第四章 弹性杆件横截面上的切应力分析 §4-1 圆轴扭转时横截面上的切应力 §4-2
非圆截面杆扭转时的切应力 §4-3 梁横力弯曲时横截面上的切应力 §4-4 弯曲中心
§4-5 小结 请判断哪一零件 将发生扭转和剪切 请判断哪些零件 将发生扭转 传动轴
请判断轴受哪些力 将发生什么变形 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件, 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件,当其横截 面上仅有扭矩(M 或剪力 或剪力(F 面上仅有扭矩 z)或剪力 Qy或FQz)时,与这些内力分量相 时 对应的分布内力,其作用面与横截面重合. 对应的分布内力,其作用面与横截面重合.这时分布内力 在一点处的集度,即为切应力 在一点处的集度,即为切应力 . 扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同. 分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同 分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同. 对于扭矩存在的情形,依然借助于平衡,变形协调与物性 对于扭矩存在的情形,依然借助于平衡, 关系,其过程与正应力分析相似.对于剪力存在的情形, 关系,其过程与正应力分析相似.对于剪力存在的情形,
在一定的前提下,则仅借助于平衡方程. 在一定的前提下,则仅借助于平衡方程. 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力 以及矩形杆件的弯曲切应力分析 矩形杆件的弯曲切应力分析. 以及矩形杆件的弯曲切应力分析. §4-1 圆轴扭转时横截面上的切应力 {P}kW
{Me}N.m = 9549 {n}r / min Me(单位为Nm)——外扭转力偶矩 外扭转力偶矩 P(单位为kW)——轴传递的功率 轴传递的功率 n(单位为r/min)——轴的转速 轴的转速
T=Me (a) a A B C D A B γ (b) C' τ τ D' y τ′ A dy B dx D dz C 根据力偶平衡理论 τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy x τ =τ′ 切应力互等定理 z 研究思路: 研究思路: 几何 关系 应变 分布 物理 关系 应力 分布 平衡 方程 应力 表达式 变形 1 平面假设及变形几何关系即变形协调方程 平面假设及变形几何关系即变形 变形协 受扭后表面变形规律 (1) 各圆周线绕轴线相 对转动一微小转角, 对转动一微小转角, 但大小形状及相互间 距不变. 距不变. (2) 由于是小变形,各 由于是小变形, 纵线平行地倾斜一个 微小角度, 认为仍为 微小角度 , 直线; 直线 ; 因而各小方格 变形后成为菱形. 变形后成为菱形. 1 平面假设及变形几何关系即变形协调方程 平面假设及变形几何关系即变形 变形协 平面假设 变形前横截面为圆形平面,变形后 变形前横截面为圆形平面, 仍为圆形平面,只是各截面绕轴线相对" 仍为圆形平面,只是各截面绕轴线相对"
第四章 杆件的变形计算
杆件在载荷作用下都将发生变形，过大的变形将影响杆件的正常使用，必须加以限制，而有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用，如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。本章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。
第一节 拉（压）杆的轴向变形
直杆在沿其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如图4-1所示。设杆原长l，宽b，在力F作用下产生变形，变形后长l1，宽b1。则杆件在轴线方向的伸长为
纵向应变为
根据虎克定律和拉（压）杆横截面正应力公式 ，可以得到
（4-1）
上式表明，杆的轴向变形值与轴力FN及杆长l成正比，与材料的杨氏模量 及杆的横截面面积成反比。因此EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度，EA值越大，杆件刚度越大，在一定外力作用下单位长度变形量就越小。
另一方面，横向变形,横向应变。通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉（压）杆的纵向应变与横向应变 之间存在如下比例关系：
(4-2a)
或 =-（4-2b）
式中比例常数称为泊松比。弹性模量E、泊松比及切变模量G均是材料的弹性常数，可由实验测得。对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：
（4-3） 材料的值小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的E和的值。
例4-1 阶梯形直杆受轴力如图4-2，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2 , 段横截面面积A2=240mm2 ，杆件材料的弹性模量为E=200GPa。试求该杆总伸长量。
§4-3 轴向拉(压)杆的应力
1．应力的概念
为了解决杆件的强度问题，不仅要知道当外力达到一定值时杆件可能沿哪个截面破坏，而且还要知道该截面上哪个点首先开始破坏。因而仅仅知道杆件截面上内力的合力是不够的，还需要进一步研究截面上内力的分布情况，从而引入了应力的概念。应力就是杆件截面上分布内力的集度。
若考察某受力杆截面m-m上M点处的应力，如图4-8所示。
图4-8 一点的应力
在M点周围取一很小的面积A，设A面积上分布内力的合力为F，则面积A上内力F的平均集度为
AFpm (4-1)
式中mp称为面积A上的平均应力。当微小面积A趋近于零时，就得到截面上M点处的总应力，即
dAdFAFpAlim0 (4-2)
由于F是矢量，故P也是矢量，其方向一般不与截面垂直或平行，因此可以分解成与截面垂直的法向分量正应力和与截面向切的切向分量切应力(剪应力)。
从应力的定义可知，应力是与“截面”和“点”这两个因素分不开的。一般地说，杆件在外力作用下，任一截面上不同点的应力值是不同的，同一点位于不同截面上的应力值也是不同的。因此在谈内力时，应明确是哪个截面哪个点处的应力。应力的量纲为2长度力，其国际单位为Pa(帕斯卡)，1Pa=1牛顿/米2。工程中常用MPa，1MPa=106Pa。
2．拉(压)杆横截面上的应力
对于拉(压)杆，横截面上的内力为轴力FN，与轴力对应的应力为正应力。
观察受拉等直杆(图4-9(a))的变形情况。首先在等直杆侧面作两条横向线ab和cd，代表其横截面，然后在杆的两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形。可以观察到，横向线ab和cd移动到a’b’和c’d’的位置了，如图4-9(b)所示。对于压杆，同样可以观察到该现象。根据这一现象，可以假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，即平面假设。根据这一假设，拉(压)杆变形后两横截面将沿杆轴线方向作相对平移，也就是说，拉(压)杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的。从而可推知，横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上的内力的集度为常量，如图4-9(c),(d)所示。 图4-9 受拉等直杆的应力
1 / 17 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析
——教学方案
学
时 6
基
本
内
容 1、圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转变形特征，变形协调方程，物理关系，静力学关系。
2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，截面翘曲，切应力公式。
教
学
目
的 1、了解外力偶矩与功率、转速间的关系。
2、掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。
3、了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。
4、了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握最大弯曲切应力的计算。
重
点、
难
点 重点：圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。
难点：矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。
教
学
方
法 用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定。
课外作业 4，5，9，11
第四章 弹性杆横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(Mx)或剪力(FQy或FQz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。 2 / 17 分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力
工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩Me（单位为Nm）与轴传递的功率P（单位为kW）和轴的转速n（单位为r/min）有如下关系：
min/.9549rkWmNenPM （4-1）
不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b所示。圆轴上的每个微元(例如图4-2a中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c所示。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB和CD边对应着横截面；AC和BD边则对应着纵截面)，分别用τ和表示。应用平衡关系不难证明： 3 / 17 （4-2）
