第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

圆锥曲线第二定义内容及推论本系列将介绍圆锥曲线的基础知识。

圆锥曲线主要有椭圆、抛物线、双曲线。

下面主要介绍它们的定义、标准方程、几何性质和一些特征量。

同时，圆锥曲线的统一定义，即第二种定义，也将在下面介绍。

本文首发于如下：数学那些事sunsnow。

概述了双曲线的定义和几何性质。

1 双曲线定义1 第一定义平面内与两个定点f_1、f_2的距离之差的绝对值等于常数2a( 0 < 2a < |f_1f_2| )的点的轨迹称为双曲线。

即双曲线上的点m满足\left\|m f_{1}|-| m f_{2}\right\|=2 a \\其中f_1、f_2为双曲线的焦点，2c=|f_1f_2|为双曲线的焦距，2a为双曲线的实轴。

2 第二定义平面上到定点f与到定直线l距离之比为常数e( e>1 )的点的轨迹为双曲线。

其中，定点f为双曲线的焦点，定直线l为双曲线的准线，常数e为双曲线的离心率。

2 几何性质标准方程双曲线的标准方程为\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ &\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\上面表达式所表示的双曲线焦点在x轴上；下面表达式所表示的双曲线焦点在y轴上。

可见，哪个坐标前面的系数为正，双曲线焦点就在哪个轴上。

下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行介绍。

即：\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\几何图形离心率双曲线的离心率e定义为e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1 +\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\显然双曲线的离心率范围为 e>1 。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D.2x ±y ＝01．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.4552．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝13．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．考点二 圆锥曲线的性质[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22x D.y ＝±32x2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.743．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋24．已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．考点三直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系[例3]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p ＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·济南模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点F 的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±43xB.y ＝±34xC ．y ＝±53xD.y ＝±35x2．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.552＋2B.522＋1C.522－2D.522－13．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C.22D.324．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.55．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D.36．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF ―→＝3FB ―→，则k ＝( )A.1B.2C.3D.2二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ―→＝3FB ―→，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．三、解答题10．(2019·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为5 5.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．3.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．。

圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。

本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。

如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。

二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。

下面分别进行讲解。

1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。

圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。

三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。

高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。

在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。

根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。

2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。

椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。

椭圆的面积为πab。

2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。

双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。

双曲线的面积无限大。

3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。

抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。

抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。

三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。

2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。

3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。