19-20学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时三角形中的几何

第4课时 三角形中的几何计算问题导学预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示边a ，b ，c 上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(3)S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为△ABC 内切圆的半径)．■名师点拨三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为h＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3D ．2 3解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×1×2×32＝32.已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°解析：选D.由S △ABC ＝12bc sin A ＝32，得3sin A ＝32，sin A ＝32，由0°<A <180°，知A ＝60°或A ＝120°.在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°， 所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.答案：32与三角形面积有关的计算问题(1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 3(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3，且S △ABC ＝3，则a ＝________，b ＝________．【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得ACsin B＝BCsin A，所以AC ＝BC ·sin Bsin A＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又因为C ＝180°－120°－30°＝30°， 所以S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3.(2)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. 【答案】 (1)C (2)2 2三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12B ．212C ．28D ．6 3解析：选D.在△ABC 中，由余弦定理可得 64＝49＋9－2×7×3cos C ，所以cos C ＝－17，所以sin C ＝437，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝63，故选D.2．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A ． 3B ．5 3C ．6 3D ．7 3解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________． 解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12c sin 60°＝3，得c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a ＝13.答案：13三角形中的线段长度和角度的计算已知四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．【解】 (1)连接BD ，则由题设及余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3.三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．已知四边形ABCD 满足∠BAD ＝90°，∠BCD ＝150°，∠DAC ＝60°，AC ＝2，AD ＝3＋1.求CD 的长和△ABC 的面积．解：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠CAD ＝6，所以CD ＝ 6. 在△ACD 中，由正弦定理得CDsin ∠CAD＝ACsin ∠ADC，则sin ∠ADC ＝22，又0°<∠ADC <120°， 所以∠ADC ＝45°，从而有∠ACD ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACB ＝75°，又∠BAC ＝30°， 所以△ABC 为等腰三角形，即AB ＝AC ＝2， 故S △ABC ＝1.三角形中的综合问题(2019·郑州一中期末检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 【解】 (1)因为b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )， 所以b cos A ＝(2c ＋a )(－cos B )．由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B ， 即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ＝sin C .又角C 为△ABC 的内角，所以sin C >0，所以cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，所以B ＝2π3.(2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4.又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16.所以a ＋c ＝25，所以△ABC 的周长为4＋2 5.[变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC 的面积为3”，求 (1)△ABC 周长的取值范围； (2)△ABC 面积的最大值．解：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝a 2＋c 2＋ac . 又b ＝4，所以16＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22.所以34(a ＋c )2≤16，所以(a ＋c )2≤643.即4<a ＋c ≤833.所以8<a ＋b ＋c ≤4＋833.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝a 2＋c 2＋ac ，又b ＝4，所以16＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ，即ac ≤163.所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×163×32＝433.即△ABC 面积的最大值为433.解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 及正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2.(2)因为B ＋C ＝π－A ＝3π4，B －C ＝π2，所以B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A ． 3 B ．3 C ．7D ．7解析：选A.因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以12×2·AC sin 60°＝32.所以AC ＝1.又BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋1－2×2cos 60°＝3. 所以BC ＝ 3.2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .b ＝2，∠B ＝π6，∠C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．2＋2 3B ．3＋1C ．23－2D ．3－1解析：选B .由正弦定理，得csin π4＝2sinπ6，解得c ＝2 2.又∠A ＝π－π6－π4＝7π12，则△ABC 的面积S ＝12bc sin 7π12＝3＋1.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，b ＝1，C ＝120°. (1)求B 的大小； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin B ＝b sin Cc ＝12， 因为在△ABC 中，b <c 且C ＝120°，所以B ＝30°. (2)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－120°－30°＝30°， 所以S ＝12bc sin A ＝34.[A 基础达标]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．3 3C ．6D ．6 3解析：选B.△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×4×3×32＝3 3.2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．14 C ．1D ．2解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12或sin A ＝－1(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.3．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A ．152B ．15C ．2D ．3解析：选A.因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.4．已知△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边的长为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，所以bc ＝40.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120.所以a ＝7.即BC 边的长为7.5．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A ． 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B.因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝2332＝4，所以R ＝2.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：因为cos C ＝13，0<C <π，所以sin C ＝223，所以S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案：4 37．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知，B ＝π3.在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝BC2＝2，所以AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.因此AD ＝ 3. 答案： 38．在△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 解析：设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝103k 2＝103，所以k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以BC ＝7，所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝20.答案：209．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝π6时，求a 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45>0，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得asinπ6＝103，解得a ＝53. (2)由△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，得12ac ×35＝3，得ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20，所以(a ＋c )2－2ac ＝20，即(a ＋c )2＝40， 所以a ＋c ＝210.10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [B 能力提升]11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π3，且a ＋b ＝3，则△ABC 的面积为( )A.13312 B.534 C.512D.5312解析：选D.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以22＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即4＝(a ＋b )2－3ab ， 又a ＋b ＝3，所以ab ＝53，所以S △ABC ＝12ab sin π3＝5312，故选D.12．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又因为b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12所以c ＝23，a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.答案：6 313．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝32BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________．解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝433x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A＝x 2＋x 2－43x 22x2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BCsin A ＝433x 223，解得sin C ＝66. 答案：6614.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝π4，AC ＝72，cos∠ADB ＝－210. (1)求sin C 的值；(2)若BD ＝5，求△ABD 的面积． 解：(1)因为 cos ∠ADB ＝－210， 所以sin ∠ADB ＝7210，又因为∠CAD ＝π4，所以∠C ＝∠ADB －π4，所以 sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ADB －π4 ＝sin ∠ADB ·cos π4－cos ∠ADB ·sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)在△ACD 中，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，得AD ＝AC ·sin C sin ∠ADC ＝72×457210＝2 2.所以S △ABD ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB＝12×22×5×7210＝7. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解：(1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3， 因为0<C <π， 所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎪⎫0<A <2π3.当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号． 所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.。