函数的单调性与最大(小)值

§2.2 函数的单调性与最大(小)值

考点梳理：

1．函数的单调性

(1)增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 ．

②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 ．

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ．

2．函数的最值

(1)最大值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有 ；

②存在x0∈I，使得 ．

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

(2)最小值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：

①对于任意的x∈I，都有 ；

②存在x0∈I，使得 ．

那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．

自查自纠：

1．(1)①任意两个 增函数 ②任意两个 减函数

(2)单调性 单调区间

2．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M

(2)①f(x)≥N ②f(x0)＝N

典型例题讲练

类型一 判断函数的单调性，求函数的单调区间

例题1： (1)求下列函数的单调区间：

①󰀀 y＝－x2＋2|x|＋3；

解：①依题意，可得

当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；

当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.

由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．

(2)判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

解法一：设0

则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2 ＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．

当0

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；

当a＜x1a，又x1－x2<0，

故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数．

解法二：求导可得f′(x)＝1－ax2.

令f′(x)＞0，则1－ax2＞0，解得x＞a或x＜－a(舍)．

令f′(x)≤0，则1－ax2≤0，解得－a≤x≤a.

∵x＞0，∴0＜x≤a.

∴f(x)在(0，a]上是减函数；在(a，＋∞)上是增函数．

变式1： (1)函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．

解：y＝－(x－3)|x|

＝－x2＋3x，x≥0，x2－3x，x＜0，

作出函数图象，由图象可知其递增区间为0，32.故填0，32.

类型二 函数单调性的应用

例题2： 若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是____________．

解：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，f(x)在[1，2]上是减函数，则a≤1.g(x)＝ax在[1，2]上是减函数，则a>0.∴0

变式2：（1）已知函数31221()(),()()021xxfxxxRfxfx，则下列不等式中正确的是（ ）

A．12xx B．12xx C．120xx D．120xx

解：C

（2） (2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)<1成立，则实数a的取值范围是________．

解：2x(3x＋a)＜1可化为a＜2－x－3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)＜1成立等价于a＜(2－x－3x)max(x∈[0，1])．函数y＝2－x－3x在[0，1]上单调递减，∴y＝2－x－3x的最大值为20－0＝1，∴a＜1，故a的取值范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)． （3）对于定义域为D的函数)(xf，若同时满足下列条件：①)(xf在D内有单调性；②存在区间Dba],[，使)(xf在区间],[ba上的值域也为],[ba，则称)(xf为D上的“和谐”函数，],[ba为函数)(xf的“和谐”区间。若函数mxxg4)(是“和谐”函数，则实数m的取值范围是 。

解：4417m

类型三 抽象函数的单调性

例题3： 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．

解：(1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0，

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，

而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)

因此f(x)在R上是减函数．

证法二：在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2＞0.

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，

∴f(x1－x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.

∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.

变式3: f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有fxy＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明；

(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f1x＜2.

解：(1)f(1)＝fxx＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.

(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

证明：设0＜x1＜x2，则由fxy＝f(x)－f(y)，得

f(x2)－f(x1)＝fx2x1，∵x2x1＞1，∴fx2x1＞0.

∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)∵f(6)＝f366＝f(36)－f(6)，又f(6)＝1，

∴f(36)＝2，原不等式化为：f(x2＋5x)＜f(36)，

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴x＋5＞0，1x＞0，x2＋5x＜36， 解得0＜x＜4.

方法规律总结：

1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：

设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么

(1)f（x1）－f（x2）x1－x2＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；

f（x1）－f（x2）x1－x2＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．

上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．

(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．

2．函数单调性的判断

(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法等．

(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；

(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；

3．函数最值的重要结论

(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m；

(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.

(3)设f(x)在某个集合D上有最大值，则f(x)≥m在D上有解的充要条件是f(x)max≥m

(4) 设f(x)在某个集合D上有最小值，则f(x) ≤m在D上有解的充要条件是f(x)min≤m

课后练习

1. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A

A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b

C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b

2．如图，函数)(xfy在A，B两点间的平均变化率是( B )

A．1 B．1 C．2 D．2

3．(2013·西安调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( C. )

A．恒为正值 B．恒等于零C．恒为负值 D．无法确定正负

解：∵f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，∴f(x)在R上单调递减．

又x1＋x2＞0，则x1＞－x2，

∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，

从而有f(x1)＋f(x2)＜0.故选

4.已知函数f(x)=211xx,则对f(x)描述正确的是（ B ）

A．在(-,0)上单调递增B．在(0,+)上单调递增 C．在(-,0)上单调递递D．在(0,+)上单调递减

5．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )

A．(－∞，1] B.－1，43 C.0，32 D．[1，2)

解：f(x)的定义域为(－∞，2)，且f(1)＝0.当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，f(x)为增函数．故选D.

6．若函数f(x)＝||2x＋a的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝____________．