西安交通大学有限元分析word版第一章

第一章 引言§1-1概述１、有限元方法（The Finite Element Method, FEM ）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。

众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。

这些方程通常称为控制方程（Governing equation ）。

针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。

人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。

有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。

有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。

然而，这种思想自古有之。

齐诺（Zeno 公元前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空间是有限的和无限可分的。

故，事物要存在必有大小。

亚里士多德(Aristotle 古希腊大哲学家,科学家)也讲过：连续体由可分的元素组成。

古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。

图１－２可以用来表示这一过程。

工程中的问题 （力学、物理）各种方程及相应的定解条件（边界条件及初始条件）线性的、边界规则的问题 数值分析法 精确解 近似解 非线性的、边界不规则的问题 解析法 图1-1 工程问题的求解思路图1-2 离散逼近有限单元法 有限差分法图1-3 有限元法与有限差分法比较近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法（framework method ）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941，Hrenikoff ）；在采用三角形单元及最小势能原理研究St.Venant 扭转问题时，分片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courant ）。

此后，本方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，以及航空、航天、建筑、水工、机械、核工程和生物医学等方面获得了广泛的应用。

从而，促成了一个内容十分丰富的新兴分支───计算力学的出现，长期以来在力学中存在的求解手段落后于基本理论的现象得到了根本的扭转。

由于拥有了强有力的分析手段，相比之下对物质世界本身（例如本构关系）的了解反而出现了一些新的薄弱环节。

有限元方法的第二个关键时期出现于二十世纪六十年代中期，归功于Argyris, 和Kelsey(1960)以及Turner, Clough, Martin 和Topp (1956)。

然而，“有限单元”是由Clough 首次提出的(1960)。

在众多数学家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭示以后，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。

这样就不仅极大地扩展了该方法的应用范围，而且拓宽了人们的思路，在构造方法时人们不再受工程直觉的束缚。

２、众所周知，一个连续体有无限多个自由度（属于无限维空间），有限元方法则是将它转化成一个有限自由度（属于有限维空间），建立有限元方程，求其近似解。

可以将有限元法理解为在子域内应用的瑞利－里兹法（Rayleigh —Ritz Method ）。

在传统的瑞利－里兹法中，必须假定近似的位移函数和其各阶导数在整个求解区域内有良好连续性。

然而，实际的工程结构往往比较复杂。

例如，变压器的箱体可以看成是由板和梁的组合结构；管道系统中的阀门、接头和三通表现为集中质量。

在数学的描述上，这些实际情况表现为间断点，在这些部位函数的导数（及应变）是不连续的。

因此，瑞利－里兹法的工程应用受到了限制。

另外，对于二维及三维的工程结构，如果其几何边界不规则，要寻找满足边界条件的连续的近似位移函数是极其困难的。

在有限元方法中，由于利用了分片插值技术，连续体（区域）的形状可以不受任何限制。

而这一难题正是以前其他分析方法所难以克服的。

图1-3给出了有限元法与传统的有限差分法在描述同一对象时的比较。

建立有限元方程大体有三类方法：（１）直接方法这种方法是直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法而言，只在简单情况下才能凑效。

这种方法的优点在于简单、易于理解，一些基本概念和作法的物理意义清晰，对理解有限元方法的相关概念和具体作法十分有益。

（２）变分方法这种方法是讨论有限元方法时最常用的一种形式。

有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。

变分方法主要用于线性问题，该方法要求被分析的问题存在一个“能量泛函”，由泛函取驻值建立有限元方程。

对于线性弹性问题就表现为最小势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。

对于某些非线性问题（弹塑性问题）的虚功方程也可归于这一类。

本书主要利用这种形式。

（３）加权残值法对于线性自共轭形式方程，加权残值法可能和变分法得到相同的结果，这将使我们得到一个对称的刚度矩阵。

对于那些“能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。

伽辽金Galerkin）法（即，选形函数为权函数的加权残值法）属于这一类。

３、计算机和应用程序要用有限元方法的理论来解决实际问题离不开计算机（硬件）和程序（软件），人们大体要完成以下四方面的工作：（１）数据储存应用有限元方法求解实际问题时，在计算过程中要存贮大量数据（原始数据、中间数据和最终结果）。

对于一个中等规模以上的算题，数据量相当可观。

例如，一个不到500个结点的板壳结构（中等规模）的算题，要占用18MB的外存空间，在处理规模稍大的算题时一定要有足够的外存空间。

（２）数据管理为了充分利用存贮空间，编制程序时要注意到存贮空间的利用率。

（３）数值计算计算成本主要取决于数值运算的时间，尽量选用先进的计算方法，提高求解效率。

（４）前处理及后处理为了减少人工准备原始数据的工作量，程序要有尽可能完善的“自动生成“功能。

由程序产生一部分原始数据。

尽管如此，对于中等规模以上的算题来说，准备原始数据仍然是一件繁重的工作。

数据是否没有差错，往往决定着一次上机的成败。

分析计算结果也是一件繁重的工作，一个好的程序应有较完善的后处理功能。

例如，将计算结果绘制成图形或曲线。

有限元分析软件可分为通用软件和专用软件，下面的表格简略的介绍了一些近年来国内外著名的分析软件，供读者参考。

表1-1有限元软件的单元配置编号软件名称三维杆单元三维梁单元平面应力单元平面应变单元薄膜单元剪切板单元弯曲板单元薄壳单元厚壳单元旋转壳单元轴对称体单元三维体单元边界单元间隙单元哑单元标量单元刚性单元1 ANSYS LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM2 ADINA LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM3 MARC LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM4 NASTRANLG LGMLGMLGMLLGLGLGLGML LLGMLLGM☆☆☆5 ABAQUS LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM6 FENRIS LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM7 PAFECLG LGLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLLGM8 ASKALM LMLMLMLMLMLMLMLMLMLMLM9 EALLG LGLGLGLGLGLGLGLGLG10 SAMCEF LGMLLGMLGML L L LLGMLGMLGMLGMLG11 LARSTRAN80 LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM12 HAJIF系列LGMLGMLGMLGMLGMLMLGMLGMLGML LLGML注：Ｌ─线性、Ｇ─几何非线性、Ｍ─材料非线性表1-2有限元软件的应用领域编号软件名称线性静力分析固有振动分析屈曲分析非线性静力分析后屈曲分析非线性接触分析非线性振动分析非线性瞬态响应分析波的传播分析流体与结构耦合分析热与机械耦合分析粘塑性分析动力粘塑性分析静力敏度分析固有特性敏度分析屈曲敏度分析动态响应敏度分析1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3 MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8 ASKA ☆☆☆☆☆9 EAL ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆☆☆☆11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12 HAJIF系列☆☆☆☆☆☆表1-3有限元软件的载荷计算功能编号软件名称集中载荷线载荷对称载荷面载荷体积载荷重力载荷初始变形热载荷离心载荷跟随力│活载循环载荷随机载荷陀螺载荷非比例载荷瞬态冲击载荷接触载荷1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3 MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8 ASKA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9 EAL ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12 HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-４有限元软件的材料模式计算功能编号软件名称各向同性正交各向异性多层材料非均质材料热弹性热塑性线弹性非线性弹性弹塑性弹性应力硬化粘弹性粘塑性高温蠕变1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3 MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8 ASKA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆9 EAL ☆☆☆☆☆☆10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆☆☆☆11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12 HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-５有限元软件的模块化功能编号软件名称固定格式数据自由格式数据面向问题的语言用户安排的数据顺序系统安排的数据顺序节点坐标自由生成单元连接信息自由生成约束对称性边界条件自动生成子结构连接信息自动生成相同部件的自动重复生成载荷自动生成一维单元信息的自动生成三角形单元的自动生成四边形单元的自动生成旋转体壳单元的自动生成三维实心单元的自动生成1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3 MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8 ASKA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9 EAL ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆☆☆☆☆12 HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-6有限元软件的前后处理功能编号软件名称二维壳单元自动生成相贯线自动生成数据检查的交互图形技术未变形结构的网格图形显示窗口显示隐藏线消除轴侧视图透视图剖面图节点与单元重新编号数据的列表检查法固定格式的列表输出由用户确定的数组和顺序输出最大量与最小量输出按节点分区的最大值与最小值输出应力、温度、流量极限输出用于用户后处理的文件1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3 MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8 ASKA ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9 EAL ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆☆☆☆12 HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-7有限元软件的用户界面及其它编号软件名称温度、流量与应力等直线绘图表面函数绘图用户选择项目绘图∣按元素或区域时间历程绘图参数规定奇异性检查错误修正对用户的服务热线电话咨询培训录像带信息报刊开发单位编程语言（程序规模）1 ANSYS ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆SwansonAnalysisSystem（美国）FORTRAN77(150000行)2 ADINA ☆☆☆☆☆☆☆ADINA工程公司（美国）FORTRAN(150000行)3MARC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆MARC公司（美国）FORTRAN4FOR66FOR77(100000行)4 NASTRAN ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆NASA（美）主持MSC公司（美）开发FORTRAN4Assembler(600000行)5 ABAQUS ☆☆☆☆☆☆☆Hilbitt,Karlson, andSorensen公司（美）FORTRAN77(140000行)6 FENRIS ☆☆☆☆☆☆☆NTH,SINTEF（挪威）FORTRAN77(160000行)7 PAFEC ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆PAFEC公司（美）FORTRAN(400000行)8 ASKA ☆☆☆☆☆☆☆斯图加特大学静动力学研究所（西德）FORTRAN4(600000行)9 EAL ☆☆☆☆☆☆☆☆EISE公司（美）ANSI FOR66Assembler(150000行)10 SAMCEF ☆☆☆☆☆☆L.T.A.S（比利时）FORTRAN4(300000行)11 LARSTRAN80 ☆☆☆☆斯图加特大学静动力学研究所（西德）FORTRAN4FORTRAN77(200000行)12 HAJIF系列☆☆航空部（中国）FORTRAN4(280000行)至今，有限单元方法已有50多年的历史，尽管研究工作目前仍在继续进行，应该说该方法已经是一种成熟的分析方法，而且已经十分普及。