上海交通大学材料力学课件_应力状态共25页文档

§2.3 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
§2.5 平衡方程2
• x截面,应力分量 • σ x Շxy Շxz • x+dx截面,应力分量
x x xd,xx y x xy d,xx z x xd z ,x
数必须等于3个。
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律
结构强度分析需要简化和有效的参数
——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2
主应力和主平面
切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主 应力。
zx zy z
代数主子式之和
应力张量元素 构成的行列式
•§2.6应主应力力6 状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。
• 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 边界条件等，与坐标轴的选取无关。
• 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。
§2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件——
确定的是弹性体表面 外力与弹性体内部趋 近于边界的应力分量 的关系。
§2.5 边界条件2
面力边界条件
Fsj ijni
§2.5 边界条件3
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变 形连续条件。

应变与应力之间的关系
应变和应力之间存在着密切的关系。应变是材料变形程度的度量，而应力是 材料受力的表现。了解应变与应力之间的关系可以帮助我们更好地分析和控 制材料的行为。
应力的平面转动
应力的平面转动是指在不同的坐标系下，应力分量的变化。通过对应力的平 面转动进行研究，我们可以更好地理解材料在不同坐标系下的受力情况应力。掌握主应力和主应力方 向的概念可以帮助我们识别和分析材料的受力情况。
应力状态的分类
应力状态可以分为三种基本形式：平面应力、轴对称应力和空间应力。通过分类应力状态，我们可以更好地理解材 料在不同条件下的受力行为。
平面应力和轴对称应力
平面应力是指只存在于某一平面上的应力，而轴对称应力是指具有旋转对称 性的应力。通过研究平面应力和轴对称应力，我们可以更好地分析材料在不 同维度上的受力情况。
平面应力下的摩尔-库仑方程
摩尔-库仑方程是描述平面应力下材料力学行为的重要方程。通过掌握摩尔-库仑方程，我们可以更好地分析和预测 材料在平面应力下的受力行为。
高等材料力学课件第二章 应力状态
在本章中，我们将深入探讨应力的概念和定义，重点介绍主应力和主应力方 向的概念，以及应力状态的分类以及平面应力和轴对称应力的特点。
应力的定义和概念
了解应力是理解材料行为的关键。应力是材料内部的力，是单位面积上的力。通过深入研究应力的定义和概念，我 们可以更好地理解材料的力学行为。

(4)二倍角对应—半径转过的角度是方向面旋转角度的 两倍。
4. 主应力与主平面
可见，圆周上A1和A2两点的 横座标分别代表该单元体的 垂直于xy平面的那组截面上 正应力中的最大值和最小值， 它们的作用面相互垂直(由 (b) A1和A2两点所夹圆心角为 180˚可知)，且这两个截面上 均无切应力。
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 (b) 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
知识影响格局，格局决定命运！ 多端互通
抽奖特权
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！
福利特权
开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。
-x
+ y
2
x
- y
2
cos 2
- x sin 2
(1)
x
-
2
y
sin 2
+x
cos 2
(2)
(1) 2 + (2) 2 , 得 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 R 2
-x
+
y
2
2
+
2
x
-
y
2
2
+
2 x
1.莫尔(Mohr)圆（应力圆）
-
x
+ 2
y
2
+
2

上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：

二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式

有限元法的优点在于可以处理 复杂的几何形状和边界条件， 且可以方便地与其他数值方法 耦合，如流体动力学、热力学 等。
04
空间应力状态的应用
工程结构分析
桥梁和建筑结构
在设计和分析大型桥梁和建筑结构时，需要考虑空间应力状 态对结构稳定性和安全性的影响。通过分析空间应力状态， 可以预测结构的变形、裂缝和破坏，从而优化设计方案。
数值法可以通过计算机程序实现，通过迭代或近似方 法得到近似解，但需要适当的网格划分和算法设计。
有限元法
有限元法是一种基于离散化的 数值计算方法，它将连续的物 体离散为有限个小的单元，并 对每个单元进行单独的分析和 求解。
在空间应力状态分析中，有限 元法可以处理各种复杂的问题 ，包括非线性、三维、多物理 场等问题。
多尺度分析的进展
微观尺度研究
通过原子或分子模拟方法，深入 了解材料的微观结构和力学行为， 为宏观尺度下的应力状态分析提 供基础。
介观尺度研究
针对细观结构和界面行为进行建 模和分析，揭示材料在不同尺度 下的力学响应和应力传递机制。
多尺度耦合方法
发展多尺度耦合分析方法，实现 微观、细观和宏观尺度之间的有 效连接，为复杂应力状态下的结 构性能预测提供支持。
优化设计，提高安全性。
06
空间应力状态的未来发展
新材料的应用
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料和钛合金，具有更高的强度和轻量化特性，能够 提高结构效率并降低能耗。
智能材料
如形状记忆合金和电致伸缩材料，具有自适应和传感功能，可用于 监测和调控结构应力状态。
多功能材料
如压电材料和磁致伸缩材料，能够实现力、电、磁等多物理场耦合， 为复杂应力状态下的结构性能优化提供新途径。

50kN
I
II
150kN
100kN
50kN
I FN1 FN1=50kN
I
II
50kN
FN
+
-
100kN
II FN2
I 100kN FN2= -100kN
II
| FN |max=100kN
三、横截面及斜截面上的应力
（一）、应力的概念
F
A
应力：杆件截面上的 分布内力集度
p F A
平均应力 plimFdF A0 A dA
则
1F A N 1 1
1.7 2 1 33N 0 8.2 8 16P 0 a 8.2 8 M P []a 5 0 1-30 2m 2
4
2F A N 2 2 51 0 4 0 1 1 03 0 - N 6 0 0 m 2 5 17P 0 a 5M 0 [P ]a
所以起重设备满足强度要求，是安全的。
其中： max ----最大局部应力
nom ----名义应力（平均应力）
应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧 烈，应力集中程度越剧烈。
静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，
如铸铁）应考虑。
动载下，塑性和脆性材料均需考虑。
由于构件截面尺寸剧烈变化引起的应力局部升高现象 称为应力集中。
由图b、c可以看出，杆端载荷的作用方式，将显著 地影响作用区附近的应力分布规律，但距杆端较远处，上 述影响逐渐消失，应力趋于均匀，其影响深度和1～2倍的 横向尺寸相当，此即为圣·维南原理。
2、应力集中
应力集中现象：由于截面骤变而引起的局部应力发
生骤然变化的现象。
理想应力集中系数:
k max nom

x-y坐标系
ppt课件
x'－y'坐标系 xp-yp坐标系
主应力单元体 15
（四）、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。10

xy
yx
y
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可 确定任意方向面上的正应力和切应力。
4 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
示例一
S平面
F
F
1
1
ppt课件
F
A
1
5
S平面
应力状态/应力状态的概念及其描述 n
F
1
F


1


90
研究应力状态的目的：
找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当 的强度条件。
3 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
（二）、一点应力状态的描述
• 微元 （Element）
dx,dy,dz 0
z
zx zy
xz yz
x

x (pDt )
p
pD
4
2

x

pD 4t
11 ppt课件
应力状态/
ｐ×Ｄ×ｌ
Fy 0
t
ｐ
t
t (2t l)

3

2
1
1
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用1、 2 、 3表示，按代数值大小顺序 排列，即1 ≥ 2 ≥ 3 。
第八章 应力状态分析与强度理论
应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态：三个主应力中有二个不等于零

x y x y

cos2 sin2 x
应力转轴公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。
换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也 适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
第八章 应力状态分析与强度理论
主平面及主平面位置
2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第 8章
应力状态分析与强度理论
※ 应力状态概述 ※ 二向应力状态分析
※ 广义虎克定律
※ 复杂应力状态下的变形比能 ※ 强度理论概述 ※ 四种常用强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
§8-1 应力状态的概念
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
断口与轴线垂直
第八章 应力状态分析与强度理论
低碳钢和铸铁的扭转实验 铸 铁
三向应力状态：三个主应力均不等于零
单向应力状态也称为 简单应力状态，二向和三向应力 状态统称为 复杂应力状态。
第八章 应力状态分析与强度理论
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用。
t
p
p
p
D
1 2

第八章 应力状态分析与强度理论
1
2 3
pD 2t pD 4t 0

y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体 或其局部顺时 针方向转动为 正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆 时针转到n正 向者为正；反 之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中 小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的） ，夹角不比450大。

G2 "
3.应力圆的应用
①应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
②应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,且转向相同;
③圆心为平均正应力，为不变量。 ④ 半径对应极值切应力。
y yx
xy x
n
a
a x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
D' (y, yx)
G1'
D(x, xy) 2a
x
2
y
2
2 xy
②取x面，定出D( x ,xy )点；取y面，定出D'( y ,yx )点；
③连DD'交轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y y yx
xy x
n
a
a x x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
G1'
D(x, xy) 2a
2a0 A A1
C
'
D' (y, yx)
1. ①主平面：单元体上切应力为零的面；
②主应力：主平面上的正应力，用1、2、3 表示， 有1≥2≥3。
y
z
yx
yz
xy
zy
x x
z zx xz z
x' 1
旋转
z' 3
2 y'
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
③主应力大小：
max min
x
y
2
x