第三节 扭转时横截面上的应力
一、应力分布规律
为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。
取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩mA、mB，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：
1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；
2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：
★ 各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；
★ 圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；
★ 变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为，由于构件的变形通常很小，即
梁弯曲时横截面上的正应力
在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。
1、纯弯曲与横力弯曲
从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力FQ同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力FQ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。
2、梁纯弯曲时横截面上的正应力
如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象：
⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。
⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。
由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。
从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。
由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点：
⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。
⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。
⑷横截面上的正应力沿y轴呈线性分布，即ky（k为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。
《直杆轴向拉、压横截面上的正应力》教学设计
课题 3.3直杆轴向拉、压横截面上的正应力
习题课 教学时间 2课时
教学目标 知识与技能 1、认识正应力的概念；
2、了解正应力的分布规律；
3、掌握正应力的计算；
过程与方法 1、通过实验观察感性认识正应力的分布规律；
2、通过例题讲解、引导学生完成习题，带领学生进一步明确解题思路。
情感、态度、价值观 实验观察得出结论，各种习题的练习培养严谨的学风。
教学重点 正应力分布规律，正应力计算解题方法。
教学难点 1、贯穿以前所学知识正确计算出正应力。
教学内容及其过程 学生活动 教师导学
一、引入
【观察与思考】从上节例题图中可以看出AB杆各段内力值不同，如果AB杆是等截面直杆，显然内力数值大的杆段容易发生破坏，若AB杆是不等截面的直杆，杆件的哪个区段容易发生破坏呢？
二、导学提纲
1. 单位面积上的内力叫做应力。
2. 应力可以是任意方向的，当应力与截面垂直时称为正应力或法向应力，以“σ”表示，若其应力与截面相切时称为切应力，以“τ”表示。
3. 在国际单位制中应力的单位是Pa（帕斯卡），简称帕，2/11mNPa。
4. 正应力计算公式AFN中σ为正应力，A为横截面面积，FN为轴力。
5. 正应力的符号与轴力相同，拉应力为正，压应力为负。
三、教师精讲
1. 应力的概念
应力单位：Pa（帕斯卡），简称帕，2/11mNPa。
2266266/1)10/(10/10101mmNmmNmNPaMPa
2．轴向拉（压）杆横截面上的正应力
（1）分布规律：在横截面上均匀分布。
【实验观察】一直杆（可用等截面的圆形橡胶棒）在其让同学来分析、判断。
1、自主学习
自学教材、自主完成导学提纲，记录疑点或无法解决的问题，为交流作准备。
2、组内交流
在小组长的组织下，有序开展交流与探讨，共同解决存在的问题，并整理交流的结果。
3、小组展示
各组依次对交流的结果进行展示，并对各组的展示作出补充通过引导学生回答问题，并归纳、总结答案，引入课题。
轴向拉〔压〕杆横截面上应力
一、教学内容
知识目标： 横截面上的应力计算、斜截面应力极值
能力目标： 利用公式计算指定截面上的应力
二、教学重难点
重点：计算横截面上的应力
难点：计算斜截面上的应力
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、启发式讲授法等方法。
四、教学实施
课前：通过云课堂APP进行公布课前任务：观看粉笔被拉断的截面形式
课中：
1.创设情境法：粉笔被拉断，引出应力的概念。
2.启发式讲授法讲解轴向拉压变形横截面上应力公式推导。〔1〕动画观看轴向拉伸变形外表横向线纵向线变革。〔2〕平面假设、单向受力假设；〔3〕启发式讲授横截面上应力分布规律及正应力公式求解过程。
3.经典例题讲授如何求解任意横截面上任意点的正应力。
课后：完成练习册习题。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
