初一上册 重难点——探索多个绝对值和的最值问题及x的取值专题

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。

第3讲绝对值知识点1 绝对值的非负性绝对值的性质：互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a （a≥0），则x=±a.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【典例】1.若|a|=3，|b|=2，且a ＜0＜b ，则a 的相反数与b 的和为________．【方法总结】根据绝对值的性质即可求得a ，b 的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a ，b 的值是解题的关键. 2.已知|x-2017|+|y ﹣2016|=0，则x+y=____【方法总结】此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y ﹣2016=0，计算出x 、y 的值，进而可得答案．【随堂练习】1．（2017秋•兴文县校级期中）（1）已知|x ﹣5|=3，求x 的值； （2）已知n=4，且|x ﹣5|+|y ﹣2n|=0，求x ﹣y+8的值．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩绝对值的非负性比较大小绝对值数轴与绝对值绝对值的几何意义(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩2．（2017秋•昌平区校级期中）已知|a+1|与|b﹣2|互为相反数，求a﹣b的值．3．（2017秋•临清市期中）已知|x﹣4|+|y+2|=0，求y﹣x的值．知识点2比较大小两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．【典例】1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（）A. ﹣2B. 0C. ﹣3.2D. 4【方法总结】先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．（2018•龙湖区一模）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定2．（2018•石狮市模拟）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m=n C．m＞﹣n D．m=﹣n3．（2018春•南岗区期末）比较大小：﹣（﹣0.3）____|﹣|（填＜、＞、=）．知识点3数轴与绝对值绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.【典例】1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．【方法总结】先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.【随堂练习】1．（2016秋•句容市校级期末）在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．求|a+b|++|a+1|的值．2．（2017秋•无锡期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c_____0，a+b_____0，c﹣a______0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．知识点4 绝对值的几何意义式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 【典例】1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______【方法总结】根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【方法总结】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.【随堂练习】1．（2016秋•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=____．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7成立的整数是_____（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．2．（2017秋•宝应县月考）已知A、B在数轴上分别表示a、b．（1）对照数轴填写下表：（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____，此时代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是_____．3．（2017秋•开福区校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|=____；（2）若|x﹣2|=5，则x=_____；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．综合集训1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣23|中，负数有_______________.2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．3.在数﹣5，﹣13，−25，−16中，大于﹣15的数有___________.4.填空：（1）﹣34的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p ﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a ﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．。

难点攻关绝对值的理解(一)一.已知有理数的符号求这个数的绝对值1.化简：(1) -|-a|(a＜0) (2) -|-8| (3) |-(+7)| (4) |-5|二.已知一个数的绝对值求这个数2. 绝对值不大于3的所有整数为_____________;绝对值小于3的所有整数为______。

3. (1)若|a|=2,则a= ;(2) 若|x|=|y|,且x=-3,则y= ;(3) 若|+x|=-(-8),则x= ; (4)若|a|=a,则a的范围是 .三.利用绝对值求字母的取值范围4. 若|m|=x-2,则x的取值范围是( )B.x＞2C.x≥2D.x=3 A.x=25. 若|x|=-x,则x的取值范围是( )A.r＞0B.x=0C.x＜0D.x≤0四.利用绝对值比较大小6.(1)若a＞0,b＜0,且|a|＞|b|,用“＞”把a,-a,b,-b连接起来；(2) a,b在数轴上对应的点的位置如下图所示，则a|= ,|b|= ,|-a|= ,|-b|= .（3）已知a,b在数轴上对应的点如下图所示.则a、b、-a、-b的大小关系为：五.绝对值非负性的运用7.(1)若|x-1|与-5互为相反数，求x的值.(2) 若|x-1|+1y-2|=0,则x+y=______,(3) 已知|x-2|和|y-3|互为相反数，求x+y的值.(4) 若|a|与|6-1|互为相反数，则a=_______,b= .8.若a,b是表示两个不同点A,B的有理数，且|a|=5,|b|=3,它们在数轴的位置如图所示，(1)试确定a,b的值；(2)若用AB表示A,B两点之间的距离，求AB的长；(3)若点C在数轴上，点C到点A的距离AC是点C到点B的距离BC的3倍，则点C表示的数为______.难点攻关绝对值的理解(二)一.绝对值的代数意义1. 若|a|=a,则a一定为( )A.1B.0C.正数D.正数或02. (1) -|-5|= (2) |-5|=(3)若|r|=|-3|,则x= (4)若|-x|=|-8|,则x=3. 若|x|=3,|y|=1,且x＞y,则x= .4. 若|x|=6,|y|=3,且x＞0,y＜0,则x= .二.绝对值的几何意义5. (1)在数轴上与1的距离为3的点表示的数为 .(2) 若|x+3|=4,则x= .(3) 若|x-1|=3,则x= .(4) 在数轴上与-3的距离为4的点表示的数为 .6. (1) 绝对值为5的数是 .(2) 在数轴上到原点距离为4的点表示的数为 .(3) 在数轴上到原点距离为a(a＞0)的点表示的数为 .三.绝对值的非负性7. 下列四个式子中一定是负数的是( )A.-|m|+2B.-|m|-1C.-m-3D.-m8. 已知|x-3|+|y-4|=0,则x+y的值为( )A.1B.-1C.7D.-79. 代数式|x+2|+2的最小值是( )A.0B.4C.2D.-210. 下列说法中，正确的个数是( )①若a=-b,则|a|=|b|; ②若|a|=a,则a＞0;③若|a|=|b|,则a=b; ④若a为有理数，则|a|=|-a|.A.1个B.2个C.3个D.4个11. 下列说法中错误的是( )A.|a|一定是非负数B.|a|一定是负数C.|a|+1的最小值为1D.5-|a+b|最大值为5。

七年级上册数学绝对值难题类型七年级上册数学绝对值难题类型及解析一、绝对值的定义与性质1. 绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作\vert a\vert。

2. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

二、绝对值的化简1. 已知字母的取值范围化简绝对值当a \geq 0时，\vert a\vert = a；当a 0时，\verta\vert = a。

例如：已知x 0，化简\vert x 2\vert。

因为x 0，所以x 2 0，则\vert x 2\vert = (x 2) = 2 x。

2. 多重绝对值的化简从内向外依次化简绝对值。

例如：化简\vert\vert 3 x\vert 1\vert，需要先求出\vert 3 x\vert的值，再进一步化简。

三、绝对值方程1. 形如\vert x\vert = a（a > 0）的方程方程的解为x = \pm a。

例如：\vert x\vert = 5，则x = \pm 5。

2. 形如\vert ax + b\vert = c（c > 0）的方程当ax + b \geq 0时，ax + b = c；当ax + b 0时，ax + b = c。

例如：\vert 2x 1\vert = 3，当2x 1 \geq 0，即x\geq \frac{1}{2}时，2x 1 = 3，解得x = 2；当2x 1 0，即x \frac{1}{2}时，2x 1 = 3，解得x = 1。

四、绝对值不等式1. 形如\vert x\vert a（a > 0）的不等式不等式的解集为a x a。

例如：\vert x\vert 2，则2 x 2。

2. 形如\vert x\vert > a（a > 0）的不等式不等式的解集为x a或x > a。

例如：\vert x\vert > 3，则x 3或x > 3。

初一数学绝对值知识点、考点及例题梳理绝对值是初一上册数学的重难点之一，很多同学绝对值的学习中都存在着一些问题，所有问题的根源大都是对绝对值的概念理解不透彻，没有建立起完整的知识体系，在此梳理下在绝对值学习中需要注意的一些要点。

在绝对值的学习中，首先需要去理解和掌握的就是绝对值的概念，什么是绝对值呢？在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离。

在概念的理解中需要注意，绝对值这个概念是从数轴引出的，它表示的是距离，绝对值本质上是数轴上两点之间的距离，哪两点之间的距离呢？表示某个数的点和原点。

那么由绝对值的定义，我们可以得到有关绝对值的那些性质呢？因为绝对值表示的是距离，从日常经验可知，距离最小为0，不可能为负数，所以就得出了绝对值最重要的一条性质：绝对值具有非负性。

从绝对值的定义出发，结合绝对值的非负性，可以得到绝对值的代数意义，也看成是绝对值性质的推广：正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值等于它的相反数。

以上三条需要牢记。

这是求绝对值和简化绝对值的方法基础。

除过绝对值的定义和性质之外，在绝对值的学习中还需要注意以下细节和要点：任何数都有绝对值，只有一个，而且是非负的。

但是有两个数的绝对值等于正数，而且是相反的。

很多同学容易漏掉其中的一个，比较容易出错。

在有关绝对值的运算，在解含有绝对值的方程中，经常需要运用到分类讨论思路。

绝对值的概念来源于数轴，代表数轴上两点之间的距离。

绝对值与数轴有着密切的关系，在绝对值相关题目的分析和求解中，一定要注意数形结合思想的应用。

特别是在绝对值的几何意义的理解和应用上，需要结合数轴来分析和解决。

绝对值等于它本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0.1.解决问题的关键是理解绝对值的定义和性质，把握其非负性。

2、求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果。

3、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。

绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。

绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。

众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。

一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜，其中a₁≤a₂≤…≤a n，那么：当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+(a n/2+1-a n/2)=(a n+a n-1+••• a n/2+1)-(a1+a2+•••+a n/2)当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【a n+a n-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。

七上数学【绝对值压轴题】三种题型汇总，含例题解析，更易读懂！例题1、【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|－2|＋|3|＞|－2＋3||－6|＋|3|＞|－6＋3||－2|＋|－3|＝|－2－3||0|＋|－8|＝|0－8|归纳：|a|＋|b|_____|a＋b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|．参考答案：（1）≥（2）由上题结论可知，因为|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，|m|＋|n|≠|m＋n|，所以m、n异号.当m为正数，n为负数时，m－n＝13，则n＝m－13，|m＋m －13|＝1，m＝7或6当m为负数，n为正数时，－m＋n＝13，则n＝m＋13，|m＋m＋13|＝1，m＝－7或－6综上所述，m为±6或±7（3）分析：若按a、b、c中0的个数进行分类，可以分成四类：第一类：a、b、c三个数都不等于0①1个正数，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|②1个负数，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|③3个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除④3个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除第二类：a、b、c三个数中有1个0 【结论同第（1）问】①1个0，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除②1个0，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|第三类：a、b、c三个数中有2个0①2个0，1个正数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除②2个0，1个负数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除综上所述：1个负数2个正数、1个正数2个负数、1个0，1个正数和1个负数.例题2、已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c-5)^2 +|a+b|=0(1)请求出a、b、c的值;(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,线段AB的中点为M,线段BC的中点为N,P为动点,其对应的数为x,点P在线段MN上运动(包括端点).①求x的取值范围.②化简式子|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|(写出化简过程).详细解析考点：数轴的定义，绝对值的性质分析：本题考查了数轴与绝对值，需掌握绝对值的性质，正确理解AB，BC的变化情况是关键；第（1）题根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c 的值；第②题以①为分界点，根据x的范围分0≤x≤4/9、4/9＜x≤1、1＜x≤3确定x+1，x-1，x-4/9的符号，然后根据绝对值的意义即可化简.解答：（1）根据题意得：c-5=0，a+b=0，b=1，∴a=-1，b=1，c=5.（2）①（-1+1）÷2=0，（1+5）÷2=3，∴x的取值范围为：0≤x≤3.②当0≤x≤4/9时，x+1＞0，x-1＜0，x-4/9≤0，∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)-2(x-4/9)=x+1+x-1-2x+8/9=8/9；当4/9＜x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x-4/9＞0．∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)+2(x-4/9)=x+1+x-1+2x-8/9=4x-8/9；当1＜x≤3时，x+1＞0，x-1＞0，x-4/9＞0．∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1-(x-1)+2(x-4/9)=x+1-x+1+2x-8/9=2x-10/9；例题3、数轴上从左到右的三个点A，B，C 所对应数的分别为a，b，c.其中AB=2017，BC=1000，如图所示．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a＋b＋c 的值．（2）若原点O在A，B两点之间，求 |a|+|b|+ |b-c| 的值．（3）若O是原点，且OB=17，求a+b－c的值．参考答案(1)以B为原点，点A，C对应的数分别－2017，1000，a＋b＋c=－2017＋0＋1000=－1017．(2)当原点O在A，B两点之间时，｜a｜＋｜b｜=2017，｜b－c｜=1000，∴ ｜a｜＋｜b｜+｜b－c｜2017 +1000 = 3017 ．附另解：点 A，B，C 对应的数分别 b－2017，b，b＋1000，∴ |a|+|b|+|b-c|=2017-b+b+1000= 3017 ．(3)若原点O在点B的左边，则点A，B，C 所对应数分别是 a=－2000，b=17， c=1017，则 a＋b－c=－2000＋17－1017=－3000；若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a=－2034，b=－17， c=983，则 a＋b－c=－2034＋(－17)－983=－3034绝对值压轴题小结绝对值作为初一数学的重点和难点，解题时一定要注意分类讨论。

初中数学—绝对值—由最易到最难绝对值，七年级上学期北师版第二章有理数中的内容，在整个七年级上学期，属于比较难的几个知识点之一.可以在校内要求的内容上进行学习，如了解定义，性质和基本的化简求值；也可以探究一些有难度的内容， 如分类讨论，最值，零点分段法，绝对值方程等.在七上数学的学习中，有能力的同学，需要研究一些对以后学习有帮助的知识和方法.本文档讲从最简单知识开始，涉及各知识点内容和配套题目，到最难的竞赛中对绝对值的考察为止.适合各水平学生使用.【板块一】绝对值概念1. 定义：在数轴上，一个数所对的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如a 的绝对值，记作a .特别地，0的绝对值是0.2. 绝对值法则正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩或 (0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨−<⎩ 或 (0)(0)a a a a a >⎧=⎨−≤⎩ 3. 绝对值的性质① 非负性：0a ≥② 双值性：(0)a b b =>，则a b =±；a b =,则a b =±.③ 积的绝对值等于分别绝对值的积，商的绝对值等于分别绝对值的商.ab a b =⋅；(0)b b a a a =≠. ④ 平方和绝对值：222a a a ==.⑤ 绝对值不等式：a b a b a b −≤+≤+.当且仅当a ，b 同号或a ，b 中至少有一个为0时，a b a b +≤+等号成立；当且仅当a ，b 异号或a ，b 中至少有一个为0时，a b a b −≤+等号成立.【板块二】概念例题1．填空. 54−= ， 100+= ， 23−= ， 2=， 5a −= （5a <）， a b −= （a b >），2. 若a a =,则a 为 数；若a a =−，则a 为 数.3. ①如果5a =，则a = .②已知217x −=，则x 的值为 .4. 若a 为整数，且3a ≤，则a 的值有 个.5．a ，b 是有理数，下列各式中成立的是( )A ．若a b ≠，则a b ≠B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b >，则22a b >D ．若22a b >，则a b > 【板块三】非负性1. 已知210a b ++−=，则a b += ．2. 若23(1)0x y ++−=，则24()n y x−=− ． 3. 若1a b ++与2(1)a b −+互为相反数，则a ，b 的大小关系为 ．4. 若()2133a b b ++−=−且210a b −−=，则a b −= ． 5. 已知2ab −与1b −互为相反数，试求代数式1111(1)(1)(2)(2)(2020)(2020)ab a b a b a b ++++++++++的值.【板块四】双值性1．如果4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b −的值是 ．2．已知3x =，7y =，且0xy <，则x y +的值等于 ．3．若3m =，2n =且m n >，则2m n −= ．4．已知15a −=，4b =，且a b a b +=+，则a b −= ．5．已知a ，b ，c ，d 为有理数，且221222a b c d a b c d ++++=+−−−，则1(2)(243)2a b c d +−++= ．【板块五】给条件化简1. 如果12x <<，化简12x x −+−= ．2．化简43ππ−+−= ．3．如图，数轴上的有理数a ，b 满足32a b a b a −−+=，则a b = ．4．如图所示，a ，b 是有理数，则式子a b a b b a ++++−化简的结果为 ．5．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a c b c b a a a c −+−+−−−−．6．有理数a ，b ，c 的位置如图所示，化简式子：b a c b c a b +−+−−−．7. 已知0x z <<，0xy >，y z x >>，求x z y z x y +++−−的值.【板块六】特殊类型的分类讨论1. 若12x <<，则2121x x x x x x−−−+−−的值是 ． 2. 当0abc ≠时，则a b c a b c ++= ． 3．已知a ，b ，c 都是有理数，且满足1a b c a b c ++=，那么6abc abc−= ． 4．若0abc >，化简a b c abc a b c abc+++结果是 ． c a a5．若0abc <，0a b c ++>，a b c ab bc ac x a b c ab bc ac=+++++，求代数式 321ax bx cx +++的值．6．有理数a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=，设a b c x b c c a a b=+++++，试求代数式19992020x x −+的值．【板块七】零点分段法1．阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++−时，可令10x +=和20x −=，分别求得1x =−，2x =（称1−，2分别为1x +与2x −的零点值）．在实数范围内，零点值1x =−和，2x =可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：① 1x <−；②12x −≤<；③2x ≥． 从而化简代数式12x x ++−可分以下3种情况：① 当1x <−时，原式(1)(2)21x x x =−+−−=−+；② 当12x −≤<时，原式1(2)3x x =+−−=；③ 当2x ≥时，原式1221x x x =++−=−．综上讨论，原式21(1)3(12)21(2)x x x x x −+<−⎧⎪=−≤<⎨⎪−≥⎩．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式24x x ++−．（2）求141x x −−+的最大值．2. 化简：3223x x −++3．化简：2136x x x +−−+−4．化简：233551x x x −+−−+【板块八】最值问题1．已知a 为整数（1）a 能取最 值是 ．此时a = ．（2）2a +能取最 值是 ．此时a = ．（3）21a −−能取最 值是 ．此时a = ．（4）12a a −++能取最 值是 ．此时a 的范围是 ．（5）125a a a −++++能取最 值是 ．此时a = ．（6）1232014x x x x −+−+−++−取得最小值时x 的范围是 ．2．若实数m ，n ，p 满足(0)m n p mp <<<且p n m <<，则x m x n x p−++++的最小值是 ．3．设1515T x p x x p =−+−+−−，其中015p <<，试求当15p x ≤≤时，T 的最小值是 ．4．已知21951x x y y ++−=−−−+，则x y +的最小值为 ，最大值为 ．5．已知(12)(32)15x x y y ++−−++=，求2x y −的最大值 和最小值 ．【板块九】绝对值方程1. 解方程：235x +=2. 解方程：2131x x −=+3. 解方程：322x x −=+4. 解方程：216x x −++=5. 解方程：213x x −+=【板块十】竞赛中的绝对值1．若a ，b ，c 为整数，且19991a b c a−+−=，试计算c a a b b c −+−+−的值．2．实数a ，b ，c ，d 满足：6a b −=，4b c −=，5d c −=，则d a −的最大值是 ．3． 若对于某一范围内的x 的任意值，1213110x x x −+−++−的值为定值，则这个定值为 ．4．求1232014y x x x x =−−−−的最大值，其中1x ，2x ，…，2014x 是1，2…，2014的任一排列.5.若2222x y y x y x y x +−+=+−−=−−+，求x y +的值？。

第4讲 绝对值重难点突破【板块二】绝对值与分类讨论思想题型一： a a 类型问题 【例1】已知a 、b 、c 为有理数，且abc ≠0，求式子abc abc c c b b a a ＋＋＋的值.【例2】已知a 、b 、c 、d 为有理数，且abcd ＞0，a ＋b ＋c ＋d ＜0，求abcd abcd abc abc c c b b a a ＋＋＋＋的值.题型二：多绝对值问题——零点分段法/数形结合法【例3】若1024＝－＋＋x x ，试求x 的值.【例4】若20424＝－＋－＋＋x x x ，试求x 的值.针对练习21. 若a ＋b ＋c ＝0，abc ≠0，求.的值＋＋＋＋＋c b a b a c a c b2. （1）.的值，试求＝－＋－若x x x 631（2）._______624的取值范围是，则＝－＋＋若x x x【板块三】绝对值类最值问题与数形结合思想【例】认真阅读下面的材料，完成有关问题.材料∶在学习绝对值时，我们了解绝对值的几何含义，如35－表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；35＋＝)3(5－－，所以35＋表示5，一3在数轴上对应的两点之间的距离；5＝05－，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离. 一般地，点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 之间的距离AB 可表示为b a －. （1）点A ，B ，C 在数轴上分别表示有理数x ，﹣2，1，那么AB +AC 可表示为__________（用含绝对值的式子表示）；（2）利用数轴探究∶①找出满足；的值是的所有＝＋＋－________613x x x ②设，＝＋＋－p x x 13当，－31≤≤x p 的值是不变的，而且是p 的最小值，这个最小值是 ； 当x 的值取在________的范围时，2－＋x x 取得最小值，这个最小值是 ；（3）；的值为，此时的最小值为＋＋－＋－____________123x x x x （4）求2123＋＋＋＋－＋－x x x x 的最小值，及此时x 的取值范围.针对练习31. 拓广探索（1）结合数轴探究：①22－＋＋x x 的最小值为 ；②422－＋－＋＋x x x 的最小值为 ；（2）根据前面研究所得，请直接写出下列各式的最小值：③6422－＋－＋－＋＋x x x x 的最小值为 ；④321－＋－＋－x x x ······2019－＋x 的最小值是________；⑤62221－＋－＋－x x x 的最小值为 .。

初中数学人教版七年级上学期第一章有理数绝对值重难点突破一、解答题1.(8分)（2020七上·硚口期中）已知是有理数.（1）当时，先判断的正、负符号，再求的值；（2）当时，直接写出的值.2.(8分)（2021七上·相城月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a＋c|﹣|1﹣b|＋|﹣a﹣b|3.(10分)（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.4.(12分)（2020七上·金华期中）数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。

我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。

同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。

请结合数轴解决下列问题：①当时，表示什么意思？________；②若，则________；③若，则的值是________；④求使的值最小的所有符合条件的整数.二、综合题5.(10分)（2021七上·薛城期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．利用上述结论，回答以下问题（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=；（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离是3，那么x值为；（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．6.(11分)（2021七上·建昌期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用，表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和两点之间的距离是．（2）可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（3）若，则．（4）若表示一个有理数，的最小值为．（5）直接写出所有符合条件的整数x，使得，的值为7.(10分)（2021七上·温岭期中）点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题：（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值是；（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=；（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是.8.(15分)（2020七上·武汉期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于.（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、.①线段的长度为▲；②若点为线段的中点，则点表示的数是▲；③化简：.（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是▲，式子的最小值是▲.（用含、的式子表示）9.(16分)（2020七上·孝南期中）已知是最小的正整数，且，满足，请回答：（1）请直接写出，，的值：=，=，=；（2）在（1）的条件下，若点为一动点，其对应的数为，点在0到1之间运动，即时，化简：；（3）在（1）（2）的条件下，，，分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为.请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：，；（2）解：当同正时，；当两正一负时，；当一正两负时，；当同负时，；综上：或±1.【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则可知a，b同号，再利用有理数的加法法则，结合已知可得到a，b同为负数，然后化简绝对值，可求出结果。