湖北省武汉市水果湖二中九年级(上)月考数学试卷(9月份)

九年级（上）数学限时作业9.15一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将一元二次方程2320x x −−=化成一般形式后，常数项是2−，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）A 3，2−B. 3，1C. 3，1−D. 3，02. 抛物线2y x 与2y x =−相同的性质是（ ） A. 开口向下B. 对称轴是y 轴C. 有最低点D. 对称轴是x 轴3. 用配方法解方程2410x x −+=，变形后的结果正确的是（ ） A. ()223x −=B. ()223x −=−C. ()225x −=D. ()225x −=−4. 抛物线223y x =−向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. 224y x =− B. ()2213y x =+− C. ()2213y x =−−D. 222y x =−5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 21157x x ++= B. 2157x x += C. 2(1)157x +=D. 21(1)157x ++=6. 知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ） A. 4−B. 2−C. 2D. 47. 若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x −++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >−B. 14k ≥−C. 14k >−且0k ≠ D. 14k ≥−且0k ≠ 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+和二次函数()2y b x k =+的大致图象是（ ）A. B..C. D.9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个10. 抛物线232y x x =−+与直线1y x =−交于A 、B 两点，抛物线上只有三个点到直线1y x =−的距离为m ，则m 的值是（ ）A.B. 1C.D.二、填空题（每小题3分，共18分）11. 抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是_____． 12. 若()21my m x=−+是关于x 的二次函数，则m =______．13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x _____．14. 已知二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系，则代数式a b c −+的值等于_____． x … 3− 2− 1−0 …y … 9− 3− 1− 3− …15. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =．下列结论：①20a b +=；②93a b c +≤−；③若点()13,A y −、点22,5B y− ，点()34,C y 在该函数图象上，则123y y y <<；④若方程(1)(3)3a x x +−=−的两根为1x 和2x ，且12x x <，则121,3x x <−>．其中一定正确的结论有_____（填写序号）．16. 已知抛物线2(2)53y x m x m =−++−在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，则m 的取值范围为_____．三、解答题（共8题，共72分）17. 用指定方法解方程： （1）248x x −=；（配方法） （2）22310x x +−=．（公式法） 18. 已知二次函数25y ax x c =−+的图象与x 轴交于(1,0)(4,0)A B 、． （1）求二次函数的解析式；（2）当10y =时，求自变量x 的值．19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？ 20. 已知二次函数()()13y kx x =−−的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数．（1）求函数解析式；（2）若()()12,,2,P a y Q y −是抛物线上两点，且12y y >请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a 的取值范围是_____．的21. 阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两个实数根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．解决下面问题：已知关于x 的一元二次方程22444x nx n x ++=有两个不等实数根1x 、2x ， （1）求n 的取值范围；（2）当0n ≠时，设1222=+mx x ，试用含n 的代数式表示出m ； （3）在（2）的条件下，若4m =，求出n 的值．22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m ），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m ，垂直于墙的边的费用为15元/m ，设平行于墙的边长为x m ．（1）设垂直于墙的一边长为y m ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）设菜园的面积为2m S ，求S 与x 的函数关系式，并求出当546S =时x 的值； （3）请问菜园的最大面积能达到2600m 吗？如能，求出x 的值；如不能，说明理由．23. 如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，D 是BC 的中点，E 点在线段BD 上运动，作等边DEF ．（1）如图1，DEF 在BC 的上方，且F 点恰好落在线段AB 上，求BFAF的值； （2）如图2，DEF 在BC 的下方，H 在CB 延长线上，CE EH =，连接AF FH 、，求证：AF FH ⊥；（3）如图3，将DEF 绕D 点旋转，连接AF BE 、，已知2AB DE =，直接写出AF BE +的最小值为_____．24. 如图1，抛物线2162y x mx m =−++与x 轴交于A 、B 两点（A B 左边），与y 轴正半轴交于C点，在23OA OC =．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，N 点在抛物线上，2ACN BAC ∠=∠，求N 点横坐标；（3）如图3，P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于F 点，过点122Q，的直线l 分别交抛物线于D 、E 两点，直线PD 、PE 分别交x 轴于G 、H 两点，求证：FG FH ⋅为定值，并求该定值．的的九年级（上）数学限时作业9.15一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将一元二次方程2320x x −−=化成一般形式后，常数项是2−，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，2−B. 3，1C. 3，1−D. 3，0【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程2320x x −−=就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵2320x x −−=是一般形式，常数项是2−， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和1−， 故选：C ．2. 抛物线2y x =与2y x =−相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴C. 有最低点D. 对称轴是x 轴【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数2(0)y ax a ≠的性质分析即可．【详解】解：∵10>，∴抛物线2y x =开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； ∵10−<，∴抛物线2y x =−的开口向下，对称轴为y 轴，有最高点． 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数2(0)yax a ≠的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线2(0)y ax a ≠是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y 轴，0a >时，开口向上；0a <时，开口向下． 3. 用配方法解方程2410x x −+=，变形后的结果正确的是（ ） A. ()223x −= B. ()223x −=−C. ()225x −=D. ()225x −=−【答案】A 【解析】的【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解： 2410x x −+=，∴241x x −=−，配方得24414x x −+=−+，即()223x −=， 只有选项A 符合题意； 故选：A ．4. 抛物线223y x =−向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. 224y x =− B. ()2213y x =+− C. ()2213y x =−− D. 222y x =−【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线223y x =−向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为()2213y x =+−， 故选：B ．5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 21157x x ++= B. 2157x x += C. 2(1)157x += D. 21(1)157x ++=【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x 个小分支，根据题意得：21157x x ++=，故选：A ．6. 知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ）的A. 4−B. 2−C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与系数关系：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到123x x +=−，121x x ⋅=，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 一元二次方程2310x x ++=的两根为1x ，2x ，∴123x x +=−，121x x ⋅=，1212132x x x x ∴++=−=−，故选：B ．7. 若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x −++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >−B. 14k ≥−C. 14k >−且0k ≠ D. 14k ≥−且0k ≠ 【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可．【详解】解：由题意得：()22202140k k k ≠−+−≥ ， 解得：14k ≥−且0k ≠． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件．8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+和二次函数()2y b x k =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k 和b 进行分类讨论．分当0k >，0b >时，当0k >，0b <时，当0k <，0b >时，当0k <，0b <时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数y kx b =+和二次函数()2y b x k =+的图象，①当0k >，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、三象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；②当0k >，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第一、三、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；③当0k <，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，选项B 符合；④当0k <，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第二、三、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，没有选项符合； 故选：B ．9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与x 轴及常函数(0)y p p =<直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数2(0)ax bx cp p ++=<，通过抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．可以画出大致图象判断出直线()40y p a y =−≤<，观察图象当40a y −≤<时，抛物线始终与x 轴相交于()1,0−与()3,0．故自变量x 的取值范围为13x −<<．所以x 可以取得整数0，1，2共3个．由于2x =与0x =关于对称轴直线1x =对称，所以2x =与0x =对应一条平行于x 轴的直线，，1x =时对应一条平行于x 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y p =时，p 的值应有2个．【详解】解： 抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，12ba∴−=，解得2b a =−． 又 抛物线2(0)y ax bx c a ++>与x 轴的一个交点为(1,0)−， 把(1,0)−代入2y ax bx c ++得，02a a c =++， 解得：3c a =−．223(0)y ax ax a a ∴=−−>．对称轴1h =，最大值4k a =−． 如图所示，顶点坐标()1,4a −， 令2230ax ax a −−=， 即2230x x −−=， 解得1x =−或3x =．∴当0a >时，抛物线始终与x 轴交于()1,0−与()3,0，为2ax bx c p ∴++=．即常函数直线y p =，由0p <，40a y ∴−≤<，由图象得当40a y −≤<时，13x −<<，其中x 为整数时，0x =，1，2．∴一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=>的整数解有3个．又0x = 与2x =关于直线1x =轴对称，当1x =时，直线y p =恰好过抛物线顶点，所以p 值可以有2个．故选：B ．10. 抛物线232y x x =−+与直线1y x =−交于A 、B 两点，抛物线上只有三个点到直线1y x =−的距离为m ，则m 的值是（ ）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知识．如图当直线l 与l ′和直线AB l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．求出点E 的坐标，证明AHE 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：如图当直线l 与l ′和直线AB 平行，直线l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．设直线l 与抛物线的交点为E ，作EH AB ⊥于H ．由2321y x x y x =−+ =− 解得10x y = = 或32x y = = ，∴ 1,0A ，()3,2B， ∴2tan 132BAE ∠==−， 45BAE ∴∠=°，设直线l 的解析式为y x b =+，由232y x b y x x =+ =−+，消去y 得到2420x x b −+−=， 由题意0∆=，164(2)0b −−=， 解得2b =−．方程组的解为20x y = =， (2,0)E ∴，∵45HAE ∠=°，且1AE =，m HE ∴==． 故选：A ．二、填空题（每小题3分，共18分）11. 抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是_____．【答案】()1,5【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是()1,5， 故答案为：()1,5．12. 若()21m y m x=−+是关于x 的二次函数，则m =______．【答案】2−【解析】【分析】此题考查了二次函数的定义，形如()20y a x bx c a ++≠的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键．【详解】解：∵函数()21m y m x=−+是二次函数，∴202m m −≠ =， 解得：2m =−，故答案为：2−．13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x 名学生，则列出方程化为一般式为_____．【答案】21320x x −−=【解析】分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有x 人．根据互赠卡片一张，则x 人共赠卡片()1x x −张，列方程即可．【详解】解：根据题意得，()1132x x −=，即21320x x −−=，故答案为：21320x x −−=．14. 已知二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系，则代数式a b c −+的值等于_____．【答案】1−【解析】【分析】本题考查二次函数的性质．由表格可得1x =−时1y =−，据此求解即可．【详解】解：∵1x =−时1y =−，∴1a b c −+=−．故答案为：1−．15. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =．下列结论：①20a b +=；②93a b c +≤−；③若点()13,A y −、点22,5B y −，点()34,C y 在该函数图象上，则123y y y <<；④若方程(1)(3)3a x x +−=−的两根为1x 和2x ，且12x x <，则121,3x x <−>．其中一定正的【确的结论有_____（填写序号）．【答案】①④##④①【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点(3,0)，据此可判断②错误；先求得()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −，1x <时，y 随着x 的增大而增大，据此可判断③错误；方程(1)(3)3a x x +−=−有两根，可看作直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由题意可知：对称轴1x =， ∴12b a−=， 20a b ∴+=，故①正确；②图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =，∴图象也过点(3,0)，即当3x =时，0y =，930y a b c ∴++，即93a b c +=−，故②错误；③()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −，由图可知：1x <时，y 随着x 的增大而增大， 由于2325−<−<−， 132y y y ∴<<，故③错误；④设(1)(3)y a x x =+−，=3y −，由于图象可知：直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，∴方程(1)(3)3a x x +−=−的两根为1x 和2x ，1213x x ∴<−<<，故④正确；综上，正确的只有①④，故答案为：①④．16. 已知抛物线2(2)53y x m x m =−++−在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，则m 的取值范围为_____． 【答案】54m ≥【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．分三种情况：当212m +≥时，当212m +≤−时，当2112m +−≤≤时，讨论即可． 【详解】解：2(2)53y x m x m =−++−的对称轴为直线22m x +=，开口向上， ①当212m +≥时，即0m ≥时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，只需1x =时的函数值大于等于1，即21(2)531m m −++−≥， 解得：54m ≥， 结合0m ≥，得：54m ≥； ②当212m +≤−时，即4m ≤−时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，只需1x =−时的函数值大于等于1，即()21(2)531m m −+++−≥， 解得：16m ≥ 结合4m ≤−，得无解； ③当2112m +−≤≤时，即40m −≤≤时， 要使在11x −<<的范围内能使1y ≥恒成立， 只需22m x +=时的函数值大于等于1，即222(2)53122m m m m ++ −+⋅+−≥ ， 化简得：216200m m −+≤，解得：88m −≤≤+，结合11x −<<，得无解； 综上，得54m ≥， 故答案为：54m ≥． 三、解答题（共8题，共72分）17. 用指定方法解方程：（1）248x x −=；（配方法） （2）22310x x +−=．（公式法）【答案】（1）12x =+22x =−（2）1x =，2x =． 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键．（1）运用配方法即可解答．（2）运用一元二次方程求根公式解答即可．【小问1详解】解：248x x −=，配方得24484x x −+=+，即()2212x −=，开方得2x −=±，解得2x =±，即12x =+22x =−【小问2详解】解：22310x x +−=， 231a b c ===−，，，∴()22Δ43421170b ac =−=−××−=>，∴x∴1x =，2x =． 18. 已知二次函数25y ax x c =−+的图象与x 轴交于(1,0)(4,0)A B 、．（1）求二次函数的解析式；（2）当10y =时，求自变量x 的值．【答案】（1）254y x x =−+；（2）当10y =时，自变量x 的值为1−或6【解析】【分析】此题考查了二次函数与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（1）将A 与B 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）把10y =代入解析式解一元二次方程即可．【小问1详解】解：将(1,0)A ，(4,0)B 代入解析式得：5016200a c a c −+= −+=， 解得：1a =，4b =．则抛物线解析式为254y x x =−+；【小问2详解】解：当10y =时，即25410x x −+=，解得：11x =−，26x =，∴当10y =时，自变量x 的值为1−或6．19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？【答案】该小区到2012年底电动自行车将达到216辆【解析】【分析】设年平均增长率为x ，根据增长率相同可以得到2020年的拥有量为()1251x +辆，2021年的为()21251x +辆．【详解】解：设2009年底到2011年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意得()21251180x +=， 解得10.220x ==％，1 2.2x =−（不符合题意，舍去），∴180×（1+20%）＝216（辆），答：该小区到2012年底电动自行车将达到216辆．【点睛】本题考查二次方程的实际应用，能够熟练通过增长率公式得到式子是解题关键．20. 已知二次函数()()13y kx x =−−的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数．（1）求函数解析式；（2）若()()12,,2,P a y Q y −是抛物线上的两点，且12y y >请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a 的取值范围是_____．【答案】（1）()()13y x x =−+−； （2）24a −<<【解析】【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．（1）令0y =，解关于x 一元二次方程，求出二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为3和1k，然后根据整数的整除性可确定负整数k 值；(3)把()22,Q y −代入抛物线的解析式即可求出2y ，求得点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，再利用12y y >即可求出a 的取值范围．【小问1详解】解：令0y =，则()()130kx x −−=， 解得：11x k =，23x =， 根据题意得1k为整数，且k 为负整数， ∴整数1k =−，∴函数解析式为()()()()1313y x x x x =−−−=−+−；【小问2详解】解：∵()()13y x x =−+−， ∴对称轴为直线1312x −+=， 把点()22,Q y −代入()()13y x x =−+−得25y =−， 则点()2,5Q −−，则点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，由图象可知：当24a −<<时，12y y >．故答案为：24a −<<．21. 阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=−，12c x x a=．解决下面问题： 已知关于x 的一元二次方程22444x nx n x ++=有两个不等实数根1x 、2x ，（1）求n 的取值范围；（2）当0n ≠时，设1222=+m x x ，试用含n 的代数式表示出m ； （3）在（2）的条件下，若4m =，求出n 的值．【答案】（1）12<n （2）288n m n −+= （3）1n −【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出n 的范围；（2）由一元二次方程写出121x x n +=−+，2124n x x ⋅=，再代入()121212222x x m x x x x +=+=即可得答案； （3）列出方程，解方程并检验即可得答案．【小问1详解】解：将22444x nx n x ++=变形得：()224440x n x n +−+=， 22444x nx n x ++= 有两个不等实数根，∴0∆>，即()2244440n n −−×>，解得：12<n ， n ∴的取值范围是12<n ； 【小问2详解】解：1x 、2x 是()224440x n x n +−+=的两个实数根， 121x x n ∴+=−+，2124n x x ⋅=， ()()1222121222122884x x n n m n x x x x n −++−+==∴=+=；【小问3详解】解：由题意，得：2884n m n −+==，化简得：2220n n +−=，解得1n =−或1n −，经检验，1n=或1n −是方程的解， 12n < 且0n ≠，1n ∴−．22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m ），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m ，垂直于墙的边的费用为15元/m ，设平行于墙的边长为x m ．（1）设垂直于墙的一边长为y m ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）设菜园的面积为2m S ，求S 与x 的函数关系式，并求出当546S =时x 的值；（3）请问菜园的最大面积能达到2600m 吗？如能，求出x 的值；如不能，说明理由．【答案】（1）2403y x =−+； （2）22403S x x =−+，当546S =时，21x =； （3）菜园的最大面积不能达到2600m ．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度2−÷总费用平行于墙的总费用垂直于墙的单价”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．【小问1详解】 解：根据题意知，1200202401523x y x −=−+=×， 故y 与x 之间的函数关系式为2403y x =−+； 【小问2详解】 解：根据题意得，222(40)4033S x x x x =−+=−+，当576S =时，22405463x x −+=， 解这个方程，得121x =，239x =，24x ≤ ，∴当546S =时，21x =；【小问3详解】解：菜园的最大面积不能达到2600m ， 理由：222240(30)60033S x x x =−+=−−+ ， 230a =−<， ∴当24x ≤时，S 随x 的增大而增大．∴当24x =时，S 最大，此时576600S =<．∴菜园的最大面积不能达到2600m ．23. 如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，D 是BC 的中点，E 点在线段BD 上运动，作等边DEF ．（1）如图1，DEF 在BC 的上方，且F 点恰好落在线段AB 上，求BF AF的值； （2）如图2，DEF 在BC 的下方，H 在CB 延长线上，CE EH =，连接AF FH 、，求证：AF FH ⊥；（3）如图3，将DEF 绕D 点旋转，连接AF BE 、，已知2AB DE =，直接写出AF BE +的最小值为_____．【答案】（1）3 （2）见解析（3【解析】【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”得到60BAD ∠=°，90ADB ∠=°，进而得到30ADF ∠=°，90AFD ∠=°，从而有12AF AD =，同理在Rt ABD △中，由30B ∠=°得到2AB AD =，从而32BF AB AF AD =−=，即可求解； （2）连接AD ，连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，通过三角形的中位线定理结合等边三角形的性质证明()SAS ADF DEF ≌，继而得到OFA 为等边三角形，再根据等边三角形的性质结合外角定理得到160302OHF OFH ∠=∠=×°=°，即可求证； （3）以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，可证明BDE GDF ≌△△，则BE GF =，故AF BE AF GF AG +=+≥，当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，而90ABG ∠=°，故由勾股定理可求AG ，即可求出最小值．【小问1详解】解：连接AD ，∵AB AC =，点D 是BC 的中点， ∴111206022BAD BAC ∠=∠=×°=°，AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=°，∵DEF 是等边三角形，∴60EDF ∠=°，∴906030ADF ADB EDF ∠=∠−∠=°−°=°∴180180306090AFD ADF BAD ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，∴在Rt ADF 中，12AF AD =， ∵180180609030B BAD ADB ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，∴在Rt ABD △中，2AB AD =， ∴13222BF AB AF AD AD AD =−=−=， ∴32312AD BF AF AD ==． 【小问2详解】解：连接AD ，∵,120AB AC BAC =∠=°，点D 为BC 中点， ∴30,ABC C AD BC ∠=∠=°⊥， ∴12AD AC =， 连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，∵CE EH =， ∴1,2OE AC OE AC =∥， ∴180150,OECC OE AD ∠=°−∠=°=， ∵FDE 是等边三角形，∴,60FE FD FED FDE EFD =∠=∠=∠=°， ∴9060150ADF ∠=°+°=°，360150OEF DEC FED ∠=°−∠−∠=°，∴ADF OEF ∠=∠，∴()SAS ADF OEF ≌，∴,12AF OF =∠=∠，∴60OFA EFD ∠=∠=°，∴OFA 为等边三角形，∴OA OF =，∴OA OH OF ==， ∴160302OHF OFH ∠=∠=×°=°， ∴603090AFH AFO OFH ∠=∠+∠=°+°=°，∴AF FH ⊥．【小问3详解】解：在Rt ABD △中，30ABC ∠=°，AB =∴cos 3BD AB ABC =⋅∠=，以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，∴3,60DB DG BG BDG DBG ===∠=°=∠，∵DEF 为等边三角形，∴,60DE DF EDF =∠=°， ∴BDG EDF ∠=∠，∴3=4∠∠，∴BDE GDF ≌△△，∴BE GF =，∴AF BE AF GF AG +=+≥，当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，∵ABG ABC DBG ∠=∠+∠，∴90ABG ∠=°，∴AG ，∴AF BE +．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．24. 如图1，抛物线2162y x mx m =−++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左边），与y 轴正半轴交于C 点，23OA OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，N 点在抛物线上，2ACN BAC ∠=∠，求N 点的横坐标；（3）如图3，P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于F 点，过点122Q，的直线l 分别交抛物线于D 、E 两点，直线PD 、PE 分别交x 轴于G 、H 两点，求证：FG FH ⋅为定值，并求该定值． 【答案】（1）211322y x x =−++ （2）3223（3）62536【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得出()06C m ，，结合23OA OC =得出()40A m −，，代入抛物线解析式即可求出m ，即可得； （2）过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，先在等腰ACM △中利用勾股定理求出OM 和CM ，再利用AMT CMO △≌△，得出AT 和TM ，再利用AMT AWK △∽△，求出WK 和AK ，即可得出W 的坐标，则可得出直线CN 解析式，再联立抛物线解析式，即可得N 的横坐标；（3）设直线DE 解析式为122y n x−+ ，设211111322D x x x −++ ，，222211322E x x x −++，，联立直线DE 和抛物线可求得122x x n =−−，1221x x n +=−+，设直线DP 解析式为：12528y q x −+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+ ，将211111322D x x x −++，代入直线DP 解析式可求得DP 解析式为112125428x y x − −+ ，则可得1112021x G x + −，，同理：2212021x H x + −，，求出FG ，FH ，代入FG FH ⋅即可求解．【小问1详解】解：当0x =时，抛物线21662y x mx m m =−++=， 则()06C m ，， 则6OC m =， ∴243OA OC m ==， ∴()40A m −，， 将()40A m −，代入2162y x mx m =−++， 得：()()2144602m m m m −−+⋅−+=， 解得：0m =（舍），或12m =， ∴抛物线解析式为：211322y x x =−++； 【小问2详解】解：如图，过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，∵2ACN BAC ∠=∠，ACM WCM ∠=∠，∴ACM MAC ∠=∠，∴AM CM =，由（1）知63OC m ==，42OA m ==，∴2CM AM OM ==+，在Rt OCM △中，222OC OM CM +=，即：()22232OM OM +=+， 解得：54OM =， ∴1324CM AM OM ==+=， ∵CW CA =，ACM WCM ∠=∠，∴AT WT =，AW CM ⊥，∴90ATM COM ∠=∠=°，∵AMT CMO ∠=∠，AM CM =，∴AMT CMO △≌△， ∴3AT CO ==，54TMOM ==， ∴26AW AT ==， ∵MAT WAK ∠=∠，90ATM WKA ∠=∠=°，∴AMT AWK △∽△， ∴WK AK AW TM AT AM==， 即：6513344WK AK ==， 解得：3013WK =，7213AK =， ∴4613OK AK AO =−=， ∴46301313W，， 设直线CN 解析式为y kx t =+， 代入()03C ，，46301313W，， 得：330461313t k t = += ，解得：3946t k = =−， 则直线CN 解析式为9346y x =−+， 联立抛物线解析式，得：2193241263x x x −−=+++， 解得：0x =（舍）或3223x =， 故点N 的横坐标为3223； 【小问3详解】 解：由22112511322822y x x x =−++=−−+ ， 则抛物线顶点P 坐标为12528，， ∵直线DE 过点122Q，， ∴设直线DE 解析式为122y n x−+ ， 设211111322D x x x−++ ，，222211322E x x x −++，，其中1212x x ≠≠， 联立：212211322y n x y x x −+ =−++， 整理得：()22120x n x n +−−−=， ∴122x x n =−−，1221x x n +=−+， ∵直线DP 和直线EP 都过点12528P，， ∴设直线DP 解析式为：12528y q x−+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+， 将211111322D x x x −++ ，代入12528y q x −+ ，解得：1124x q −=， 则直线DP 解析式为：112125428x yx − −+ ， 当0y =，得：1121250428x x − −+ ， 解得：111221x x x +=−， 即1112021x G x + −，， 同理：2212021x H x + −，， ∴11121221x FG x +=−−，22121212x FH x +=−−， ∴()()()1212121212121212525162544221221212221221x x FG FH x x x x x x x x ++−⋅=−⋅−=⋅=− −−+−−−−， 将122x x n =−−，1221x x n +=−+代入， 得：62536FG FH ⋅=． 【点睛】本题考查了二次函数的图象综合题，涉及二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与这些判定、性质的结合是解题的关键．。

2014-2015学年湖北省武汉市水果湖二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：每小题3分，共36分．1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥02．一元二次方程x（x﹣1）=x的根为（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=13．若关于x的方程（x+1）2=1﹣k没有实根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k≥1 D．k＞14．抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣6．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠07．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C． 2 D． 38．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+19．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货（）A．400个B．200个C．400个或200个D．600个10．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2 B．3 C． 4 D． 5二、填空题：每小题3分，共12分．11．方程x2﹣x=0的解是．12．多边形对角线总数d与边数n的函数关系是．13．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明看错了常数项，因此得出方程的根是8和2；小红看错一次项的系数，因此得出方程的根是﹣9个﹣1，那么原来方程的两根是．14．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了米．15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0两根，则（x12﹣2x1﹣3）（x22﹣2x2﹣3）=．16．如图，若点P的坐标为（﹣2，2），过点P的一条直线交抛物线y=x2于A、B两点，当PA=AB时，点A的坐标是．三、解答题：共72分．17．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1，求m的值．18．（2014秋•武汉校级月考）解方程：①（公式法）x2﹣2x+1=0；②x（x﹣2）=2﹣x．19．（2012秋•东台市期中）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？20．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．21．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．22．（2014秋•武汉校级月考）抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴分别交于点C．（1）求△ABC的面积；（2）若M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO=S△COB．求M的坐标．23．（10分）（2013•盐都区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y=﹣x+20（x＞0）．（1）求两种节能产品的单价；（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？24．（10分）（2014秋•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x、y轴分别交于点A、点B，将线段BA绕着B点逆时针方向旋转90°，得到线段BC．（1）求C点的坐标；（2）连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD．若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF2﹣PC2的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，求出其值并说明理由．25．（12分）（2014秋•武汉校级月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．（2）连结BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．2014-2015学年湖北省武汉市水果湖二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分．1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0考点：一元二次方程的定义．分析：因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），依据一般形式即可进行判断．解答：解：要使ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0．故选B．点评：本题考查了一元二次方程的概念，关键要记住二次项系数不为0．2．一元二次方程x（x﹣1）=x的根为（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=1考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到x（x﹣1）﹣x=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：x（x﹣1）﹣x=0，x（x﹣1﹣1）=0，x=0或x﹣1﹣1=0，所以x1=0，x2=2．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．若关于x的方程（x+1）2=1﹣k没有实根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k≥1 D．k＞1考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：由于原方程无实数根，根据非负数的性质得到1﹣k＜0，然后解不等式即可．解答：解：∵（x+1）2=1﹣k没有实根，∴1﹣k＜0，∴k＞1．故选D．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：对于形如ax2+c=0（a、c异号）的一元二次方程，可先变形为x2=﹣，然后两边开方进行求解．4．抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）考点：二次函数的性质．分析：直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．解答：解：因为y=（x+1）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选D．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法，为二次函数的基础知识，难度不大．5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣考点：根与系数的关系．专题：压轴题．分析：已知方程x2﹣3x﹣1=0，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1，再把所求式子通分、代值可求解．解答：解：由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1．∴==﹣3．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0考点：根的判别式．分析：关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k=0；是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．解答：解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根，当k≠0时，△=b2﹣4ac=32﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0，解得k≥﹣．综上可知，当k≥﹣时，方程有实数根；故选C．点评：本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．7．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C． 2 D． 3考点：抛物线与x轴的交点．分析：令y=0，则得到关于x的一元二次方程y=﹣3x2﹣x+4，根据根的判别式判断有几个解就是该抛物线与x轴有几个交点．解答：解：当与x轴相交时，函数值为0．即﹣3x2﹣x+4=0，△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×（﹣3）×4=49＞0，∴抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴有2个交点，故选：C．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．8．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．解答：解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．9．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货（）A．400个B．200个C．400个或200个D．600个考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：设销售价x元/个，由于进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，所以现在能够卖[500﹣10（x﹣50）]个，每个利润为（x﹣40），而总利润为8000元，由此即可列出方程解决问题．解答：解：设销售价x元/个，依题意得[500﹣10（x﹣50）]•（x﹣40）=8000，∴x2﹣140x+4800=0，∴x=60或x=80，当x=60时，500﹣10（x﹣50）=400，当x=80时，500﹣10（x﹣50）=200，∴应进货400或200个．故选C．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．10．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2 B．3 C． 4 D． 5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x=1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣，∴3b=2a，则a=b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确得出a，b的关系以及x=1，﹣1时y的符号是解题关键．二、填空题：每小题3分，共12分．11．方程x2﹣x=0的解是0或1．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．解答：解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．多边形对角线总数d与边数n的函数关系是d=．考点：函数关系式．分析：根据从一个顶点引对角线可引（n﹣3）条，n个顶点可引的条数n（n﹣3），每条对角线都重复了一次，可得答案．解答：解：多边形对角线总数d与边数n的函数关系是d=，故答案为：d=．点评：本题考查了函数关系式，n个顶点引n（n﹣3）条，注意每条直线都重复了一次．13．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明看错了常数项，因此得出方程的根是8和2；小红看错一次项的系数，因此得出方程的根是﹣9个﹣1，那么原来方程的两根是x2﹣10x+9=0．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，当小红看错了一次项的系数，得出的两个根x1=﹣9，x2=﹣1，于是得到常数项为﹣9×（﹣1）=9，同样，小明看错了常数项，得出的两根x1=8，x2=2，则一次项系数为﹣（8+2）=﹣10，然后写出满足条件的方程即可．解答：解：由于小红看错了一次项的系数，得出的两个根x1=﹣9，x2=﹣1，则常数项为﹣9×（﹣1）=9，而小明看错了常数项，得出的两根x1=8，x2=2，则一次项系数为﹣（8+2）=﹣10，所以原一元二次方程为x2﹣10x+9=0．故答案为：x2﹣10x+9=0．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了米．考点：一元二次方程的应用．分析：利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．解答：解：∵s=15t﹣6t2=﹣6（t﹣）2+，∴汽车刹车后到停下来前进了m．故答案为：．点评：此题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0两根，则（x12﹣2x1﹣3）（x22﹣2x2﹣3）=﹣3．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：先根据一元二次方程解的定义得到x12﹣3x1﹣3=0，x22﹣3x2﹣3=0，则x12=3x1+3，x22=3x2+3，原式原式可化简为x1•x1，然后利用根与系数的关系求解．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0的两根，∴x12﹣3x1﹣3=0，x22﹣3x2﹣3=0，即x12=3x1+3，x22=3x2+3，∴原式=（3x1+3﹣2x1﹣3）（3x2+3﹣2x2﹣3）=x1•x1，∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0的两根，∴x1•x1=﹣3，∴原式=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．16．如图，若点P的坐标为（﹣2，2），过点P的一条直线交抛物线y=x2于A、B两点，当PA=AB时，点A的坐标是（﹣1，1）或（﹣3，9）．考点：二次函数的性质．分析：设A（m，m2），分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F，用m表示出OF和BF的长，根据点B在抛物线y=x2上，即可求出点A的坐标．解答：解：设A（m，m2），如图所示，分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，∴GE=EF，AE=（PG+BF）．∵OF=|EF﹣OE|，GE=EF，∴OF=|GE﹣EO|，∵GE=GO﹣EO=2+m，EO=﹣m，∴OF=|2+m﹣（﹣m）|=|2+2m|，∴OF=2m+2，∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE﹣PG=2m2﹣2，2∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2﹣2=（2+2m）2解得：m=1或﹣3，当m=﹣1时，m2=1；当m=﹣3时，m2=9，点A的坐标为（﹣1，1）或（﹣3，9）．故答案为（﹣1，1）或（﹣3，9）．点评：本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是正确地作出辅助线，求出点B的坐标，此题有一定的难度．三、解答题：共72分．17．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1，求m的值．考点：一元二次方程的解．分析：把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值．解答：解：把x=﹣1代入方程有：2m﹣1﹣3m+5=0，∴m=4．即m的值是4．点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．18．（2014秋•武汉校级月考）解方程：①（公式法）x2﹣2x+1=0；②x（x﹣2）=2﹣x．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：①利用求根公式法解方程；②先移项得到x（x﹣2）+x﹣2=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：①△=（﹣2）2﹣4×1×1=4，x==±1，所以x1=+1，x2=﹣1；②x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．19．（2012秋•东台市期中）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x．2000（1+x）2=2880．（1+x）2=1.44.1+x=±1.2．所以x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．故x=0.2=20%．答：这个增长率为20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．20．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）一元二次方程有实根，△≥0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1•x2=p﹣1，x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．解答：解：（1）由题意得：△=（﹣1）2﹣4（p﹣1）≥0解得，p≤；（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9得，（2+x1﹣x12）（2+x2﹣x22）=9∵x1，x2是方程x2﹣x+p﹣1=0的两实数根，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x1﹣x12=p﹣1，x2﹣x22=p﹣1∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）2=9∴p=2或p=﹣4，∵p≤，∴所求p的值为﹣4．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．21．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．考点：二次函数的应用．分析：（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．解答：解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．点评：本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．22．（2014秋•武汉校级月考）抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴分别交于点C．（1）求△ABC的面积；（2）若M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO=S△COB．求M的坐标．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）由抛物线的解析式求出点A、B、C的坐标，AB、OC的长，即可得出△ABC的面积；（2）设点M的坐标为（x，y），根据三角形的面积关系求出y的值，再代入二次函数解析式求出x的值即可．解答：解：（1）如图1所示：对于抛物线y=x2﹣x﹣6，当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得：x=﹣2，或x=3，∴A（﹣2，0），B（3，0），OA=2，OB=3，∴AB=5；当x=0时，y=﹣6，∴C（0，﹣6），OC=6，∴△ABC的面积=AB•OC=×5×6=15；（2）如图2所示：设点M的坐标为（x，y），∵S△AMO=S△COB．∴×2×|y|=××3×6，解得：y=±6，当y=6时，x2﹣x﹣6=6，解得：x=4，或x=﹣3（舍去），∴M的坐标为（4，6）；当y=﹣6时，x2﹣x﹣6=﹣6，解得：x=1，或x=0（舍去），∴M的坐标为（1，﹣6）；综上所述：点M的坐标为（4，6），或（1，﹣6）．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、三角形面积的计算；熟练掌握二次函数的应用，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）（2013•盐都区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y=﹣x+20（x＞0）．（1）求两种节能产品的单价；（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？考点：二次函数的应用；分式方程的应用．专题：应用题．分析：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，根据购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元，可得出方程，解出即可；（2）根据总利润=A种产品的利润+B种产品的利润=A种产品单件利润×销量+B种产品单件利润×销量，可得出w与x的函数关系式，利用配方法求最值即可．解答：解：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，由题意得：，解得：m=8经检验m=8是原方程的解，则m+4=12．答：A种节能产品的单价为12万元，B种节能产品的单价为8万元．（2）A种节能产品售价x（万元/件），则B种节能产品的售价为（x﹣2）（万元/件），由题意得，w=（x﹣12）（﹣x+20）+（x﹣2﹣8）[﹣（x﹣2）+20]，即w=﹣2x2+64x﹣460=﹣2（x2﹣32x+230）=﹣2（x﹣16）2+52当x=16时，w取得最大，w最大为52．答：每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式为w=﹣2（x﹣16）2+52，当种节能产品的售价为16（万元/件）时，每周的总销售利润最大．点评：本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，难点在第二问，注意仔细审题得出w与x的函数关系式，熟练掌握配方法求二次函数最值得应用．24．（10分）（2014秋•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x、y轴分别交于点A、点B，将线段BA绕着B点逆时针方向旋转90°，得到线段BC．（1）求C点的坐标；（2）连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD．若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF2﹣PC2的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，求出其值并说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）首先求得A、B的坐标和AB的长，过C作CD垂直于y轴，设出C坐标，利用AAS得到三角形AOB 与三角形BDC全等，利用全等三角形对应边相等得到两对边相等，求出m与n的值，即可确定出C坐标；（2）如图2所示，连接CF交AP于点H，利用SAS得到三角形ABD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BAD=∠BCF，再由对顶角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于AP，利用勾股定理得到PF2﹣PC2=（FH2+PH2）﹣（CH2+PH2）=PH2﹣CH2，再由FH2﹣CH2=（DF2﹣DH2）﹣（DC2﹣DH2）=DF2﹣DC2，求出BD 与DC的长，进而得到DF的长，确定出PF2﹣PC2的为25．解答：解：（1）令y=0得：，解得：x=﹣8，∴OA=8．令x=0得：y=6，∴OB=6．在Rt△AOB中，AB===10．如图1所示，过C作CD⊥y轴交于点D，依题意设C（m，n）（m＞0，n＜0），∵AB=BC，且AB⊥BC，∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠DBC，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD=OA，DC=OB，即6﹣n=8，m=6，∴n=﹣2，则C坐标为（6，﹣2）；（2）不变．理由：如图2所示，连接CF交AP于点H．依题意得：△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，∵EF⊥AC，∴△AEF为等腰直角三角形．∴∠BFD=45°．∴△BDF为等腰直角三角形．∴BF=BD．在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS）．∴∠BAD=∠BCF．∵∠ABD=∠PDC，∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP．∴PF2﹣PC2=（FH2+PH2）﹣（CH2+PH2）=PH2﹣CH2．∵FH2﹣CH2=（DF2﹣DH2）﹣（DC2﹣DH2）=DF2﹣DC2，∵AB=BC=10，D为BC的中点，∴BD=DC=5．∵△BDF为等腰直角三角形，∴DF=BD=5，∴PF2﹣PC2=DF2﹣DC2=25．点评：本题主要考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．25．（12分）（2014秋•武汉校级月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．（2）连结BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线经过A，B，C三点即可求得抛物线解析式；（2）当x=m时，可分别求得PF的值，即可解题；（3）当x=a和2a时，通过证明斜率相同，证明M，N位于同一直线上，即可解题．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）将三点代入抛物线得：a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，抛物线的对称轴为x=﹣=1．（2）在直角坐标系中标出P．F．S=PF•OB=PF；当x=m时，F点纵坐标为﹣m2+2m+3，当x=m时，P点纵坐标为3﹣m，∴PF=﹣（m2﹣3m）；（3）设直线GN解析式为y=kx+t，∵MN=GM，且M，N为y=﹣x2+2x+3，上的点，∴当x=a（0＜a＜）时，y=ka+t=﹣a2+2a+3，解得k=，当x=2a（0＜a＜）时，y=2ka+t=﹣4a2+4a+3，解得k=，∴当对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．点评：本题考查了二次函数的应用，考查了抛物线和直线的解析式的应用．。

2022-2023学年湖北省武汉市三校联合九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1．关于x的一元二次方程3x2＝2x﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣2，﹣1B．3，2，﹣1C．﹣3，﹣2，1D．3，﹣2，12．用配方法解方程2x2﹣x﹣1＝0，变形结果正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝3．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．5．如果抛物线y＝x2+2向右平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+3D．y＝x2+16．如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（50﹣2x）（40﹣x）＝800B．（50﹣x）（40﹣x）＝800C．（50﹣x）（40﹣2x）＝800D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝8007．已知二次函数y＝﹣（x﹣3）2，那么这个二次函数的图象有（）A．最高点（3，0）B．最高点（﹣3，0）C．最低点（3，0）D．最低点（﹣3，0）8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m9．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019B．2020C．2021D．202210．二次函数y＝ax2+2ax+a﹣3（a＞0）与y＝﹣x+3交于M、N两点，P为线段MN的中点，若﹣3≤X p≤﹣2，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．＜a≤C．≤a≤D．＜a≤二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11．x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝．12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．13．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝35°，∠BCA′＝40°，则∠A′BA等于．14．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③4a+b2＜4ac；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m ≥0）的解为整数，则m的值有3个，其中正确的是．（填写序号）16．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P 在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17．解方程：2x2+4x﹣3＝0．18．现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展．据凋查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；（3）写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有实数根，求k的取值范围．20．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：（1）作△ABC的高AH；（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．21．阅读材料：材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根．根据上述材料解决下面问题：（1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝03n2﹣n﹣2＝0，求的值．（2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、ab＝，且c＜5，求c的最大值．22．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．23．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：如图1中，△PMN是三角形；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出△PMN 面积的取值范围．24．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2014-2015学年湖北省武汉市水果湖二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：每小题3分，共36分．1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥02．一元二次方程x（x﹣1）=x的根为（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=13．若关于x的方程（x+1）2=1﹣k没有实根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k≥1 D．k＞14．抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣6．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠07．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴交点的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 38．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+19．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货（）A．400个B．200个C．400个或200个D．600个10．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2 B． 3 C． 4 D． 5二、填空题：每小题3分，共12分．11．方程x2﹣x=0的解是．12．多边形对角线总数d与边数n的函数关系是．13．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明看错了常数项，因此得出方程的根是8和2；小红看错一次项的系数，因此得出方程的根是﹣9个﹣1，那么原来方程的两根是．14．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了米．15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0两根，则（x12﹣2x1﹣3）（x22﹣2x2﹣3）=．16．如图，若点P的坐标为（﹣2，2），过点P的一条直线交抛物线y=x2于A、B两点，当PA=AB时，点A的坐标是．三、解答题：共72分．17．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1，求m的值．18．（2014秋•武汉校级月考）解方程：①（公式法）x2﹣2x+1=0；②x（x﹣2）=2﹣x．19．（2012秋•东台市期中）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？20．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．21．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．22．（2014秋•武汉校级月考）抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴分别交于点C．（1）求△ABC的面积；（2）若M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO=S△COB．求M的坐标．23．（10分）（2013•盐都区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y=﹣x+20（x＞0）．（1）求两种节能产品的单价；（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A 种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？24．（10分）（2014秋•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x、y轴分别交于点A、点B，将线段BA绕着B点逆时针方向旋转90°，得到线段BC．（1）求C点的坐标；（2）连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD．若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF2﹣PC2的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，求出其值并说明理由．25．（12分）（2014秋•武汉校级月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．（2）连结BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．2014-2015学年湖北省武汉市水果湖二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分．1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0考点：一元二次方程的定义．分析：因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），依据一般形式即可进行判断．解答：解：要使ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0．故选B．点评：本题考查了一元二次方程的概念，关键要记住二次项系数不为0．2．一元二次方程x（x﹣1）=x的根为（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=1考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到x（x﹣1）﹣x=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：x（x﹣1）﹣x=0，x（x﹣1﹣1）=0，x=0或x﹣1﹣1=0，所以x1=0，x2=2．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．若关于x的方程（x+1）2=1﹣k没有实根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k≥1 D．k＞1考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：由于原方程无实数根，根据非负数的性质得到1﹣k＜0，然后解不等式即可．解答：解：∵（x+1）2=1﹣k没有实根，∴1﹣k＜0，∴k＞1．故选D．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：对于形如ax2+c=0（a、c异号）的一元二次方程，可先变形为x2=﹣，然后两边开方进行求解．4．抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）考点：二次函数的性质．分析：直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．解答：解：因为y=（x+1）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选D．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法，为二次函数的基础知识，难度不大．5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣考点：根与系数的关系．专题：压轴题．分析：已知方程x2﹣3x﹣1=0，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1，再把所求式子通分、代值可求解．解答：解：由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1．∴==﹣3．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0考点：根的判别式．分析：关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k=0；是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．解答：解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根，当k≠0时，△=b2﹣4ac=32﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0，解得k≥﹣．综上可知，当k≥﹣时，方程有实数根；故选C．点评：本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．7．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴交点的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：抛物线与x轴的交点．分析：令y=0，则得到关于x的一元二次方程y=﹣3x2﹣x+4，根据根的判别式判断有几个解就是该抛物线与x轴有几个交点．解答：解：当与x轴相交时，函数值为0．即﹣3x2﹣x+4=0，△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×（﹣3）×4=49＞0，∴有2个不相等的实数根，∴抛物线y=﹣3x2﹣x+4与x轴有2个交点，故选：C．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．8．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．解答：解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．9．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货（）A．400个B．200个C．400个或200个D．600个考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：设销售价x元/个，由于进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，所以现在能够卖[500﹣10（x﹣50）]个，每个利润为（x﹣40），而总利润为8000元，由此即可列出方程解决问题．解答：解：设销售价x元/个，依题意得[500﹣10（x﹣50）]•（x﹣40）=8000，∴x2﹣140x+4800=0，∴x=60或x=80，当x=60时，500﹣10（x﹣50）=400，当x=80时，500﹣10（x﹣50）=200，∴应进货400或200个．故选C．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．10．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2 B． 3 C． 4 D． 5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x=1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣，∴3b=2a，则a=b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确得出a，b的关系以及x=1，﹣1时y的符号是解题关键．二、填空题：每小题3分，共12分．11．方程x2﹣x=0的解是0或1．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．解答：解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，∴x=0或x=1．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．多边形对角线总数d与边数n的函数关系是d=．考点：函数关系式．分析：根据从一个顶点引对角线可引（n﹣3）条，n个顶点可引的条数n（n﹣3），每条对角线都重复了一次，可得答案．解答：解：多边形对角线总数d与边数n的函数关系是d=，故答案为：d=．点评：本题考查了函数关系式，n个顶点引n（n﹣3）条，注意每条直线都重复了一次．13．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明看错了常数项，因此得出方程的根是8和2；小红看错一次项的系数，因此得出方程的根是﹣9个﹣1，那么原来方程的两根是x2﹣10x+9=0．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，当小红看错了一次项的系数，得出的两个根x1=﹣9，x2=﹣1，于是得到常数项为﹣9×（﹣1）=9，同样，小明看错了常数项，得出的两根x1=8，x2=2，则一次项系数为﹣（8+2）=﹣10，然后写出满足条件的方程即可．解答：解：由于小红看错了一次项的系数，得出的两个根x1=﹣9，x2=﹣1，则常数项为﹣9×（﹣1）=9，而小明看错了常数项，得出的两根x1=8，x2=2，则一次项系数为﹣（8+2）=﹣10，所以原一元二次方程为x2﹣10x+9=0．故答案为：x2﹣10x+9=0．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶的时间t（秒）函数关系式是s=15t﹣6t2，汽车刹车后停下来前进了米．考点：一元二次方程的应用．分析：利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．解答：解：∵s=15t﹣6t2=﹣6（t﹣）2+，∴汽车刹车后到停下来前进了m．故答案为：．点评：此题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0两根，则（x12﹣2x1﹣3）（x22﹣2x2﹣3）=﹣3．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：先根据一元二次方程解的定义得到x12﹣3x1﹣3=0，x22﹣3x2﹣3=0，则x12=3x1+3，x22=3x2+3，原式原式可化简为x1•x1，然后利用根与系数的关系求解．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0的两根，∴x12﹣3x1﹣3=0，x22﹣3x2﹣3=0，即x12=3x1+3，x22=3x2+3，∴原式=（3x1+3﹣2x1﹣3）（3x2+3﹣2x2﹣3）=x1•x1，∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3=0的两根，∴x1•x1=﹣3，∴原式=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．16．如图，若点P的坐标为（﹣2，2），过点P的一条直线交抛物线y=x2于A、B两点，当PA=AB时，点A的坐标是（﹣1，1）或（﹣3，9）．考点：二次函数的性质．分析：设A（m，m2），分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F，用m表示出OF和BF的长，根据点B在抛物线y=x2上，即可求出点A的坐标．解答：解：设A（m，m2），如图所示，分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，∴GE=EF，AE=（PG+BF）．∵OF=|EF﹣OE|，GE=EF，∴OF=|GE﹣EO|，∵GE=GO﹣EO=2+m，EO=﹣m，∴OF=|2+m﹣（﹣m）|=|2+2m|，∴OF=2m+2，∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE﹣PG=2m2﹣2，∴B（2+2m，2m2﹣2）．∵点B在抛物线y=x2上，∴2m2﹣2=（2+2m）2解得：m=1或﹣3，当m=﹣1时，m2=1；当m=﹣3时，m2=9，点A的坐标为（﹣1，1）或（﹣3，9）．故答案为（﹣1，1）或（﹣3，9）．点评：本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是正确地作出辅助线，求出点B 的坐标，此题有一定的难度．三、解答题：共72分．17．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1，求m的值．考点：一元二次方程的解．分析：把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值．解答：解：把x=﹣1代入方程有：2m﹣1﹣3m+5=0，∴m=4．即m的值是4．点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．18．（2014秋•武汉校级月考）解方程：①（公式法）x2﹣2x+1=0；②x（x﹣2）=2﹣x．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：①利用求根公式法解方程；②先移项得到x（x﹣2）+x﹣2=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：①△=（﹣2）2﹣4×1×1=4，x==±1，所以x1=+1，x2=﹣1；②x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．19．（2012秋•东台市期中）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x．2000（1+x）2=2880．（1+x）2=1.44.1+x=±1.2．所以x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．故x=0.2=20%．答：这个增长率为20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．20．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）一元二次方程有实根，△≥0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1•x2=p﹣1，x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．解答：解：（1）由题意得：△=（﹣1）2﹣4（p﹣1）≥0解得，p≤；（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9得，（2+x1﹣x12）（2+x2﹣x22）=9∵x1，x2是方程x2﹣x+p﹣1=0的两实数根，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x1﹣x12=p﹣1，x2﹣x22=p﹣1∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）2=9∴p=2或p=﹣4，∵p≤，∴所求p的值为﹣4．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．21．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．考点：二次函数的应用．分析：（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．解答：解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．点评：本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．22．（2014秋•武汉校级月考）抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴分别交于点C．（1）求△ABC的面积；（2）若M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO=S△COB．求M的坐标．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）由抛物线的解析式求出点A、B、C的坐标，AB、OC的长，即可得出△ABC 的面积；（2）设点M的坐标为（x，y），根据三角形的面积关系求出y的值，再代入二次函数解析式求出x的值即可．解答：解：（1）如图1所示：对于抛物线y=x2﹣x﹣6，当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得：x=﹣2，或x=3，∴A（﹣2，0），B（3，0），OA=2，OB=3，∴AB=5；当x=0时，y=﹣6，∴C（0，﹣6），OC=6，∴△ABC的面积=AB•OC=×5×6=15；（2）如图2所示：设点M的坐标为（x，y），∵S△AMO=S△COB．∴×2×|y|=××3×6，解得：y=±6，当y=6时，x2﹣x﹣6=6，解得：x=4，或x=﹣3（舍去），∴M的坐标为（4，6）；当y=﹣6时，x2﹣x﹣6=﹣6，解得：x=1，或x=0（舍去），∴M的坐标为（1，﹣6）；综上所述：点M的坐标为（4，6），或（1，﹣6）．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、三角形面积的计算；熟练掌握二次函数的应用，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）（2013•盐都区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y=﹣x+20（x＞0）．（1）求两种节能产品的单价；（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A 种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？考点：二次函数的应用；分式方程的应用．专题：应用题．分析：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，根据购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元，可得出方程，解出即可；（2）根据总利润=A种产品的利润+B种产品的利润=A种产品单件利润×销量+B种产品单件利润×销量，可得出w与x的函数关系式，利用配方法求最值即可．解答：解：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，由题意得：，解得：m=8经检验m=8是原方程的解，则m+4=12．答：A种节能产品的单价为12万元，B种节能产品的单价为8万元．（2）A种节能产品售价x（万元/件），则B种节能产品的售价为（x﹣2）（万元/件），由题意得，w=（x﹣12）（﹣x+20）+（x﹣2﹣8）[﹣（x﹣2）+20]，即w=﹣2x2+64x﹣460=﹣2（x2﹣32x+230）=﹣2（x﹣16）2+52当x=16时，w取得最大，w最大为52．答：每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式为w=﹣2（x﹣16）2+52，当种节能产品的售价为16（万元/件）时，每周的总销售利润最大．点评：本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，难点在第二问，注意仔细审题得出w与x的函数关系式，熟练掌握配方法求二次函数最值得应用．24．（10分）（2014秋•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x、y轴分别交于点A、点B，将线段BA绕着B点逆时针方向旋转90°，得到线段BC．（1）求C点的坐标；（2）连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD．若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF2﹣PC2的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，求出其值并说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）首先求得A、B的坐标和AB的长，过C作CD垂直于y轴，设出C坐标，利用AAS得到三角形AOB与三角形BDC全等，利用全等三角形对应边相等得到两对边相等，求出m与n的值，即可确定出C坐标；（2）如图2所示，连接CF交AP于点H，利用SAS得到三角形ABD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BAD=∠BCF，再由对顶角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于AP，利用勾股定理得到PF2﹣PC2=（FH2+PH2）﹣（CH2+PH2）=PH2﹣CH2，再由FH2﹣CH2=（DF2﹣DH2）﹣（DC2﹣DH2）=DF2﹣DC2，求出BD与DC的长，进而得到DF的长，确定出PF2﹣PC2的为25．解答：解：（1）令y=0得：，解得：x=﹣8，∴OA=8．令x=0得：y=6，∴OB=6．在Rt△AOB中，AB===10．如图1所示，过C作CD⊥y轴交于点D，依题意设C（m，n）（m＞0，n＜0），∵AB=BC，且AB⊥BC，∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠DBC，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD=OA，DC=OB，即6﹣n=8，m=6，∴n=﹣2，则C坐标为（6，﹣2）；（2）不变．理由：如图2所示，连接CF交AP于点H．依题意得：△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，∵EF⊥AC，∴△AEF为等腰直角三角形．∴∠BFD=45°．∴△BDF为等腰直角三角形．∴BF=BD．在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS）．∴∠BAD=∠BCF．∵∠ABD=∠PDC，∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP．∴PF2﹣PC2=（FH2+PH2）﹣（CH2+PH2）=PH2﹣CH2．∵FH2﹣CH2=（DF2﹣DH2）﹣（DC2﹣DH2）=DF2﹣DC2，∵AB=BC=10，D为BC的中点，∴BD=DC=5．∵△BDF为等腰直角三角形，∴DF=BD=5，∴PF2﹣PC2=DF2﹣DC2=25．点评：本题主要考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．25．（12分）（2014秋•武汉校级月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．（2）连结BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线经过A，B，C三点即可求得抛物线解析式；（2）当x=m时，可分别求得PF的值，即可解题；（3）当x=a和2a时，通过证明斜率相同，证明M，N位于同一直线上，即可解题．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）将三点代入抛物线得：a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，抛物线的对称轴为x=﹣=1．（2）在直角坐标系中标出P．F．S=PF•OB=PF；当x=m时，F点纵坐标为﹣m2+2m+3，当x=m时，P点纵坐标为3﹣m，∴PF=﹣（m2﹣3m）；（3）设直线GN解析式为y=kx+t，∵MN=GM，且M，N为y=﹣x2+2x+3，上的点，∴当x=a（0＜a＜）时，y=ka+t=﹣a2+2a+3，解得k=，当x=2a（0＜a＜）时，y=2ka+t=﹣4a2+4a+3，解得k=，∴当对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM=MN成立．点评：本题考查了二次函数的应用，考查了抛物线和直线的解析式的应用．。