当前位置：文档之家 › 常微分方程(王高雄)第三版 3.3

常微分方程(王高雄)第三版 3.3

  • 格式：ppt
  • 大小：1.60 MB
  • 文档页数：24

下载文档原格式

  / 24

合集下载

王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】

王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】
所满足的微分方程组． 解：对曲线族中两个方程关于 x 求导得
由上式与曲线族可消去 a、b 得
9．求与方程为
曲线族满足的微分方程为
解之得
所以与曲线族
正交的
这就是所求曲线族方程．
10．求二次曲线族
（c 是参数）的微分方程，并以微分方程本身证明这
曲线族是自正交曲线族，即这曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必正交．
图 1-1 （2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图 1-4 所示
图 1-2 （3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图 1-3 所示
3 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

（4）所求的方向场及过点
图 1-3 的积分曲线如图 1-4 所示
解：对曲线
，两端关于 t 求导得
7 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

消去 c 得
这就是所要求的方程． 若这曲线族中任何两条曲线相交于（t，x）处，由方程本身知道：该方程是关于 的
二次方程，且关于 的二根积等于－1，这说明了在（t，x）处，两切线斜率乘积等于－1， 因而这两曲线正交．
2．求下列两个微分方程的公共解：
解：两方程的公共解满足条件 即
所以
或
代入检验可知
不符合．所以两方程的公共解为
2 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图 1-1 所示
应满足什么条件？
的等倾线

常微分方程第三版答案(王高雄)

常微分方程第三版答案(王高雄)
2 3
dx
2 2
y
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln c (c ≠ 0), (1 + 2
y )(1 + x ) = c x
1+
y
2
(1 + x ) = c x
2
2
4 (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 y=0 x=0 ln x + x + ln y − y = c, xy ≠ 0 ln xy + x − y = c, 1+ x 1− y dx = dy = 0 x y
按
dy 1 − 2 x y −1 dx 够 x 2 次0 个 dy 1 − 2 x y +1 dx 次- x 2 个
18.
x dy = = f ( xy ) y dx x dy 2 + x 2 y 2 = y dx 2 − x 2 y 2 xy = u, x
xy = u
1 . y (1 + x 2 y 2 )dx = xdy (2).
y+x
dy dy = , dx dx
x
dy du = −y dx dx
1 du du u 1 − 1 = f(u), = (f(u) + 1) = (uf(u) + u) y dx dx = y(f(u) + 1) x x x=0 y=0 du 1 3 = (2u + u ), dx x xy ≠ 0s du 2u + u
在个
次个e 次 ce
− sin t
+ sin t − 1 个个个
个
截
dy x − y = ex xn dx n 个个 个个个n

常微分方程(王高雄)第三版

常微分方程(王高雄)第三版

1 积分曲线 一阶微分方程
dy f (x, y) dx
的解 y(x所 ) 表x示 y平面上的一,条曲
称为微分方程的积分曲线.
而其通 y解 (x,c对 ) 应 xy平面上的一, 族
称这族曲线为族 积 . 分曲线
.
2 方向场
设函 f(x数 ,y)的定义 D,在 域 D内 为每(一 x,y)处 点 ,都画 上一f个 (x,y以 )的值为 ,中 斜心 率 (x,在 y)点的,线 称段 带 有这种直线 D为 段方 的 d程 y 区 f(x域 ,y)
dt
yn1
fn1(t;
y1,L
yn)
yn
fn(t;y1,L yn)
.
dx
Lorenz方程
dt dy
dt
a(y xz
x) cx
y
dz d t
y bz
Volterra两种种群竞争模型
dx d t
x(a bx cy )
dy
d t
y (d ex
fy )
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
.
例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
七、驻定与非驻定
dyf(y),yDRn dt
与t无关，驻定系统
dyf(t,y),yDRn dt
与t有关，非驻定系统
.
八 相空间与轨线

常微分方程王高雄著课后习题答案

常微分方程王高雄著课后习题答案

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案

常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案

1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案

《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案

(2).
x y
dy dx
=
2+ 2−
x2 y2 x2 y2
证明：因为xy = u,关于x求导导得y + x dy = dy ,所以x dy = du − y
dx dx
dx dx
得：1 du −1 = f(u),
du
= u (f(u) + 1) = 1 (uf(u) + u)
y dx
dx = y(f(u) + 1) x
17. dy = 2x3 + 3xy + x
dx 3x2 y + 2 y3 − y
解：原方程化为 dy = x(2x2 + 3y 2 + 1) ;;;;; dy 2 = 2x2 + 3y 2 + 1
dx y(3x 2 + 2 y 2 −1) dx 2 3x 2 + 2 y 2 −1
令 y 2 = u,;;;;; x2 = v;;;;;;;则 du = 2v + 3u + 1.......(1)
解：对原式进行变量分离得：
− 1 dx = 1 dy,当y ≠ 0时，两边同时积分得；ln x + 1 = 1 + c,即y = 1
x +1
y2
y
c + ln x + 1
当y = 0时显然也是原方程的解。当x = 0, y = 1时，代入式子得c = 1,故特解是
y= 1 。 1 + ln1 + x
2． dx +3x=e 2t dt
解：原方程可化为 ： dx =-3x+e 2t dt
∫ 所以：x=e ∫ −3dt ( e 2t e − ∫ −3dt dt + c )

常微分方程(王高雄)第三版 3.3

初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 (3.1) '
的解y ( x, x0 , y0 )都在区间 [a, b]上存在, 并且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , x [a, b] 则称初值问题(3.1) '的解y ( x, x0 , y0 )在点( x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
证明 在(3.1)满足y ( x0 ) y0的解存在区间内任取一值x1 ,
y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知, (3.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 , 即此解也可写成: y ( x, x1 , y1 ), 且显然有: y0 ( x0 , x1 , y1 ),
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程 条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
II. y ( x , x0 , y0 ) 是(1)满足( x0 , y0 ) G 的解,定义
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i i 1 对 0 ,记 y , S ), min , / 2 d (G
N
Ci
G
L max L1,, LN 则以 为半径的圆,当其圆心从S的
G
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D
0
义, 其中 a x0 b, 则对 0, ( , a, b) 0, 使当

常微分方程教案(王高雄)第三章

目录第三章一阶微分方程的解的存在定理 (I)内容提要及其它 (1)3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 (3)3.1.1 存在唯一性定理 (3)3.1.1.1 特殊情况 (3)1、等价积分方程 (4)2、逐步逼近法 (4)3、引理 (4)3.1.1.2 一般情况 (8)3.1.2 近似计算和误差估计 (9)3.2 解的延拓 (11)3.2.1 局部的利普希茨条件 (11)3.2.2 解的延拓 (11)3.2.3 饱和解 (12)3.2.4 解的延拓定理 (13)3.2.5 解延拓定理的应用 (13)3.3 解对初值的连续性和可微性定理 (15)3.3.1 引言 (15)3.3.2 解关于初值的对称性 (15)3.3.3 引理 (15)3.3.4 解对初值的连续依赖定理 (15)3.3.5 解对初值和参数的连续依赖定理 (16)3.3.6 解对初值得可微性 (17)3.4 奇解 (20)3.4.1 包络和奇解 (20)3.4.2 C-判别曲线法 (20)3.4.3 P-判别曲线 (22)第五节内容提要及其它 (24)3.5 数值解 (25)主要内容 (25)具体内容 (25)主题 (25)3.5.1 欧拉公式 (26)3.5.1.1 基本方法 (26)3.5.1.2 格式 (26)3.5.1.3 局部截断误差和精度 (26)3.5.1.4 隐式欧拉公式 (26)3.5.1.5两步欧拉公式 (27)3.5.1.6应用 (27)3.5.2 改进的欧拉方法 (28)3.5.2.1 梯形格式 (28)3.5.2.2 改进的欧拉格式 (28)3.5.2.3 例题分析（p101-102） (29)3.5.3 龙格－库塔方法 (31)3.5.3.1 设计思想 (31)3.5.3.2二阶Runge-Kutta (32)3.5.3.3 三阶Runge-Kutta (33)3.5.4 收敛性和稳定性 (35)3.5.4.1 收敛性问题 (35)3.5.4.2 稳定性 (35)本章小结及其它 (37)第三章一阶微分方程的解的存在定理内容提要及其它授课题目（章、节）第三章：一阶微分方程的解的存在定理教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p75-119主要参考书：[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p71-115[2]数学分析（下）（第二版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，1998，p33-46[3]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p170-224[4]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p149-164目的与要求：掌握一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及其证明方法，理解常微分方程初值问题的解的延拓和解对初值以及参数的连续依赖性和可微性定理．了解一阶常微分方程奇解和包络的概念以及求奇解的方法．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：教学内容：第1节解的存在唯一性定理；第2节解的延拓；第3节解对初值的连续性和可微性；第4节奇解；（数学与应用数学专业）第5节数值解。

常微分方程第三版课后答案

常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分方程第三版

f'(x)2x,
即 f(x)2xd x C x2C .
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
.
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
因为 I dQ , 于是得到 dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的. 数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
.
解: 电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q, 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
e(t)LdIR IQ0. dt C
.
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 0
( x1 , y1 )
x
( x0 , y0 )
解对初值的对称性: y ( x, x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？
解对初值的对称性:
y ( x, x0 , y0 )
区间为[a,b]. 结论: 对 0 , ( , a , b ) 0使得当
( x 0 x 0 ) 2 ( y0 y0 ) 2 2
时,方程(1)过点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x , x0 , y0 ) 在[a,b]上也有 定义,且 ( x , x0 , y0 ) ( x , x0 , y0 ) ,
0
义, 其中 a x0 b, 则对 0, ( , a, b0 y0 )2 ( 0 )2 2
时, 方程(3.1) 通过点( x 0 , y 0 )的解y ( x, x 0 , y 0 , )在区间 a x b上也有定义, 且
•解对初值和参数的连续性
•解对初值的可微性
y ( x, x0 , y0 )

图例分析(见右)
dy f ( x, y ) 2 , ( x , y ) G R dx y ( x0 ) y0
y
( x0 , y0 )
G
解可看成是关于 x, x0 , y0 x , 初值问题的解不单依赖于自变量 dy y ( x, x , y ) x y ( x, x0y , y0( )0 , yy 同时也依赖于初值 . x x0 的三元函数 0) y0e 例: dx 初值变动 ,相应的初值问题的解也将随之变动 . ( x x(0x , 0y)0 ) 满足 y0 y0 0 ,y …………
由于点( x1 , y1 )是积分曲线上任一点 ,
因此关系式y0 ( x0 , x, y)对该积分曲线上任意 点( x, y)均成立。
一、解对初值的连续性
1.解对初值的连续依赖性
dy f ( x, y ) 定义 设初值问题 , (3.1) dx y ( x0 ) y0 的解y ( x, x0 , y0 )在区间 [a, b]上存在, 如果对 0, ( , a, b) 0, 使得对于满足 ( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2的一切( x0 , y0 ),
连续依赖于初值 ( x0 , y0 ).
如果函数 f ( x , y )于某域G内连续，且关于 y 满足利普 dy 希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 f ( x, y )的任 dx 意两个解 ( x ) 及 ( x ) ,在它们的公共存在区间内成立着不 引理 等式 ( x ) ( x ) ( x0 ) ( x0 ) e L x x0 .其中 x0 为所考虑 区间内的某一值。
的解存在且唯一, 记这个解为y ( x, x0 , y0 , 0 ) 且有y0 ( x0 , x0 , y0 , 0 ).
(即对( x, y , ) G , 以( x, y , )为中心球C G , 使 f ( x, y , )在C内对y满足Lipschitz 条件, L与无关)
方程 条件: 结论:
(解对初值的连续性定理)
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
y ( x , x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) G ,作为x , x0 , y0的函数
p( x 0 , y0 )
G
0
c a
x0 x0
b d
x
注： ( x) 饱和解 c a, d b 反证 c a, d b ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x0 , c x d (引理) 1 L (ba ) 对1 e , ( x ) 连续 2 2 0, x x0 2 ( x) ( x0 ) 1. 令 min(1, 2 ),( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2 2 2 L x x0 2 ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e
( x, x 0 , y 0 , ) ( x, x0 , y0 , 0 ) , a x b
2 解对初值和参数的连续性定理 设f ( x, y, )在区域G 连续, 且在G内一致地关于 y满足
局部Lipschitz条件, 则方程(3.1) 的解y ( x, x0 , y0 , ) 作为x, x0 , y0 , 的函数在它们存在范围 内是连续的 .
(c ) ( c ) , ( d ) ( d ) (c, (c)),(d , (d )) D, 从而， ( x) 可再延拓。
( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ) e 2 2 2 L x x0 2( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) )e 2 2 2 L ( b a ) 4 2 e2 L ( ba ) 2 , x [c, d ] 2( y0 y0 1 )e 1
常微分方程
Ordinary Differential Equations
第三章
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
dy f ( x, y ) 考察 dx , ( x, y ) G R 2 y ( x0 ) y0
(1)
的解 y ( x, x0 , y0 ) 对初值的一些基本性质 内容: •解对初值的连续性
初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 (3.1) '
的解y ( x, x0 , y0 )都在区间 [a, b]上存在, 并且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , x [a, b] 则称初值问题(3.1) '的解y ( x, x0 , y0 )在点( x0 , y0 )
3 解对初值可微性定理 f 若函数f ( x, y )以及 都在区域G内连续, 则方程 y (3.1)的解y ( x, x0 , y0 )作为x, x0 , y0的函数在它们的存
在范围内是连续可微的.
证明 由于
f 在G内连续, y 故f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件,
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i i 1 对 0 ,记 y , S ), min , / 2 d (G
N
Ci
G
L max L1,, LN 则以 为半径的圆,当其圆心从S的
G
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D
a x b.
思路分析：
y
D
min( , / 2)
y0
y0
p( x 0 , y0 )
G
0
a
x0 x0
b
x
y ( x , x0 , y0 ) ( x ), x [a , b] (见下图) 记积分曲线段S： 显然S是xy平面上的有界闭集. 第一步:找区域D,使 S D ,且 f ( x, y) 在D上满足Lips.条件. 由已知条件,对 ( x, y ) S ,存在以它为中心的圆 Ci G,使 f ( x, y) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 Li.根据有限
2 2 L x x0
第三步:证明
( x) ( x) , a x b
由于 ( x)连续 1 L (ba ) 对1 e , 2 , 当 x x0 2时, ( x) ( x0 ) 1 2 2 2 2 R : ( x x0 ) ( y y0 ) ,0 min{ 1, 2} ( x0 , y0 ) R L x x0 ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e
1 解对初值和参数的连续依赖定理 设f ( x, y , )在区域 G 连续, 且在 G内一致地关于 y满足
局部 Lipschitz 条件, ( x0 , y0 , 0 ) G , y ( x, x0 , y0 , 0 ) 为 方程 (3.1) 通过点( x0 , y0 )的解, 在区间 a x b上有定
因此,解对初值的连续性定理成立,即 y ( x, x0 , y0 ) 在它的存在范围内关于 x, x0 , y0是连续的 . 下面证明 ,函数y ( x, x0 , y0 )在它的存在范围内
任一点偏导数 , , 存在且连续的 . x x0 y0 f ( x, ), 显然存在且连续 . x
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
证明 在(3.1)满足y ( x0 ) y0的解存在区间内任取一值x1 ,
y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知, (3.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 , 即此解也可写成: y ( x, x1 , y1 ), 且显然有: y0 ( x0 , x1 , y1 ),
( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) )e
L x x0
( y0 y0 ( x0 ) ( x0 ) )e
L (ba )
( 1 )e L(ba ) 21eL(ba)