2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】

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2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题目要求。）

1．下列曲线有渐近线的是（ ）。

A．y＝x＋sinx

B．y＝x2＋sinx

C．y＝x＋sin（1/x）

D．y＝x2＋sin（1/x）

【答案】C

【考点】曲线的渐近线的定义和求解方法

【解析】对于C项，y＝x＋sin（1/x），首先观察到不存在水平渐近线和垂直渐近线。

设曲线的斜渐近线为y＝kx＋b，

lim1

xy

k

x

1

limlimsin0

xxbyx

x

故曲线y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。因此，选择C项。

2．设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在[0，1]上（ ）。

A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）

B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）

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C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）

D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）

【答案】D

【考点】函数图形凹凸性的定义及应用

【解析】令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）

＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，F″（x）≥0，则函数F（x）是凹

的。故在区间[0，1]上，F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，

因此f（x）≤g（x）。故选择D项。

3．设f（x，y）是连续函数，则

211

01d(,)dy

yyfxyx

（ ）。

A．21101

0010d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy



B．

21100

0011d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy



C．

π1

π1

2cossin

π

000

2d(cos,sin)dd(cos,sin)dfrrrfrrr

D．

π1

π1

2cossin

π

000

2d(cos,sin)dd(cos,sin)dfrrrrfrrrr

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【答案】D

【考点】二重积分的积分顺序互换及二重积分在直角坐标和极坐标间的相互变换

【解析】可画出积分区域如图1所示。

图1

若交换积分顺序，则原式变为

20111

1000d(,)dd(,)dxx

xfxyyxfxyy



故A，B两项不正确；

若进行极坐标变换，则原式变为

π1

π1

2cossin

π

000

2d(cos,sin)dd(cos,sin)dfrrrrfrrrr

则D项正确。

4．若函数

ππ

22

11

ππ,(cossin)dmin{(cossin)d}

abRxaxbxxxaxbxx



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则a

1cosx＋b

1sinx＝（ ）。

A．2sinx

B．2cosx

C．2πsinx

D．2πcosx

【答案】A

【考点】观察积分和转化问题的能力

【解析】由题得

π

23

π2

dπ

3xx



ππ

22

ππcosdsindπxxxx



ππ

ππcosdcossind0xxxxxx



π

πsind2πxxx



则

π

2322

π2

(cossin)dππ()4π

3xaxbxxabb



所以原问题转化为求函数a2＋b2－4b的极小值点，显然可知当a＝0，b＝2时取得最

小值，即a

1＝0，b

1＝2，所以a

1cosx＋b

1sinx＝2sinx，故应该选A。

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5．行列式00

00

00

00ab

ab

cd

cd等于（ ）。

A．（ad－bc）2

B．－（ad－bc）2

C．a2d2－b2c2 D．－a2d2＋b2c2

【答案】B

【考点】行列式的性质和公式

【解析】方法一：根据求解行列式的公式，直接按第一行展开

200

00

00

0000

00

00

00

()()

()ab

abab

ab

adbc

cd

cdcd

cd

abab

adbc

cdcdadadbcbcadbc

adbc







方法二：利用行列式的性质和公式

12232

23000000

000000

()

000000

000000ababab

ccccabcdcd

adbc

cdababrr

cdcdcd





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6．设α

1，α

2，α

3是三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α

1＋kα

3，α

2＋lα

3线性

无关是向量组α

1，α

2，α

3线性无关的（ ）。

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【考点】向量组的线性相关与线性无关，充分条件和必要条件的关系

【解析】已知向量组α

1，α

2，α

3线性无关，则

132312312310

(,)(,)01()K

kk

ll











,,,

对任意的常数k，l，矩阵K的秩都等于2，故向量组α

1＋kα

3，α

2＋lα

3一定线性无关，

故是必要条件；而又当

11

0

0









，

20

1

0









，

30

0

0









时，对任意的常数k，l，

向量组α

1＋kα

3，α

2＋lα

3均线性无关，但向量组α

1，α

2，α

3线性相关，故不是充分条件。

因此，向量组α

1＋kα

3，α

2＋lα

3线性无关是向量组α

1，α

2，α

3线性无关的必要非充分

条件。即选择A项。