2013奉贤区初三数学一模卷含答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若实数a、b满足a+b=1，则下列选项中正确的是（）A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 + b^2 = 2C. (a+b)^2 = 1D. (a-b)^2 = 12. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x-1)B. y = |x|C. y = 1/xD. y = x^23. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a5=10，a3+a7=18，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y=2x+1是单调递减的B. 函数y=x^2在x=0处取得极小值C. 函数y=|x|在x=0处取得极大值D. 函数y=√x在x=0处无定义5. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)6. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，f(3)=13，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，若∠BAD=60°，则∠BAC 的度数是（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°8. 下列数列中，是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 6, 10, 15, ...C. 1, 4, 9, 16, 25, ...D. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...9. 已知函数y=x^3-3x，下列说法正确的是（）A. 函数在x=0处取得极大值B. 函数在x=0处取得极小值C. 函数在x=0处无极值D. 函数在x=0处无导数10. 在平面直角坐标系中，点P(a,b)到原点O的距离为√(a^2+b^2)，则点P在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项an=________。

2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（A ）9； （B ）7； （C ）20； （D ）31． 2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（A ）012=+x ； （B ）012=++x x ；（C ）012=+-x x ； （D ）012=--x x ．3．如果将抛物线22+=x y 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（A ）()212+-=x y ； （B ）()212++=x y ； （C ）12+=x y ； （D ）32+=x y ．4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（A ）2和2.4； （B ）2和2； （C ）1和2 ； （D ）3和2．5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（A ）5∶8； （B ）3∶8； （C ）3∶5 ； （D ） 2∶5．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中， 能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（A ）∠BDC =∠BCD ； （B ）∠ABC =∠DAB ；（C ）∠ADB =∠DAC ； （D ）∠AOB =∠BOC ．二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7． 因式分解：12-a = ▲ ．8． 不等式组⎩⎨⎧>+>-x x x 32,01的解集是 ▲ ． 9． 计算：ba ab ⋅23= ▲ ． 10．计算：()32+-= ▲ ．11．已知函数 ()132+=x x f ，那么()2f = ▲ ．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e 的概率为 ▲ ．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ▲ ．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为 ▲ ．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ▲ ．（只需写一个，不添加辅助线）16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量y （升）与行驶里程x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是 ▲ 升．17．当三角形中一个内角α是另一个角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ▲ ．18．如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8，23tan =C ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为 ▲ ．三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：1021128-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π． 20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=---=-．，02222y xy x y x 21．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）已知平面直角坐标系xOy （如图6），直线b x y +=21经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点A （2，t ）在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1．（1）求b 的值；（2）如果反比例函数xk y =（k 是常数，0≠k ）的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22.（本题满分10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB =143°，AB =AE =1.2米．求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计）参考数据：60.037sin ≈ ，80.037cos ≈ ，75.037tan ≈ ．23．（本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图8，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE ＝EF ；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ．求证：∠B ＝∠A ＋∠DGC ．24．（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线）（02>+=a bx ax y 经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO =BO =2，∠AOB =120°．（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 联结OM ，求∠AOM 的大小；（3） 如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10），已知AD =13，AB =5，设AP =x ，BQ =y ．（1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．（2） 当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值．（3） 点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果EF =EC =4，求x 的值．2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．B ；5．A ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．)1)(1(-+a a ； 8．1>x ； 9．b 3；10．b a +2； 11．1； 12．72； 13．%40；14．5； 15．D A ∠=∠或DF AC =或AB ∥DE 等； 16．20； 17．30； 18．415． 三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=211222+--+=23．20．解：由②得0))(2(=+-y x y x ，∴02=-y x 或0=+y x ． 原方程组可化为⎩⎨⎧=--=-；，022y x y x ⎩⎨⎧=+-=-.02y x y x ，解这两个方程组得 ⎩⎨⎧-=-=;2,411y x ⎩⎨⎧=-=.1,122y x ∴原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=;2,411y x ⎩⎨⎧=-=.1,122y x 21．解：（1）∵直线b x y +=21经过第一、二、三象限，且y 轴交于点B ， ∴b OB =．又∵),2(t A ，△AOB 的面积等于1，∴1=b ．（2）∵直线121+=x y 经过点),2(t A ， ∴)2,2(A ． ∵反比例函数xk y =的图像经过点)2,2(A ，可得4=k ． ∴这个反比函数的解析式为xy 4=． 22．解：分别延长BA 和FE 交于点M ．∵EF ∥BC ，BC AB ⊥,∴︒=∠90AME ．∵︒=∠143EAB ，∴︒=∠37MAE ．在Rt △AME 中， ∴96.0cos ≈∠⋅=MAE AE MA ．∴2.2≈+=AB MA MB ．所以，当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵点D 为边AB 的中点，DE ∥BC ，∴EC AE =．∵CF ∥AB ，∴FCE A ∠=∠．在△ADE 和△CFE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,CEF AED CE AE FCE A ， ∴△≅ADE △CFE ，∴EF DE =．（2）如右图，在Rt △ABC 中，∵︒=∠90ACB ，点D 为边AB 的中点，∴AD CD =,∴A ∠=∠1，∴DC DG ⊥,∴︒=∠+∠9031，又∵︒=∠+∠90B A ，∴3∠=∠B ，∵CF ∥AB ，∴A ∠=∠2，∵DGC ∠+∠=∠23，∴DGC A B ∠+∠=∠．24．解：（1）过点A 作AH 垂直于x 轴，垂足为H ，∵︒=∠120AOB ， 2=AO ，∴点A 的坐标为)3,1(-．由题意得，点B 坐标为)0,2(．∵拗物线bx ax y +=2经过点A 和点B ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.024,3b a b a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.332,33b a ∴这条抛物线的表达式是x x y 332332-=， （2）由题意得，顶点M 的坐标为)33,1(-， ∴332=OM ，︒=∠30BOM ． ∴︒=∠+∠=∠150BOM AOB AOM ．（3）∵︒=∠150AOM ， ∴︒<∠30OAM ，︒<∠30AMO ，∵BO AO =，︒=∠120AOB ，∴︒=∠30ABO ．∵△ABC 与△AOM 相似，∴点C 应在线段OB 的延长线上．∴︒=∠150ABC ． ∴ABC AOM ∠=∠．由点A 和点B 的坐标可得，32=AB ．分两种情况讨论：①AOOM AB BC =，可得2=BC ，∴)0,4(C ． ②OM AO AB BC =，可得6=BC ，∴）0,.8(C ． 综上所述，△ABC 与△AOM 相似时，点C 的坐标为）（0,4或）（0,8．25．解：（1）在矩形ABCD 中，︒=∠90A ，AD ∥BC ，∴MBQ APB ∠=∠， 又∵MQ 垂直平分线段BP ，∴A QMB ∠=∠，BP MB 21=， ∴△APB ∽△MBQ ，∴BQPB BM AP =， ∵x AP =，y BQ =，5=AB ，13=AD ， 在Rt △APB 中，22225x AP AB BP +=+=，可解得xx y 2252+=． x 的取值范围为131≤≤x ．（2）∵MQ 垂直平分线段BP ，∴y BQ PQ ==．当⊙P 和⊙Q 外切时，PQ CQ AP =+， 即y y x =-+13．将x x y 2252+=代入上式，可得分式方程xx x 25132+=+，可解得1325=x ； 经检验，1325=x 是分式方程的根且符合题意． ∴⊙P 和⊙Q 外切时，1325=x ． （3）联结QE ,并延长交AD 的延长线于点G ． ∵PQ EF ⊥，QC EC ⊥，垂足分别是点F 、C ， 又∵EC EF =，∴QE 平分PQC ∠． ∵4=EC ，∴1=DE ，即41=EC DE ． 易得41341y QC DG -==， ∵QG 为PQC ∠的平分线，AG ∥BC ， ∴PGQ GQC PQG ∠=∠=∠，∴y PQ PG ==，∵DG AD PG AP +=+，∴41313y y x -+=+， 将x x y 2252+=代入，得分式方程652125542=++xx x ， 整理后，可解得13261065±=x ， 经检验13261065±=x 是分式方程的根且符合题意． ∴13261065±=x ．。

1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，32=NC ，那么四边形MABN 的面积是______________。

（2013年普陀一模18题）2、如图，在ABC Rt △中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF ∥AB ，则BD 的长为__________ （2013年奉贤区一模18题）3、如图，弧EF 所在的⊙O 的半径长为5，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，∠EOF=60°，如果AB ⊥OF ，那么这个正三角形的边长为_____________ ．（2013年嘉定区一模18题）4、如图，将△ABE 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，折痕为AC ，若AB=AC=5，AE=9，则CE=_____________.（2013年虹口区一模18题）5、已知在ABC R ∆t 中，∠A=90°，sinB=55,BC=a ，点D 在边BC 上，将这个三角形沿直线AD 折叠，点C 恰好落在边AB 上，那么BD=______．（用a 的代数式表示）（2013年静安区一模18题）第1题第2题第3题第4题6、如图，已知ABC R t ，∠ACB=90°，∠B=30°，D 是AB 边上一点，△ACD 沿CD 翻折，A 点恰好落在BC 边上的E 处，则cot ∠EDB=___________. （2013年长宁区一模18题）7、已知在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，将AB 绕着点A 旋转至AB ’位置，且AB'与AC 边之间的夹角为30°,那么线段BB'的长等于__________ （2013年金山区一模18题）8、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,把△ABC 绕点C 逆时针旋转,使得点B 落在斜边AB 的中线所在的直线上,点A 落在点A" ,那么AA “的长是____________ （2013年徐汇区一模18题）9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标为O （0，0），A （2，0），B （2，2），C （4，2），D （4，4），E （0，4），若如图过点M （1，2）的直线MP （与y 轴交于点P ）将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线MP 的函数表达式是_______________. （2013年宝山一模18题）第6题第9题10、如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，点D是斜边AB上的中点，把△ADC 沿着AB方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于点H和点G，则GH=___________。

2013.2.五校联考数学部分试题简析选择题部分：（比较基础） 第4题：本题考查圆与圆的位置关系，少数同学没有仔细看选项忽略了同心圆的情况而错选A ． 第5题：本题作为选择题进行考查较为简单，如果改成填空题则需要分类讨论x 可能取到的值． 第6题：通过观察A 、B 两点的坐标可以知道直线的“k ”一定等于1-，同时直线又经过横坐标与纵坐标互为相反数的点C ，显然这条直线的表达式只可能是y x =-，当然本题也可用待定系数法进行求解．填空题部分：（整体难度适中，有陷阱，花样多，稍难于上海市历年中考填空题） 第12题：本题是一道“阅读信息题”，由“偶函数”的定义易知二次函数图像的对称轴是直线x = 0，于是b = 0，得到A 、B 、P 三点的坐标即可求得三角形的面积，较简单． 第13题：本题属于“陷阱题”，得分率较低，如果三角形刚好能不受损地通过圆圈，那么该圆的最小直径应该等于等边三角形的高（使三角形所在的平面与圆所在平面保持垂直），“20”和“2033”学生是最为集中的错解． 第14题：本题又是一道“阅读信息题”，“上升数”的概念不难理解，但是计算时比较容易出错，两位数的个数为90，而“上升数”共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36个，套用概率公式即可． 第15题：本题属于“信息迁移题”，从特殊到一般，给出了计算一般四边形面积的一种方法，如图1，可以过点C 作BD 的平行线，过点A 作该平行线的垂线，垂足为点H ，在Rt △ACH中，sin AH m θ=，于是四边形的面积1sin 2S mn θ=，较为简单．填空题部分最后三题难度相比前面有所提高 第16题：本题是一道常规的计算题，综合考查相似、三角比、勾股定理等知识，关键在于利用已知的角度关系证出△BED ∽△BDC ，难度一般．图1 AB C Dθ HA CB E D 图2简解如下：如图2，可设BE = x ，易证△BED ∽△BDC ，由比例关系得BD = 2x ，BC = 4x ，在Rt △ABC 中，222(4)9(29)x x +=+，解得x = 3，即BE = 3．第17题：本题是一道比较常见的折叠题，需要注意题目中的“直线AB ”与“折痕所在直线”，显然满足题意的情况有两种：点E 在线段AB 上（图3）、点E 在AB 的延长线上（图4），因此需要分类讨论，属于拉开差距的题目． 简解如下：（I ）对于图3，作PH ⊥AB ，垂足为点H ，易得AH = BE = 1，则HE = 2． 设BC = PH = x ，易证△ABC ∽△PHE ，42xx =，解得22x =，此时cot ∠CAB =2． （II ）对于图4，作PH ⊥BC ，垂足为点H ，则PH = AB = 4．易得14BQ BE QH PH ==，14BQ CH QH ==，设BC = x ，则23QH x =． 易证△ABC ∽△QHP ，2434xx =，解得26x =，此时cot ∠CAB =63．第18题：本题是一道综合题，以圆（扇形）为载体，主要考查了勾股定理、相似三角形等初中阶段的重要知识，同时又是一道动态问题，在运动中建立变量之间的函数关系式，难度比较适中，但可以拉开一定差距． 简解如下：如图5，联结EG ，过点M 、N 分别作OD 、OC 的平行线，两平行线相交于点I ． ∵OC = x ，∴OD =21x -．易证△DMF ∽△GME ，△CNH ∽△ENG ，由“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”，可得222133MI OD x ==-． 类似地，可得13NI x =．在Rt △MNI 中，222221(1)()33y x x =-+，整理得21433y x =-，定义域是01x <<．图3 A B C D E H P A BC D EP Q H 图4 图5AP C HOG NE D MF BI解答题部分：（难点比较分散，综合性较强，但多数题目十分容易上手，难题分值不高） 第21题：本题是一道几何和函数知识结合的应用题，运用图形的几何性质建立函数关系式求最值．需要注意的是由于第（2）问的函数解析式有两种不同的情况，那么第（3）问在求解时需要分别求出正比例函数和二次函数在各自定义域内的最大值并进行比较，从而得到最终结果，难度一般． 第22题：本题较为新颖，第（1）问只需注意分类讨论比较简单，第（2）问考查作图能力，难度也不大，容易出错的是“网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数”，考虑正方形的两条对角线都是其本身的对称轴，不难想到：以正方形的每条对角线为最长边可作出4个三角形与原三角形相似，那么符合题意的三角形一共有8个（如图6所示）．第23题：本题是一道折叠题，但是并非最为常见的三角形、四边形的折叠，而是圆的折叠问题，且涉及的知识点较多：有轴对称、垂径定理、相切两圆的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线等，第（2）问证明平行四边形的关键在于首先明确折叠前后得到的圆弧所在的圆都是等圆，然后找到折叠前两条外切的圆弧所在的圆的圆心，联结后得到两圆的连心线，将图形补全，从而利用三角形的中位线来证明四边形OMPN 的两组对边分别平行，得到结论，稍有难度． 第24题：本题是试卷的函数压轴题，较为全面地考查了初中阶段最重要的三种函数，同时又是一道“阅读信息题”，给出了“伴侣正方形”的新定义，初看感觉非常容易理解，实则不然，“伴侣正方形”的四个顶点所在的位置情况可能会比较复杂，讨论起来有一定的难度．题目的前两问比较简单，作为铺垫使学生对新概念有一定的理解，第（3）问中，由于知道C 、D 中的一个点的坐标，欲求二次函数2y ax c =+的解析式，必须先求出“伴侣正方形”在二次函数上的另一个顶点的坐标，显然本题满足题意的二次函数解析式不止一个．在解答第（3）小题时可以先设点D 的坐标为(3,4)，如图7（图中红色正方形）所示，当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上时：过点D 、C 分别作DE ⊥x 轴、CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△DEA ≌△AOB ≌△BFC ，即可得到点C 的坐标为(1,3)-，求出二次函数的解析式．其他几种情况与之类似，由于“伴侣正方形”四个顶点的不确定性，本题的分类讨论包含了两个层次，难度较大，某些不符合题意情况可以直接依据图形进行排除，图6最后一共有四条抛物线符合题意（图7供参考）．第25题：本题是试卷的几何压轴题，综合考查了图形的平移、旋转、全等三角形、相似三角形等知识，但是前两问还是相当容易上手的，第（3）问则需要通过辅助线同时构造出一个新的等腰直角三角形、一对全等三角形、一对相似三角形作为“桥梁”，实现比例的转化从而得到答案．本题的结果说明：在题设条件下，将△ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，其中090m ≤，AMDM的值始终与C 、E 两点之间的距离x 成正比（图8）．此题思维上的难度较大，是一道能达到选拔优秀学生目的的试题．本题所用到的两个基本模型都是比较常见的， 相似三角形漏斗模型、全等三角形旋转模型：图8DEAFMlCBG DC ABEFO 图7。