2003数一数三考研数学真题及解析

数学(一)试题 第1页(共15页) 2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.)

(1))1ln(102)(coslimxxx= .

(2)曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是 .

(3)设)(cos02xnxaxnn,则2a= .

(4)从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为 .

(5)设二维随机变量(,)XY的概率密度为

，yxxyxf其他,10,0,6),(

则 }1{YXP

.

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布)1,(N,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数()fx在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则()fx有

(A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点.

(C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. 数学(一)试题 第2页(共15页)

(2)设}{},{},{nnncba均为非负数列,且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有

(A) nnba对任意n成立. (B) nncb对任意n成立.

(C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncblim不存在.

(3)已知函数(,)fxy在点(0,0)的某个邻域内连续,且22200(,)lim1()xyfxyxyxy,则

(A) 点(0,0)不是(,)fxy的极值点.

(B) 点(0,0)是(,)fxy的极大值点.

(C) 点(0,0)是(,)fxy的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)fxy的极值点.

(4)设向量组I:r,,,21可由向量组II:s,,,21线性表示,则

(A) 当sr时,向量组II必线性相关. (B) 当sr时,向量组II必线性相关.

(C) 当sr时,向量组I必线性相关. (D) 当sr时,向量组I必线性相关.

(5)设有齐次线性方程组0Ax和0Bx,其中,AB均为nm矩阵,现有4个命题:

①若0Ax的解均是0Bx的解,则秩(A)秩(B);

②若秩(A)秩(B),则0Ax的解均是0Bx的解;

③若0Ax与0Bx同解,则秩(A)=秩(B);

④若秩(A)=秩(B),则0Ax与0Bx同解.

以上命题中正确的是

(A) ①②. (B) ①③. (C) ②④. (D) ③④.

(6)设随机变量21),1)((~XYnntX,则

(A) )(~2nY. (B) )1(~2nY.

(C) )1,(~nFY. (D) ),1(~nFY. 数学(一)试题 第3页(共15页)

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线lnyx的切线,该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D.

(1)求D的面积A;

(2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数012)1(nnn的和.

五、(本题满分10分)

已知平面区域}0,0),{(yxyxD,L为D的正向边界.试证:

(1)dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin;

(2).22sinsindxyedyxexLy

六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0kk).汽锤第一次击打将桩打进地下a(m).根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)rr.问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?

(注:m表示长度单位米.)

七、(本题满分12分)

设函数()yyx在),(内具有二阶导数,且)(,0yxxy是()yyx的反函数.

(1)试将()xxy所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为()yyx满足的微分方程;

(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解. 数学(一)试题 第4页(共15页)

八、(本题满分12分)

设函数()fx连续且恒大于零,

222()22()()()()tDtfxyzdVFtfxyd,22()2()()()DtttfxydGtfxdx,

其中}),,{()(2222tzyxzyxt,}.),{()(222tyxyxtD

(1)讨论()Ft在区间),0(内的单调性.

(2)证明当0t时,).(2)(tGtF

九、(本题满分10分)

设矩阵322232223A,100101010P,PAPB*1,求2BE的特征值与特征向量,其中*A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

:1l 032cbyax,

:2l 032acybx,

:3l 032baycx.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba

十一、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数X的数学期望;

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、(本题满分8分) 数学(一)试题 第5页(共15页) 设总体X的概率密度为

,,,0,2)()(2xxexfx

其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21,记12ˆmin(,,,XXL

)nX.

(1)求总体X的分布函数()Fx;

(2)求统计量ˆ的分布函数)(ˆxF;

(3)如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2003年考研数学一试题答案与解析

一、填空题

(1)【分析】 属1型. 原式=21cos1cos1ln(1)0lim[1(cos1)].xxxxx

利用等价无穷小因子替换易求得

2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx,

故原式=12.e

(2)【分析】 曲面在任意点(,,)Pxyz处的法向量{2,2,1}xyn,n与平面042zyx的法向量{2,4,1}0n平行,0nn为某常数,即22,24,1.xy

从而1,2.xy,又点P在曲面上22(1,2)()5zxyP点处的{2,4,1}n.因此所求数学(一)试题 第6页(共15页) 切面方程是0)5()2(4)1(2zyx,即245xyz.

(3)【分析】 这是求傅氏系数的问题.

已知)()(2xxxf是以2为周期的偶函数,按傅氏系数计算公式得

2220002211cos2sin22sin22axxdxxdxxxdx

=000111cos2cos2cos21.xdxxxxdx

(4)【分析】 设由基12,到基12,的过渡矩阵为C,则

1212(,)(,)C,即11212(,)(,).C

那么,由 111110231023011201120112

可知应填: 23.12

当然也可先求出11111,0101再作矩阵乘法而得到过渡矩阵.

(5)【分析】 }1{YXP1(,)xyfxydxdy

11206xxdxxdy

12016(12).4xxdx

(6)【分析】 这是一个正态总体方差已知求期望值的置信区间问题,该类型置信区间公式为

(,),Ixxnn

其中由{}0.95PU确定(~(0,1))UN即1.96.将40,1,16,1.96xn代数学(一)试题 第7页(共15页) 入上面估计公式,得到的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).

二、选择题

(1)【分析】 由图,()fx有三个驻点和一个不可导点0.x'()fx在三个驻点处,一个由正变负,两个由负变正,因而这三个驻点中一个是极大值点,两个是极小值点;而点0x(()fx的连续点)的左侧'()0fx,0x的右侧'()0fx,0x是()fx由增变减的交界点,因而是极大值点.应选(C).

(2)【分析】 (A),(B)显然不对,因为由数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情况,不可能得出“对任意n成立”的性质.

(C)也明显不对,因为“无穷小无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在.

故应选(D).

(3)【分析】 由条件0000lim[(,)]0lim(,)(0,0)0.xxyyfxyxyfxyf由极限与无穷小的关系 222(,)1(1)()fxyxyoxy 22(0).xy

 2222222(,)()(())()(0).fxyxyxyoxyxyo

当yx时,2(,)(0,0)[1(1)]0fxyfxo(0时),

当yx时,2(,)(0,0)[1(1)]0fxyfxo(0时),

其中是充分小的正数,因此,(0,0)不是(,)fxy的极值点.应选(A).

(4)【分析】 根据定理“若12,,,sL可由12,,,tL线性表出,且st,则12,,,sL必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D).

(5)【分析】 显然命题④错误,因此排除(C),(D).对于(A)与(B)其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?

由命题①,“若0Ax的解均是0Bx的解,则秩(A)秩(B)”正确,知“若0Bx的解均是0Ax的解,则秩(A)秩(B)”正确,可见“若0Ax与0Bx同解,则秩(A)=秩(B)”正确.即命题③正确,所以应当选(B).