当前位置：文档之家 › 电动力学复习要点2

电动力学复习要点2

  • 格式：docx
  • 大小：503.17 KB
  • 文档页数：10

补充题：有一半径为a 的无限长圆柱导体，柱轴沿方向z e ，沿x e方向上有一外加均匀电场0E ，求空间电势分布（球外为真空）和面电荷分布（令柱面处电势为零）。

解：（1）导体为圆柱体, 选柱坐标系。

电荷分布在无限远，电势零点选在有限区。

选择导体面r=a 为参考点ϕ =0。

（2）对称性分析：(),r ϕϕθ=20 ()r a ϕ∇=>1[(sin cos )(sin cos )]nnn n n n n rA nB n rC nD n ϕθθθθ∞-==+++∑，()r a >（3）确定常数①0E对x 轴对称，(),r ϕϕθ=应对x 轴对称，0n n A C ==②0, cos r E r ϕθ→∞→-，10, 0 (1)n B E B n =-≡>()01cos cos nn n E r D rn a r ϕθθ∞-==-+<<∞∑ ③柱面上：0,r aϕ==()210100, , 0 1n D E a D E a D n a=-+==>2200cos cos aE r E rϕθθ=-+（4）0002cos r aE rϕσεεθ=∂=-=∂3.1.4在半径为0R 的均匀介质球中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势。

解此问题边界为球面，取球坐标，电势零点选在无限远。

因为球内有点电荷存在，所以球内电势满足的泊松方程。

设球面上极化电荷产生的电势为'ϕ，它满足拉普拉斯方程。

空间电势为点电荷f Q 电势与'ϕ之和，设为114f Q Rϕϕπε'=+（R R <0），则有()()2210200 , 0 ,R R R R ϕϕ'∇=<∇=>kk ''E通解： '=+ϕ1a b R2d c Rϕ=+根据边界条件ϕ20R →∞→，2d Rϕ='=ϕ10R 为有限值，1a ϕ'=， 14fQ a Rϕπε=+边值关系：ϕϕ12R R R R ===，0120R R R R RRϕϕεε==∂∂=∂∂可得：04f Q d a R R πε=+，0224f Q d R R επ-=-解得：04f Q d πε=，00044f fQ Q a R R πεπε=-0100(144f f Q Q RR εϕπεπεε=+-，204fQ Rϕπε=4.1.3对于正入射（000θθθ'''===，，），利用边值关系直接证明电场强度垂直分量的菲涅耳公式为：11E nEn⊥⊥'-==+，21E En⊥⊥''==+证：设E '，E '' 与E同方向，则H H H '' 、、方向同时确定（如图）。

由边界条件[()]0,[()]0n E E E n H H H ''''''⨯-+=⨯-+=,E E E H H H ''''''=+=-又因为με1=BE ，即E B με=，及H B μ=，所以有E H με=考虑021μμμ≈≈'''=-11E nEn⊥⊥'-==+，21E En⊥⊥''==+1.1.1 利用∇算符的双重性质，证明（1）()A A A ϕϕϕ∇⨯=∇⨯+∇⨯ ，（2）2()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇证 （1）根据∇算符的微分性质有()()()()A A A A A A A ϕϕϕϕϕϕϕ∇⨯=∇⨯+∇⨯=∇⨯+∇⨯其中ϕ∇或A ∇分别表示只对ϕ或A作用。

由于A ∇对标量函数只能取梯度，故()()A A A A ϕϕ∇⨯=∇⨯因此()()A A A A ϕϕϕϕ∇⨯=∇⨯+∇⨯去掉算符的角标，即可得到要证明的等式。

（2）根据∇算符的矢量性质及公式()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅，有()()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇⋅∇注意：第一，()A ∇∇⋅ 不能写成()A ∇⋅∇ ，否则将失去意义；第二，这里仅有一个函数A，故不用算符的微分性质即可证明。

1.1.2证明以下几个常用等式，其中()x r x x e '=- ()()y z y y e z z e ''+-+- ,a为常数，(,,)u u x y z =。

（1）3r r '∇⋅=-∇⋅= ，（2）0r ∇⨯= ，（3）r r r r '∇=-∇= ，（4）31rr r ∇=- ，（5）30rr ∇⨯= ，（6）330rrr r ⋅⋅'∇=-∇= (0)r ≠，（7）()a r ∇⋅，（8）()dA A u u du∇⨯=∇⨯。

证明 （1）()()()3x x y y z z r xyz''∂-∂-∂-∇⋅=++=∂∂∂()()()3x x y y z z r x y z''∂-∂-∂-'∇⋅=++=-'''∂∂∂所以3r r '∇⋅=-∇⋅=。

（2）xy z e e e r x yzx x y y z z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂'''--- =0（3）xy zrr rr e e e x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ x y x x y y e e r r ''--=+ z z z re r r '-+=x y z x y z r r r x x y y z z r r e e e e e e r x y z r r r r'''∂∂∂---'∇=++=---=-=-∇'''∂∂∂（4）231(1/)1r rr r rr rr∂∇=∇=-∇=-∂（5）33311()rr r r r r ∇⨯=∇⨯+∇⨯34130r r r r =⨯-∇⨯ 530r r r -=⨯= （6）33343431331()30r r rr r r r r r r r r r r r r ∇⋅-∇⋅-∇⋅=∇⋅+=∇⋅+=⋅+⨯= 33343131()()(3)0r r r r r r r r r r r'∇⋅--''∇⋅=∇⋅+=⋅+⨯-= ， 所以330(0)r r r rr'∇⋅=-∇=≠（7）方法一：()()()()()a r a r a r r a r a ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇0()00()a r a r =+⋅∇++=⋅∇()()()x y z x y a r a a a x x e y y e a x y z ⎛⎫∂∂∂''⎡⎤⋅∇=++-+-+= ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭或：()a r a a ⋅∇=⋅=方法二：()()()()x y z x y z a r e e e a x x a y y a z z a x y z ⎛⎫∂∂∂'''⎡⎤∇⋅=++-+-+-= ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭（8）()x y z xyz e e e A u x y z A A A ⎛⎫⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭()()()y y x x zz x y z A A A A A A e e e y z z x x y ∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂()()()y y x x z z x y zdA dA dA dA dA dA u u u u u u e e e du ydu z du z du x du x du y∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂d A u du=∇⨯1.2.1 已知半径为a 的均匀带电球（电荷体密度为ρ）的内部有一个半径为b 的空腔，空腔的中心与带电体球心的距离为l （b l a +<），证明空腔内的电场为均匀场，且沿着习题1.2.1图中矢量l的方向。

证该问题利用高斯定理直接积分将非常复杂，但是可以利用叠加原理使问题大大简化。

先求解没有空腔时，球心在O 点，半径为a 的均匀带电球产生的电场，再求解一个球心在O '点，半径为b 的均匀带电球体产生的电场（要求两个带电球的电荷密度相同），根据叠加原理，二者之差即为所求电场。

取一个以O 点为球心，半径为1R 的高斯球面(1.2.1图中虚线圆)。

设该球面包围的带电体在图中M 点的电场强度为1E，则由高斯定理，有231111044()/3SE dS R E R ππρε⋅==⎰得到1103E R ρε=同理，球心在O '点，半径为2R 的带电球体在点M 产生的电场为2203E R ρε=根据场的叠加原理，空腔内的电场为121200()33E E E R R l ρρεε=-=-=上式表明，所求电场是一个常数矢量，即空腔内的电场是均匀场。

1.2.2定义带电体的电偶极矩为()(,)V p t x t x dV ρ''''=⎰，证明/(,)V dp dt J x t dV '''=⎰。

证方法一：(,)V dp d x t x dV dtdtρ''''=⎰(,)V x t x dV t ρ''∂''=∂⎰[(,)]V J x t x dV '''''=-∇⋅⎰（利用0J tρ∂'+∇⋅=∂ ） 因为()()()f g f g f g ∇⋅=∇⋅+⋅∇），所以有[(,)][(,)][(,)]J x t x J x t x J x t x '''''''''∇⋅=∇⋅+⋅∇因此[(,)][(,)]V V dp J x t x dV J x t x dV dt''''''''''=-∇⋅+⋅∇⎰⎰注意：VSdV dS ∇↔⎰⎰, [(,)]V J x t x dV '''''-∇⋅=⎰ [(,)]S dS J x t x ''''-⋅⎰不能写错习题1.2.1图[(,)](,)S V dS J x t x J x t dV '''''''=-⋅+⋅⎰⎰由于在边界上电流没有法线方向分量，故上式右边第一项为零，而(,)(,)J x t J x t ''⋅=，因此得到(,)V dp J x t dV dt'''=⎰此题也可用分量方法证明，但不如利用矢量微分算符简单。

合集下载

初中物理电动力学知识点总结与梳理

初中物理电动力学知识点总结与梳理

初中物理电动力学知识点总结与梳理电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电流在电场和磁场中的相互作用关系。

初中物理学习的重点之一就是电动力学，本文将对初中物理电动力学的知识点进行总结与梳理。

1. 电荷和电流电荷是物质的基本性质之一，有正电荷和负电荷之分。

同种电荷相互之间发生排斥，异种电荷相互之间发生吸引。

电子是负电荷的基本粒子，负电荷的基本单位是电子电荷e。

正电荷的基本单位与负电荷相同。

电流是电荷在单位时间内通过导体横截面的数量，单位是安培（A）。

2. 电路中的基本元件电路中常见的基本元件有导体、电阻、电容和电感。

导体是电流可以通过的物质，如金属线。

电阻是阻碍电流通过的元件，其单位是欧姆（Ω）。

电容是储存电荷的元件，其单位是法拉（F）。

电感是储存磁能的元件，其单位是亨利（H）。

3. 电压和电动势电压是电源对电荷提供的能量，也称为电势差，其单位是伏特（V）。

电动势是电源的内部能量转化为电能的能力，单位也是伏特（V）。

电流的大小与电压和电阻的关系可以用欧姆定律来描述，即I=U/R，其中I为电流，U为电压，R为电阻。

4. 阻抗和电路分析阻抗是交流电路中电阻、电容和电感对电流的阻碍能力，其单位是欧姆（Ω）。

在交流电路中，电流的大小和相位差可以通过阻抗和电压的相位差来确定。

通过阻抗，可以对交流电路进行分析和计算。

5. 频率和周期频率是交流电流或电压波形中周期性事件的发生频率，单位是赫兹（Hz）。

周期是交流电流或电压波形中一个完整的周期所需要的时间。

频率和周期之间的关系是f=1/T，其中f为频率，T为周期。

6. 直流电路和交流电路直流电路中电流的方向是固定不变的，电源提供稳定的电压，如电池。

交流电路中电流的方向随时间改变，电源提供周期性变化的电压，如插座上的交流电源。

7. 磁场与电磁感应电流在导线周围产生磁场，磁场的方向可以用右手螺旋定则确定。

电磁感应是指磁场变化时产生感应电动势，导致电流产生的现象。

法拉第电磁感应定律描述了磁场变化引起的感应电动势的大小与变化率的关系，即感应电动势的大小与磁场变化率成正比。

电动力学重点的知识地总结

电动力学重点的知识地总结

电动力学重点的知识地总结电动力学是物理学的一个分支，主要研究带电粒子受力和电磁场的相互作用。

以下是电动力学的重点知识总结，供期末复习必备。

1.库仑定律库仑定律描述了两个电荷之间的相互作用力，它与电荷之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。

库仑定律可以表示为：F=k*(q1*q2)/r^2其中，F是两个电荷之间的相互作用力，k是库仑常数，q1和q2是两个电荷的大小，r是两个电荷之间的距离。

2.电场电场是电荷周围空间的属性，描述了电荷对其他电荷施加的力的结果。

电场可以通过电场强度来描述，表示为E。

电场强度的大小是电场力对单位正电荷的大小。

电场强度的方向指向力的方向，因为正电荷会受到力的作用向电场强度的方向移动，而负电荷则相反。

3.电场线和等势线电场线是描述电场分布的曲线，它是指电场强度方向的切线。

电场线的特点是从正电荷发出，朝着负电荷流动，并且彼此之间不会交叉。

等势线是与电场线垂直的曲线，它表示了电势相同的点的集合。

4.电势能电势能是指电荷由于存在于电场中而具有的能量。

电荷在电场中移动时会改变其电势能。

电场中的电势能与电荷的位置和电势有关。

5.电势差和电势电势差是指单位正电荷从一个点移动到另一个点时电场力所做的功。

电势差可以通过下式计算：∆V = - ∫ E * dl其中，∆V是电势差，E是电场强度，dl是电场强度方向的位移。

电势是电势差的比例，可以表示为V = ∆V / q，其中V是电势，q是电荷大小。

电势是标量，单位为伏特（Volt）。

6.静电场中的电势对于一个静电场中的电势，可以通过电场强度的分布来计算。

电势的分布可以通过库仑定律计算。

对于一个点电荷，其电势可以表示为：V=k*q/r7.平行板电容器和电容平行板电容器是由两个平行的金属板组成的，中间有绝缘介质隔开。

在平行板电容器中，当两个电容板分别带有正负电荷时，会形成电场，电场的强度在电容器中是均匀的。

电容是指在一定电势差下，存储在平行板电容器中的电荷量的比例，可以表示为C = q / V，其中C是电容，q是电荷量，V是电势差。

电动力学重点知识总结(期末复习必备)

电动力学重点知识总结(期末复习必备)

一1.静电场的基本方程#微分形式：积分形式：物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场2.静磁场的基本方程#微分形式 积分形式反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。

它的激发源仍然是运动的电荷。

注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。

#电荷守恒实验定律：#稳恒电流： ，*#3.真空中的麦克斯韦方程组0,E E ρε∇⨯=∇⋅=()010LSVQE dl E dS x dV ρεε''⋅=⋅==⎰⎰⎰ ， 0J tρ∂∇⋅+=∂00LSB dl I B d S μ⋅=⋅=⎰⎰， 00B J B μ∇⨯=∇⋅=，0J ∇⋅=21(-)0n J J ⋅=揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。

微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。

*真空中位移电流，实质上是电场的变化率*#4.介质中的麦克斯韦方程组1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真空情况。

2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。

#5.1）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式6.电磁场能量守恒公式D J t D ρ∂BE =-∂H =+∂∇⋅=⋅B =0==P M H B E D)(00M H B P E D+=+=με()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅ασ12121212ˆ0ˆ0)(ˆ)(ˆH H nE E nB B nD D n ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅0ˆ0ˆ0) (ˆ0)(ˆ12121212H H nE E nB B nD D nDE J tε∂=∂二1.静电场的标势#静电势：电势差：#2. 电势满足的方程泊松方程（适用于均匀介质）：拉普拉斯方程（适用于无自由电荷分布的均匀介质）：3. 静电势的边值关系#1) 两介质分界面2）导体表面上的边值关系*4. 静电场的能量1）一般方程：能量密度：2）只适合于静电场情况。

电动力学重点知识总结(期末复习必备)

电动力学重点知识总结(期末复习必备)

电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷之间相互作用导致的电场和磁场的规律。

在这篇文章中，我们将整理电动力学的重点知识，以帮助大家进行期末复习。

一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。

根据库仑定律，电荷之间的力与它们的电量大小和距离的平方成正比。

即$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中$F$为电荷之间的力，$q_1$和$q_2$分别为两个电荷的电量，$r$为它们之间的距离，$k$为库仑常数。

二、电场电场是描述电荷对周围空间产生影响的物理量。

任何一个电荷在其周围都会产生一个电场，其他电荷受到这个电场的力作用。

1. 电场强度电场强度$E$定义为单位正电荷所受到的电场力。

即$$ E =\frac{F}{q} $$电场强度的方向与电场力方向相同。

2. 电荷在电场中的受力当一个电荷$q$在电场中时，它受到的电场力$F$为$F = qE$，其中$E$为电场强度。

3. 电场线电场线是一种用于表示电场分布的图形。

电场线从正电荷发出，或者进入负电荷。

电场线的密度表示电场强度大小，电场线越密集，电场强度越大。

三、高斯定律高斯定律是用于计算电场分布的重要工具。

它描述了电场与通过闭合曲面的电通量之间的关系。

1. 电通量电通量是电场通过曲面的总电场线数。

电通量的大小等于电场强度与曲面垂直方向的投影之积。

电通量的计算公式为$$ \Phi = \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} $$其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{dA}$为曲面元。

2. 高斯定律高斯定律表示电通量与包围曲面内所有电荷之和的比例关系。

即$$ \Phi = \frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_0} $$其中$\Phi$为通过曲面的电通量，$Q_{\text{内}}$为曲面内的总电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数。