函数的单调性与极值》课件27

1 函数的单调性与极值（5月10日）

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二 新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数76223xxy的单调区间。

x 0 2 y 2 )(4xf )(1xf

o a X1 X2 X3 X4 b x y 2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

函数的单调性与极值

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二 新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x)

在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数76223xxy的单调区间。

)(4xf )(1xf

o a X1 X2 X3 X4 b x y

2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

第 1 页，共 20 页 导数与函数的单调性、极值

一、高考要求

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、

加速度、光滑曲线的切线斜率等)；掌握函数在

一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解

导函数的概念.

2.熟记基本导数公式(c

，nx(n

为有理数)，xe，

xa，lnx，log

ax

，sinx，cosx

的导数)；

掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解

复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导

数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解

可导函数在某点取得极值的充要条件；

会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值

和最小值.

二、核心考点

1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：

(1)求'()fx

；

(2)确定'()fx

在

,ab

内的符号；

(3)若'()0fx

在

,ab

上恒成立，则()fx

在



,ab

上单调递增；

若'()0fx

在

,ab

上恒成立，则()fx

在



,ab

上单调递减.

第 2 页，共 20 页 2.用导数求函数单调区间的一般步骤：

(1)求'()fx；

(2)'()0fx的解集对应的区间为增区间；

'()0fx的解集对应的区间为减区间.

2.极大值与极小值

极小值定义：设函数()fx在开区间

,ab

内有

定义，

0x

是

,ab

内的一个点，如果存在正数

0，对任意

00,xxx

，且

0xx

，均有

0()()fxfx

，则称

0()fx

是

函数()fx的极小值，称

0x

是函数的极小值

点.

极大值定义：设函数()fx在开区间

,ab

内有

定义，

0x

是

,ab

内的一个点，如果存在正数

0

，对任意

00,xxx

，且

0xx

，均有

0()()fxfx

，则称

0()fx

是

函数()fx

的极大值，称

0x

是函数的极大值

点.

第 3 页，共 20 页 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取

得极值的点称为极值点.

注意：

(1)连续函数的极大值、极小值交替出现；

(2)极值是局部区域上的最大值或最小值；

《函数的单调性与极值》课时分析

一． 内容结构

（1） f(x)的导数刻画的是y在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y随x的增加而增加或y随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，由此思考导数与单调性的关系。

（2） 通过具体函数图象，直观了解函数导数与单调性的关系。

（3） 参照函数图象，根据极值定义，理解极大、极小值点，极大、极小值概念。

（4） 归纳总结求极值步骤，并依据步骤求解极值。

二． 教学目标

① 知识与技能目标

（1） 掌握用求导数判定函数单调性的方法。

（2） 能应用求导方法判定函数的增减性及求出函数的单调区间。

（3） 掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平。

（4） 掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法与步骤。

② 过程与方法目标

（1） 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（2） 运用“数形结合”的思想方法认识导数与函数单调性的关系。

③ 情感态度与价值观目标

（1） 通过探究导数与函数单调性的关系，感受导数的价值。 （2） 培养学生层层深入，一丝不苟研究事物的科学精神。

三． 地位与作用

（1） 本节的教学内容属导数的应用，在教学时应充分展示导数的应用以及用它解决问题的优越性。

（2） 教科书从函数图象出发，结合导数的几何意义，直观给出判别函数单调性的导数方法。

（3） 学生在高一学习函数时，已经掌握了增减函数和单调函数定义，而且会从增函数与减函数的定义判定或证明函数在给定区间的单调性。通过本节课的学习，使学生体验到用导数判断要比用定义判断简捷的多。

（4） 教科书中，函数增减性判别方法只是从函数图象中归纳出来的，没有给出严格的证明，由于它的证明要用到中值定理，而且中值定理不属于高中数学的学习范围，从课程标准的要求出发，教学时应略去其理论证明。

（5） 通过本节的学习，学生扩展了关于函数单调性的认识，有利于激发学生对数学学习探索的兴趣，从而加强了函数的知识体系，为导数与单调性、极值做衔接，为导数在现实生活中的应用做铺垫。