高中数学_《空间向量与立体几何》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
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第三章 《空间向量与立体几何》测试讲评
一、讲评目的
1、通过讲评，使学生明确自己出现的问题，并进一步改正试卷中的问题；
2、加深对所学知识的掌握和理解，进而提高自己的能力。
二、讲评的重点、难点
1、重点
（1）测试中出现的错误题目；（2）在分析问题的过程中强调有关的知识。
2、难点
如何在解题中快速的找到解决问题的方法和思路，并能规范地解答所给问题。
三、课前准备
1、批阅试卷，完成对成绩、存在问题的分析。
2、多媒体、展台。
四、讲评过程
（一）基本情况介绍
1、测试内容及试卷来源
本次测试的内容为高中数学选修2-1第三章《空间向量在立体几何中的应用》。主要是通过该试卷来检测一下学生对空间向量在立体几何中应用的掌握程度，以及运用知识解决问题的能力。
试卷是由老师根据平时的教学情况自己组成的，试卷的结构、题量与高考的形式相同。试题难度适中，主要侧重于对基本知识、基本方法和学生运算能力的考查。
设计意图：让学生明确考试的有关背景，对所考内容有所了解，同时对本章内容的掌握程度、主要题型都有所了解。
2、相关数据
（1）选择题正答率
题号 答案 答A率 答B率 答C率 答D率 正答率
1 B 2.9 94.1 0.0 0.0 94.1
2 A 17.6 41.2 32.4 5.9 17.6
3 A 85.3 5.9 2.9 2.9 85.3
4 A 94.1 2.9 0.0 0.0 94.1
2
5 C 8.8 8.8 61.8 17.6 61.8
6 C 0.0 0.0 88.2 8.8 88.2
7 A 79.4 2.9 0.0 14.7 79.4
8 B 5.9 88.2 0.0 2.9 88.2
9 C 5.9 11.8 79.4 0.0 79.4
10 A 70.6 5.9 11.8 8.8 70.6
（2）成绩统计
平均分 及格率% 优秀率% 最高分
113.5 87 37.8 145
各分数段人数
140-150 130-139 120-129 110-119 100-109 90-99 80-89 79以下
3 3 5 8 12 11 7 6
设计意图：让学生明确自己在考试中所处的位次及自己的成绩情况，鼓励学生树立学习的自信心。
（3）考试中暴露的问题
①对所学知识、常用方法掌握不熟练，有遗忘现象;
②运算速度、准确度仍存在较大的缺陷;
③答卷中的规范性问题，乱写、乱画的现象仍存在。
设计意图：让学生了解自己在考试中暴露出的问题，明确自己的问题所在。
（二）试卷讲评
设计意图：本次的讲评采用相同类型的问题集中讲解的方法，可使学生对相关中出现的错误有整体的了解，从总体上把握该类问题的知识及解法，便于学生对知识的掌握。
本次测试的试题从总体上分为三个部分：
（1）空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。包括第1、2、4、11、13、15题。
（2）数量积及其应用。包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。
（3）空间向量在立体几何中的应用。包括：8、10、17、18、19、20、21题。
1、空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。包括第1、2、4、11、13、15
3
题。
其中出现错误较多的是2、15两题。
第2题。在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
【变式训练】在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22OPOAOBOC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
设计意图：加入该变式训练的目的是让学生巩固对向量的基本概念、基本知识的重新掌握。从学生的掌握情况看，对这一部分知识的掌握还存在着很大的缺陷。
15题，已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且3MGGN，现用基向量,,OAOBOC表示向量OG，并设OGxOAyOBzOC，则x、y、z的和为__________．
解：结合图形可得，
1313()2424OGOMMGOAMNOAONOM
1311133[()]2422888OAOBOCOAOAOBOC.
（2）数量积及其应用。包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。
出现错误较多的题目有：5、14题。
5题，如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为( )
A．1 B．2 C.2 D.3
4
解：CDCAABBD
∴2222222CDCAABBDCAABCABDABBD
11100211cos1202∴||2CD
14题。如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．
解：选择基底{,,}BABCBD，则13()44EDEAADBABDBABDBA，
1131()4444BFBCCDBCBDBCBCBD.
设正四面体的棱长为1，则
3311()()4444EDBFBDBABCBD，
又222239313()416216EDBDBABDBABDBA，∴13||4ED。
同理13||4BF.
∴4cos13||||EDBFEDBFEDBF。
即直线DE和BF所成的角的余弦值为413。
（3）空间向量在立体几何中的应用。包括：8、10、17、18、19、20、21题。
出现的错误有：
①不能正确的建立空间直角坐标系；建系后不能正确得出点的坐标；
②如何用向量来表示空间角不熟练，甚至出现错误；
设计意图：在这种类型问题的讲解中，采用归类的思路，让学生对空间向量在立体几何中的具体应用有个整体的认识和掌握。
题型一、利用向量求空间角
第10题。在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角APBC的平面角的正切值为( )
A.6 B.3 C.66 D.62
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分析：解题步骤，建系——确定点的坐标——求相关向量——求向量的夹角——得答案
解：设2PAPB，建立如图所示的空间直角坐标系．
则(020),(3,1,0),(0,0,2)BCP,,，
∴(022),(3,1,0)BPBC,-,
设(,,)nxyz是平面PBC的一个法向量．
由22030nBPyznBCxy-得33xyzy。
令1y，则3,13xz.则3(,1,1)3n。
易知(1,0,0)m是平面PAB的一个法向量．
所以373cos,7||||2113mnmnmn.
∴42sin,,tan,6.7mnmn
18题。如下(左)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下(右)图．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
分析：这是一个折叠型的问题。解题的关键在于判断出折叠前后哪些量发生了变化、哪些量没有发生变化。
解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D ∩CD=D。
∴DE⊥平面A1DC.
∴DE⊥A1C.
又A1C⊥CD，DE
∩CD=D，
∴A1C⊥平面BCDE.(4分)
(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，
则1(0023),(0,2,0),(0,1,3),(3,0,0),(2,2,0)ADMBE,,
6 设平面A1BE的法向量为(,,)nxyz，
由1323020nABxznBExy-得23xyzy.
令1y，则2,3xz，∴(2,1,3)n．
又(0,1,3)CM
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
∴||42sin|cos,|2||||84nCMnCMnCM.
∴CM与平面A1BE所成角的大小为4.
题型二、用向量解决探索性问题
20题。已知正三棱柱111ABCABC中，12,3ABAA，点D为AC的中点，点E在线段1AA上.
(1)当1:1:2AEEA时，求证：1DEBC；
(2)是否存在点E，使二面角DBEA等于60若存在求AE的长；若不存在，请说明理由.
