数据结构树_二叉树的定义和二叉树性质与存储本共40页
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数据结构实验报告 二叉树
数据结构实验报告二叉树数据结构实验报告：二叉树引言：数据结构是计算机科学中的重要基础，它为我们提供了存储和组织数据的方式。
二叉树作为一种常见的数据结构，广泛应用于各个领域。
本次实验旨在通过实践，深入理解二叉树的概念、性质和操作。
一、二叉树的定义与性质1.1 定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空树，也可以是由根节点和左右子树组成的非空树。
1.2 基本性质（1）每个节点最多有两个子节点；（2）左子树和右子树是有顺序的，不能颠倒；（3）二叉树的子树仍然是二叉树。
二、二叉树的遍历2.1 前序遍历前序遍历是指首先访问根节点，然后按照先左后右的顺序遍历左右子树。
在实际应用中，前序遍历常用于复制一颗二叉树或创建二叉树的副本。
2.2 中序遍历中序遍历是指按照先左后根再右的顺序遍历二叉树。
中序遍历的结果是一个有序序列，因此在二叉搜索树中特别有用。
2.3 后序遍历后序遍历是指按照先左后右再根的顺序遍历二叉树。
后序遍历常用于计算二叉树的表达式或释放二叉树的内存。
三、二叉树的实现与应用3.1 二叉树的存储结构二叉树的存储可以使用链式存储或顺序存储。
链式存储使用节点指针连接各个节点，而顺序存储则使用数组来表示二叉树。
3.2 二叉树的应用（1）二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
二叉搜索树常用于实现查找、插入和删除等操作。
（2）堆：堆是一种特殊的二叉树，它满足堆序性质。
堆常用于实现优先队列，如操作系统中的进程调度。
（3）哈夫曼树：哈夫曼树是一种带权路径最短的二叉树，常用于数据压缩和编码。
四、实验结果与总结通过本次实验，我成功实现了二叉树的基本操作，包括创建二叉树、遍历二叉树和查找节点等。
在实践中，我进一步理解了二叉树的定义、性质和应用。
二叉树作为一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用，对于提高算法效率和解决实际问题具有重要意义。
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
数据结构-C语言-树和二叉树
练习
一棵完全二叉树有5000个结点，可以计算出其
叶结点的个数是（ 2500）。
二叉树的性质和存储结构
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为[log2n]＋1
k-1层 k层
2k−1−1＜n≤2k−1 或 2k−1≤n＜2k n k−1≤log2n＜k，因为k是整数
所以k = log2n + 1
遍历二叉树和线索二叉树
遍历定义
指按某条搜索路线遍访每个结点且不重复（又称周游）。
遍历用途
它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提， 是二叉树一切运算的基础和核心。
遍历规则 D
先左后右
L
R
DLR LDR LRD DRL RDL RLD
遍历规则
A BC DE
先序遍历：A B D E C 中序遍历：D B E A C 后序遍历：D E B C A
练习 具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？
5种/2种
目 录 导 航 Contents
5.1 树和二叉树的定义 5.2 案例引入 5.3 树和二叉树的抽象数据类型定义 5.4 二叉树的性质和存储结构 5.5 遍历二叉树和线索二叉树 5.6 树和森林 5.7 哈夫曼树及其应用 5.8 案例分析与实现
(a + b *(c-d)-e/f)的二叉树
目 录 导 航 Contents
5.1 树和二叉树的定义 5.2 案例引入 5.3 树和二叉树的抽象数据类型定义 5.4 二叉树的性质和存储结构 5.5 遍历二叉树和线索二叉树 5.6 树和森林 5.7 哈夫曼树及其应用 5.8 案例分析与实现
二叉树的抽象数据类型定义
特殊形态的二叉树
只有最后一层叶子不满，且全部集中在左边
数据结构——- 二叉树
证明： 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外，每个 ●性质3： 结点都有一个边e进入 任何一棵二叉树，若其终端结点数为n0， n=e+1 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出，因此 e=n1+2n2 G B (4)由（2）（3） F C D n=n1+2n2+1 (5)由（4）-（1）可得 G n0=n2+1
《数据结构与算法》
★★★★★
第五章 二叉树
廊坊师范学院 数学与信息科学学院
树型结构--实例:五子棋
A
B
D
E
F
C
…...........
…...........
第五章 二叉树
本章重点难点
重点： 二叉树的定义，性质，存储结 构以及相关的应用——遍历，二叉搜 索树，堆优先 队列，Huffman树等 难点： 二叉树的遍历算法及相关应用
证明： 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外，每个 ●性质3： 结点都有一个边e进入 任何一棵二叉树，若其终端结点数为n0， n=e+1 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出，因此 e=n1+2n2 G B (4)由（2）（3） F C D n=n1+2n2+1 (5)由（4）-（1）可得 G n0=n2+1
A B C E D F G
证明： 由性质4可推出
由性质2（深度为k的 二叉树，至多有2k+1-1 个结点）可知，高度 为h(k+1)的二叉树，其 有n (n>0)个结点的完全二叉树的高度为 结点个数n满足： 「log2(n+1) ,深度为「log2(n+1) -1 2h-1-1<n<=2h-1 高度:二叉树中最大叶结点的层数+1 2h-1<n+1<=2h 取对数得到： 0层 1 h-1<log2(n+1)<=h 3 1层 2 因为h是整数，所以 h= log2(n+1) 5 2层 4
数据结构树和二叉树ppt
A
B
C
D
E
FG
H
I
J
K
LM
树形表示法
(2) 文氏图表示法。使用集合以及集合的 包含关系描述树结构。下图就是树的文氏图 表示法。
A
C B
G EF
J
H D
IK LM
文氏图表示法
(3) 凹入表示法。使用线段的伸缩描述树结 构。下图是树的凹入表示法。
(4) 括号表示法。将树的根结点写在括号的左 边,除根结点之外的其余结点写在括号中并用逗号 间隔来描述树结构。下图是树的括号表示法。
1层 层次 根为第1层
最大层数为树的深度（高度）
2层 height 3层 = 4
双亲 (直接前驱） 孩子（直接后继）
KL
M d=0 4层
兄弟 堂兄弟 子孙 祖先
森林----m(m>=0)棵互不相交的树的集合。
B EF
A BC
树和森林的遍历
A C GH
F DG E
先 深根度次优序先遍遍历历
当树非先空根次序遍历
树孩结子点结结点构的：序da号ta
}link; he指ad向ptr下一个孩子结点typedef struct
特点：很快确定孩子指结向点第一个孩子结点{ dliantkaty*pheeaddapttar;;
每个结点但拥有确孩定子双的亲个效数率不同低，
所以采用单链表链接孩子结点。
}ctree; ctree T[maxnode];
bcd
在二叉树中查找指定结点
？a
? find(BTNode *b, elemtype x) {
b
c
if(b==NULL)
return(NULL); /*空树*/
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
B
C
D
E
F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
05二叉树
}
if (Parent->Lchild == NULL) /* Parent所指结点左子树为空 */ Parent->Lchild = ptr;
else
{
/* Parent所指结点左子树非空 */
ptr->Lchild = Parent->Lchild;
Parent->Lchild = ptr;
}
二叉树可以是空的，空二叉树没有任何结 点； 二叉树上的每个结点最多可以有两棵子树， 这两棵子树是不相交的； 二叉树上一个结点的两棵子树有左、右之 分，次序是不能颠倒的。
图5-2 两棵不同的二叉树
从二叉树中的一个结点往下，到达它的 某个子、孙结点时所经由的路线，称为一条 “路径”。对于路径来说，从开始结点到终 止结点，中间经过的结点个数，称为路径的 “长度”。从根结点开始、到某个结点的路 径长度，称为该结点的“深度”。
一棵一般的二叉树，是由如下的3类结点组成的： 根结点——二叉树的起始结点； 分支（或内部结点）——至少有一个非空子树 （即度为1或2）的结点 叶结点——没有非空子树（即度为0）的结点。 有两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树。
所谓“满二叉树”，是指该二叉树的每 一个结点，或是有两个非空子树的结点，或 是叶结点，且每层都必须含有最多的结点个 数。
性质5-2 树高为k（k≥0）的二叉树， 最多有2k+1−1个结点。 【证明】由性质5-1可知，在树高为k的 二叉树里，第0层有20个结点，第1层有21个 结点，第2层有22个结点，„„，第k层有2k 个结点。因此，要求出树高为k的二叉树的 结点个数，就是求和：
20 + 21 + 22 +„+ 2k
数据结构 树
(a)一般二叉树 数组 下标
(b)完全二叉树
A
0
B
1
C
2
Λ D
3 4
E
5
Λ Λ Λ F
6 7 8 9
Λ Λ G
10 11 12
25
（c)在数组中的存储形式
链式存储结构
二叉树的链式存储结构是指用链表的形式来存储二叉 树，即用指针来指示元素之间的逻辑关系。最常用的有二 叉链表和三叉链表。 1. 二叉链表存储 每个结点由三个域组成，一个数据域和两个指针域。 两个指针lchild和rchild分别指向其左孩子和右孩子结点。
（1）访问根结点；
（2）先序遍历根结点的左子树； （3）先序遍历根结点的右子树。
31
（二）中序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： (1）中序遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历根结点的右子树。
（三）后序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： （1）后序遍历根结点的左子树； （2）后序遍历根结点的右子树；
lchild
data
rchild
结点结构描述为： typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild; /*左右指针域*/ }BTNode;
26
2. 三叉链表存储
每个结点由四个域组成，具体结构如图6-6所示：
lchild
左孩子
data
数据
parent rchild
双亲 右孩子
typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild,*parent; /*左、右及双亲指针域*/ }BTNode_p;
数据结构之二叉树PPT
2015年5月16日星期六
12
二叉树性质
3. 任何一颗二叉树，度为0的结点比度为2的结点 多一个。
证明：设有n个结点的二叉树的度为0、1、2的结点数分 别为=n0，n1，n2，n=n0 +n1 +n2 (公式1) 设边数为e。因为除根以外，每个结点都有一条边进入， 故n=e+1。 由于这些边是有度为1和2的结点射出的，因此e=n1+ 2*n2，于是n=e+1= n1 +2*n2 +1（公式2） 因此由公式（1）（2）得 n0+n1+n2=n1+2*n2+1 即n0 =n2 +1
}
2015年5月16日星期六
21
由二叉树的先序和中序序列建树
仅知二叉树的先序序列“abcdefg” 不能唯 一确定一棵二叉树，
如果同时已知二叉树的中序序列“cbdaegf”，
则会如何？
二叉树的先序序列
二叉树的中序序列
2015年5月16日星期六
根 左子树 右子树 左子树 根 右子树
22
例如:
a b c d e f g c b d a e g f
2015年5月16日星期六
10
二叉树性质
2、满二叉树定理的推论: 一棵非空二叉树空子树 的数目等于其结点数目加1。
证明1：设二叉树T，将其所有空子树换成叶结点，把新 的二叉树记为T‘。所有原来树T的结点现在是树T’的分支 结点。 根据满二叉树定理，新添加的叶结点数目等于树T的 结点数目加1， 而每个新添加的叶结点对应树T的一棵空子树，因此 树T中空子树的数目等于树T中结点数目加1。
29
顺序存储
非完全二叉树在置空值而转换为完全二叉树存储 CEDJFX//K/G/I/////L
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
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第六章 树与二叉树
44
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) ：
数据结构
若森林F为空，返回； 否则 依次遍历各棵树的根 结点； 依次遍历各棵树根结 点的所有子女； 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下：
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
乙 甲 乙 甲 甲 乙
甲
乙 甲
乙
乙
甲
乙甲
乙
甲
乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i －1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 访问根结点 (V)； – 前序遍历左子树 (L)； – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
27
数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 后序遍历左子树 (L)； – 后序遍历右子树 (R)； – 访问根结点 (V)。
数据结构
36
左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) ：
数据结构
若森林F为空，返回； 否则 依次遍历各棵树的根 结点； 依次遍历各棵树根结 点的所有子女； 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下：
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
乙 甲 乙 甲 甲 乙
甲
乙 甲
乙
乙
甲
乙甲
乙
甲
乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i －1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 访问根结点 (V)； – 前序遍历左子树 (L)； – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
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数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 后序遍历左子树 (L)； – 后序遍历右子树 (R)； – 访问根结点 (V)。
数据结构
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左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案
树和二叉树的定义
通过不同的遍历算法，可以访问和查找二叉树中的节点，如前序遍历、中序遍历和后序 遍历。
树的结构与特点
1
有根树
树的结构由根节点和子节点组成，根节点是整个树的起点。
2
无环图
树是一种无环的图，这意味着树中不存在回路或循环路径。
3
分级结构
Байду номын сангаас
树的层次结构使得数据可以按照分级关系进行组织和访问。
二叉树的结构与特点
查找和排序
二叉树的结构使得在其中进行查找和排序操 作更加高效，而树适用于组织和管理分级数 据。
树和二叉树的应用领域
1 数据库管理
树和二叉树广泛应用于数据库管理系统中，用于索引和组织数据。
2 编译器设计
编译器中常用的语法树和抽象语法树是树的变种，用于解析和分析程序代码。
3 网络路由
在网络路由算法中，树和二叉树被用于在网络中选择最佳的路径。
树和二叉树的定义
树和二叉树是在计算机科学中常见的数据结构。它们是由节点组成的有层次 结构，用于存储和组织数据。
树的定义
树的层次结构
树是一种非线性数据结 构，由根节点和多个子 节点组成。每个子节点 都可以再次拥有自己的 子树。
节点和边
树的节点表示数据元素， 而边代表节点之间的关 系。每个节点可以有多 个子节点，但只能有一 个父节点。
完全二叉树
二叉搜索树
完全二叉树是一种特殊的二 叉树结构，除了最后一层外， 其他层的节点都是满的。
二叉搜索树是一种有序的二 叉树，左子节点的值小于父 节点，右子节点的值大于父 节点。
平衡二叉树
平衡二叉树是一种高度平衡 的二叉树，保持左右子树的 高度差在一个可接受的范围 内。
树与二叉树的关系
树的结构与特点
1
有根树
树的结构由根节点和子节点组成，根节点是整个树的起点。
2
无环图
树是一种无环的图，这意味着树中不存在回路或循环路径。
3
分级结构
Байду номын сангаас
树的层次结构使得数据可以按照分级关系进行组织和访问。
二叉树的结构与特点
查找和排序
二叉树的结构使得在其中进行查找和排序操 作更加高效，而树适用于组织和管理分级数 据。
树和二叉树的应用领域
1 数据库管理
树和二叉树广泛应用于数据库管理系统中，用于索引和组织数据。
2 编译器设计
编译器中常用的语法树和抽象语法树是树的变种，用于解析和分析程序代码。
3 网络路由
在网络路由算法中，树和二叉树被用于在网络中选择最佳的路径。
树和二叉树的定义
树和二叉树是在计算机科学中常见的数据结构。它们是由节点组成的有层次 结构，用于存储和组织数据。
树的定义
树的层次结构
树是一种非线性数据结 构，由根节点和多个子 节点组成。每个子节点 都可以再次拥有自己的 子树。
节点和边
树的节点表示数据元素， 而边代表节点之间的关 系。每个节点可以有多 个子节点，但只能有一 个父节点。
完全二叉树
二叉搜索树
完全二叉树是一种特殊的二 叉树结构，除了最后一层外， 其他层的节点都是满的。
二叉搜索树是一种有序的二 叉树，左子节点的值小于父 节点，右子节点的值大于父 节点。
平衡二叉树
平衡二叉树是一种高度平衡 的二叉树，保持左右子树的 高度差在一个可接受的范围 内。
树与二叉树的关系