3.2.1 函数单调性与最(小)值(解析版)
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3.2.1 函数单调性与最（小）值
考点讲解
考点1：求函数的单调区间
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2)
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f(x)＝－1x；（2）f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；
（3）f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解] (1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x<0.
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．
【方法技巧】
求函数单调区间的方法
（1）利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
（2）利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
【针对训练】
1.（1）根据如图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；
（2）写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] (1)函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数．
(2)先画出
f(x)＝x2－2x－3，x<－1或x>3，－（x2－2x－3），－1≤x≤3的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)．
考点2：函数单调性的判定与证明
【例2】 证明函数f(x)＝x＋1x在(0，1)上是减函数．
思路点拨：设元0
判号：f（x1）>f（x2）――→结论减函数
[证明] 设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1
∵x1－x2<0，0
∵（x1－x2）（－1＋x1x2）x1x2>0，即f(x1)>f(x2)，
∵f(x)＝x＋1x在(0，1)上是减函数．
【方法技巧】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1
（2）作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
（3）定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
（4）结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
【针对训练】
2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是减函数．
[证明] f(x)＝2＋2x－1，
设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1），
因为x1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
考点3：函数单调性的应用
[探究问题]
若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a
决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－b2a的大小．
【例3】 （1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是_______． （2）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)分析f（x）的对称轴与区间的关系――→数形结合
建立关于a的不等式――→
求a的范围
(2)f（2x－3）>f（5x－6）――――――――――――→f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数
建立关于x的不等式――→
求x的范围
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∵实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∵2x－3>5x－6，即x<1.
∵实数x的取值范围为(－∞，1)．]
【变式分析】
1.(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∵[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
[解] 由题意可知，
2x－3>0，5x－6>0，2x－3<5x－6，解得x>32.
∵x的取值范围为,23.
【方法技巧】
函数单调性的应用
（1）函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
（2）若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
考点4：求函数的最值(值域)
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
【例4】 已知函数f(x)＝3－x2，x∵[－1，2]，x－3，x∵（2，5].
（1）在直角坐标系内画出f(x)的图象；
（2）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．
【例5】 已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.
（1）判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1
则f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2（x1＋1）（x2＋1），
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0∵f(x1)
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，
最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.
【方法技巧】 1. 利用图象求函数最值的方法
（1）画出函数y＝f(x)的图象；
（2）观察图象，找出图象的最高点和最低点；
（3）写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
2.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
（1）判断函数的单调性．
（2）利用单调性求出最大(小)值．
3．函数的最大(小)值与单调性的关系
（1）若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
（2）若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：（1）求最值勿忘求定义域．
（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
【针对训练】
3.已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x>1，求f(x)的最大值、最小值．
[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
4．求函数f(x)＝x＋4x在[1，4]上的最值．
[解] 设1≤x1
∵1≤x10，
∵f(x1)>f(x2)，∵f(x)在[1，2)上是减函数．
同理f(x)在[2，4]上是增函数．
∵当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
