2003考研数一真题及解析

2003

21 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：本题共6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 21ln(1)0lim(cos)xxx

(2) 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.

(3) 设)(cos02xnxaxnn,则2a= .

(4) 从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为 .

(5) 设二维随机变量(,)XY的概率密度为，yxxyxf其他,10,0,6),(则}1{YXP

.

(6) 已知一批零件的长度X (单位：cmcm)服从正态分布)1,(N,从中随机地抽取16个

零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是.

(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(

二、选择题：本题共6小题,每小题4分,共24分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1) 设函数()fx在),(内连续,其导函数的图形如图所示,

则()fx有( )

(A)一个极小值点和两个极大值点.

(B)两个极小值点和一个极大值点.

(C)两个极小值点和两个极大值点.

(D)三个极小值点和一个极大值点.

(2) 设}{},{},{nnncba均为非负数列,且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有( )

(A) nnba对任意n成立. (B) nncb对任意n成立.

(C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncblim不存在. y

x 2003

21 (3) 已知函数(,)fxy在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx,则( )

(A) 点(0,0)不是(,)fxy的极值点.

(B) 点(0,0)是(,)fxy的极大值点.

(C) 点(0,0)是(,)fxy的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)fxy的极值点.

(4) 设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示,则( )

(A) 当sr时,向量组II必线性相关. (B) 当sr时,向量组II必线性相关.

(C) 当sr时,向量组I必线性相关. (D) 当sr时,向量组I必线性相关.

(5) 设有齐次线性方程组0Ax和0Bx, 其中,AB均为nm矩阵,现有4个命题：

① 若0Ax的解均是0Bx的解,则秩(A)秩(B)；

② 若秩(A)秩(B),则0Ax的解均是0Bx的解；

③ 若0Ax与0Bx同解,则秩(A)=秩(B)；

④ 若秩(A)=秩(B), 则0Ax与0Bx同解.

以上命题中正确的是( )

(A) ① ②. (B) ① ③.

(C) ② ④. (D) ③ ④.

(6) 设随机变量21),1)((~XYnntX,则( )

(A) )(~2nY. (B) )1(~2nY.

(C) )1,(~nFY. (D) ),1(~nFY.

三 、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线lnyx的切线,该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A;

(2) 求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.

四 、(本题满分12分)

将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数012)1(nnn的和. 2003

21 五 、(本题满分10分)

已知平面区域}0,0),{(yxyxD,L为D的正向边界. 试证：

(1) dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin;

(2) .22sinsindxyedyxexLy

六 、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0kk).汽锤第一次击打将桩打进地下am. 根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)rr. 问

(1) 汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深？

(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？

(注：m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)

设函数()yyx)在),(内具有二阶导数,且)(,0yxxy是()yyx的反函数.

(1) 试将()xxy所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为()yyx满足的微分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.

八 、(本题满分12分)

设函数()fx连续且恒大于零,

)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF,ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(,

其中}),,{()(2222tzyxzyxt,}.),{()(222tyxyxtD

(1) 讨论()Ft在区间),0(内的单调性.

(2) 证明当0t时,).(2)(tGtF

2003

21 九 、(本题满分10分)

设矩阵322232223A,100101010P,PAPB*1,求2BE的特征值与特征向量,其中*A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

十 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

1:230laxbyc,2:230lbxcya,3:230lcxayb.

试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求：

(1) 乙箱中次品件数X的数学期望；

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二 、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为

,,,0,2)()(2xxexfx

其中0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21,记

).,,,min(ˆ21nXXX

(1) 求总体X的分布函数()Fx;

(2) 求统计量ˆ的分布函数)(ˆxF；

(3) 如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

2003

21 一、填空题

(1)【答案】1e

【详解】方法1：求()lim()vxux型极限,一般先化为指数形式

()()ln()lim()limvxvxuxuxe

然后求lim()ln()vxux,再回到指数上去．

)1ln(102)(coslimxxx=220lncoslncoslimln(1)ln(1)0limxxxxxxee,

而

2200lncosln(1cos1)limlimln(1)ln(1)xxxxxx20cos1limxxx(等价无穷小替换ln(1)xx)

220112lim2xxx(等价无穷小替换211cos2xx)

故 原式=.121ee

方法2：令21ln(1)(cos)xyx,有2lncoslnln(1)xyx,以下同方法1．

(2)【答案】542zyx

【详解】由题意,只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．

平面042zyx的法向量：1{2,4,1}n；

曲面22yxz在点),,(000zyx的法向量：20000{(,),(,),1}xynzxyzxy00{2,2,1}xy

由于12//nn,因此有

00221241xy

可解得,2,100yx,相应地有.520200yxz

所求切平面过点(1,2,5),法向量为：2{2,4,1}n,故所求的切平面方程为

0)5()2(4)1(2zyx,即 542zyx 2003

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(3)【答案】1

【详解】将)()(2xxxf展开为余弦级数

20()cos()nnfxxanxx,其中0cos)(2nxdxxfan．

所以 xdxxdxxa2sin12cos2020222001[sin2sin22]xxxxdx

01cos2xdx001[cos2cos2]xxxdx1

(4)【答案】2132

【详解】n维向量空间中,从基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵P满足

[n,,,21]=[n,,,21]P,

因此过渡矩阵P为：

P=[121],,,n[],,,21n．

根据定义,从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为

P=[121],[21111011],121=.213221111011

(5)【答案】14．

【分析】本题为已知二维随机变量(,)XY的概率密度(,)fxy,求满足一定条件的概率}),({0zYXgP．连续型二维随机变量(,)XY概率的求解方法

(,)(,),yxFxyfuvdudv

此题可转化为二重积分}),({0zYXgP0(,)(,)gxyzfxydxdy进行计算．

【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设,有

}1{YXP1(,)xyfxydxdy

11206xxdxxdy 1

x y

O 12 1xy yx