函数与方程的单调性与极值

1 函数的单调性与极值（5月10日）

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二 新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数76223xxy的单调区间。

x 0 2 y 2 )(4xf )(1xf

o a X1 X2 X3 X4 b x y 2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

导数与函数的单调性、极值、最值问题

高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.

真 题 感 悟

1.(2017·江苏卷)已知函数f (x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数，若f (a－1)＋f (2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.

解析 f ′(x)＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0且f ′(x)不恒为0，所以f (x)为单调递增函数.

又f (－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex

＝－(x3－2x＋ex－1ex)＝－f (x)，

故f (x)为奇函数，

由f (a－1)＋f (2a2)≤0，得f (2a2)≤f (1－a)，

∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤12，

故实数a的取值范围是－1，12.

答案 －1，12

2.(2017·江苏卷)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f ′(x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：b2>3a；

(3)若f (x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a的取值范围.

(1)解 由f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，

得f ′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3x＋a32＋b－a23.

当x＝－a3时，f ′(x)有极小值b－a23.

因为f ′(x)的极值点是f (x)的零点，

所以f －a3＝－a327＋a39－ab3＋1＝0，

又a>0，故b＝2a29＋3a.

函数的单调性与极值

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二 新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x)

在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数76223xxy的单调区间。

)(4xf )(1xf

o a X1 X2 X3 X4 b x y

2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

第 1 页，共 20 页 导数与函数的单调性、极值

一、高考要求

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、

加速度、光滑曲线的切线斜率等)；掌握函数在

一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解

导函数的概念.

2.熟记基本导数公式(c

，nx(n

为有理数)，xe，

xa，lnx，log

ax

，sinx，cosx

的导数)；

掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解

复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导

数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解

可导函数在某点取得极值的充要条件；

会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值

和最小值.

二、核心考点

1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：

(1)求'()fx

；

(2)确定'()fx

在

,ab

内的符号；

(3)若'()0fx

在

,ab

上恒成立，则()fx

在



,ab

上单调递增；

若'()0fx

在

,ab

上恒成立，则()fx

在



,ab

上单调递减.

第 2 页，共 20 页 2.用导数求函数单调区间的一般步骤：

(1)求'()fx；

(2)'()0fx的解集对应的区间为增区间；

'()0fx的解集对应的区间为减区间.

2.极大值与极小值

极小值定义：设函数()fx在开区间

,ab

内有

定义，

0x

是

,ab

内的一个点，如果存在正数

0，对任意

00,xxx

，且

0xx

，均有

0()()fxfx

，则称

0()fx

是

函数()fx的极小值，称

0x

是函数的极小值

点.

极大值定义：设函数()fx在开区间

,ab

内有

定义，

0x

是

,ab

内的一个点，如果存在正数

0

，对任意

00,xxx

，且

0xx

，均有

0()()fxfx

，则称

0()fx

是

函数()fx

的极大值，称

0x

是函数的极大值

点.

第 3 页，共 20 页 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取

得极值的点称为极值点.

注意：

(1)连续函数的极大值、极小值交替出现；

(2)极值是局部区域上的最大值或最小值；