第五讲 三阶幻方

三阶幻方——四年级

三阶幻方——四年级

一、教学目标：

1、初步认识三阶幻方得起源与它得特征。

2、会根据三阶幻方得特征填写幻方。

3、学会自己构造一个三阶幻方。

*4、掌握并学会三阶幻方得另七个不同构造方法。

二、教学过程：

（一）引入：

1、介绍三阶幻方得起源：

传说在很久很久以前，洛阳得洛水一带浮出一只神龟，龟背上驮着一幅图。这幅图上都用圆点来表示一组数字，后来，经过人们研究发现：图中用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横得每行相加、竖得每列相加以及对角线相加，其与都等于15。后来人们把龟背上得那幅称为“洛书”。 “洛书”就就是我国最早得一个三阶幻方。

2、揭示课题：

——三阶幻方得认识

（二）新授：

1、前言：

三阶幻方就是一个蕴涵无穷知识得数学习题，又称“九宫格”或“九宫与阵”。今天我们就来仔细认真地来研究它。

2、介绍三阶幻方得特征：

（1）小组交流，从图中您可以发现哪些规律？

（2）师生交流特征：

幻与=中间数×3

师：幻与就是指每行或每列三个数字得与。

与中间数对应得上下、左右、或对角线得两个数字得与=

中间数×2

角上得数字=对角相邻得两个数字与÷2 三阶幻方——四年级

（3）小结：

师：要掌握三阶幻方得相关知识，首先要了解它得三个特征。……

3、学习三阶幻方得填法：

（1）出示例题1：

师：独立完成这道题目，瞧哪位同学能根据刚才所学得幻方得特征来填写完整这个幻方。

（2）师生交流核对：

（3）练习：

（4）核对交流，讨论填写得方法，运用了哪条特征。

——运用了特征1、2。

（5）出示例题2：

师：这道题目在原先得基础上变化了一下，您能补充完整吗？

——学生独立完成，然后小组交流自己得想法。

（6）师生共同交流研究：

——运用了三阶幻方得第三个特征。

（7）练习：

（8）师生核对：

（9）小结：

4、用所给得数据构造一个三阶幻方：

三年级三阶幻方教案

教学目标：

1.认识幻方的概念与特点

2.观察规律，独立思考，培养创新能力

3.提高孩子们的数字观念、计算能力和逻辑思维能力

教学重点：

1.认识幻方的概念，并熟练掌握三阶幻方的构造方法

2.在构造幻方的过程中培养孩子们的逻辑思维和创新能力

教学难点：

1.帮助学生理解并掌握幻方的构造方法，以及规律的产生

2.培养学生探究和解决问题的能力

教学方法：

1.探究式授课，教师启发学生思考，并引导学生自主探索

2.幻方题材的小游戏，引发学生的兴趣

教学步骤：

一、导入（5分钟）

学生们围坐在一起，老师让他们自由讨论一下：在生活中，有没有什么东西是由数字组成的？

学生举手回答：电影票，电话号码，截止时间等等。然后老师介绍一下数字的重要性，并向学生们简单介绍一下幻方。

二、学习三阶幻方构造方法（20分钟）

1、什么是幻方？介绍幻方的概念。

2、幻方的规律是什么？如何构造三阶幻方？具体方法如下：

首先，把1放在第一行的正中间，即第一行第二列的位置上。

然后，从2开始依次向右上方移动。例如:2放在第一行第三列，3放在第一行第四列，4放在第二行第四列，5放在第三行第四列，依此类推。当填满最后一个数字9时，构成了一个三阶幻方。

3、举例说明构造幻方的方法。

三、动手实践掌握方法（15分钟）

让学生们在黑板上模仿示范，用纸与笔模拟三阶幻方的构造过程。引导学生们分别画出三阶幻方的所有行、列、对角线的和，帮助他们了解幻方规律。

四、小游戏巩固知识（15分钟）

让学生组成小组，在班级大屏幕上进行幻方小游戏，比赛哪个小组先完成一道三阶幻方。对于初学幻方的学生，老师可以将部分三阶幻方数字进行提前给出，让学生根据此构造幻方。

五、总结（5分钟）

通过学习与实践，学生们对幻方有了更广泛的了解，老师总结本堂课的内容，帮助学生回顾今天所学的知识点，鼓励他们在后续学习中勇敢尝试。

六、作业布置（5分钟）

1、让学生自己动手构造一个三阶幻方。

三阶幻方中的规律及证明

三阶幻方是一个3×3的正方形网格，其中填入了1到9的数字，使得每行、每列和每条对角线上的数字之和都相等。下面我们将探讨三阶幻方的规律及证明。

首先，我们可以观察到三阶幻方的特点是，中心数字始终为5，而其他数字则根据位置的不同而有所变化。因此，我们可以将幻方表示为：

```

abc

d5e

fgh

```

其中a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1到9之间的数字，不重不漏。根据幻方的定义，我们可以列出一系列等式：

1.a+b+c=15(第一行之和)

2.d+5+e=15(第二行之和)

3.f+g+h=15(第三行之和)

4.a+d+f=15(第一列之和)

5.b+5+g=15(第二列之和)

6.c+e+h=15(第三列之和)

7.a+5+h=15(正对角线之和) 8.c+5+f=15(反对角线之和)

现在我们来推导幻方的规律。首先，我们可以将式(2)、(4)、(7)和(8)分别改写为：

2.d+e=10

4.a+f=10

7.a+h=10

8.c+f=10

由于a、d、f、h是1到9之间的数字，且不重不漏，我们可以得出以下结论：

1.a+d+f+h的值必须为固定的常数，即15-10=5

2.c+e的值也必须为固定的常数，即10。

因此，我们可以得出以下结论：

1.第一行、第一列、两条对角线的和都必须为15、即a+b+c=d+5+e=f+g+h=a+d+f=b+5+h=c+e+g=a+5+h=c+5+f=15

2.第二行、第二列的和都必须为10。即d+5+e=b+5+g=10。

基于以上推论，我们可以根据“顺序原则”来构建三阶幻方。顺序原则即我们将数字按照顺序依次填入幻方中，从1开始到9结束。根据顺序原则，我们可以完成以下构造过程：

```

276 951

438

```

其中，每行、每列和每条对角线的和都为15，满足幻方的定义。

接下来，我们来证明三阶幻方的唯一性。假设存在两个不同的三阶幻方，我们将它们表示为：

三阶幻方的讲解

在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！

雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间

先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和

幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3 =45÷3

=15

（3）选择解题突破口

突破口显然是e，在图2中，

因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，

所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）