2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第2节圆与方程课时作业理(含解析)新人教A版

第2节 圆与方程

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )

(A)x2＋y2＋2x＝0 (B)x2＋y2＋x＝0

(C)x2＋y2－x＝0 (D)x2＋y2－2x＝0

D 解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.

2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )

(A)x2＋y2＋10y＝0 (B)x2＋y2－10y＝0

(C)x2＋y2＋10x＝0 (D)x2＋y2－10x＝0

B 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B.

3．已知圆C经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则该圆的面积是( )

(A)5π (B)13π

(C)17π (D)25π

D 解析：解法一 设圆心为(a，a＋1)，半径为r(r＞0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，又圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，故有 －a2＋－a2＝r2，－a2＋－3－a2＝r2，解得 a＝－3，r＝5，故该圆的面积是25π，选D.

解法二 由题意可知圆心C在AB的中垂线y＋12＝13(x－32)，即x－3y－3＝0上．由 x－3y－3＝0，x－y＋1＝0，解得 x＝－3，y＝－2，故圆心C为(－3，－2)，半径r＝|AC|＝5，圆的面积是25π，选D.

4．(2019唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

(A)(x－2)2＋(y＋1)2＝1

(B)(x－2)2＋(y＋1)2＝4

(C)(x＋4)2＋(y－2)2＝4

(D)(x＋2)2＋(y－1)2＝1

A 解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则 x＝x1＋42，y＝y1－22，即 x1＝2x－4，y1＝2y＋2，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.

5．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为( )

(A)49π (B)36π

(C)7π (D)6π

D 解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离为|a2－1|a2＋1＝32a2－1，解得a2＝7，所以圆C的面积为π(a2－1)2＝6π，选D.

6．(2019新余二模)过直线y＝2x＋3上的点作圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(

)

(A)19

(B)25

(C)21 (D)555

A 解析：直线y＝2x＋3上上任取一点P(x，y)．作圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，设切点为A.

圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圆心为C(2，－3)，半径为r＝1.

切线长为PC2－r2＝PC2－1.

PCmin＝|2×2＋3＋3|22＋12＝25.

所以切线长的最小值为52－1＝19.

故选A.

7．(2019潍坊3月模拟)圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(

)

(A)1013 (B)921

(C)1023 (D)911

C 解析：因为圆的方程为(x－1)2＋y2＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短析的是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝2，所以与PC垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S

＝12×10×223＝1023.故选C.

8．已知动圆C过A(4,0)，B(0，－2)两点，圆心C关于直线x＋y＝0的对称点为M，过点M的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．

解析：依题意可知，动圆C的半径不小于12|AB|＝5，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，－1)，点M的坐标为(1，－2)，且|CM|＝－2＋－1＋2＝2＜5，所以点M位于圆C内，当点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF|最小，其最小值等于252－22＝23.

答案：23

9．已知直线l：y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________．

解析：因为直线与圆相切，所以|t＋1|1＋k2＝1 ，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理，得x2－4kx－4t＝0.由直线与抛物线交于不同的两点，得Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.

答案：(－∞，－3)∪(0，＋∞)

10．(2019抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解：

原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设yx＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，

此时|2k－0|k2＋1＝3，

解得k＝±3.

所以yx的最大值为3，最小值为－3.

能力提升练(时间：20分钟)

11．(2019昆明二模)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A、B两点，若|AB|＝22，则实数m的值等于( )

(A)－7或－1 (B)1或7

(C)－1或7 (D)－7或1

C 解析：由圆心到直线的距离得d＝|m－3|2

∴|AB|＝2r2－d2

即22＝26－m－322解得m＝－1或7

故选C.

12．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为( )

(A)5 (B)4

(C)3 (D)2

C 解析：由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝1m2＋n2＝3，所以m2＋n2＝13≥2|mn|，所以|mn|≤16，又A1m，0，B0，1n，所以△AOB的面积S＝12|mn|≥3，故△AOB面积的最小值为3.

13．(2019益阳4月)已知斜率为1，且在y轴上的截距b为正的直线l与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为3，则b＝________.

解析：由题意，可知直线l的方程为y＝x＋b，圆C的圆心为C(0,0)，半径为r＝2，山点到直线的距离公式，知圆心C到直线l的距离为d＝|b|2，则|AB|＝2r2－d2＝24－b22，所以12·24－b22·|b|2＝3，又b＞0，解得b＝6或2.

答案：6或2

14．(2019长郡中学一模)若过点(1,1)的直线与圆x2＋y2－6x－4y＋4＝0相交于A，B

两点，则|AB|的最小值为________．

解析：圆x2＋y2－6x－4y＋4＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1236＋16－16＝3，

点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d＝－2＋－2＝5，

∴|AB|的最小值|AB|min＝2r2－d2＝29－5＝4.

答案：4

15．(2019东莞二模)已知直线l：x＋y＝3于圆C：(x－a)2＋(y－5)2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于h点P－12，52，则四边形ABCP的面积为________．

解析：由平面几何知识，得点P与圆心C的连线PC与直线l垂直，则5－52a＋12＝1，解得a＝2，则|PC|＝＋122＋－522＝522，

因为圆心C(2,5)到直线l：x＋y－3＝0的距离为d＝|2＋5－3|2＝42＝22，所以AB|＝210－22＝22，则四边形ACBP的面积为SACBP＝12×22×522＝5.

答案：5

16．已知动圆P的圆心为点P，圆P过点F(1,0)且与直线l：x＝－1相切．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

解析：(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，

∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线．

∴点P的轨迹C的方程为y2＝4x，

(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.

∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①

圆F：(x－1)2＋y2＝1，②

①－②得直线MN的方程为2(1－x0)x－2y0y＋y20－2x0－1＝0.

∵点P(x0，y0)在曲线C：y2＝4x上，

∴y20＝4x0，且x0≥0.

∴点F到直线MN的距离d＝－x0＋y20－2x0－1|－x02＋4y20＝1－x02＋4y20.

∵圆F：(x－1)2＋y2＝1的半径为1，

∴|MN|＝21－d2＝21－1－x02＋4y20

＝21－1－x02＋16x0

＝21－1x0＋2.

∵x0≥0，∴(x0＋1)2≥1，∴0＜1x0＋2≤14，

∴34≤1－1x0＋2＜1，∴3≤|MN|＜2，∴|MN|的取值范围为[3，2)．