2015年考研数学一真题及答案详细解析-2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如下图，则曲线()yfx的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则

( )

(A) 3,2,1abc

(B) 3,2,1abc

(C) 3,2,1abc

(D) 3,2,1abc

(3) 假设级数1nna条件收敛，则 3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的

( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点

(C) 发散点，收敛点

(D) 发散点，发散点

(4) 设D是第一象限由曲线21xy，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，则,Dfxydxdy

( ) 2

(A)

13sin2142sin2cos,sindfrrrdr

(B)1sin23142sin2cos,sindfrrrdr

(C) 13sin2142sin2cos,sindfrrdr

(D) 1sin23142sin2cos,sindfrrdr

(5) 设矩阵21111214Aaa，21bdd，假设集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为

( )

(A) ,ad

(B) ,ad

(C) ,ad

(D) ,ad

(6)设二次型123,,fxxx 在正交变换为xPy 下的标准形为2221232yyy ，其中123,,Peee ，假设132,,Qeee ，则123,,fxxx在正交变换xQy下的标准形为

( )

(A) 2221232yyy

(B) 2221232yyy

(C) 2221232yyy

(D) 2221232yyy

(7) 假设A,B为任意两个随机事件，则

( )

(A) PABPAPB (B) PABPAPB 3

(C) 2PAPBPAB (D) 2PAPBPAB

(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3EXEYDX，则2EXXY

( )

(A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5

二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

(9) 20lncoslim_________.xxx

(10) 22sin()d________.1cosxxxx

(11)假设函数(,)zzxy由方程cos2xexyzxx确定，则(0,1)d________.z

(12)设是由平面1xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.xyzdxdydz

(13) n阶行列式20021202___________.00220012

(14)设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则{0}________.PXYY

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4

(15)(此题总分值10分) 设函数ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx，假设fx与gx在0x是等价无穷小，求,,abk的值.

(16)(此题总分值10分) 设函数fx在定义域I上的导数大于零，假设对任意的0xI，由线=yfx在点00,xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02f，求fx的表达式.

(17)(此题总分值10分)

已知函数,fxyxyxy，曲线C：223xyxy，求,fxy在曲线C上的最大方向导数.

(18)(此题总分值 10 分)

〔I〕设函数()()ux,vx可导，利用导数定义证明uxvxuxvxuxvx[()()]()()()()

〔II〕设函数()()()12nux,ux,,ux可导，nfxuxuxux12()()()()，写出()fx的求导公式.

(19)(此题总分值 10 分)

已知曲线L的方程为222,,zxyzx起点为0,2,0A，终点为0,2,0B，计算曲线积分2222dd()dLIyzxzxyyxyz.

(20) (此题满11分) 5

设向量组1,23,ααα内3R的一个基，113=2+2kβαα，22=2βα，313=++1kβαα.

〔I〕证明向量组123为3R的一个基;

〔II〕当k为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基123下的坐标相同，并求所有的ξ.

(21) (此题总分值11 分)

设矩阵02313312aA相似于矩阵12000031bB=.

(I) 求,ab的值；

〔II〕求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵..

(22) (此题总分值11 分) 设随机变量X的概率密度为2ln2,0,0,0.xxfxx

对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.

(I)求Y的概率分布;

(II)求EY

(23) (此题总分值 11 分)设总体X的概率密度为：

xfx1,1,(,)10,其他.

其中为未知参数，12nx,x,,x为来自该总体的简单随机样本. 6

(I)求的矩估计量.

(II)求的最大似然估计量.

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题及答案

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如下图，则曲线()yfx的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】〔C〕

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()fx的图形可得，曲线()yfx存在两个拐点.故选〔C〕.

(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则

( )

(A) 3,2,1abc

(B) 3,2,1abc

(C) 3,2,1abc

(D) 3,2,1abc

【答案】〔A〕

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，所以2,1

为特征方程20rarb的根，从而(12)3a，122b，从而原方程变为32xyyyce，再将特解xyxe代入得1c.故选〔A〕

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(3) 假设级数1nna条件收敛，则 3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的

( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点

(C) 发散点，收敛点

(D) 发散点，发散点

【答案】〔B〕

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.

【解析】因为1nna条件收敛，即2x为幂级数1(1)nnnax的条件收敛点，所以1(1)nnnax的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnnnax的收敛区间还是(0,2).因而3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点，发散点.故选〔B〕.

(4) 设D是第一象限由曲线21xy，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，则,Dfxydxdy

( )

(A) 13sin2142sin2cos,sindfrrrdr

(B)1sin23142sin2cos,sindfrrrdr

(C) 13sin2142sin2cos,sindfrrdr

(D) 1sin23142sin2cos,sindfrrdr

【答案】〔B〕

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分

【解析】先画出D的图形，

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