§2.2等差数列(二)
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§2.2等差数列(二)
【课时目标】
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式.
2. 熟练运用等差数列的常用性质.
1.等差数列的通项公式 a n = a 1+(n — 1)d , 时，a n 是关于n 的一次函数；点(n , a 』分布在以 立的点.
当d = 0时，a n 是关于n 的常函数；当dM 0 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤
a —
a
m 项 a m 和第 n 项 a n (mM n),则 ----- =d.
\ 八 m —n _ 3.对于任意的正整数 m 、n 、p 、q ，若m +n =p + q.则在等差数列｛a n ｝中，a m + a .与 a p + a q 之间的关系为 a_m + a n = a p + a q .
2.已知在公差为d 的等差数列｛a n ｝中的第 m 、
一、选择题
1
1 .在等差数列｛a n ｝中，若a 2+a 4+a 6+a 8+ a® = 80,则a ?— 的值为( A . 4 C . 8 答案 解析 B . 6
D . 10
C
由 a 2+ a 4+ a 6+ a 8+ a 10= 5a 6= 80,
".11
• a 6= 16, • a ? — 2a 8 = 2(2a 7 — a 8)
1 1c
=2(a 6 + a 8 — a 8)= 2a 6= 8.
2.已知数列｛a n ｝为等差数列且 a 1 + a 7+ a 13 = 4 n,贝U tan 念+玄⑵的值为( A.V 3 B . ±3
3
D
由等差数列的性质得 a 1 +a 7 + a 13 = 3a 7= 4 n 4 n C .— 答案 解析
D .—73 •'a7= 3 . 「tan (a 2 + a i2)= tan (2a 7)=
tan^
=tan^h- V 3.
3.已知等差数列｛a n ｝的公差为d(dM0)，且a 3+a 6+ 31。
+ a 13= 32，若a m = 8,则m 为( )
A . 12
B . 8
C . 6
D . 4
答案 B
解析 由等差数列性质 a 3+a 6+ a 10 + a 13= (a 3 + a 13)+ (a 6 + a 10)= 2a 8 + 2a 8= 4a 8= 32, •■a8= 8，又 dM 0,
•'m = 8.
4.如果等差数列｛a n ｝中，a 3+a 4 + a 5= 12,那么a i + a ? +…+ a ?等于( )
•'32+ a 4+ a 6= 3a 4= 99. A . 14 C . 28 答案 C 解析 '^a 3 + a 4+ a 5= 3a 4= 12, B . 21 D . 35 •■a 4= 4. /•a 1 + a 2+ a 3+ …+ a 7= (a 1 + a 7)+ (a 2 + a 6)+ (a 3 + a 5)+ a 4= 7a 4= 28. 5.设公差为一2的等差数列｛a n ｝，如果a 1+a 4+a 7+…+ a 97 = 50，那么a 3+a 6+a 9+… + a 99等于
() A . — 182
C .— 148 答案
D 解析 a 3+ a 6 + a 9 +…+ a 99 B . —
78
D . —
82
=(a i + 2d) + (a 4 + 2d)+ (a 7 + 2d) + …+ (a 97 +
2d)
=(a i + a 4+ …+ a 97)+ 2dx 33
=50 + 2 X (-2)X 33
=—82.
6•若数列｛a n ｝为等差数列, A . p + q C .— (P + q) 答案 B
a p = q, a q = p(pMq),贝U a p +q 为( B . 0
D 也
D. 2
a p — a q q — p
解析•••d = —=g= p —q p —q
1,
••a p + q = a p + qd= q + qX (— 1) = 0.
二、填空题
7.若｛a n ｝是等差数列，a 15 = 8, a 60= 20,则 a
75 =
答案 24
4
解析 '^a60= a 15 + 45d ,•〈 = TT ,
15
.•a 75 = a 60 + 15d = 20+ 4= 24.
&已知｛a n ｝为等差数列， 答案 1 解析 '^a
1 + a 3+ a 5= 105, a i + a 3 + a 5 = 105, a ?+ a 4 + a 6= 99,贝9
•••3a 3= 105, a 3=
35.
a 20= •■a4= 33, •d = a 4— a 3= — 2.
••a 20 = a 4+ 16d = 33+ 16X (— 2)=
1. 1
9. 已知 an J
答案7
5 1111 解析丄一丄=1 — 1 = 2d ，即 a
6 a 4 4 6 比 M 1 1 一 1 1 5
疋等差数列，且 a 4= 6, a 6 = 4,贝y a 10=
d
=i 所以a 10=
¥•
10. 已知方程(x 2— 2x + mXx 2— 2x + n)= 0的四个根组成一个首项为
寸的等差数列，则 |m — n| =
答案1
1 1 1 1
解析 由题意设这4个根为4 1 + d , 4+ 2d , 2+ 3d.
则1
+£+ 3d 卜2,.d = 2,.这4个根依次为4, 3, 4 4, ,1乂 7 7
n 4 4 16,
3,5 15十 15
7
m 4 4 16或 n 16’ m 16’
1
•m — n| =-
三、解答题 11. 等差数列｛a n ｝的公差dM 0,试比较3439与3637的大小. 解设 3
n = 31 + (n — 1)d ,
则 3439— 3637 =(31 + 3d)(31 + 8d)—(31 + 5d)(31 + 6d)
2 2 2 2 = (31 + 1131d + 24d )— (31 + 1131d + 30d )
2
=—6d <0 ,所以 3439<3637.
12. 已知等差数列｛a n ｝中，31+ 34 + 37 = 15 , 323436 = 45,求此数列的通项公式. 解 '^31 + 37 = 234, 31+ 34 + 37 = 334 = 15,
■'a4= 5.
d ，贝U 27= 3+ 8d , 故 34= 3 + 4X 3= 15. 14.已知两个等差数列｛a n ｝: 5,8,11,…，｛b n ｝ : 3,7,11,…，都有100项，试问它们有 多少个共同的项？
解在数列｛3n ｝中，31 = 5,公差d 1= 8 — 5= 3.
••a n = a i + (n — 1)d i = 3n + 2.
在数列｛b n ｝中，b i = 3,公差 d 2= 7— 3= 4,
•■b n = b i + (n - 1)d 2= 4n — 1.
4m
令 3n = b m,贝U 3n + 2 = 4m — 1, • n = 3 — 1.
•.m 、n € N ,.・.m = 3k(k € N ),
[0<m < 100
又1 ，解得0<mW 75.
又•••323436= 45，二3236= 9,
即(34— 2d)(a 4 + 2d) = 9, (5 — 2d)(5 + 2d)= 9,解得 d = ±2. 若 d = 2, 3n = 34 + (n — 4)d = 2n — 3;
若 d = — 2, 3n = 34 + (n — 4) d = 13 — 2n.
[能力提升】
13 .在3与27之间插入7个数， 数值为( )
A . 18
C . 12
答案
解析
D 设这7个数分别为 使这9个数成等差数列，则插入这 7个数中的第4个
9 15 a i , 32,…，a 7, d = 3.
公差为
l0<n w 100
••0<3kw 75,.・.0<kw 25,
••k= 1,2,3,…，25
•••两个数列共有25个公共项.
a m —a n
1.在等差数列｛a n｝中，当mM n时，d = ------- 为公差公式，利用这个公式很容易求出
m —n
公差，还可变形为a m= a n+ (m —n)d.
2.等差数列｛a n｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍
然是等差数列.
3.等差数列｛a n｝中，若m+n=p+q,贝U a n+ a m= a p+ a q(n, m, p, q€ N )，特别地, 若m+n = 2p,贝U a n+ a m= 2a p.。
