第2讲 函数的单调性与最值

1 第2讲 函数的单调性与最值

一、知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

常用结论

1．函数单调性的两个等价结论

设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则

(1)f（x1）－f（x2）x1－x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．

(2)f（x1）－f（x2）x1－x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．

2．函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定

2 在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

二、教材衍化

1．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．

答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))

2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.

函数的单调性与最值

函数的单调性

（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有

12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数.

函数的最值

1.最大值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有fxM；

（2）存在0xI，使得0fxM.

那么，我们称M是函数yfx的最大值.

2.最小值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）对于任意的xI，都有fxm；

（2）存在0xI，使得0fxm.

那么，我们称m是函数yfx的最小值.

对点练习

函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间上的最大值为________．【答案】3

考点1 单调性的判定和证明

1.给定函数①12yx＝，②12(1)ylogx＝＋，③|1|yx＝－，④12xy＋＝.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) 【答案】B

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

【领悟技法】 1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；

2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；

（2）函数fx与函数fx的单调性相反；

（3）0k时，函数fx与kfx的单调性相反（0fx）；

0k时，函数fx与kfx的单调性相同（0fx）.

2.导数法：0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递增；0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递减.

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

第二讲 分段函数及函数的单调性

一.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

常见的命题类型有：

(1)分段函数的函数求值问题；

(2)分段函数的自变量求值问题；

(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题．

二.函数的单调性

1.单调性的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________

图象

描述

自左向右看图象是__________

自左向右看图象是_________

单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_______，区间D叫做函数y＝f(x)的___________.

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值

三.题型详解

题型一分段函数的函数求值（域）问题 1.已知函数f(x)＝ log2x，x>0，3x＋1，x≤0，则ff14的值是________．

2. 若函数𝑓(𝑥)={𝑥2+1,𝑥≤1lg𝑥,𝑥>1，则𝑓(𝑓(10))=（ ）

A．lg101 B．2 C．1 D．0

3.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=)]18([13nffn ),2000(),2000(nn