§7.1 微分方程的基本概念

第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。

第九章 微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引 言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。

微分方程认识微分方程的基本概念与解法微分方程：认识微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。

本文将介绍微分方程的基本概念和解法，以帮助读者对微分方程有更深入的认识。

一、微分方程的定义和分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

一般可分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程则涉及多个独立变量。

常微分方程还可根据阶数进行分类，其中阶数为二的方程较为常见。

例如，一阶线性微分方程可表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数；二阶线性微分方程可表示为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = r(x)，其中p(x)，q(x)，和r(x)是已知函数。

二、解微分方程的基本方法1. 可分离变量法当微分方程可通过分离变量后进行变量代换，使之变为两个纯变量相乘的形式时，可利用可分离变量法解方程。

具体步骤为将方程两端分离相乘并求积分，最后解出未知函数。

2. 线性微分方程的齐次与非齐次解法线性微分方程是指可写成dy/dx + p(x)y = q(x)形式的方程。

对于齐次线性方程dy/dx + p(x)y = 0，可通过变量代换将其转化为一阶可分离变量方程进行求解。

对于非齐次线性方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可通过常数变易法求得非齐次线性微分方程的一个特解，并将通解与特解相加得到最终解。

3. 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指方程中的系数与自变量无关。

一般形式为dⁿy/dxⁿ + a₁dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + an-1dy/dx + any = 0。

解常系数线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。

4. 齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程是指方程中非齐次项为零的方程。

解齐次线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。

第七章 常微分方程简介我们已经学完一元函数微积分的基本内容．回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系．20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具．本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分．§7.1 基本概念1. 微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论．数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程．定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程． 只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程．微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶．于是n 阶常微分方程的一般形式是0),,,,()(='n y y y x F ， (1.1) 其中F 是2+n 个变元的已知函数，且)(n y 一定出现．(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广．)本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程．定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数F 对未知函数y 和它的各阶导数)(,n y y '的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程．n 阶线性微分方程的一般形式是：)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'++-- ， (1.2)其中)(x a i ),,2 ,1(n i =和)(x f 都是x 的已知函数．例如，下面的方程都是常微分方程：yx y -='， (1.3) 21y y +='， (1.4) 02=+''y y ω (0>ω是常数)， (1.5) 它们的阶数分别为1，1，2．方程(1.5)是线性的，而方程(1.3)和(1.4)是非线性的．定义7.1.3 设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续，且有直到n 阶的导数，若把)(x y ϕ=及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于x 的恒等式，即在I 上0))(),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕ ，则称)(x y ϕ=为方程(1.1)在区间I 上的解，若由关系式0),(=y x φ所确定的隐函数是方程(1.1)的解，则称0),(=y x φ为方程(1.1)的隐式解．例如，从定义7.1.3可以直接验证：1) 函数21x y -=和21x y --=都是方程(1.3)在区间)1 ,1(-上的解，而122=+y x 是它的隐式解．2) 函数x y tan =是方程(1.4)在区间)2,2(ππ-上的一个解，而)tan(c x y -=是方程(1.4)在区间)2,2(ππ+-c c 上的解，其中c 为任意常数．3) 函数x y cos 3ω=，x y sin 4ω=都是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解，而且对任意常数1c 和2c ，x c x c y sin cos 21ωω+=也是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解．今后对解与隐式解不加区别，统称它们为解．一般情况下也不再指明解的定义区间．从上面的讨论可知，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数(与方程的阶数有关)，而有的解不含任意常数．为了加以区别，我们给出如下定义：定义7.1.4 方程(1.1)的含有n 个独立的任意常数n c c c ,, ,21 的解) ,, ,,(21n c c c x y ϕ=称为它的通解．不含任意常数的解称为它的特解．这里说n 个任意常数是独立的，其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少．例如对于两个任意常数的情形，设函数)(),(x x ψϕ在区间I 上连续，若在I 上≠)()(x x ψϕ常数或≠)()(x x ϕψ常数，则称函数)(),(x x ψϕ在I 上线性无关，这时易知表达式 )()(21x c x c y ψϕ+=中的两个任意常数21,c c 是独立的．例1 验证函数x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解，其中21,c c 为任意常数． 解 x c x c y c o s s i n 21ωωωω+-='，x c x c y s i n c o s 2221ωωωω--=''，将y y '',的表达式代入方程(1.5)有) sin cos ( sin cos 21222212x c x c x c x c y y ωωωωωωωω++--=+''0≡， ),(+∞-∞∈x ，所以对任意常数21,c c ，x c x c y sin cos 21ωω+=都是方程(1.5)的解，又由于 ≠xx s i n c o s ωω常数 (πk x ≠，∈k Z ) 即21,c c 是两个独立的任意常数，因此x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解．类似验证 ) sin(B x A y +=ω (A,B 为任意常数)也是方程(1.5)的通解．而x y cos 3ω=和x y sin 4ω=则是方程(1.5)的两个特解．定义7.1.5 为了确定方程(1.1)的特解而给出的附加条件称为定解条件，求方程(1.1)的满足定解条件的特解的问题称为定解问题．方程(1.1)的一种常用的定解条件是初始条件，它的一般提法是)(0x y ，)1(00)(y x y ='，…， )1(00)1()(--=n n y x y ， (1.6) 其中0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y 是任给的1+n 个常数．求方程(1.1)满足初始条件(1.6)的解的问题称为初值问题或柯西(Cauchy)问题． 例如x y cos 3ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,3)0(02y y y y ω 的解，而x y sin 4ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''ωω4)0(,3)0(02y y y y的解．它们都是在求得方程的通解以后，再利用初始条件定出通解中的任意常数而得出．这种做法是具有一般性的．可以证明：对于在一定范围内给出的1+n 个常数：0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y ，利用通解表达式及初始条件(1.6)便可确定通解中的n 个任意常数n c c c ,,,21 ，从而得到相应的初值问题的解．换句话说，在一定范围内，通解包含了方程的所有解，这也是通解这一名词的一种名副其实的解释．2. 微分方程及其解的几何解释考虑一阶微方程),(y x f y =' (1.7) 其中),(y x f 是平面区域D 内给定的连续函数．方程(1.7)的解)(x y ϕ=)(I x ∈在平面上的图形是一条光滑曲线，称它为方程(1.7)的一条积分曲线，记作Γ．任取一点Γ∈),(000y x P ，即I x ∈0，)(00x y ϕ=．由于)(x y ϕ=满足方程(1.7)，故按导数的几何意义可知，曲线Γ在点0P 的切线斜率为),())(,()(00000y x f x x f x =='ϕϕ．这说明曲线Γ上任一点处的切线斜率恰好等于方程右边函数),(y x f 在该点的函数值．这样，在区域D 内每一点),(y x P ，都可以作一个以函数),(y x f 在该点的值为斜率的小线段来表明积分曲线(如果存在的话)在该点的切线方向．区域D 连同所有这些小线段称为方程(1.7)的方向场．现在我们可以对微分方程(1.7)及其解作出几何解释：给定方程(1.7)，就相当于给定平面区域D 内的一个方向场，反之给定区域D 内的一个方向场，就相当于给定一个形如(1.7)的方程．方程(1.7)的解所对应的积分曲线就是区域D 内这样的一条曲线，在它所经过的每一点都与方向场吻合，即曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致．求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ， 就是求一条经过点),(00y x 并与方向场吻合的光滑曲线．以上这种几何解释，无论在理论上还是在实用上都有很大的价值．从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科建立了数与形的联系，这就为我们从几何的角度去分析和思考微分方程的理论问题找到了入口．从实用上说，我们可以通过作出方向场来画出积分曲线的大概图形．这在无法(或无必要)求出解的精确表达式时，使我们能从微分方程本身的特有性质去推断出它的解的某些属性，从而使所讨论的问题在一定程度上获得解决．例2 证明：与微分方程3224xy y y x =-' (1.8) 的积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的曲线，也是方程(1.8)的积分曲线．证 设)(x y ϕ=)(b x a <<是方程(1.8)的一条积分曲线，以x -代x ，y -代y ，得)(x y ϕ=关于原点成中心对称的曲线)(x y -=-ϕ，即)(x y --=ϕ．由于)(x y ϕ=满足方程(1.8)，故有)()]([)]([43222x x x x x ϕϕϕ≡-'，)(b x a <<．上式中以x -代x ，得3222)]()[()]([)]([)(4x x x x x --≡---'-ϕϕϕ，)(a x b -<<-．或将它改写为3222)]([)]([])([4x x x x x --≡---'--ϕϕϕ，)(a x b -<<-．可见)(x y --=ϕ亦满足方程(1.8)．所以它也是方程(1.8)的一条积分曲线．§ 7.2 一阶微分方程的初等解法 本节讲述一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，因此也称初等积分法．虽然能用初等积分法求解的方程属特殊类型，但它们却经常出现在实际应用中,同时掌握这些方法与技巧，也为今后研究新问题时提供参考和借鉴．1. 变量分离方程形如)()(y g x f dxdy = (2.1) 的方程称为变量分离方程，其中)(x f 和)(y g 都是连续函数．当0)(≠y g 时，把(2.1)改写为dx x f y g dy )()(=．(称为分离变量)， 两边积分，得通解(隐式通解)⎰⎰+=c dx x f y g dy )()(． (2.2)这里我们把积分常数C 明确写出来，而把⎰)(y g dy ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数．在微分方程课程中，我们总是作这样的理解．若存在0y ，使0)(0=y g ，则直接验证可知0y y =也是方程(2.1)的解(称为常数解)．一般而论，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解(2.2)中，应注意补上这些可能丢失的解．例1 求方程0)(=+y x p dxdy (2.3) 的通解，其中)(x p 为连续函数．解 分离变量dx x p ydy )(-=， 两边积分得 ⎰+-=cdx x p y ~)( ln ． 或 ⎰±=-dx x p e cy )(~ ． 令cc ~±=，则 ⎰=-dx x p ce y )( )0(≠c ．此外0=y 是方程的常数解．若允许0=c ，则此解也含于上式中．所以方程(2.3)的通解为⎰=-dx x p ce y )(． (2.4)其中c 为任意常数．例2 解方程y y x y '=-2231．解 分离变量2231xdx y ydy =-， 两边积分得方程的通解c x y +-=--3112， 或03112=+--c x y ． 此外由012=-y 找到原方程的两个特解 1±=y ，但它们不能并入通解．2. 可化为变量分离方程的特殊类型1) 形如)(xy dx dy ϕ= (2.7)的方程称为齐次方程，其中ϕ是连续函数．通过变量代换，可将(2.7)化为变量分离方程，然后按变量分离方程求解． 令u x y=，或ux y =，则 u dx dux dx dy+=，代入(2.7)得)(u u dx dux ϕ=+，或x uu dx du -=)(ϕ．这是一个变量分离方程．例3 解方程x yx ydx dy +=2．解 令ux y =，代入方程得u u u dx dux +=+2，或u dx dux 2=．(2.8) 分离变量并积分，得(2.8)的通解c x u += ln ．此外0=u 也是(2.8)的解．代回原变量得原方程的通解c x x y+= ln及特解0=y )0(≠x ．例4 解方程2)(1y xy xy ++-='．解 令v y x=,或vy x =，则v dy dvy dy dx +=．代入方程得211v v v dy dvy ++-=+，即21v dydv y +=． 分离变量并积分，有ln ln )1ln(12y c v v =+++ )0(1>c ． 从而推出)1(2v v c y ++= )0(1≠±=c c ，或222c cvy y =-， 代回原变量得)2(22c x c y +=， 其中0≠c 为任意常数．2) 形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= (2.9) 的方程可化为齐次方程或变量分离方程，其中f 是连续函数，i a ，i b ，i c )2 ,1(=i 都是常数，且02221≠+a a ，02221≠+b b ，02221≠+c c ．分两种情形讨论：1) 0 2211=b a b a ．若02≠a ，则02≠b ，因为如果02=b ，由于0 122211=-=b a b a b a ，推出01=b ．与假设21 ,b b 不同时为零相矛盾，从而有k b b a a ==2121 (常数)． 令u y b x a =+22，得 )(2122c u c ku f b a dx du +++=，这是变量分离方程．若02=a ，则01≠a ，由0 212211==b a b a b a ，推出02=b ．从而01≠b ．令u y b x a =+11，得)(2111c c u f b a dx du ++=． 亦化为变量分离方程．2) 0 2211≠b a b a ． 这时方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 有唯一解 α=x ，β=y ．作平移代换 α-=x X ，β-=y Y ，代入方程(2.9)，得)(2211Yb X a Y b X a f dX dY ++=， 这是齐次方程．例5 解方程25--+-=y x y x dx dy ． 解 令u y x =-，则251-+-=u u dx du ， 即27--=u dx du ． 分离变量并积分，得27222c x u u +-=-， 或c x u u =+-1442．代回原变量得通解c y x xy y x =++-+410222．例6 解方程123132-+++=y x y x dx dy ． 解 联立⎩⎨⎧=-+=++01230132y x y x ．解得 1=x ，1-=y ．令1-=x X ，1+=y Y ，得齐次方程YX YX dX dY 2332++=． 又令u XY=，得 uudX du X 2332++=． 或uu dX du X 23)1(22+-=． (2.10) 分离变量013222=-++du u u dX X 由此积分得2ln 11ln 23 1 ln ln 122c u u u X =+-+-+ )0(1>c 从而推出c u u u X =+--3224)11()1( )0(1≠±=c c 或)1()1(54+=-u c u X此外由012=-u 找到(2.10)的两个特解1±=u ，其中1=u 可并入上式(取0=c )．代回原变量．得原方程的通解)()2(5x y c x y +=+-，其中c 为任意常数．而由1-=u 代回原变量找到原方程的一个特解 x y -=．3. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为)()(x Q y x P dxdy=+， (2.11) 其中P 、Q 为连续函数．当0)(≡x Q 时，(2.11)成为0)(=+y x P dxdy． (2.3) 称它为齐次线性方程，当0)(≡x Q 时，(2.11)称为非齐次线性方程．例1已求出方程(2.3)的通解⎰=-dxx p ce y )(． (2.4)现在对方程(2.11)作变换⎰=-dx x p ue y )(， (2.12)代入(2.11)化简得⎰=dx x p e x Q dxdu)()(， 由此积分，有⎰+⎰=c dx e x Q u dxx p )()(，将它代回到(2.12)即得方程(2.11)的通解))(()()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dxx p dx x p ． (2.13)上述求解方法通常称为常数变易法[把(2.4)中c 变易为x 的函数)(x u u =]，公式(2.13)也称为方程(2.11)的常数变易公式．具体求解可按上述常数变易法的过程进行，也可直接代公式(2.13)．例7 解方程 22yx ydx dy -=． 解 将方程改写为y x ydx dy -=2． 这是以x 为未知量的一阶线性方程．通解为)(22⎰+⎰-⎰=-c dy ye e x dydy ．) ln (2y c y -=．4. 可化为一阶线性方程的特殊类型 1)贝努里(Bernoulli)方程 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (2.14) 的方程称为贝努里方程，其中Q P ,为连续函数，1 ,0≠n 为常数．方程两边同乘以n y -，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+--， 或)()1()()1(11x Q n y x P n dxdy n n-=-+--． 这里以n y -1为未知量的一阶线性方程．此外，当0>n 时，0=y 也是方程(2.14)的解． 例8 解方程33y x xy dxdy=+． 解 方程两边同乘以3-y ，得 323x xy dxdyy =+--， 或32222x xy dxdy -=---． 所以)2(2232c dx ex e yx x +-=⎰--)(2222c e e x e x x x ++=--212x ce x -++=．方程的通解为1)1(222=++x ce x y ．2)形如)()()()()(y f x Q y f x P dxdyy f n =+' 的方程可化为线性方程或贝努里方程，其中Q P ,是连续函数，f 是可微函数，1 ≠n 为常数．例9 解方程y x y dxdyy 2sin cos sin cos =-． 解 原方程即y x y dxyd 2sin cos sin sin =-， 上式两边同乘以y 2sin -，得x y dxdyycos sin sin 12=---， 或x y dxyd cos sin sin 11-=+--． 所以方程的通解为) )(cos (sin 1c dx e x e y x x +-=⎰--x ce x x -++-=)sin (cos 21．此外，0sin =y ，即πk y =∈k (Z )也都是方程的解．上述几种特殊的方程类型，产生于微分方程发展的早期．从中我们可以体会到求解微分方程的一种方法：对于所给微分方程，总是设法通过变形或适当的变量代换将它转化为变量分离方程或一阶线性方程(当作两种基本类型)来求解，以此扩充可求解方程的范围．这种方法通常也称为分离变量法或变量代换法．例10 求解下列微分方程：(1) xey y dx dy -=2； (2) )(2222x y y x y dx dy x -=-； (3))cos(x y dxdy-=； (4) x x x e ye y e y 2212-=-+'-． 解 (1) 将方程改写为xe yy dy dx 211-=． 上式两边同乘以x e -，得211ye y dy dx e x x-=--， 或211ye y dy de x x =+--． 所以)1(112c dy e ye edy dy xy y+⎰⎰=⎰--) (l n 1c y y+=． 方程的通解为x e c y y ) (ln +=．此外，0=y 是方程的一个特解． (2) 原方程即332)21(xy y x xdx dy +-= ． 上式两边同乘以3-y ，得 x y x xdx dy y 2)21(233+-=--， 或x y xx dx dy 4)24(232--=--． 所以)4(44222⎰+⋅-=--c dx e x x xe y x x )(442c e xe x x+=-方程的通解为4222x e cy y x =-． 此外，0=y 是方程的一个特解． (3) 令u x y =-，将方程化为1cos -=u dxdu． 分离变量并积分，得c x u+=2c o t ．代回原变量得方程的通解c x xy +=-2cot． 此外方程有常数解πk x y 2+= ∈k (Z )．(4) 原方程可改写为2)()(x x x e y e e y --=-． 易知x e y =是它的一个特解．令x e y z -=，得 2z e z x -='． 分离变量并积分，得 c e zx +=1， 或c e z x+=1． 所以原方程的通解为c e e y x x ++=1． 此外方程有特解x e y =． 5. 恰当方程一阶微分方程也常以微分形式出现，即写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ． (2.15)如果存在二元可微函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 则称方程(2.15)为恰当方程．这时(2.15)成为0),(=y x du ．从而c y x u =),(． 就是它的通解．这里需要用到二元函数微分学的知识，但我们可以利用一元可微函数关于微分形式不变性来理解它．例如在微分方程032223=+dy y x dx xy中，视y 为x 函数，它的左边恰好写成)(32y x d ，所以求得通解为 c y x =32．例11 求下列微分方程的通解： (1) 0)2()(2=-++dy y x dx y x ； (2) 0)1(22=++dy x xydx ；(3) 0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ．解 (1) 分项组合，得0)(22=++-xdy ydx ydy dx x ， 或0)3(23=+-xy y x d 所以方程的通解为c xy y x =+-233． (2) 分项组合，得0)2(2=++dy dy x xydx ，或0)(2=+y y x d ．所以通解为c y y x =+2． (3) 分项组合，得 0)1c o s 2=-++y x d y y d x dy y xdx ， 或0) ln (sin =++yxy x d ．所以通解为c yxy x =++ ln sin ． 如果方程(2.15)不是恰当的，我们还可以通过对方程本身变形，结合运用微分运算的法则和技巧，有时还辅以适当的变量代换，将它转化为恰当方程来求解．为此需要掌握一些常见的微分表达式，如)(xy d xdy ydx =+， )2(22y x d y d y x d x+=+，)(2x y d x y d x x d y =-， )(2y xd y x d y y d x =-，) (ln x yd xy ydx xdy =-， )(a r c t a n 22x y d yx y d x x d y =+- 等． 例12 求解下列微分方程： (1) 0)(=-+dy x y ydx ；(2) 0)()(=++-dy y x dx y x ； (3) 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx x ；(4) 0)()(33=+++dy y x dx y x ． 解 (1) 原方程即0=+-y d y x d y y d x 上式两边同乘以21y，得 02=+-y dyyxdy ydx ， 或0) ln (=+y yxd ． 所以通解为c y yx=+ ln ． (2) 分项组合0=-++y d x x d y y d y x d x， 或0)(2122=-++y d x x d y y x d ． 以221y x +乘上式，得0)(2)(222222=+-+++y x y d xx d y y x y x d ， 由此积分，得c xy y x =++a r c t a n )l n (2122． (3) 以21x 乘方程，得 02=-++xy d xx d y y y d y x d x ， 或0)()(2122=++xyyd y x d ． 应用极坐标 θcos r x =，θsin r y =，上式变为0tan sin 212=+θθd r dr ，化简得0cos sin =+θθθd dr ． 由此积分，得1c o s 1c r =+θ， 代回原变量，得方程的通解12222c xy x y x =+++， 或2222)1)((cx x y x =++，其中21c c =为任意常数．(4) 分项组合0)()(3333=+++y dyx dx y x ydy xdx ， 运用微分运算法则，得 0)11(21)(21223322=+-+yx d y x y x d ， 或222322)()()(xy y x d xy y x d +=+． 令 22y x u +=，xy v =，上式变为23v u dv du =， 或udv vdu du 2-=．移项合并du v udv )1(2-=，分离变量并积分，得cu v =-2)1(． 通解为)()1(222y x c xy +=-．历史上，有人曾专门按导数形式去求解一阶微分方程，也有人曾试图按微分形式统一处理．但经验表明：单纯采用一种形式总有其不便与困难．求解中我们应特别注意这两种形式的互相转化，灵活运用各种求解方法．例13 求解下列微分方程(1) 252233363224y y y x x xy x dx dy +-+-=； (2) 0)1()(2=++-dy x y dx y x ． 解 (1) 改写成微分形式0)363()224(252233=+--+-dy y y y x dx x xy x ． 分项组合0)32()36()24(223253=+--++dy y x dx xy dy y y dx x x ． 从而有0)(323624=--++y x y y x x d ． 所以通解为c y x y y x x =--++323624．(2) 将方程改写为)1(2x y xy dx dy +-=． 或xxy x dx dy +-+=121222． 所以))1(12()1(222c x dxx x x y ++⋅+-+=⎰))1(1()1(22⎰+++=c x xdx )11)1(()1(22c x x x x +++++= 2)1(12x c x +++=．§ 7. 3 一阶微分方程的应用应用微分方程解决实际问题的步骤是：(1) 分析问题，建立相应的微分方程，并提出定解条件； (2) 求定解问题；(3) 利用所得结果解释实际问题．对于步骤 (1) 所涉及到的基本方法有按规律列方程，微元分析法及模拟近似法，下面我们通过举例分别阐述它们的具体运用．1. 按规律列方程在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践或实验检验的规律或定律，如牛顿冷却定理、牛顿运动定律、物质放射性的规律、电路问题中的基尔霍夫(Kirchhoff) 第二定律、曲线的切线性质等，它们都涉及到某些函数的变化率，由此所列出的关系式自然就是包含自变量、未知函数及其某些导数的微分方程式．例1 冷却问题把一个加热到50C 的物体，放到20C 的恒温环境中冷却，求物体的变化规律． 解 根据牛顿冷却定律：温度为u 的物体，在温度为0u 的周围环境中冷却的速率与温差0u u -成正比．在冷却过程中，设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，物体冷却的速率就是其温度对时间的变化率dtdu．于是由冷却定律可得 )20(--=u k dtdu， (3.1) 这里0>k 为比例常数，上式右边出现负号，是因为随时间t 的增加，温度u 在减少，即当20>u 时，0<dtdu． 此外，)(t u u =应满足初始条件 20)0(=u ． (3.2) 解初值问题(3.1)+(3.2)，得所求温度的变化规律kteu -+=3020．可见，物体的冷却是按指数规律变化的(图7—1)．当t 增加时，温度开始时下降较快，以后逐渐变慢而趋于环境温度．例2 物体在空气中的下落假设质量为m 的物体在空气中下落，初速度为零．空气阻力与下落速度的平方成正比，阻尼系数为0>k ，求下落速度)(t v v =的变化规律．解 不妨设重力mg (g 为重力加速度)的方向为正，则空气阻力为2kv -，由牛顿第二定律，可得2kv mg dtdvm-=． (3.3) 此外)(t v v =应满足初始条件0)0(=v ．将方程(3.3)分离变量dt vmk g dv=-2， 或dt mkv kmg dv =-2．两边积分，得1ln 21ln 21c t m k vv kmg kmg k mg kmg +=-+ )0(1>c ．化简得at kmg k mg ce vv 2=-+，其中01≠±=c c 为常数，mkga =． 由条件0)0(=v 可定出1=c ．把1=c 代回到上式，并从中解出v ，得所求变化规律1122+-=at at e e k mg v ．例3 R —L 电路设有电路如图7—2所示，其中R 、L 、E 都是常数．原来电路中没有电流，当把开关K 拨到1处后，电路中的电流逐渐增加，设0t t =时又将开关K 倒向2，则电路中电流又逐渐减少，试求电路中的电流I 随时间t 的变化规律．解 (1) K 拨到1处)0(0t t ≤≤时，电阻R ， 电感L 与电源E 串联成一闭合回路，各元件上电 压降分别为RI ，dtdIL ，E -，由基尔霍夫第二 定律，得图7—20=-+E dtdIL RI ， 或LE I L R dt dI =+． (3.3) 此外)(t I I =应满足初始条件0)0(=I ． (3.4) 解初值问题(3.3)+(3.4)，得)1(tL R e RE I --=．(2) K 倒向2处)(0t t ≥后，回路只由电阻R 与电感L 串联而成，故有0=+I LRdt dI ． (3.5) 且满足初始条件00)1()(0I e RE t I t R ∆-=-=． (3.6)解初值问题(3.5)+(3.6)，得)(00 t t LR eI I --=．所以)(t I I =的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=---. ,,0 ),1( 0)(000t t e I t t e R E I t t t L RLR例4 几何问题求一曲线，使其上任一点的切线与x 轴的交点 到切点的距离等于该交点到坐标原点的距离．解 设所求曲线的方程为)(x y y =，其 上任一点),(y x P 处的切线方程为图7—3)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 是切线上的动点(图7—3)．上式 中令0=Y ，得切线的横截距为y yx '-．依题意，得 222)()(y yx y y y '-=+'， 或222y x xyy -='． (3.7)此即所求曲线应满足的微分方程．将(3.7)改写为对称式0)(222=--dy y x xydx ，分项组合0222=+-dy y dy x xydx ． 以21y乘上式将它写成 0)(2=+y yx d ． 所以c y yx =+2． 或4)2(222c c y x =-+．这是中心在y 轴上且与x 轴相切于原点的圆族．2. 微元分析法用微积分的微元法来建立微分方程式实际上是寻求一些微元之间的关系式．在建立这些关系式时也要用到某已知规律或定律，与前述方法不同之处在于这里是对这些微元来应用规律或定律的．例5 溶液的混合问题一容器内盛有100升盐水，其中含盐10千克，今用每分钟2升的速率将净水注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以同样速率流出容器，问在任一时刻t 容器内含盐量是多少？解 设在时刻t ，容器内含盐量为)(t Q Q =．经过时间dt 后，流出容器的溶液量为dt 2，从而流出的盐量近似为dt Q 2100⋅，其中100Q为混合液在时刻t 的浓度，而流入容器的盐量为0．于是得含盐量Q 的微元dt QdQ 2100⋅-=， 即Q dt dQ 501-=． (3.8) 此外)(t Q Q =满足初始条件10)0(=Q ． (3.9) 解初值问题(3.8)+(3.9)，得teQ 110-=．例6 流体流动问题有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60 ，漏斗下面有面积为0.52cm 的孔，求水从小孔流出过程中漏斗中水面高度随时间变化的规律．解 建立坐标系如图7—4所示．设在时刻t ，水面高度为)(t h h =，经过时间dt ，水面高度为dh h +)0(<dh ．则在时间间隔],[dt t t +内，相应于漏斗中的水层，其体积近似于以h r 33=为半径，高为)(dh -的圆柱体体积，故这水层的体积微元为 dh h dh r dV 223ππ-=-=．而在这段时间内从小孔流出的水近似为dt h V dV )(5.00=，这里)(0h V 表示水面高度为h 时从小孔中流出的水沿h 图7—4 轴反向的速度，根据水力学中有关定律gh h V 262.0)(0=．其中0.62为流量系数，g 为重力加速度．于是有 dh h dt gh 23231.0π-=，或dh h gdt 23293.0π-=． (3.10)此外)(t h h =应满足初始条件10)0(=h ． (3.11) 解初值问题(3.10)+ (3.11)，得所求的变化规律)10100(265.45h gt -=π． 3. 模拟近似法在生物、医学、经济等学科的实际问题中，所反映的现象往往是很复杂的．为了研究它们，需要在不同的假设下去模拟实际现象．这个过程当然是近似的，所建立的数学模型，例如微分方程模型，也是作了各种近似和简化．因此，模型的结果是否具有实际意义或满足实际要求，只有通过实践去检验．例7 单种群模型与人口问题动植物种群本身是离散变量，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至可微地在变化，进而可以应用微分方程这一数学工具来研究．英国人马尔萨斯(Malthus)认为人口增长率(出生率与死亡率之差)为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比．设在时间t ，人口总数为)(t P P =，则有马尔萨斯人口模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)()0( P t P a aP dt dP是常数这个初值问题的解为)(00t t a e P P -=，它表明人口按指数曲线增长，这一理论已被实践证明是错误的．1837年，荷兰生物数学专家弗胡斯特(Verhulst)考虑了有影响增长率的竞争项的模拟，得出容易理解的下述单种群数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()(P t P P bP a dtdP其中正常数a 和b 称为生命系数．解此初值问题，得)(00)(000t t a t t a ebP bP a e aP P --+-=． (3.12) 一些生态学家测得a 的自然值为0.029，而b 的值取决于各国的社会经济条件．据文献记载，美国和法国曾用公式(3.12)预报过人口的变化，结果相当符合实际．根据安徽省统计局统计的数字，芜湖市人口总数在1992年底为206.12万人，假设当时的人口增长率为0.832℅，则00832.00=-bP a ，在公式(3.12)中取19920=t ，60100612.2⨯=P ，对芜湖市人口作出估算，将其中一部分结果与省统计局最近几年公布的芜湖市人口总数列表对照如下从表中看出，上述估算有一定的可信度．按照这个估计，芜湖市人口总数到2020年底将达到245万，到2050年将接近269万．而最终趋势为05.289)(lim ≈=+∞→bat P t (万)．§7.4 可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程．求解高阶方程的一种常用的方法就是设法降低方程的阶数．如果能把它降低为一阶方程，我们就有可能运用§7.2所讲的方法．本节介绍几种可降阶的方程类型．1. 不显含未知函数y 的方程0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F )1(≥k ． (4.1)令z y k =)(，得关于z 的k n -阶方程0),,,,()(='-k n z z z x F ， 从而使方程(4.1)降低了k 阶．例1 解方程01)4()5(=-y xy ． 解 令z y =)4(，得01=-'z xz ． 所以cx ce z dx=⎰=1，即cx y =)4(．对x 积分4次，即得方程的通解54233251c x c x c x c x c y ++++=．2. 不显含自变量x 的二阶方程0),,(='''y y y F ． (4.2)令 z y ='，并以y 为新方程的自变量，z 为新未知函数，则 dydz z dx dy dy dz dx dz y ===''． 将z y ='，dydzz y =''代入方程(4.2)，即化为未知函数z 的一阶方程． 例2 解方程02='+''y y y ． (4.3) 解 令z y ='，则dydzzy =''，代入方程得 02=+z dydzyz ， 或0=+z dydzy．(注意0=z 仍是方程的解) 解得 yc z =， 即y c y ='． 分离变量并积分得212c x c y += )2(1c c =．注意，方程(4.3)可改写为0)(=''y y ， 这时我们也说(4.3)是恰当方程．进而有0)2(2=''y ，对x 积分两次得222212c x c y +=， 即212c x c y +=．如果一个高阶方程不是恰当的，我们也可以通过变形，看能否将它化为恰当方程来求解． 例3 解方程02='-''y y y ． 解 以21y 乘方程，得 022='-''y y y y ，或0)(=''yy ， 进而有0) (ln =''y ．对x 积分两次得21 ln c x c y +=．此外0=y 也是方程的解．如果把通解表示为x c ce y 1=，其中c ，1c 为任意常数，则特解0=y 也并入其中．例4 一条长度为a 的均匀链条放置在一水平而无摩擦的桌面上，使链条在桌边悬挂下来的长为b )0(a b <<，问链条全部滑离桌面需要多长时间？解 如图7—5所示，设在时刻t ，链条在桌边悬挂下来的长)(t x x =，以ρ表示链条密度(即单位长的质量)，按牛顿第二定律，可得g x dt x d a ) ( 22ρρ= (g 为重力加速度)． 图7—5或x a g dtx d =22． 令dt dx v =，dx dv v dtx d =22代入上式得 x ag dx dv v=． (4.4) 由假设知 0==b x v ． (4.5)解初值问题(4.4)+(4.5)，得22b x ag v -=， 即 22b x ag dtdx -=． (4.6) 并且 b x =)0(． (4.7)从(4.6) ，(4.7) 解得)l n (22b b x x g a t -+=． 所求时间为)l n (22bb a a g a T -+=． §7.5 高阶常系数线性方程虽然我们已会求解一阶或高阶的几类特殊类型的方程．但是我们应该知道，即使是一阶方程，例如形式上很简单的黎卡提 (Riccati)方程22y x dxdy +=，我们也不可能用初等积分法求解，这是法国数学家刘维尔(Liouville)于1838年所证明的事实．对于高阶方程，求解的难度会更大，就是高阶线性方程，尽管已从理论上完全掌握其解的结构和性质．但具体求解却无一定规律可循．也就是说，除了一些特殊情形外，是很难求解的．本节我们以二阶为例讨论高阶常系数线性方程，它的求解问题将获得彻底解决．1. 二阶常系数齐次线性方程一般形式为021=+'+''y a y a y ．(5.1) 其中1a ，2a 为实数．明显看出0=y )(+∞<<-∞x 是方程(5.1)的解，(称为零解或平凡解)．根据方程(5.1)的特点及指数函数t e λ的特性，我们试求(5.1)如下形式的特解x e y λ=．其中λ是待定的(实或复)常数．将x e y λ= 代入(5.1)，可得0)(212 =++a a e x λλλ．因为0 ≠x e λ，所以0212=++a a λλ． (5.2) 这样，对于二次代数方程(5.2)的每一个根λ，x e λ就是方程(5.1)的一个解．(5.2)称为方。

第七章微分方程§ 1 微分方程的基本概念 一. 基本概念 :1. 微分方程 ; 凡表示未知函数 , 未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2. 常微分方程 ; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3. 偏微分方程 ;如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4. 微分方程的阶 ; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5. 微分方程的解 ; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6. 微分方程的通解 : 如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7. 微分方程的初始条件与特解 .8. 微分方程的积分曲线 : 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析P263． 5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程 :例 1．曲线在点处( x, y)的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为yf (x) , 则由题意得 : y ' x 2 .--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例 2．曲线上点P( x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分 .解：设该曲线的方程为yf (x) , 且设曲线在点 P 处的法线记为 L ，则其斜率为1/ y' ；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为 M ( X ,Y) ，进而得法线Ｌ的方程为：Y y k( X x) 且 k1/ y '即Y y (Xx) / y ' ；则易求得：X Q x y y ' 且 Y A yx / y ' ．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：X Q X P 2X A 且 Y Q Y P 2Y A ．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2xy y ' --------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§ 2．可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！ ）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：F (x, y, y') 0对称形式：P( x, y)dx Q ( x, y)dy 0二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：P(x, y) dx Q(x, y)dy 0 ，可等价地转化为f (x)dx g( y)dy 0 的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x ， dx 与因变量 y ， dy 的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解． §３．一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！ ）一．一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方程也即原方程形如：dy f ( x y ) 中，如果方程右边的函数 f ( x, y) 可写成 y的函数式即 f ( x y )( y ) ， ,,dxxx dy ( y) ，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．dxx二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法 ―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令uy，则 y ux,dyu xdu，代入原一阶齐次微分方程x dx dx du dx 第二步，进行变量 u 与 x 的左右分离得：u；(u) xdy( y ) 得： u x du(u) ；dxx dx第三步，两边求不定积分即可得其解． ．．．三．例题分析参见Ｐ 271．例１．又如．Ｐ 276 ．１．（ 4）．求方程(x 3 y 3 )dx3xy 2 dy 0 的通解．解：原方程可转化为 3dyx 3y 3x 2y，作变量代换令 uy，则 y ux,dyu xdu；dxxy 2 y 2x x dxdx则原方程转化为：3(uxdu) 1 u （注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！ ）dx u 2紧接着就进行自变量与因变量的左右分离§４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义：x du1 2uu 2dudx．最后两边作不定积分即可． ．．dx u 21 2uxP x y Qx ) 的方程为一阶线性微分方程．称形如：dy( )(dx（注：因为方程的左边对未知函数y 及其导数 y ' 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（ i ）. 当 Q (x)0 时，则称dyP( x) y 0 为一阶线性齐次微分方程．dx（ ii ） . 当 Q ( x)0 时，则称dyP(x) y Q ( x) 为一阶线性非齐次微分方程．dx二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中， 将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数u(x) 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解， 代回原非齐次方程中去确定那个待定函数 u( x) 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）dyP( x) y Q (x) 的通解公式如下： y ep ( x )dxQ( x) ep( x) dxc] ―――请牢记！２．一阶线性微分方程：[ dxdx三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！ ）１．伯努利方程的定义我们称形如：dyP( x) y Q ( x) y n ．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂ n 级伯努利方程＂） ．dx２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令z y1n ，则dz (1 n) y1 ndy，将其代入原 n 级伯努利方程（＊）可得dzdxdxn) p( x) z (1 n) Q (x) ----- 这是一个一阶线性非齐次方程 !(1 dx进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解, 这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ 282． 9．（ 1）．dy (x y)2dx解：可令 ux y ，则原方程转化为 dydu 1 u 2du u 2 1dudx 两边积分就可得其解． ．．．．dxdxdxu 2 1例２．Ｐ 282.9. （ 3）解方程 xy ' y y(ln x ln y)解：可令uln x ln yln xy xy e u两边关于自变量Ｘ求导得 y xy ' eudu代入原方程得：du ，dudu dx两边积分就可得其解．．．．．dxue u x 1e u ux 1dxdxux§６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法）一．y (n)f (x) 型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分 n 次，就可得其通解．二． y ''f ( x, y ') 型微分方程首先此方程 y '' f ( x, y ') 的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则d 2 y dpdx dx 2，dx进而原方程转化为：dpf ( x, p) ―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx解法去求解．．．．．得其通解设为p( x, c 1 ) 又 pdy ，也即有dy ( x, c 1 )dy(x,c 1) dx ，最后只要两边再作dx dx一次积分，就可得原二阶显微分方程的解．三．y '' f ( y, y ')型微分方程首先方程 y ''f ( y, y ') 的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂． 此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则 d 2y dp dp dypdp，进而原方dxdx 2dx dy dxdy程转化为pdpf ( y, p) ――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去dy求解．．．设得其通解为 p( y,c 1 ) 又 pdydy dy，也即有( y, c 1 )dx，最后只要两边再作一次积分，dx dx( y, c 1 )就可得原二阶显微分方程的解．四．例题分析Ｐ 292． 1．（ 5）求解方程：y'' y ' x解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量y ，即 y'' f (x, y ') 型．接着可令pdy d 2 y dp dp x p ．―――这是一阶线性非齐次方程dp ，则dx 2dx，进而原方程转化为：p x ．dxdxdxp 1dxx e1dxc] e x [ xe x dx c] x e2 x ce x；由一阶线性非齐次方程的通解公式知： e [ dx进而知：p dy x e2x ce x dy (e2 x ce x x)dx ，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．．dx五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画．即将微分方程的自变量 x 与因变量 y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．例如：Ｐ 292 ．1．（4）求解方程：y '' 1 y '2 ．解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和y，它同属 y '' f ( x, y ') 与 y '' f ( y, y ') 型；所以解法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设p dy ，则 d 2 y dp．进而原方程转化为：dp 1 p21dp dx1dp dx．dx dx2 dx dx p2 p2 x arctan p c1―――这就求得了自变量x 关于参数p的函数式；以下再来求出因变量y 关于参数 p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．由p dy dy pdx1 pdp ，所以y1ln(1 p2 ) c2；dx p2 2x arctan p c1从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：1 p2 ) ．y ln(1 c22注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292 ．１．（ 8）；（9）；（10）．§７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！）一．二阶线性微分方程的定义：称形如： y '' P( x) y ' Q (x) y f ( x) ．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．（注：方程的左边对未知函数y 及其导数y ', y ''这三者来说，是一次线性组合形式！）（ i ）. 当f (x) 0 时，则称 y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 为二阶线性齐次微分方程．（ ii ） . 当f ( x) 0 时，则称 y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 为二阶线性非齐次微分方程．二．二阶线性微分方程的解的结构１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂定理１：设y1 (x) 与 y2 (x) 都是二阶线性齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x) y 0 的解，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) 也是此二阶线性齐次微分方程的解．―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂．２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296 从略）特别地，两个函数y1 ( x) 与 y2 (x) 在区间Ｉ上线性相关y1 (x)常数，x Ｉ．y2 (x)３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构定理２：设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 的解，且 y1 (x) 与 y2 (x) 线性无关，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2y2 ( x) 就是原二阶线性齐次微分方程的通解．―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构定理３：设y* ( x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y' Q (x) y f ( x) ．．．（＊）的一个特解，且Y( x)是对应的二阶线性齐次方程y '' P( x) y 'Q( x) y 0 的通解，则y A Y( x) y* ( x) 就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的通解．―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y ＝齐次通解Y ＋非齐次特解y * ．５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297定理４）定理４：设有二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y 'Q ( x) y f (x) ，（其中 f ( x) f1( x) f 2 ( x) ．）而 y1 (x) 是 y '' P( x) y ' Q(x) y f1( x) 的特解，且y2 ( x) 是y '' P(x) y ' Q( x) y f 2 ( x) 的特解则 Y (x) A y1 ( x) y2 ( x) 就是原二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 的一个特解．―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！６．定理５：设y1 (x) 与y2 (x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x)yf ( x) ．．．（＊）的两个不相等的特解，则 Y( x) A y2 (x) y1 (x) 是对应的二阶线性齐次方程y ''P( x) y ' Q ( x) y 0 的一个非零特解．―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！７．例题分析Ｐ326. １． (4) ．已知y1 1, y2 x, y3 x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为y'' P( x) y 'Q( x) y f ( x) ．．．．（＊），则由定理３知：非齐次通解 y ＝齐次通解 Y ＋非齐次特解y *，现由题意知＂非齐次特解y *＂可取y1 1, y2 x, y3 x2 之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y ＂来即可．再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：Y( x) c1 Y1( x) c2 Y2 ( x) （其中Y1 (x), Y2 (x) 是两个线性无关的齐次特解）．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！由＂定理５＂知，可令：Y1 (x) @y2 ( x) y1 (x) x1 且 Y2 ( x) @y3 ( x) y1( x) x2 1 ，且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为y Y ( x) y1 ( x) c1 Y1 (x) c2 Y2 ( x) y1( x) c1 (x 1) c2 (x 2 1) 1．三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式１．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂．为了求解二阶线性非齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程；第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y 0 ．．．（２）的两个线性无关特解y1( x) 与 y2 ( x) ，则由定理２知： y A c1 y1( x) c2 y2 ( x) ．．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解；第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为 y A u( x) y1 (x) v( x)y2 (x) ．．．(４) （其中 u( x), v(x) 是两个待定的未知函数）；第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出u(x), v(x) ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法．２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式定理６．设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次方程y '' P( x) y' Q (x) y0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．．．（２）记 Wy1'y1'有通解公式：y y2 f y1 dx y1 fy2dx．W W§８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！）一．二阶线性常系数微分方程的定义：在二阶线性微分方程：y '' P(x) y' Q (x) y 0 ．．．．（１）之中，(i) ．如果 y ', y 的系数 p(x), Q( x) 都是常数，即（１）式成为y '' py ' qy 0 （其中p, q为常数），则称其为二阶线性常系数微分方程；(ii) ．如果 p,q 不全为常数，则称y '' py ' qy 0 为二阶线性变系数微分方程．二．二阶常系数齐线性微分方程y'' py ' qy 0 的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）第一步，写出原微分方程的特征方程r 2 pr q 0 ，并求出此方程的二个特征根r1, r2；第二步，根据特征根r1, r2的不同情形，原方程y '' py ' qy 0 的通解公式如下：(i)．若特征根 r1 , r2不相等，则原方程的通解为：y c1e r1x c2 e r2x；(ii) ．若特征根r1, r2为相等，则原方程的通解为：y (c1 c2 x)e r1x；(iii) ．若特征根r1 ,r2为一对共轭复根 r1,2 i ，则原方程的通解为：y e x (c1 cos x c2 sin x) ．三．二阶常系数齐次线性微分方程y '' py ' qy 0 的求解举例：参见教材Ｐ304--305 例１ ; 例２ ; 例３等．§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！）一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程y'' py ' qy f ( x) （其中p,q为常数）有如下结论：定理６＇：设y1( x) 与 y2 ( x) 是二阶线性常系数非齐次微分方程 y '' py ' qy 0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' py ' qy f (x) ．．．．．（２）记Wy1'y1'有通解公式： y y f y1dx y f y2 dx ―――请记牢！2 W 1 W――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例例如Ｐ 313. 例２．求方程y'' 5 y ' 6y xe2x的通解．解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程y '' 5y ' 6 y 0 的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．易知齐次方程 y'' 5 y ' 6y 0 的特征方程为 r 2 5r 6 0 ，特征根 r1 2, r2 3 ．于是，齐次方程的两个线性无关的特解为y1 e2 x, y2 e3x W y1 y2 e5 x；y' y '1 1进而原非齐次方程的通解为：y y2 fy1 dx y1 f y2 dx e3x xe2 x e2 x dx e2 x xe2 x e3 x dx W W e5x e5xy e3x( xe x e x c1) e2 x ( 1x2 c2 ) d1e2x d2e3x 1 ( x2 x)e2 x．2 2三．本章杂例Ｐ 327． 7．设有可导函数( x) 满足( x)cos x 2x(t)sin tdt x 1 ，求 (x) ? 0分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解．现由( x)cos x x (t )sin tdt x 1 两边关于自变量Ｘ求导数得：2'(x)cos x ( x)sin x 2 (x)sin x 1 '(x)cos x ( x)sin x 1现记 y (x) ，则有 y 'cos x y sin x 1 y' y tan x secx ――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．y p ( x) dxQ( x) ep( x)dxc] y etan xdxsec x etan xdxc] sin x c cosx ．由通解公式得： e [ dx [ dx( x)cos x 2 x x 1 知，当x 0 时，则y (0) 1，所以c 1．又由条件(t )sin tdt综上得原方程的解为：y sin x cos x．四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）；第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后再按上面的标准步骤去解决问题．第八章空间解析几何§１向量及其线性运算一 .一些基本概念①向量与自由向量; ②单位向量与零向量; ③向量的共线与共面; ④向量的模 , 方向角 , 以及投影等 .二 .向量的加法运算与数乘运算的定义三 . 向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算．§２向量的数量积向量积混合积一．两个向量的数量积r r r r 为向量r r 之间的夹角）１．数量积的定义 a b |a | |b | cos , （其中a,bAr r r r r r２．数量积与投影之间的关系――― a b | a | Pr j a b | b | Pr j b ar r３．数量积的运算规律二．两个向量的向量积r r r rr r １．向量积的定义 a b | a | | b | sin , （其中 为向量 a,b 之间的夹角）Ar r２．向量积的模的几何意义：它表示以向量a, b 为邻边所成的平行四边形的面积． 三．三个向量的混合积r r r r r r１．混合积的定义[a,b,c] A (a b) cr r r ２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量a,b, c 为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂．r r rV ； (i) r r rr r r1．即 [ a,b, c]当 a, b, c 呈右手系时，1；(ii) 当 a,b, c 呈左手系时，§３ 曲面及其方程 一 . 曲面方程的概念r r rV 与某个三元方程 F (x, y, z) 0 的解之间能构成一一对应1.如果某曲面 S 上的点的坐标 M ( x, y, z)[ a, b, c], 则称这个三元方程F (x, y, z)0 为此曲面 S 的方程 ;2. 建立曲面方程的一般方法 : 首先在所求曲面上任取一点 M ，记其坐标为 M (x, y, z) , 然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点 M ( x, y, z) 的坐标应满足的条件式即可 !例如: 试求球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 半径为 R 的球面方程 ?uuuuuur解 : 设 M (x, y, z) 为所求球面上任意一点 , 则由 | M 0 M | Ruuuuuur(x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 )2即| M 0M |R所以 ( x x 0 )2( y y 0 )2 ( z z 0 )2R 2二 . 旋转曲面1. 旋转曲面的定义 ( 参见 P312)2.坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点:例如 : 将 yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：f ( y, z) 0 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面S z 的方程只要将平面曲线Ｃ： f ( y, z) 0 的方程中的y代换为x 2 y 2 ，即得旋转曲面 S z 的方程为 f ( x 2 y 2 , z) 0 ．又如 : 将 zox 坐标平面内的曲线Ｃ：g( x, z) 0 绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面 S x 的方程只要将平面曲线Ｃ： g ( x, z) 0的方程中的 z 代换为z 2 y 2 ，即得旋转曲面 S x 的方程为 g( x, z 2 y 2 ) 0．三. 柱面1. 柱面的定义 ( 参见 P314)2. 四种常见的柱面 :①圆柱面 x 2 y 2 2x 2 y 21; ③抛物柱面 y 22 px ; ④双曲柱面 x 2 y 21a ; ②椭圆柱面 a 2b 2 a 2 b 23. 二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面. 例如 : 方程 f (x, y)0 表示的就是一个以 xoy 坐标平面内的曲线Ｃ：f (x, y) 0 为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．四 . 二次曲面1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状2.掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;例如： 椭圆锥面：x 2y 2 z 2的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b，易知方程：x 2y 2 z 2a 2b 2a 2a 2表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线： x 2z 2xaz 绕Ｚ轴旋转来生成；进而把a 2此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩 b倍，即得椭圆锥面：x 2 y 2 z 2 的形状！aa 2b 2§ 4 空间曲线及其方程一 . 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．设F ( x, y, z) 0 和G ( x, y, z) 0 是某两张曲面的方程，则它们的交线为F (x, y, z)G(x, y, z)；x x(t)二 . 空间曲线的参数方程yy(t) ，（有关定义参见Ｐ３２０）z z(t)三 . 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３）四 . 二个三元方程联立消元的几何意义联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程．例如：试求球面 x2y 2 z 2 9 与平面 x z 1的交线在 xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？解：即需求空间曲线x 2y 2 z 2 9x z1，向 xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ， 得x2y 2 (1 x)29 即为所需求的投影柱面的方程， 而上述空间曲线向 xoy坐标面的投影曲线的方程为x 2 y 2 (1 x) 2 9z 0．§ 5 平面及其方程r一 . 平面的点法式方程设某平面过一定点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 且以 n { A, B,C}为其法向量，则所求平面的点法式方程为：A( x x 0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0Ax ByCz D 0r{ A, B, C} 为其法向量的某一张平面）二 . 平面的一般式方程：（应知此平面是以向量 n 三 . 平面的截距式方程：xy z 1；数值 a, b,c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．a b c四 . 两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．五 . 点到面的距离公式设P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是空间中的任意一点，记其到平面：AxBy Cz D 0的距离为d，则d| Ax 0 By 0Cz 0D |．A 2B 2C 2§ 6 空间直线及其方程一 . 空间直线的一般方程A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0( 或称交线式方程 ) ：．A 2 xB 2 yC 2 zD 2 0二 . 空间直线的点向式方程 ( 或称对称式方程 ) ：xx 0 y y 0 zz0 ．m np三 . 空间直线的参数式方程x x 0 mt由空间直线的点向式方程：x x 0y y 0z z 0@t ，得 yy 0nt 此即为该直线的参数式方程；mnpz 0 ptz 四 . 空间直线的两点式方程设有直线过两点M 1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则此直线的两点式方程为x x 1 y y 1 z z 1 ．x 2 x 1 y 2 y 1z 2 z 1五 . 两直线的夹角两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．六 . 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３） 七 . 平面束的方程及其在解题中的运用１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得．A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0A 1 ,B 1,C 1 与 A 2 , B 2 , C 2 不成比例，具体地说，若设直线Ｌ的方程为A 2 xB 2 yC 2 zD 2，其中系数则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：( A 1 x B 1 y C 1zD 1)( A 2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0．（注：不同位置的平面对应于不同的参数 ,的取值．）２．平面束的概念在解题中的运用例１：参见Ｐ３３５例７．例２：Ｐ３３６．８．求过点P(3,1, 2) 且过直线Ｌ： x4 y 3z的平面方程？5 2 1x 4 y 3 z ，得直线Ｌ的一般式方程为 2x 5 y 23 0 解：由直线Ｌ的对称式：21，5y 2 z 3 0从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：(2 x 5y23) ( y 2z 3) 0 ．（其中 ,为待定系数！）．．．．．．．．（１）现由点 P(3,1,2) 在此平面上，所以应有 (2 3 5 1 23) [1 2 ( 2) 3] 0，解得 /11/ 4．最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．八．点到直线的距离公式r设 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 直 线 Ｌ 外 一 点 ， s 是 直 线 Ｌ 的 方 向 向 量 且 点 M (x, y, z) 是 直 线 Ｌ 上 任 意 一 点 ， 则 点uuuuuur r M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为： | M M s |d0 r（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！ ）| s |九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交．r r现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面 的法向量为 n ，则有如下结论：１．线在面内：２．线面平行：３．线面垂直：r rL s n 且A( x 0 , y 0 , z 0 ) L 但 A( x 0 , y 0 , z 0 ) ； L P r r s n ， A(x 0 , y 0 , z 0 ) L 且 A(x 0, y 0 , z 0 ) ；Lr r ４．线面斜交： Lr rs Pn ；不成立s Pn 不成立；十．本章有关的一些解题技巧１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些．x 2 y3 z 42xy z6 0的交点？例如：试求直线Ｌ：1 1与平面 2x t 2解：易知直线Ｌ的参数为y t3 ，将其代入平面 2x y z 6 0 的方程，z 2t 4得2(t 2) (t 3)(2t 4)6 0，解得t1 ，进而知交点的坐标为 (1,2,2) ．２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解．例如：Ｐ３３６．１３．求点P(3, 1,2) 到直线Ｌ：xy z 1 0的距离ｄ＝？2xyz 4解：直线Ｌ： x y z 1 0x y z 1 0 x y z 1 0y 2 z2x y z 4 03x 3 0x 1，x 1x1 y 2z 0 x 1 y t 2；11z t设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为M (1,t 2, t) ，uuur 2(1 3) 2(t 2 1) 2(t 2)22t 26t 9 2(t3 ) 29则有|MP |2 ，uuur2知当t 32 为最短！此时，点Ｍ的坐标M (1,t 2, t )(1, 1,3) ． 时，距离 d=|MP|=3222 2――― ( 注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．x 2 y z 1 0 和L 2: 2x y z 0例如：Ｐ３３６．１１．求过点 A(1,2,1)而与直线L 1 :yz 1 0 x y z 都平行的平面方程？x分析：现已知平面上一点A(1,2,1) ，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．ur uur r 解：记这两条直线的方向向量分别为n1, n2 ，而所以平面的法向量设为n ，ur{1,2, 1} {1, 1,1} {1, uur1,1} {1, 1,1} {0, 1, 1}，则由n2, 3}, n {2,1 2r ur uur( x 1) ( y 2) ( z 1) 0．进而n n1 n2 { 1,1, 1} ，所以所求平面的方程为：。

§7-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。

( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。

( )3.微分方程的通解包含了所有特解。

( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

（ ） 二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。

2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,y 'x=0=1的曲线是 。

三、选择题1．下列方程中 是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2(B)、 y+0)(arctan =xe dx d (C)、22x a ∂∂+22ya ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx3.微分方程22dx y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3(B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3(D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。

微分方程的基本概念引例微分方程的定义微分方程的解微分方程解的几何意义引例例 一曲线通过点12（，），且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为()=y x ϕ.1|2x y == 2d y x x ⇒=⎰ 即 2=+y x C 代入函数， （C 为任意常数） d 2d y x x= 得1C =， 曲线方程 21y x =+例 列车在平直线路上以20m /s （相当于72km /h ）的速度 行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后多 少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车在开始制动后s t 时行驶了m s . 设函数()s s t = 22d 0.4d s t =- 0|0t s ==,00d |20d t t s v t ==== 1d 0.4d s v t C t⇒==-+ （C 1为任意常数） 2120.2s t C t C ⇒=-++ （C 1,C 2为任意常数） 得120C =，20C = d 0.420d s v t t ==-+ 20.220s t t =-+令0v =,得到 2050(s)0.4t == 再把50t =代入20.220s t t =-+，得到列车在制动阶段行驶的路程20.2502050500(m)s =-⨯+⨯= d 0.420d s v t t ==-+ 20.220s t t =-+共同点： 含有未知函数的导数d 2d y x x = 与 22d 0.4d s t =-微分方程的定义定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量 之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程.一般地，n 阶微分方程的形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y(4)410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=是四阶微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做 微分方程的阶.d 2d y x x =是一阶微分方程， 22d 0.4d s t =-是二阶微分方程微分方程的解定义 设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在 区间I 上，()[,(),(),(),()]0,n F x x x x x ϕϕϕϕ'''≡那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程在区间I 上的解. ,0),,,,()(='''n y y y y x F例 验证函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程222d 0d x k x t+=的解. 解 12d sin cos d x kC kt kC kt t=-+ ()222212122d cos sin cos sin d x k C kt k C kt k C kt C kt t =--=-+ 222d d x k x t + ()()221212=cos sin cos sin k C kt C kt k C kt C kt -+++ .0≡如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.2120.2s t C t C =-++(12,C C 是任意常数)和20.220s t t =-+都是22d 0.4d s t=-的解. 2=+y x C （C 为任意常数）和21y x =+都是d 2d y x x=在 区间(,)-∞+∞上的解. 通解特解通解特解用来确定通解中的任意常数的附加条件称为初值条件. 一阶微分方程的初值条件： 0x x =时,0y y =,或 00|x x y y ==二阶微分方程的初值条件： 0x x =时,0y y =, 0y y ''=, 或 00|x x y y ==, 00|x x y y =''=其中0x ，0y 和0y '都是给定的值.例 已知函数12cos sin x C kt C kt =+当0k ≠ 是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初值条件0|t x A ==,0d 0d t x t ==的 特解. 解 将条件0|t x A ==代入通解，得 1C A =, 将条件0d 0d t x t ==代入12d sin cos d x kC kt kC kt t =-+得 20C =. 所求的特解 cos x A kt =.一阶微分方程的初值问题记作 00(,)|x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩， 二阶微分方程的初值问题记作 0000(,,),||x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩，微分方程解的几何意义微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.初值问题00(,)|x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩，的几何意义： 求微分方程的通过点00(,)x y 的那条积分曲线.初值问题0000(,,),||x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩，的几何意义： 求微分方程的通过点00(,)x y 且在该点处的切线斜率为0y ' 的那条积分曲线.(1)含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.(2)微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶.(3)代入微分方程使方程成为恒等式的函数称为该方程的解.(4)若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.(5)确定了通解中任意常数以后的解，称为微分方程的特解.(6)用来确定通解中任意常数的条件称为初值条件.(7)求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.(8)微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.。

微分方程基本概念与解法微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程领域以及经济学等各个领域。

本文将介绍微分方程的基本概念和解法。

一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。

一般形式为：dy/dx = f(x)其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)为已知函数。

这种形式的微分方程称为一阶常微分方程。

二、微分方程的分类根据微分方程中未知函数和自变量的阶次，微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等不同类型。

1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只与自变量x的一阶有关的微分方程。

一般形式可以写为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。

常见的一阶微分方程有可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程等。

2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的二阶导数出现在方程中的微分方程。

一般形式可以写为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)其中f(x, y, dy/dx)为已知函数。

常见的二阶微分方程有常系数二阶齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

三、微分方程的解法解微分方程的方法有很多种，下面介绍几种常见的解法。

1. 可分离变量法对于可分离变量的微分方程，可以通过分离变量的方式将方程化简为两个独立变量的微分方程，再进行求解。

2. 线性微分方程的求解对于线性微分方程，可以使用常数变易法或特征方程法来求解。

常数变易法将未知函数表示为一个待定函数与一个特解的和，特征方程法则通过寻找特征方程的根来求解。

3. 齐次微分方程的求解对于齐次微分方程，可以使用同类相除法或变量替换法等求解方法。

同类相除法通过将分子与分母同除以未知函数的幂次，得到一个关于新变量的一阶微分方程。

变量替换法则通过引入新的变量，将原微分方程转化为一个更简单的形式。

四、应用实例微分方程在各个领域都有广泛的应用，下面以物理学中的弹簧振动为例来说明。

考虑到弹簧的弹性特性和质点的运动方程，可以建立如下的二阶微分方程：m(d²x/dt²) + kx = 0其中m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示质点的位移。

第七章 微分方程§7．1微分方程的基本概念1. 填空(1) 微分方程356()40x y y y x '''++=的阶数是 二阶 ; (2) 微分方程2(76)()y x y dx x y dy e -+-=的阶数是 一阶; (3) 微分方程2sin d d ρρθθ+=的阶数是一阶;(4) 微分方程212(),x y C C x e =+则当120,1C C ==时,00|0,|1;x x y y =='==(5) 已知曲线上点(,)p x y 处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分.则曲线所满足的微分方程是20yy x '+=2. 验证(3)x y x c e =+是微分方程20y y y '''-+=的解,它是否是该微分方程式的通解?为什么?证: 3(3),6(3)x x x x y e x c e y e x c e '''=++=++ 则有26(3)2[3(3)](3)0x x x x x y y y e x c e e x c e x c e '''-+=++-++++=则(3)x y x c e =+是微分方程的解,但只含有一个任意常数,所以它不是通解.3. 设212()x y C C x e =+(1) 验证y 是微分方程440y y y '''-+=的通解. 解22222122122(),44()x x x x y C e C C x e y C e C C x e '''=++=++,因为22222212212124444()48()4()0x x x x x y y y C e C C x e C e C C x e C C x e '''-+=++--+++=所以212()x y C C x e =+是微分方程的解,且含有两个相互独立的任意常数,因而是微分方程的通解.(2) 求参数方程12,C C 使得它满足初始条件(0)0,(0)1y y '== 解:由(0)0,(0)1y y '==得0111002120(0)0,12 1.C e C C C e C e C =+=⇒==+⇒=§7．2可分离变量微分方程1. 求下列可分离变量微分方程的解 (1)()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= 解:(1)(1)0,(1)(1),11y x xyyxyxxyy x e dy e dxe e dx e e dy e e dy e e dx e e --++=+=--=-+ 1(1)(1),,ln 1ln 1ln 1111y x y x y xy x y x e dy e dx d e d e e e C e e e e --+==--=-++-+-+⎰⎰⎰⎰111101011(1)(1),(1)(1),1010y y xyx yx y x x e e e e C e e C e e C e e ⎧⎧->-<+-=⇒+-=⇒+-=⎨⎨+>+<⎩⎩111010(1)(1),(1)(1),1010y y x yx y xx e e e e C e e C e e ⎧⎧-<->⇒+-=-⇒+-=-⎨⎨+>+<⎩⎩则通解为(1)(1)x y e e C +-=. (2)cos s sin sin 0xco ydx x ydy +=11sin cos cos sin ,ln cos n sin ln cos sin cos sin cos sin y x d y d xdy dx dx y l x C y C x y x y x =-=⇒=+⇒=⎰⎰⎰⎰1cos sin cos sin y C x y C x ⇒=±⇒=所以通解为arccos(sin )y C x =2. 求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件下的特解 (1)20,| 1.y x x y e y -='==解:220221111111,,,|1,,2222y y x y x x x y x e dy dx y e e c y c e e e e e e e ----='==⇒=+=⇒=-=+-⎰⎰所以特解为2111ln()22x y e e-=--+(2)2sin ln ,|x y x y y y e π='==解:111,ln ln ln csc ln ln csc ln (csc )ln sin dy dxy x ctgx C y C x ctgx y C x ctgx y y x==-+⇒=-⇒=±-⎰⎰ ln (csc )y C x ctgx ⇒=-2|1,x y e C π==⇒= 则1cos ln csc tan sin 2x xy x ctgx x -⇒=-==,所以特解为 tancsc 2xx ctgxy ee-==(3)sin (12)cos 0,(0)4x ydx e ydy y π-++==解cos cos sin sin (2),,,sin sin sin sin 121222x x x x x xydy dx ydy dx d y e dx d y d e y y y y e e e e -----+===-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1111ln sin ln(2)ln ln (2)sin sin 22x x x x C Cy e C C e y y e e -±=-++=+⇒=⇒=++(0)sin443C y C y ππ=⇒=⇒==则特解为y =3. 质量为1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质量运动的速度成反比,在10t s =时速度等于50/,cm s 外力为42/,g cm s ⋅问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解:1010,|50,|420,20,120,20t t t dvF k v F k mvv t m v t vdv tdt v dt=='===⇒=∴==⇒==⎰⎰22210110,|50250,20500,2t v t c v c v t ==+=⇒==+ 所求特解为v60|269.3(/)t v cm s =≈4. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解:1112tan ,ln ln ln 2y y dy dxy y x C xy C xy C xy C x xy x α'==-=-=-⇒=-+⇒=⇒=±⇒=⎰⎰又因(2)3y =知C=6,则所求的曲线方程为6xy =§7．3齐次方程1. 求下列齐次方程的通解.(1) 22()0x y dx xydy +-=解:2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,令2'111,,,,,yu u y ux y u xu xu u udu dx xu ux+''===+=-==22221111ln ln ln ln 2u x C C x u C x =+=⇒= 通解为222ln()y x Cx =(2) 3(l n l n )dyx y y x dx=- 解:3ln ,dy y ydx x x=令ln 1(3ln 1),3ln ,,,,.(3ln 1)3ln 133ln 1y du dx d u dx d u dxu xu u u u x u u x u x u x-'==-===---⎰⎰ 33333111ln 3ln 1ln()3ln 1ln(1)3y u C x u C x Cx Cx x -=⇒-=±=⇒=+ 所以通解为313Cx y xe+= (3) (2s i n 3c o s )3c o s 0y yy x y d x x d y x xx+-=解:2sin3cos 2sin 3cos 3,,,,3cos 2tan 3cos y y x y dyy u u udx x x u y ux u x u du y dxx u x ux x++'===+==令 3221133ln sin ln ln sin 2tan 2dx du u x C u C x Cx x u =⇒=+⇒=±=⎰⎰ 再将yu x=代入原方和得通解为 32sin yCx x= 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件下的通解. (1)1,|2x x yy y y x='=+= 解:令yu x=,2211111,,ln ln ,|2222x du y xu u u x C x C y C u dx xx =⎛⎫'===+⇒=+=⇒= ⎪⎝⎭所以通解为222(ln 2)y x x =+(2)22221(2)(2)0,|1x x xy y dx y xy x dy y =+-++-==解:222222212221y y dy x xy y x x dx y xy x y y x x ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭=-=+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,令y u x =,2222112,1211u u dx u xu u du x u u u u --⎛⎫'+==- ⎪++-+⎝⎭ 1112211ln ln ln ln11u u x C C x C x Cx u u +++==⇒=±=++,从而有 221(),|11x x y C x y y C =+=+=⇒=因此特解为22x y x y +=+§7．3一阶线性微分方程1. 求下列一阶线性微分方程的通解. (1) x y y e -'==解: ()dx dxx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e dx C e x C ------⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤=+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (2) ln (2ln )0y ydx x y dy +-=解:21ln dx x dy y y y+= 2222ln ln 2ln ln 2ln ln ln ln ln ln 111dy dy d y d y y y y y y y y yx e e dy C e e dy C e e dy C y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =22ln(ln )ln(ln )222211(ln )(ln )(ln )(ln )ln y y e e dy C y y dy C y y d y C y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =2221(ln )(ln )ln ln 3(ln )Cy y d y C y y -⎡⎤+=+⎣⎦⎰. 2..求下列一阶线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)sin ,|1x dy y x y dx x xπ=+== 解: 111ln ln ln ln sin sin sin dx dx x x x xx x x x x y e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =11sin 1sin (cos )x x xdx C x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ |11x y C ππ==⇒=-则特解为1(cos 1)y x xπ=-+-(2) ln (ln )0,|1x e x xdy y x dx y =+-==解:1ln dy y dx x x x+= 1111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 111dx dx d x d x x x x x x x x xy e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 1ln(ln )ln ln 21111[ln ln ][(ln )]ln ln 2x x e e dx C xd x C x C x xx -⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰1|12x e y C ==⇒=,因而特解为21[(ln )1]2ln y x x=+. 2. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,且在点(,)x y 处的切线斜率等于2.x y + 解:依题意知2,2y x y y y x ''=+-=1222()2dx dx x x x x x x x y e xe dx C e xe dx C e xe d x C e xde C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =2(2(()2()x x x x x x x x xe xe e dx C e xe e d x C e xe e C ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+=-+-+=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 022,|02x x x Ce y C ==--+=⇒=则微分方程的特为2(1)x y e x =--3. 设有一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例系数为1k )的力作用于它,此处还受一与速度成正比(比例系数为2k )的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系. 解:2112,k kmv k t k v v v t m m''=-+=2222221112k k k k k k dt dt t t t t m m m m m mk k k m v e te dt C e te dt C e tde C m m m k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 222211222(()k k k k t t t t mm m mk k m ete e dt C t Cek k k --⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 111022222|0.t mk k mk v C v t k k k ==⇒=∴=- §7．5可降阶的高阶微分方程1. 求微分方程的通解. (1)x y xe x '''=+解:()2112x x x x x y xe x dx xe dx xdx xde xdx xe e x C '''=+=+=+=-++⎰⎰⎰⎰⎰2311211226x x x x y xe e x C dx xe e x C x C ⎛⎫'''=-++=-+++ ⎪⎝⎭⎰3421212311(2)(3)624x x x y xe e x C x C dx x e x C x C x C '=-+++=-++++⎰(2) ()21y y '''=+解:令21112,,1,,arctan ,tan(),tan()1dp dyp y y p p pdx p x C P x C x C dx p '''''===+==+=+=++ 1112tan()()ln cos()y x C d x C x C C =++=-++⎰2. 求下列微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)2002,|1,|1x x x y y e y y ==''''+===解:令2222222241111,,2,[][][]4dx dx x x x x x x x p y y p p p e p e e e dx C e e e dx C e e C ---⎰⎰'''''==+==+=+=+⎰⎰222222112131313,(0)1,()444488x x x x x x y e C e y C y e e dx e e C ---''=+=⇒==+=-+⎰ 25(0)1,4y C =⇒= 因而特解为22135.884x x y e e -=-+ (2) 2111,|0,| 1.x x x y xy y y ==''''+===解:令1121122211111,,1,,[][]dx dx xx p y y p x p xp p p p e e dx C xdx C x x x xx -⎰⎰''''''==+=+==+=+⎰⎰=21112111ln 1ln 11[][ln ],(1)11,,(ln )2x x dx C x C y C y y dx dx x C x x x x x x x ''+=+=⇒==+=+=+⎰⎰⎰ 2(1)00y C =⇒= ,则特解为21(ln )ln 2y x x =+ §7．6高阶线性微分方程1. 验证21xye =及22x yxe =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解,写出该方程的通解.证:2222222221114(42)246420x x x x x y xy x y e x e x e x e e '''-+-=+-+-= 222332224(42)[644842]0x y xy x y x x x x x x e '''-+-=+--+-= 121y y x=≠常数,则通解为 2221212()x x xy C e C xe C C x e =+=+2. 验证51y x =21y x =是方程2350x y xy y '''--=的解,23ln 9x y x -=是微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的解,写出微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的通解.证:251113(20155)0x y xy xy x '''--=--=, 2212213(235)0x y xy xy x'''--=+-=, 22222223332653ln ln ln ln 93939x x x x y xy xy x x x x x x x '''--=--+++=61yx y=≠ 常数,则微分方程的通解为 2511223121ln .9x y C y C y y C x C x x =++=+-3. 验证12121()(,2x x xe y C e C e C C x -=++是任意常数)是方程2x xy y xy e ''+-=的通解. 解:*12111,,2x x x ye y e y e x x -===,因为 1112222222222222222(11)0,2(11)0x x xy y xy e xy y xy e x x x x x x x x-''''+-=-++--=+-=+++--= ()()***212112(),22x x x x y x y y xy xe e e e y '''+-=-+==≠ 常数,所以通解为121()2x x xe y C e C e x -=++§7．7常系数齐次线性微分方程3. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解. (1)212120,1204,3y y y r r r r '''+-=+-=⇒=-= 所以通解为4312x x y C e C e -=+. (2)212690,6903y y y r r r r '''++=++=⇒==-所以通解为312()x y C C x e =+. (3)21,26100,61003y y y r r r i '''++=++=⇒=-±所以通解为312(cos sin )x y e C x C x -=+4. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)320,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===.解: 211,3202,1r r r r ++=⇒=-=-,则通解为22121212,2,(0)0,(0)11,1x x x x y C e C e y C e C e y y C C ----''=+=--==⇒==-则通解为2x x y e e --=-.(2) 250,(0)2,(0)5y y y y '''+===解:21,22505r r i +=⇒=±则通解为12cos5sin 5y C x C x =+12125sin 55cos5,(0)2,(0)52,1y C x C x y y C C ''=-+==⇒==则特解为2cos5sin 5y x x =+§7．8常系数非齐次线性微分方程5. 求下列二阶非齐次微分方程的通解 (1)228(1)x y y y x e -'''--=+解:24212122804,2,x x r r r r Y C e C e ---=⇒==-∴=+ 面1,2m λ==-为特征单根()()'''*2*222*2222(),(2)2(),24(2)4()x x x x x xy x ax b e y ax b e ax bx e y ae ax b e ax bx e ------∴=+=+-+=-+++()()***21728(1),1236x y y y x e a b -'''--=+⇒=-=-则特解为*217()1236x y x x e -=-+,因而微分方程的通解为:4212x x y C e C e -=+217()1236x x x e --+(2) 25sin 2x y y y e x '''-+=解:21,2250,121,2,0r r r i m αβ-+==±⇒===而12i +是特征方程的根,因而令*(cos 2sin 2)x y xe A x B x =+代入原方程求出1,04A B =-=,*1cos 24x y xe x =-所以微分方程的通解为121(cos 2sin 2)cos 24x x y C x C x e xe x =+-6. 求微分方程43y y '''-=满足初始条件(0)0,(0)1y y '==的特解解:212400,4r r r r -=⇒==对应齐次微分方程的通解为412,0x y C C e λ=+= 为特征单根,则*y ax =代入原方程得*33,44a y x =-∴=-,微分方程的通解为:41234x y C C e x =+-,由(0)0,(0)1y y '==知1297,,1616C C ==故特解为497316164x y e x =+- 7. 设函数()f x 连续,且满足0()()(),xx f x e t x f t dt =+-⎰求()f x .] 解:()()(),()()()()(),()()xxxxx x x x f x e tf t dt x f t dt f x e xf x f t dt xf x e f t dt f x e f x '''=+-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰ ()()x f x f x e ''⇒+=,而21,210,r r i +=⇒=±对应齐次微分方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+而0,1m λ==不是特征根,令*x y Ae =代入原方程求得12A =,则通解为 121cos sin 2x y C x C x e =++1211(0)1,(0)1,22f f C C '==⇒== ,则特解为1()[cos sin ]2x f x x x e =++。