令y p '=，两边对x 求导得y p p x y y p xp y d d d d d d d d =⋅==''，则方程变成),(d d p y f ypp =，得关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='． 分离变量并积分，即可得方程的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例 求微分方程()02='-''y y y 的通解．解 设p y ='，则yp py d d =''，代入原方程得0d d 2=-pyp yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy pp d d =．得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．0=p ，C y =，已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为xC C y 1e 2=．常系数线性微分方程线性方程组解的理论：n 阶常系数线性微分方程()(1)11()()()()n n n n yf x yf x y f x y Q x --'++++= ⑴对应的齐次线性微分方程：()(1)11()()()0n n n n yf x yf x y f x y --'++++= ⑵①：⑴的解与⑵的解之和是⑴的解；②：⑴的两个解之差是⑵的解；③：⑵的解的线性组合是⑵的解；④：12()()()Q x q x q x =+，则()1()()n n y f x y q x ++= 与()2()()n n y f x y q x ++= 的解之和是()12()()()n n yf x y q x q x ++=+ 的解；⑤：⑴的通解可写成⑵的通解与⑴的特解之和；⑥：1(),()n h x h x 是⑵的线性无关解，则11()()n n c h x c h x ++ 是⑵的通解. 例：设线性无关函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为A 11223c y c y y ++B 1122123()c y c y c c y +-+C 1122123(1)c y c y c c y +---D 1122123(1)c y c y c c y ++--解：选择D二阶常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性微分方程设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的相互独立的两个特解（线性无关）(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．求微分方程0=+'+''qy y p y 通解中各项对照表：例 求微分方程043=-'+''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解． 解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ． 特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x+=．求导得xxC x C C y 22212e)(e2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e2x y x-=．例 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 0d )(d )(21)(．试求函数)(x f .解 方程两边对x 求导得：⎰-='x t t f x f 0d )(2)(．由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得：)()(x f x f -=''． 所以得到初值问题//0/012x x y y y y ==⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-=所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+ 由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=常系数齐次线性微分方程()(1)110n n n n y p y p y p y --'++++= 通解中各项对照表：例 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-=方程的通解).3sin3cos(e e43221x C x C C C y xx+++=-例 下列方程哪个以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意数）为通解 A ．//////440y y y y +--=；B ．//////440y y y y +++=；C ．//////440y y y y --+=；D ．//////440y y y y -+-=.2．二阶常系数非齐次线性微分方程()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解，Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为)(x f qy y p y =+'+''的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ； ②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+． 只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I. )(x f qy y p y =+'+''，x m x P x f λe )()(=型)(x f qy y p y =+'+''的具有形如：()ekxm y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解． 解 先求对应齐次方程：065=+'-''y y y 的通解， 其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如xm x P λe)(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如2y Ax Bx C *=++的特解． 由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得：.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.ee23221x C C y xx++=例 求方程xx y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 右端函数形如xm x P λe)(，其中,2=λ.2)(x x P m =方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为：).(e 212x C C Y x+=由于2=r 是二重特征根，设方程有形如22()e xy x Ax B *=+的特解．代入方程0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为：321e .3xy x *=最后得所求方程的通解为).31(e3212x x C C y x++=2010年考试题 求方程3'22e xy y y x ''-+=的通解（10分）II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解．解 方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ， 特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解， 求得,1,2==B A 故e (2cos sin )x y x x *=+， 所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=练习题解下列微分方程齐次方程1.222x e dy xy x y dy x y dx dx y x y e =⎧=+⎪⇒=+⎨⎪=⎩解：令y u x= 则y ux = dy udx xdu =+ ，dy du u xdxdx=+由dy x y dxyx=+，有1xdu dxu=，21ln 2uc x +=所以22ux ce = ，即222yxx ce= ，代入初始条件得1c e -=，所以2212yxx e-=2.2()dy x y dx=+，令u x y =+ (())dy x y dxϕ=+，21du u dx-=21du u dx-=21du u dx-=21du u dx=+，21du dx u =+ arctan()x c x y +=+3.解微分方程222222x yxx y yy ex x++'=+-解：令22x y u x+=，22xdu udx xdx ydy +=+222udy du yx u x e u x dxdx=+-=+-所以udu x e dx=，22ln x y xex C +--=+4：解微分方程15dy y x dxy x -+=++，令y Y a x x X b =+⎧=⎨=+⎩1()()15()()5y x Y a x b y x Y a x b -+=+-+-⎧⎨++=++++⎩ ∴1050a b a b --=⎧⎨++=⎩∴2,3a b =-=- ∴11YdY Y xx Y dxy xx--==++ 令Y u x = 12111udx xdu u du u x dx u dx u +-=⇒+=-++ ∴211du u xdxu +=-+∴2211ln(1)arctan ln 12u dx du u u x c u x+=-⇒++=-++2313arctanln 1()ln 2222y y x c x x ++⎡⎤++=-++⎢⎥++⎣⎦5.dy dxx=解：0x <时，dy y dxx=+，令yu x=，则y xu =，所以,dy udx xdu =+所以原方程变为：dy du u xu dxdx=+=+即dx x=，两边积分有1ln(ln ln u x c +=+所以1C x u =+0x <，所以y C x x=+()1C C =-所以2Cx y =-当0x >时dy ydxx =-dxx =-所以1ln(ln ln u x C +=-+即yx C x ⎛+⋅= ⎝，y C +=6：设L 是一条平面曲线，其上任一点(,)(0)p x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且过1(,0)2点⑴求L 的方程⑵求L 位于第一象限部分的一条切线，使该点切线与L 以及两坐标轴所围成图形的面积最小解：⑴(,)p x y 处的切线()Y y y X x '-=-，切线与Y 轴的交点0X Y y y x '=⇒=-1()02y y x y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩1()02dy dx xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得214y x =-⑵(,)p x y 处的切线()(0,0)Y y y X x x y '=+->>且214y x =-，2y x '=-∴222Y y xX x =-+为切线，切线与X 轴的交点222y x X+=22Y y x =+∴122220121(2)()224y x S y x x dx x+=⋅+--⎰又 122222011111,()()42244y x s x x dx x =-=⋅+--⎰∴222211111()()244248s x x x x y xx '=-+++⋅⇒==一阶线性微分方程 1：求过1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=的曲线方程解：arcsin 1y x '+= 则arcsin arcsin xdy yd x dx +=arcsin y x c x =+，又120x y==，∴12c =-∴12arcsin x y x-=2. 求连续函数()f x 使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰解：()2()2(0)0f x f x x f '+=⎧⎨=⎩注意初始条件22(2)2xxedy ydx x e dx +=⋅练习：已知连续函数满足条件320()()3x xt f x f dt e =+⎰，求()f x 3.设有微分方程2()y y x ϕ'-=，其中2(1)()0(1)x x x ϕ<⎧=⎨>⎩试求在(,)-∞+∞内连续函数()y y x =，使之在(,1)-∞和 (1,)+∞内都满足所给方程 且(0)0y =解：1x <，22(0)0y y y '-=⎧⎨=⎩ 21x y ce =- 1c = ，所以21x y e =-1x >时，20y y '-= 2x y ce =由于()y x 连续，且21lim 11xz x ee -→-=-，21lim ()1x y x e +→=-，所以221lim 1xx cee +→=-，即有21c e -=-，所以2221(1)()(1)(1)x xe x y x e e x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩17.设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件111()()()xtx tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰求()f x解：两边对x 求导1()()()ttf xt tf x f u du =+⎰又5(1)2f =，上式取1x =有15()()2ttf t t f u du =+⎰再求导5()()()2f t tf t f t '+=+，所以5()25(1)2f t tf ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5()(ln 1)2f x x =+练习：1.()f x 连续，0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x dx ⎰2.()f x 连续，20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x3.()f x 连续，1()sin ()f x x x f xt dt +=⎰，求()f x4.()f x 连续，20()2()xf x f t dt x +=⎰，求()f x18. ()f x 连续，21(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰解：令2x t u -=，则221(2)(2)()arctan 2x x xtf x t dt x u f u du x -=--=⎰⎰即22212()()arctan 2x xxxx f u du uf u du x -=⎰⎰所以[]24122()22(2)()2(2)2()21x xxf u du x f x f x xf x xf x x+⋅--⋅+=+⎰24122()()21x xxf u du xf x x -=+⎰令1x =，有2112()(1)2f u du f -=⎰，所以213()4f u du =⎰练习：()f x 连续，0()1cos ,xtf x t dt x -=-⎰，求20()f x dxπ⎰19.设()()()F x f x g x =其中(),()f x g x 在(,)-∞+∞内满足()(),()()f x g x g x f x ''==且(0)0,()()2xf f xg x e =+=⑴求()F x 所满足的一阶微分方程 ⑵求()F x 的表达式解：（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+[]22()()2()()42()xf xg x f x g x eF x =+-=-⑵22224()()(0)0xx xy y e y x F x e e y -'⎧+=⇒==-⎨=⎩ 20.()F x 是()f x 的一个原函数，()G x 是1()f x 的一个原函数()()1,(0)0F x G x f ⋅=-=求()F x解：0F G G F ''+=，所以110()F F Ff x '-⋅+⋅= ，22()()f x F x = ∴()()F x F x '=±练习：设()F x 为()f x 的原函数,且当0x ≥时, 2()()2(1)xxef x F x x =+，且(0)1,()0F F x =>，求()f x21 设(,)f u v 具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+= 求2()(,)x y x e f x x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解 解：[]2222()2(,)(,)(,)2xxxu v y x ef x x ef x x f x x y x e ---'''=-++=-+222222,2xx xy y x ee dy ye dx x dx -'+=+= 323xxdey d=∴32()3xxy c e-=+练习：设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z z xy∂∂+=∂∂(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=.(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式22.设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此方程满足ln 20x y==的特解解：()x x xe p x e x +=，所以()x p x xe x =- ，代入原方程即可求出解. 应用（几何）例1，设⑴函数(),(0)y f x x =≤≤+∞满足(0)0,0()1xf f x e =≤≤-⑵平行于Y 轴的动直线NW 与()y f x =和1xy e =-分别相交于12,p p⑶曲线()y f x =，直线NM 与X 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12p p 的长度 求()y f x =的表达式解0()(1)()(0)0x x f x dx e f x f ⎧=--⎪⎨⎪=⎩⎰ 练习：设()y f x =是第一象限内连接(0,1),(1,0)A B的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任一点，点C 为M 在X 轴上的投影，O 为原点，若梯形O C M A 的面积与曲边三角形C B M 的面积之和为3163x+，求()f x 表达式.例2：在XOY 坐标平面中，连续曲线L 过点(1,0)M任意一点(,),(0)p x y x ≠处切线斜率与直线o p 的斜率之差等于ax ，常数0a > ⑴求L 的方程；⑵当L 与直线y ax =围成面积为83时，求a解：10x dy yax dx x y=⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 2xdy ydx ax dx -=，2xdy ydxadx x-=，y ddax x=y ax c x=+2,0y ax cx a c =++= c a =-2y ax axy ax⎧=-⎨=⎩交点(0,0),(2,2)a 2208()3ax ax ax dx ⎡⎤--=⎣⎦⎰练习：.对任意0x >，()y f x =在(),()x f x 处切线在y 轴上的截距等于1()xf t dt x⎰，求()f x .。

微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。